Đề thi HSG toán 7 phấn 30

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị của biểu thức:
a)
6 6 11 3
4 7 2 6
4 .3 2 .9
A
8 .3 (2 .3)
−
=
+
b)
3 3
0,375 0,3
1,5 1 0,75
11 12
B
5 5 5
0,625 0,5 2,5 1,25
11 12 3
− + +
+ −
= +
− + − − + −

Câu 2 (3 điểm): Tìm x, biết:

a)
( )
2
3
2 3
8 1 : 0
3 2
−
 
− − =
 ÷
 
x
b)
1 4 1
3 2
3 5 3
− + = − +x x
Câu 3 (3 điểm):
a) Tìm các số nguyên x, y, z biết
2x 3y, 2y 3z= =
và x - 2y +3z = 18
b) Cho a, b, c khác nhau và khác 0 thỏa mãn
a b c a c b b c a
c b a
+ − + − + −
= =

Tính giá trị của biểu thức
(a b)(b c)(c a)

M
abc
+ + +
=

Câu 4 (3 điểm):
a) Cho đa thức:
8 7 6 5 4 3 2
f (x) x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 4025= − + − + − + − +

Tính f(2012)
b) Cho hai đa thức:
2 2 2 2
P 5x 6xy y ; Q 2y 2x 6xy= + − = − −
. Chứng minh rằng không
tồn tại giá trị nào của x, y để P và Q cùng có giá trị âm.
Câu 5 (7 điểm). Cho
∆
ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống
AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.
a) BK = CI và BK//CI.
b) Gọi E là giao của BN và AM. Chứng minh rằng đường thẳng CE cắt đoạn thẳng AB
tại trung điểm của AB.
c) Chứng minh KN < MC.
d)
∆
ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
Câu 6 (1 điểm):
Cho biểu thức

15 3x
M
3 x
−
=
−
với
x Z, x 3∈ ≠

Tìm giá trị của x để biểu thức M có giá trị lớn nhất.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị số 1 Giám thị số 2:
Trang 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán 7
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(3 điểm)
a) 1,5 điểm
6 6 11 3 12 6 11 6
4 7 2 6 12 7 12 6
11 6
12 6
4 .3 2 .9 2 3 2 3

A
8 .3 (2 .3) 2 3 2 3
2 3 (2 1)
2 3 (3 1)
1
8
− −
= =
+ +
−
=
+
=
0.5
0.5
0.5
b) 1,5 điểm
3 3
0,375 0,3
1,5 1 0,75
11 12
B
5 5 5
0,625 0,5 2,5 1, 25
11 12 3
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4
5 5 5 5 5 5 5
8 10 11 12 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1

3. 3.
8 10 11 12 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1
5. 5.
8 10 11 12 2 3 4
3 3
0
5 5
− + +
+ −
= +
− + − − + −
− + + + −
= +
− + − − + −
   
− + + + −
 ÷  ÷
   
= +
   
− − + + + −
 ÷  ÷
   
= − + =
0.5
0.5
0.5
Câu 2
(3 điểm)

a) 1,5 điểm
( )
2
3
2 3
8 1 : 0
3 2
−
 
− − =
 ÷
 
x
( )
2
3
2 2
8 1 0
3 3
 
− − × =
 ÷
 
x
( )
3
3
3
2
2 1

3
 
− =
 ÷
 
x
( )
3
3
3
2
1 : 2
3
 
− =
 ÷
 
x
( )
3
3
1
1
3
 
− =
 ÷
 
x
1 2

1
3 3
⇒ − = ⇒ =x x
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
Trang 2
b) 1,5 điểm
1 4 1
3. 2
3 5 3
− + = − +x x
1 1 4
3. 2
3 3 5
− − − = −x x
1 1 6
3.
3 3 5
− − − =x x
1 6
2.
3 5
− =x
1 3
3 5
− =x
1 3 3

,
3 5 5
−
 
⇒ − ∈
 
 
x
- Nếu
1 3 14
x x
3 5 15
− = ⇒ =

- Nếu
1 3 4
x x
3 5 15
− −
− = ⇒ =
Vậy
4 14
x ,
15 15
−
 
∈
 
 
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3
(3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y, z biết
2x 3y, 2y 3z= =
và x - 2y +3z = 18
Từ
x y x y
2x 3y (1)
3 2 9 6
= ⇒ = ⇒ =

y z y z
2y 3z (2)
3 2 6 4
= ⇒ = ⇒ =
Từ (1)(2) ⇒
x y z
9 6 4
= =

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z 2y 3z x 2y 3z 18
2
9 6 4 12 12 9 9
− − +

= = = = = = =
−
x 9.2 18
y 6.2 12
z 4.2 8
= =


⇒ = =


= =

0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
Trang 3
b) 1,5 điểm
a b c a c b b c a
c b a
(a b c) (a c b) (b c a)
a b c
a b c
1
a b c
+ − + − + −
= =
+ − + + − + + −

=
+ +
+ +
= =
+ +

a b c c a b 2c
a c b b a c 2b
b c a a b c 2a
+ − = + =
 
 
⇒ + − = ⇒ + =
 
 
+ − = + =
 
(a b)(b c)(c a) 2c.2a.2b
M 8
abc abc
+ + +
= = =

0.25
0.25
0.5
0.5
Câu 4
(3 điểm)
a) 1,5 điểm

8 7 6 5 4 3 2
f (x) x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 2013x 4025= − + − + − + − +
8 7 6
8 7 6
8 8 7 7 6 2
f (2012) 2012 2013.2012 2013.2012 2013.2012 4025
2012 (2012 1).2012 (2012 1).2012 (2012 1).2012 4025
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 4025
2012 4025 2013
= − + − − +
= − + + + − − + +
= − − + + − − − +
= − + =
0.25
0.5
0.5
0.25
b) 1,5 điểm
Có
2 2 2 2 2 2
P Q (5x 6xy y ) (2y 2x 6xy) 3x y+ = + − + − − = +
Vì
2 2
x P Q0, y 0 0⇒ +≥ ≥ ≥

⇒ P và Q không thể cùng có giá trị âm
0.5
0.5
0.5
Câu 5

(5,5 đ)
0.5
a) (2 đ)
- Chứng minh:
IBM KCM ∆ = ∆

IM MK⇒ =
- Chứng minh:
IMC KMB∆ = ∆

·
·
CI BK
và MKB MIC BK / /CI
⇒ =
= ⇒

0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
b) (2 đ) Chứng minh
ABC CDA
∆ = ∆
⇒ AD=BC
0.5
0.25
Trang 4

1 1
AM AD BC MC
2 2
⇒ = = =

⇒ ∆AMN = ∆CMN
⇒ AN=NC
⇒ N là trung điểm của AC
∆ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại E ⇒ E là trọng tâm
của tam giác ABC
⇒ Đường thẳng CE là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C của ∆ABC
⇒ CE cắt AB tại trung điểm của AB
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
c) (1 đ)
Chứng minh:
1
KN AC
2
=

Mặt khác
1
MC BC
2
=

Lại có ∆ABC vuông tại A ⇒ BC > AC ⇒
1 1
BC AC
2 2
>

hay MC > KN
0.25
0.25
0.25
0.25
c) (1,5 đ)
Có: IM = MK (theo a) mà AM = MD (gt)
⇒AI = KD
Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM
Mặt khác
BI AM⊥

⇒ ∆BAI = ∆BMI (c.g.c) ⇒ BA=BM (1)
Mà
1
AM BC BM
2
= =
(Theo b) (2)
Từ (1) và (2) ruy ra ∆ABM đều ⇒
·
0
ABM 60=

Vậy ∆ABC vuông cần thêm điều kiện
·
0
ABM 60=
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 6
(1 điểm)
15 3x 6 3(3 x) 6
M 3
3 x 3 x 3 x
− + −
= = = +
− − −
M lớn nhất khi
6
3 x−
lớn nhất
* Xét x > 3 thì
6
3 x−
< 0
* Xét x < 3 thì
6
3 x−
> 0.
Vậy

6
3 x−
lớn nhất khi x < 3
0.25
0.25
Trang 5
Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá
trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
mà
x Z 3 x Z
∈ ⇒ − ∈
⇒ 3 -x là số nguyên dương nhỏ nhất
⇒ 3 - x = 1 ⇒ x = 2
Khi đó M =9
0.25
0.25
Chú ý:
+ Điểm toàn bài không làm tròn.
+ Nếu học sinh làm cách khác nếu đúng cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm.
Trang 6