Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
12
,, ,,
n
uuu


Biểu thức


12
1

nn
n
uuuu





được gọi là
chuỗi số
.

• Các số
12
,, ,,
n
uuu
là các số hạng và
n
u
được gọi
là


số hạng tổng quát của chuỗi số.

§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
……………………………
• Tổng
n
số hạng đầu tiên
12

nn
Suuu


được


gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.

ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
• Nếu dãy


n
n
S

¥
hội tụ đến số
S
hữu hạn thì ta nói
chuỗi số hội tụ và có tổng là
S
, ta ghi là
1

n
n
uS




.

Ngược lại, ta nói chuỗi số
phân kỳ
.

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
1
1
n
n
aq




với
0
a

.
Giải
•

1
q

:
n
Sna

chuỗi phân kỳ.
•
1
q

:
1
11

11
nn
n
qq
Sua
qq




Với
1
q


thì
n
S

chuỗi phân kỳ.
Vậy
1
1
n
n
aq




hội tụ
1
q

.
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
(1)
n
nn





.
Giải. Ta có:

1111

1.22.33.4(1)
n
S
nn



1111111
1
223341
nn











Với
1
q


thì
1
n
a
S
q


chuỗi hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
ln1
n
n














.
Giải. Ta có:
1
ln1ln(1)ln
nn
n












(ln1ln2)(ln2ln3)
n
S



(ln3ln4) [lnln(1)]

nn



ln(1)
n

chuỗi phân kỳ.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
n
n



.

1
11
1
n


chuỗi hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết

chuỗichuỗi
Giải.
1111
1
234
n
S
n

1
.
n
Snn
n

chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
• Nếu chuỗi
1
n
n
u




hội tụ thì
lim0
n
n
u


,
ngược lại nếu
lim0
n
n
u


thì
1
n
n
u



phân kỳ.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
4
4
1
32

n
n
nn




.
Giải. Ta có:
4
4
10
32
n
n
u
nn


chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
10/13/2012
2
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5

4
1
1
n
n
n




.
Giải. Ta có:
5
4
0
1
n
n
u
n


chuỗi phân kỳ.
1.3. Tính chất
• Nếu
11
,
nn
nn
uv




hội tụ thì:
111
()
nnnn
nnn
uvuv




.
• Nếu
1
n
n
u



hội tụ thì:
11
nn
nn
uu





.

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi

nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.

ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa
•
1
n
n
u



được gọi là chuỗi số dương nếu
0,
n
un

.
Khi

0,
n
un

thì chuỗi số là dương thực sự.
2.2. Các định lý so sánh
Định lý
1
.
Cho hai chuỗi số dương
11
,
nn
nn
uv



thỏa:
0
0,
nn
uvnn

.
• Nếu
1
n
n
v




hội tụ thì
1
n
n
u



hội tụ.
• Nếu
1
n
n
u



phân kỳ thì
1
n
n
v



phân kỳ.
ØØ

ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
.2
n
n
n



.
Giải. Ta có:
11
,1
.22
nn
n
n

.
Do
1
1
2
n

n



hội tụ nên
1
1
.2
n
n
n



hội tụ.
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa
1
1
n
n



bằng cách
so sánh với
1
1
ln1
n
n














.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Giải. Xét hàm số
()ln(1)
fttt

ta có:
()0,0()0,0
1
t
fttftt
t






11
ln10,1
n
nn










.
Do
1
1
ln1
n
n














phân kỳ nên
1
1
n
n



phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Định lý 2
Cho hai chuỗi số
11
,
nn
nn

uv



thỏa:
0
n
u

và
0
n
v

với
n
đủ lớn và lim
n
n
n
u
k
v


.
• Nếu
0
k


thì
1
n
n
u



phân kỳ
1
n
n
v




phân kỳ.
• Nếu
k

thì
1
n
n
u



hội tụ

1
n
n
v




hội tụ.
• Nếu
0
k

thì
11
,
nn
nn
uv



cùng tính chất.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số

1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n





bằng cách

so sánh với
1
2
3
n
n













.
Giải. Ta có
1
2(1)211
:
333
.3
n
n
n
nn
n
n












.

Do
1
2
3
n
n












hội tụ nên
1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n






hội tụ.
Chú ý
Chuỗi
1
1
n
n




hội tụ khi
1

và phân kỳ khi
1

.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
10/13/2012
3
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

5
1
1
23
n
n
n





.
Giải. Ta có
53
111
:
2
23
n
nn



.
Do
3
1
1
n

n



hội tụ nên
5
1
1
23
n
n
n





hội tụ.
Cách khác
Khi
n

thì:
53
5
22
11
23
2.2.
nn

n
nn



: .
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Do
3
1
2
1
2.
n
n



hội tụ nên
5
1
1
23
n
n

n





hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u



và
1
lim
n
n
n
u

D
u



.
• Nếu
1
D

thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
D

thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
D

thì chưa thể kết luận.

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
11
1
3
n
n
n

n













.
Giải. Ta có:
1
1
1
1211
:
1
33
nn
n
nn
n
u
nn
unn

















ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
2
2
221
1
3(1)3
21
n
nnn

n
nn















chuỗi hội tụ.
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
5(!)
(2)!
n
n
n
n




.
Giải. Ta có:
1
1
5(1)!(1)!5.!!
:
(22)!(2)!
nn
n
n
u
nnnn
unn






2
5(1) 5
1
(22)(21)4
n
nn



chuỗi phân kỳ.
ØØ

ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u



và lim
n
n
n
uC


.
• Nếu
1
C

thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
C


thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C

thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n












.
Giải. Ta có:
1

01
2
n
n
n
u










chuỗi hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
3
n
n
n
n




.
Giải. Ta có:
3
n
n
n
u

chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
10/13/2012
4
2.3.3. Tiờu chun Tớch phõn Maclaurin Cauchy
Cho hm s
()
fx
liờn tc, khụng õm v gim trờn n
a
khong
[;),
kk

Ơ
. Khi ú:
()()
nk
k
fnfxdx






hoọi tuù hoọi tuù.

VD 9. Xột s hi t ca chui s
3
2
1
1
n
n



.
Gii. Ta cú:
3
2
1
dx

x


phõn k

chui
3
2
1
1
n
n



phõn k.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
VD 10. Xột s hi t ca chui s
3
2
1
ln
n
nn

.
Gii. Ta cú:
33
2ln2
ln
dxdt
xxt



hi t


3
2
1
ln
n
nn



hi t.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt

chuichui
Đ3. CHUI S Cể DU TY í
VD 1.
1
(1)
n
n
n




,
1
1
1
21
(1)
2
n
n
n
n

l cỏc chui an du.

3.1. Chui an du
a) nh ngha. Chui s
1
(1)
n
n
n
u




c gi l
chui s an du nu
0,
n
un

.
b) nh lý Leibnitz
Nu dóy
{}
nn
u

Ơ
gim
nghiờm ngt

v
0
n
u

thỡ chui


1
(1)
n
n
n
u




hi t. Khi ú, ta gi l
chui Leibnitz
.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
VD 2. Xột s hi t ca chui s
1
(1)

n
n
n




.
Gii. Dóy
1
n
u
n

gim ngt v
1
0
n



chui hi t.
VD 3. Xột s hi t ca chui s
1
1
21
(1)
2
n
n

n
n






.
Gii.
1
111
0
22
2
n
n
u


khụng cú kt lun.
t
1
11
21
(1)
2
n
n
n

n
nn
v






, ta cú:
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
Vi
21
111
2:
22
2
n
k
nkv


.
Vi
22

111
21:
22
2
n
k
nkv


.
Do
lim
n
n
v



nờn
1
0
nn
n
vv




phõn k.
ỉỉ

ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
VD 4. Xột s hi t ca chui s
2
(1)
(1)
n
n
n
n





.
Gii
(1)(1)
(1)(1)
1
111
(1)
nn
nn
n
n
n

nnn
n










2
1
1
n
n




l chui iu hũa nờn phõn k.

2
(1)
1
n
n
n
n

l chui Leibnitz nờn hi t.
Vy chui
2
(1)
(1)
n
n
n
n





phõn k.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
10/13/2012
5
3.2. Chuỗi có dấu tùy ý
a) Định nghĩa

• Chuỗi
1
,
nn
n
uu




¡
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u



được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
1
n
n
u



hội tụ.
•

1
n
n
u



được gọi là bán hội tụ nếu
1
n
n
u



hội tụ và

1
n
n
u



phân kỳ.
VD 5. Chuỗi số
1
(1)
n
n

n




là bán hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u



hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
1
n
n
u



hội tụ.

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
cos()
n
n
n
n



.
Giải
Do
2
1
n
u
n

và
2
1
1
n
n



hội tụ nên

2
1
cos()
n
n
n
n



hội tụ.

Vậy chuỗi
s
ố

đ
ã

c
h
o

hội tụ tuyệt đối.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
(1)(2)
3

nn
n
n





.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Giải. Ta có:
11
(1)(2)(1)(2)
333
nnnn
nnn


 .
Do
1
(2)2
2.
3
3

n
n
n












nên
1
1
(2)
3
n
n
n





hội tụ.

Vậy
1
1
(1)(2)
3
nn
n
n





hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi

Chuỗi
1
(1)
3
n
n
n





hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.