Trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạch

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ




ĐÀO THỊ DỊU



TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ
BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN THỤ



HÀ NỘI, 2015
2
LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo

T.S Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn em để
em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy
tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản
trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với
phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các
bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


Đào Thị Dịu
3
LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai
thành phần phân tách mạnh” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và
nghiêm khắc của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng
với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


Đào Thị Dịu

4
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
NỘI DUNG 4
CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ
BOSE-EINSTEIN 4
1.1. Hệ hạt đồng nhất 4
1.1.1. Nguyên lý đồng nhất 4
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 4
1.1.3. Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu 5
1.2. Thống kê Bose-Einstein 7

1.3. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein 11
1.4. Thực nghiệm về Bose- Einstein 18
1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 18
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 20
1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polariton 22
CHƢƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ
BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH
MẠNH 26
2.1. Toán tử Hamilton 26
2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii 27
2.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 27
2.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 29
2.3. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân
tách mạnh 30
KẾT LUẬN 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Albert Einstein (1897-1955) là một nhà vật lí lý thuyết sinh ra ở Đức. Khi
bước vào sự nghiệp của mình, Eisntein đã nhận ra cơ học Newton không còn
có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ diển với các định luật của
trường điện từ. Từ đó ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với các bài báo
đăng trong năm 1905. Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối có thể mở
rộng cho cả trường hấp dẫn, và đến năm 1916 ông đã xuất bản một bài báo
cáo về thuyết tương đối tổng quát. Ông đã tiếp tục nghiên cứu các bài toán
của cơ học thống kê và lý thuyết lượng tử, trong đó đưa ra những giải thích về
lý thyết hạt và sự chuyển động của các phân tử. Ông cũng nghiên cứu các tính
chất nhiệt học của ánh sáng và đặt cơ sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng.

Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mô hình
cấu trúc của toàn thể vũ trụ
Einstein đã công bố hơn 300 báo cáo khoa học và hơn 150 bài viết về
những chủ đề khác nhau, ông cũng nhận được nhiều bằng tiến sĩ danh dự
trong khoa học, y học và triết học từ nhiều cơ sở giáo dục đại học ở Châu Âu
và Bắc Mỹ. Những thành tựu tri thức lớn lao của ông đã khiến nhân loại gọi
ông là nhân tài.
Một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về BEC bắt
đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định
luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt
đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai
nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các
nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của
chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng
các nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu
2
nguyên tử - tức là một BEC. Mãi đến năm 1980 khi kỹ thuật laser đã đủ phát
triển để làm siêu lạnh các nguyên tử tới nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực
hiện được.
Ngày 5 tháng 6 năm 1995, một nhóm cách nhà vật lý tại phòng thì
nghiệm JILA (Đại học Colorado cùng Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc
gia NIST) đứng đầu là Carl Wieman và Eric Cornell lần đầu tiên thành công
trong việc tạo nên BEC gồm 2000 nguyên tử ribidium 87 được làm siêu lạnh
trong một bẫy từ sử dụng laser. Sau đó Wolfgang Kettle (Viện công nghệ
Massachusetts cũng tạo ta được BEC từ 500000 nguyên tử sodium 23. Ba nhà
vật lý trên được ngải Nobel Vật Lý năm 2001.
Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới
(BEC- Bose- Einstein condensate) từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Điều
này có ý nghĩa lớn là tạo lên một dạng vật chất mới trong đó cac hạt bị giam
chung trong trạng thái ở mức năng lượng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng

nghiên cứu trong vật lý. Đây là một lĩnh vực khoa học có hướng phát triển
mạnh mẽ trong tương lai và được ngành vật lý chúng ta quan tâm.
Chính vì lí do trên mà em chọn “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ
Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh” làm đề tài nghiên cứu khóa
luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần
trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu “Trạng thái cơ bản của khí ngưng tụ Bose-Einstein hai thành
phần phân tách mạnh” xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê
Bose-Einstein đối với các boson là nhưng hạt có spin nguyên, phương trình
3
Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình Gross-Pitaevskii.
Ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách và tra cứu tài liệu.
Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học.
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
4
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
1.1.1. Nguyên lý đồng nhất
Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tương đối
tính.Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng:

 
WrrrV
m
P
H
N
i
n
i
i
ˆ
, ,,
ˆ
2
ˆ
ˆ
1
21
2




, (1.1)
trong đó
V
ˆ
là toán tử tương tác với các hạt với bản chất là hàm của tọa độ
của tất cả các hạt,
W

ˆ
là toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương
tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài
Hàm sóng của hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger

 
,0,, ,2,1
ˆ










tNH
t
i


(1.2)
Với toán tử Haminlton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và
spin của các hạt 1,2,3, ,N.
Nếu các hạt có đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin, không phân
biệt được với nhau thì chũng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như
thế ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các
tọa độ và xung lượng của tường hạt.

1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng
Ta kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là
ij
P
ˆ
và kí hiệu trạng thái
của hệ N hạt đồng nhất là
   
jitNji ,, , ,, ,1


. Nếu thế
5

       
.,,
ˆ
;,,
ˆ
jiijPjijiP
ijij


(1.3)
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử
ij
P
ˆ

   
,,,
ˆ
jijiP
ij


(1.4)
Phương trình (1.4) có

     
 
   
,,,
ˆ
,
ˆˆ
,,
ˆ
2
2
jijiPjiPPjijiP
ijijijij



Từ đây suy ra trị riêng của toán tử
ij
P
ˆ

là
1

.
Nên các hàm riêng của toán tử hoán vị
ij
P
ˆ
được chia làm hai lớp:
a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm phản đối xứng)

aaij
P


ˆ
,
tương ứng với trị riêng
1

.
b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm đối xứng)

ssij
P


ˆ
,
tương ứng với trị riêng

1

.
Tính đối xứng và phản đối xứng của một hạt là tích phân chuyển động.
Các thí nghiệm đã chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng và phản đối xứng của
các hàm sóng liên quan đến tính chất nội tại của các hạt. Các hạt có các hàm
sóng
s

đối xứng được gọi là hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo
thống kê Bose-Einstein. Các hạt có hàm sóng
a

phản đối xứng được gọi là
các hạt fermi hay các fermion, tuân theo thống kê Fermi-diac. Các Boson là
các hạt có spin nguyên, các fermi là các hạt có spin bán nguyên.
1.1.3. Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu
Đối với Fermion có một nguyên lý cấm do Pauli đữa ra. Nguyên lý này
được phát biểu như sau:
6
"Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực
 
z
SLLL ,,,
321
bất kỳ đủ để đặc trưng
cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có trạng
thái được đặc trưng bởi 4 số
 
z

SLLL ,,,
321
giống nhau".
Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các
Fermion.
Ta giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau

     
,,,,
ˆ
jiijjiP
aaaij



theo giả thiết

   
,,, ijji
aa



cho nên

   
,,, jiji
aa



từ đây
 
0,2 ji
a

và
 
0, ji
a

nghĩa là trạng thái của hệ như vậy
không tồn tại.
Ta đi xét một hệ đồng nhất mà các hạt tương tác yếu với nhau, trong một
phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau.
Gải sử hàm
 
l
l
n

là nghiệm đúng của phương trình


 
 
 
0
ˆ
 llH

ll
nn


ở đây
 
lH
ˆ
là toán tử Hamilton cho hạt thứ
 
Nll , ,2,1
,
l
n
là tập hợp các
số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt
l
. Khi đó các hàm riêng
của toán tử
H
ˆ
của hệ tương ứng với năng lượng


l
nn
l
E

sẽ là tổ hợp

tuyến tính của các tích dạng
     
N
N
nnn

21
21
.
Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng của tích đã đối xứng hóa
7

     
 
, 21
!
!! !
1
21





NP
N
NNN
Nl
nnn
s

s
(1.5)
trong đó,

P
là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các tích
     
N
N
nnn

21
21
khác nhau từng đôi một
s
NNN , ,,
21
là số các hạt ở
trong các trạng thái lượng tử
s
nnn , ,,
21
tương ứng khác nhau từng đôi một
NNNN
s

21
.
Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng

     
     
     
321
321
321
!
1
222
111
NNN
nnn
nnn
nnn
a
N





(1.6)
từ (1.6) chúng ta có thể suy ra nguyên lý Pauli.
1.2. Thống kê Bose-Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử

k
k

k
g
E
N
W










exp
!
1
, (1.7)
trong đó,
k
g
là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có





0l

llk
nE

, (1.8)
trong đó,
l

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ,
l
n
là số chứa đầy
tức là số hạt có cùng năng lương
l

.
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ
0
với xác suất khác nhau. Độ
8
suy biến
k
g
trong (1.7) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phương diện vật lý ứng với một giá trị
k
E
đó chính là số mới vì số
hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ
điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính
tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.

Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

 
k
l
ll
gnN
N
nnW









0
10
exp
!
1
, ,

, (1.9)
với





0l
l
nN
,

là thế nhiệt động lớn,

là thế hóa.
Sở dĩ có thừa số
!
1
N
xuất hiện trong công thức (1.9) là vì có kể đến tính
đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
được do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu

 
, ,
!
10
nnG
N
g
k

(1.10)
Khi đó (1.9) được viết lại như sau

   
, ,exp, ,
10
0
10
nnGnNnnW
l
ll











(1.11)
Từ đây ta lại có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau:
Một là vế phải của (1.11) có thể coi là hàm của các
l
n
nên ta có thể hiểu
công thức đó như là xác suất để cho có
0
n
hạt nằm trên mức
0


,
l
n
hạt nằm
trên mức
l

, nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có
thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

9
   
, ,exp , ,
10
0
10
00
nnGnNnnnWnn
l
ll
n n
k
n n
kk
ll













Hai là đại lượng
 
, 10
,nnG
xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ ) các hạt. Đối với hệ Boson và hệ
Fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn
tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt Boson và Fermion ta có

 
1,
, 10
nnG
(1.12)
nhưng trong thống kê Mắcxoen-Bônxơman, khi các hạt hoán vị có thể xuất
hiện trạng thái mới, ta có

 
! !
1

,
10
, 10
nn
nnG 
(1.13)
Tìm
k
g

Trong phân bố Mắcxoen-Bônxơman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa
độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của các
tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng
l

. Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng
!N
chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho
! !
10
nn

khi đó

! !
!
10
nn

N
g
k


Thay giá trị của
k
g
vào (1.10) ta thu được (1.13). Để tính trị trung bình của
các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta
gắn cho đại lượng

trong công thức (1.11) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét
10
hình như không phải chỉ có một thế hóa học

mà có cả một tập hợp thế
hóa học
l

. Và cuối phép tính ta cho
l

=

.
Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như
sau

 

1exp ,
10
0











nnW
n n
l
(1.14)
với
 
 
, ,exp
10
0
0
nnG
n
Z
n n
l

lll
l






















, (1.15)
nghĩa là:
 ln

(1.16)
Khi đó đạo hàm của


theo


k
thì theo (1.13) và (1.16)
 
 


























0 1
, ,exp
1
10
0
n n
l
ll
k
kk
nnGn
Z
Z






. (1.17)
Nếu trong biểu thức (1.11) ta đặt


k
thì theo (1.11) vế phải của công thức
(1.16) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy
k

n
tức là ta được







k
k
n
(1.18)
Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ
0
) và
 
1
10
 nnG
do đó theo (1.15) ta có
 










































0 1
0
0
0
expexp
n n
l
n
lll
lll
n
n
Z






11














0
exp1
1
l
ll


(1.19)

khi đó



















0
exp1ln
l
ll



(1.20)
Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình

1exp
1











ll
k
n
(1.21)

ta có (1.21) là công thức của thống kê Bose-Einstein. Thế hóa học

trong
công thức (1.21) được xác định từ điều kiện

Nn
l
l



0
(1.22)
1.3. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC - Bose-Einstein condensation) là một trạng
thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không
tuyệt đối ( hay rất gần giá trị 0 K hay
C
0
273
). Dưới những điều kiện này,
một tỷ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các
hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô. Những hiệu ứng này được
gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Hiện tượng này được Einstein dự đoán
vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên.
Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được
đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ hà hấp thụ của
các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt
vật chất. Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí
12

Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose-Einstein, miêu tả phân bố
thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi
là các boson. Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4
được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh
rằng khi lành lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ
lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng
thái mới của vật chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu
chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghiiej Massachusetts tạo ra được ngưng
tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử
này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy
mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.
Các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp
các fermion. Boson là những hạt có ''spin nguyên'' (0,1,2, ), fermion là
những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2,3/2 ). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac. Ngoài
ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý ngoại trù Pauli, ''hai hạt fermion
không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử''.
13

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là các

nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị
trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi
ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống
hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống
kê B-A và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng).
Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí
Fermion ( chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt
Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không
tuyệt đối tất cả đều có năng lượng
0

, do đó trang thái cơ bản của tất cả
chất khí là trạng thái có
0E
. Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ
KT
o
0
các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức
fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0).
Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không ( ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
14
các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Đối với khí lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose- Einstein. Số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ


d
bằng

,
1exp
)(
)(













dN
dn
(1.23)
trong đó
)(

dN
là số các mức năng lượng trong khoảng từ

d

.
Tìm
)(

dN


Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
như các sóng đứng Debrolige. Áp dụng công thức

,
2
)(
2
V
dkk
kdN


(1.24)
theo hệ thức Debrolige giữa xung lượng
p

và vecto sóng
k



kp





(1.25)
Khi đó (1.18) có thể được viết dưới dạng

V
dpp
pdN
2
2
2
)(



(1.26)
Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc v~c thì
m
p
2
2



suy ra





32
2
2
2
mdpp
mp



Khi đó (1.26) có dạng
15




d
Vm
dN
32
3
2
2
)(



Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g= 2s +1. Do đó số các mức
năng lượng trong khoảng


d
là




d
Vgm
dN
32
3
2
2
)(


(1.27)
Theo (1.26) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng

d

là

1exp
2
2
)(
32
3















dVgm
dN

(1.28)
Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau

 
 



0 0
2/1
32
3
1
2

2
)(





d
e
Vgm
dnN
kT

(1.29)
Nhận thấy nếu số hạt N là sô s cho trước thì phương trình (1.29) sẽ cho ta
xác định thế hóa học

. Thật vậy, số hạt trung bình
)(

dn
chỉ có thể là một
số dương, do đó theo (1.28) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.28)
luôn dương. Tức là
0

để cho giá trị của










exp
luôn luôn lớn hơn 1
với mọi giá trị của

.
Ta có thể chứng minh

là hàm nghịch của tọa độ tức là
0


T

. Theo
qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.29) ta có :
16

















































































































0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
0
0
0
1
1
)(
1
1
1

1
)(1
1
1
1
1































d
e
e
d
e
e
T
d
e
kT
e
kT
d
e
e
kT
d
e
d
e
T
d
e
d

e
T
N
T
N
T
kT
kT
kT
kT
kT
kT
kT
kT
kT
kT
kT
(1.30)
Vì
0

và
0

nên
0

, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở
vế phải (1.24) luôn luôn dương với mọi giá trị của


, vì vậy
0


T

. Từ các
tính chất
0

và
0


T

của hàm

ta thấy khi nhiệt độ giảm thì

tăng
(giá trị âm tăng đến giá trị lớn hơn "nhưng vẫn là âm") và tới nhiệt độ
0
T
nào
đó

sẽ đạt giá trị cực đại bằng không
0
max



.
Xác định nhiệt độ
0
T

Chọn
0

và
0


. Khi đó phương trình

 
 



0 0
2/1
32
3
1
2
2
)(






d
e
Vgm
dnN
kT



trở thành:

17

 
 


0 0
2/1
32
3
1
2
2
)(
0







d
e
Vgm
dnN







0
00
32
2/3
12
)2(
dx
e
xVgm
x



(1.31)

 
 




0 0
322/1
2/3
0
322/1
2/3
0
2/3
.
12
)(
12
dx
e
x
Vgm
dx
e
x
Vgm
xx







Mà ta biết:





0
31.2
1
dx
e
x
x
, nên từ (1.25) và
00
kT

, ta được:

3/2
3/2
2
0
0
31,3








V
N
mkgk
T


(1.32)
Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Ví dụ
như
4
2
He
có mật độ
33
/120/12,0 mkgcmgm
V
N

, nhiệt độ cỡ
K
0
19,2
.
Tuy nhiên, sự tồ tại nhiệt độ

0
0
T
có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý
nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ
0
0 TT 
. Khi giảm nhiệt độ xuống tới
0
T
thì thế hóa học

tăng tới giá trị
0
max


, mà
0


T

nên

không
thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ
0
0 TT 
thì


=0.
Với nhiệt độ
0
TT 
số hạt có năng lượng là:
 
 





0 0
'
322/1
2/3
32
2/3
12
)(
1
2
)2(
)0( Ndx
e
xVgmkT
d
e
Vgm

N
x
kT







(1.33)
So sánh (1.32) và (1.33) ta thấy
18

3/2
0
3/2
0
'
)0(



















T
T
N
N
hay
T
T
NN

.
Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được
đoán nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi
0
TT 
thì
'NN 
chỉ ra rằng số
hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N' có thể phân bố theo các mức năng
lượng một cách tương ứng với công thức (1.23), tức là :

1
)31,2(

'
1
2
)(
2/3322/1
2/3











e
dN
e
Vgm
dn

(1.34)
Còn các hạt còn lại
'NN 
, cần phải được phân bố như thế nào đó khác
đi, chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa
là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta gọi đó là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn

0
T
, một phần các hạt của khí boson sẽ
nằm ở mức năng lượng thấp nhất ( mức năng lượng không) và các hạt còn lại
sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật
1
1



e
. Hiện tượng mà ta
vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson sẽ chuyển xuống mức năng
lượng không và hai thành phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng
lượng được gọi là "sự ngưng tụ bose". Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T=0) tất cả
các hạt boson sẽ nằm trên mức không.
1.4. Thực nghiệm về Bose- Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn
erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí
Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì
19
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử.
"Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết.
Cùng nới nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một đám

mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose-
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium
cho phép chúng tôi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh", Franlaino nói.
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí ở
Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá
quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông
hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số những
kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ START
khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf
Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium hồi năm
2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Corell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành Giải Nobel Vật Lí cho việc tạo ra ngưng tụ
Bose- Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của erbium, lần đầu tiên được tạo ra ở
20
Innsbruck, là một hệ mẫu tuyệt vời đẻ bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ
sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học
phức tạp có mặt trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa vật lí,
trong các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang
trạng thái đốm màu.

Hình 1.2: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một
trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein"

Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt
21
photon (quang tử) - những đơn vị cơ bản của ánh sáng.
Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schimitt, Frank Vewinger và
Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
"nhiệm vụ bất khả thi" trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là "các siêu photon".
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein truyền thống được
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho
rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh
ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon là
các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi
trường xung quanh và biến mất - điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh.
Theo trang LiveScience, bốn nhà vật lý Đức cuối cùng cũng tìm được
cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để
nhốt giữ các photon, những nhà nghiên cứu ngày đã sáng chế ra một thùng
chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau
khoảng một phần triệu của một mét (1 micron). Giữa các gương, nhóm
nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" ( về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ
chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị
hấp thụ và sau đó được tái phát.
Các tấm gương đã "tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến -
lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao
đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và

cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng.
Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein.
Trong bài viết mới đây trêm tạp trí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc
trường đaih học kỹ thuật Kaiserslautem (Đưc) đánh giá thử nghiệm trên là