Phương trình vô tỷ tài liệu ôn thi đại học

Chuyên đề : phơng trình vô tỷ
phơng pháp biến đổi tơng đơng:
Bài1: Giải các phơng trình :
1) x + 1 = 8 3x + 1

2) x 2 2 x 4 = 2-x

3) 3x 2 9 x + 1 = x-2

4) 3x 2 9 x + 1 = x-2

5) 3x + 7- x + 1 = 2
Bài2: Giải các bất phơng trình sau:

6) x 2 + x 5 + x 2 + 8 x 4 = 5

x 2 x 12 < 7-x

2) 21-4x-x 2 < x + 3

3) 1-x + 2x 2 3 x 5 < 0

4) x 2 3 x 10 x-2

5) 3 -x 2 + x + 6 + 2(2x-1) > 0

6) 3x 2 + 13 x + 4 + 2-x 0

7) x + 3- 7-x > 2x-8

8) 2x + 3 + x + 2 1

9) 2x + x 2 + 1 > x + 1

10) 2-x > 7-x - -3-2x

11) 11-x - x-1 2

12)

4
- 2-x < 2
2-x

14)

1-4x 2x + 1

1)

x 2 16
+ x-3 >
x 3

13)

5
x-3

1 3 1 1
< x2 4 x 2

18) 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11
16)

20)

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

23) ( x 3)

x2 4 x2 9

1 1
4 3
- >

x 2
x2 4
19) 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 2x 1
17)

21) 3 1 + x + 3 1- x = 2
24)

x 2 4x + 3 2x 2 3x + 1 x 1

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 2x 2 + 9x + 7
26) x 2 3x + 2 + x 2 4x + 3 2 x 2 5x + 4
1

27) 3 x x + 1 >
28) 3x +1 2x -3
2
25)

29)

x2 - 4x + 3 < 2x 2 - 10x + 11

30)

x2 - x - 1

31)

4-

32)

x + 3 < 1- x

33)

x2 + x - 6 < x - 1

34)

5x2 + 61x < 4x + 2

35)

2x - 1 2x - 3

36)

x2 + 6x + 8 2x + 3

37)

x2 - 4x - 12 x - 4

39)

x2 - 3x - 10 < x - 2

40)

x2 - 16 2x - 7

41)

2x2 - 1 > 1 - x

42)

x2 - 5x - 14 2x - 1

43)

x2 - x - 12 x - 1

44)

x2 - 4x - 12 > 2 x + 3

45)

-x2 - 8x -12 > x + 4

46)

-x2 + 6x - 5 > 8 - 2x

47)

x2 + 4x - 5 > x

48)

(x2 - x)2 > x - 2

49)

x4 2 x2 + 1 > 1 - x

50)

x 2 - 3x + 2 > 2x - 5

51)

x2 - 4x + 5 + 2x 3

52)

(x + 1)(4 - x) > x - 2

1- x >

2-x

3 - x

38) x - 3. x + 1 + 3 > 0


53)

-x2 + 6x -5 > 8-2x

54)

55)

2 - x + 4x - 3
≥2
x

56)

57)

x+5
<1
1-x

58)

59)

1
2x2 + 3x - 5

1
2x - 1

>

2x2 - 6x + 1 - x + 2 > 0
2x - 4
> 1
2
x - 3x - 10
51- 2x - x 2
<1
1- x

2
60) 1 - 1 - 4x < 3
x

63)

8 - 2x - x2
>1
x+2
3x + 4 + x - 3 ≤

65)

x+3 ≥

67)

5x - 1 - x - 1 >

69)

x 4 +x2 -1 + x 4 -x 2 +1 ≤ 2x 2

70)

x+3 - x-1< x-2

71)

x+1 - x-1 ≤ x

72)

5x+1 - 4x-1 ≤ 3 x

73)

x+1 > 3- x+4

74)

x+2 - 3-x < 5-2x

75)

x2 +x+1+ x 2 - x+1 ≥ 2x 2 +6x+2

76)

6x + 1 - 2x + 3 < 8x - 4x + 2

77)

x + x+9 ≥ x+1+ x+4

61)

4x + 9

2x - 8 + 7 - x
2x - 4

9x 2 - 4

64)
66)

5x - 1 - 3x - 2 - x - 1 > 0
x + 5 - x + 4 > x+3

68)

4 - x2 + 1- x 2 < 2

80) x 1 - x 2 < 0
82) ( 2x - 5) 2x2 - 5x + 2 ≤ 0

≤ 0

2

x - 1 - x - 2 > x -3

78) 3 12 - x + 3 14 + x ≥ 2

79) 3 4 - x + 3 x + 8 ≥ 2
81)

62)

5x - 1

(x-1)

x(x + 2) ≥ 0

83) (x2 - 4x + 3) x 2 - 4 > 0

84)

85) (x2 - 3x) 2x 2 - 3x - 2 ≥ 0

86) ( x − 2) x 2 + 4 ≤ x 2 - 4

87)
89)
91)
93)

3(4x2 -9)
2

≤ 2x +3

88) (x - 3) x 2 + 4 ≤ x 2 -9

≤ 3x+2

90) x(x - 4) 4x - x2 ≥ 4 - (2 - x)2

3x - 3
9x 2 - 4
2

5x - 1
x2

4x

2

2

40

96)

2

x +16
< 2x + 9

99) 4(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x )

2 - 4 - x2

98)
2

100)

x2

2

94) 3x - 2x +1 - 25 - x ≤

2

(1 - 1 + 2x )2

x2

2

92) x - x - 4 + 4 -x ≤

x+3
4x+1 - 3x-2 ≤
5

2
95) x + x +16 ≤

97)

2

- 3x - 2 ≥ 1 - x

3x - 2

(x-2)2

5 + 25 - x 2

3x2 +5x+7 - 3x 2 +5x+2 >1
2x
2x + 1 - 1

> 2x + 2

2x 2
(3 - 9 + 2x )2

≤ x + 21


101)

x2
(1 + 1 + x )

2

102) 9(x + 1)2 (3x + 7)(1 - 3x + 4)2

>x-4

103) (x-1) 2x - 1 3(x-1)
105)
107)

x2
(1 + 1 + x )2
2x 2
(3 - 9 + 2x )2

104)

2x + 1 - 1

> 2x + 2

4x 2

>x-4

106)

x + 21

108) 4(x + 1)2 < (2x + 10)(1 - 3 + 2x )2

(1 - 1 + 2x )2

< 2x + 9

110) 9(x + 1)2 (3x + 7)(1 - 3x + 4)2

109) x 2 + 4x (x + 4) x 2 - 2x + 4
phơng pháp đặt ẩn phụ:
Bài1: Giải các phơng trình :

1) 3x 2 + 5 x + 8- 3x 2 + 5 x + 1 = 1
3)

2x

2) x 2 + 9- x 2 7 = 2

21 + x + 21 x 21
=
21 + x 21 x x

4) 3x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 4

5) (x + 5)(x-2) + 3 x ( x + 3 ) > 0

6) (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28

7)

8) (x + 4)(x + 1)-3 x 2 + 5 x + 2 = 6

3x 2 + 5 x + 7- 3x 2 + 5 x + 2 1

9) 4

( 4 x) ( 2 + x) x

2

2x 8

x 2 5x 6 > 10x + 15

12) 6 (x - 2)(x - 32) x 2 - 34x+48

11) 2x 2 + 4x + 3 3 2x x 2 > 1
13)

10) 2x 2 +

x(x + 3) 6 - x 2 - 3x

14) (x +4)(x +1) - 3 x 2 +5x+2<6

15) x 2 - 4x - 6 2x 2 - 8x+12

16) 2x(x-1) +1 > x 2 - x+1

17) (x +1)(x +4) < 5 x 2 +5x+28

18) x 2 + 2x + 5 4 2x 2 + 4x+3

19) 2x 2 + x2 -5x -6 >10x+15

20)

4x
x-1 3
>
x-1

4x 2
6x
12x
12x
22)
- 2.4
0
x-2
x-2
x-2
5
1
5 x+
< 2x+ +4
2x
2 x
24)
3
1
< 2x+ -7
26) 3 x +
2x
2 x

x
x+1
-2
>3
x+1
x

x-2
x-2 6 x-2
+2.3
+
-4 0
x+1
x+1
23) x+1
2
1
< 2x+ +2
25) 4 x +
2x
x
21)

27)

28) (x3 + 1) + (x 2 + 1) + 3x x+1 > 0

x > 1 + 3 x-1

30) x + 1- x 2 x. 1- x 2
x
35
31) x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3)
32) x+ 2 > 12
x -1
2x
33) 7x+7 + 7x-6 + 2 49x 2 +7x- 42 <181-14x 34) x+ 2 >3 5

x -4
1
3x
+1>
35) 2x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7x 35
36)
1-x 2
1-x2
29)

37)

x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x

2

2

2

x - 4x + 6 + x - 4x + 8 2x - 8x + 32

39) x 2 -1 2x x 2 +2x

2 2
38) 2(x+ x +a )

40) x 2 -1 2x x 2 -2x

5a 2

x 2 +a 2


1

+1>

3x

41) x-1 ≥ x( x-1 - x ) + x 2 - x

42)

43) (4x - 1) x3 +1 ≤ 2x3 + 2x + 1

44)

2x2 +12x +6 - 2x -1 > x +2

45)

x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x

46)

2x2 - 6x + 8 - x ≤ x - 2

47)

x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3)

48)

x3 - 2x2 + x ≥ x x + x 2 - 2x

49)

7x+7 + 7x-6 +2 49x 2 +7x-42 <181-14x

50)

2x2 -10x+16 - x-1 ≤ x-3

51) 2 3x -2+ x+2 ≥ 34 (3x -2)(x+2)

52)

53) x + 1- x 2 ≤ x. 1- x 2

54)

55) x +
57) x +

x
2

x -1
2x
x2 - 4

≥

3 5
2

1 - x2

1 - x2

1 x+1
(x+1)2
x- +
< 2x-1+
2 4
8
1
1
≥ 2+
x
1- x2
(1 - x 2 )5 +

56)

x5 ≤ 1

2
2
58) 2(x + x + a ) ≤

>3 5

Ph¬ng ph¸p hµm sè:
1) x+1 + 2x+3 > 5
3) 2x+1 > 7 - x

2)

5a 2
2

x +a

2

(a ≠ 0)

x+9 + 2x+4 > 5

5)

x + 1 ≤ 1 - 2x + x 2 - x3

4) 1 - x3 < x + 5
6) x2 - 2x + 3 - x 2 - 6x + 11 > 3 - x - x - 1

7)

x + x2 - 1 ≥ 1

8)

x - 1 + x 2 - 1 ≥ (x + 1)(3 - x)

3x2 - 7x + 3 + x 2 - 3x + 4 > x 2 - 2 + 3x 2 - 5x - 1
Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸:
(Đánh giá bằng BĐT):
9)

2

1)

2

2) 1 + x + 1 - x ≤ 2 +

x + x - 1 + x - x +1 ≤ x+1

4) 1 + x - 1 - x ≤ x

3) x - x2 -1 + x + x 2 -1 ≤ 2
2x2 + 4 + 2 2 - x 2 ≥ 2 6
7) 2 x 2 - x 4 + x + 1 - x 2 ≥ 1 + 2

x2
4

3

5)

6)

2x2 - 10x + 16 - x - 1 ≤ x - 3

8)

x+2 x-1 + x-2 x-1 ≤2

(2x2 - 3x + 1)2 - 4x 4 - 20x3 + 25x 2 < 2x + 1 10) 3 x2 - 2 ≤ 2 - x3
x
x
2
>
11)
1-x + x
1-x - x
x
9)

(Đánh giá bằng đạo hàm):
(1 -x)5 + (1 +x)5 ≤ 4 2

1)
3)

3

3x +1 + 2x +4 < 3 -

2
2 3
5) x + (1 - x ) ≥

23
27

2002
x
189

2) 1 + x + 1 - x ≤ 2 4)

x2
4

2x3 + 3x2 + 6x + 16 > 2 3 + 4 - x