Khoá luận tốt nghiệp toán tích vô hạn

TRƯỜ NG DẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

V Ũ TH Ị H Ù Y

T ÍC H

VÔ HẠN

KH ÓA L U Ậ N TỐ T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC
C huyên ngành: G iải tích

N gười hướng dẫn khoa học
TS. N G U Y Ễ N VĂN HÀO

HÀ N Ộ I - 2015


LỜI C Ả M Ơ N
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các Giảng viên khoa Toán trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại
trường và tạo điều kiộn cho cm hoàn thành bản khóa luận tốt nghiộp.
Dặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S. N g u y ễn Văn
H ào đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận này.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em xin chân thành cảm
ơn những ý kiến đã đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành như hiện
tại.

Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm, 2015
Sinh viên

V ũ T hị H ù y

2


LỜI C A M Đ O A N
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của T S. N g u y ễn Văn H ào
khóa luận của em với đề tài “T ích vô hạn” được hoàn thành không
trùng với bất kì đồ tài nào khác.
Trong quá trình làm đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn.
Xuân Hòa, ngày so tháng 4 năm 2015
Sinh viên

V ũ T hị H ù y

3


M ục lục

1

M Ộ T s ố K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị

8

1.1

Chuỗi s ố ...................................................................................

8

1.1.1 Một số khái niệm cơ b ả n ..........................................

8

.........................

12

1.1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý ............................

17

Chuỗi hàm s ố .........................................................................

21

1.2.1 Một số khái niệm cơ b ả n ..........................................

21

1.2.2 Các tiêu chuấn hội tụ đều của chuỗi hàm số . .

22

1.1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương

1.2

1.2.3 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều
1.3

.

26

Chuỗi lũy t h ừ a .....................................................................

27

1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy t h ừ a ...................................

27

1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy t h ừ a ......................

28

1.3.3 Khai triển thành chuỗi lũy thừa của một số hàm
sơ c ấ p .........................................................................
2

31

T ÍC H VÔ H Ạ N

32

2.1

Giới thiệu vồ tích vô h ạ n .....................................................

32

2 . 1. 1

Một số khái niệm cơ bản và ví d ụ .........................

32

2 . 1.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và c h u ỗ i ..................

34

4


Tích vô hạn của ln2 và e.....................................

37

2.2

Sự hội tụ tuyệt đối của tích vô h ạ n ............................

40

2.3

Định lý Tannery và hàm m ũ ...............................................

41

2.3.1

Định lý Tannery cho c h u ỗ i ......................................

41

2.3.2

Hàm m ũ .......................................................................

43

2.3.3

Định lý Tannery đối với tích vô h ạ n .......................

45

Khai triển tích vô hạn Euler cho hàm lượng giácvà số 7T

46

2.1.3

2.4

2.4.1

Khai triển tích Eulcr thứ nhất

đốivớihàm sinc 46

2.4.2

Khai triển tích vô hạn Euler thứ hai cho hàm sine 49

2.4.3

ứng dụng của tích E u l e r ........................................

5

53


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết tích vô hạn được hình thành một cách khá tự nhiên xuất
phát từ các công trình tính toán của các nhà toán học từ nhiều lĩnh
vực thực tế. Theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến sự quan tâm của
các nhà toán học về việc tính toán số 7T. Vào thế kỉ XVI, nhà toán học

người Pháp F. Viete đã đưa ra công thức
2 _ ự 2 V 2T V 2 V 2 + \/2 + v ^
7T ~~ ~ 2 '

2

'

2

■■■

Đến thế kỉ XVII, John Wallis đưa ra công thức
7T

-pL

2 =

2n
2n
2 2 4 4 6 6
2n - 1 2n + 1 = 1 3 3 5 5 7

Việc nghiên cứu tích vô hạn thu được kết quả quan trọng khi Euler
đưa ra khai triển của một số hàm thành tích vô hạn. Ví dụ như khai
triển hàm sine

Đồng thời Euler cũng đưa ra biểu diễn hàm Riemann - zeta thành tích
vô hạn vào năm 1749

*(*) = n p

1

—

p

với p là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Biểu diễn này là kết quả
quan trọng trong việc phát triển nghiên cứu đối với hàm Riemann zeta. Sự khai triển các hàm thành tích vô hạn tương tự như việc phân
tích đa thức thành các nhân tử tuyến tính. Bằng viộc nghicn cứu tích
6


vô hạn, người ta có thể tính được số 7r một cách chính xác hơn hay
nghicn cứu các hàm thông qua sự khai triển thành tích vô hạn của nó.
Ngày nay, lí thuyết tích vô hạn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện
một cách chuẩn mực. Được sự hướng dẫn của T S . N g u y ễ n V ăn H à o
và mong muốn tìm hiểu vồ tích vô hạn, cm đã chọn đồ tài “T ích vô
hạn” .
Khóa luận được cấu trúc hai chương
Chương 1 . Trình bày một số kiến thức cơ bản vồ chuỗi số, chuỗi hàm
và chuỗi lũy thừa.
Chương 2. Trình bày các khái niệm về tích vô hạn, chứng minh các
kết quả quan trọng và đưa ra một số ứng dụng của tích vô hạn.
2. M ục đích và n h iệm vụ n gh iên cứu
Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, chứng minh các kết
quả quan trọng và một số ứng dụng của tích vô hạn.
3. Đ ối tư ợng n gh iên cứu
Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, các kết quả quan

trọng và ứng dụng của tích vô hạn.
4. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.

7


C hương 1
M Ộ T s ố K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị

1.1
1.1.1

C huỗi số
M ộ t số k h á i niệm cơ b ả n

Đ ịn h nghĩa. Cho dãy số {an}. Tổng vô hạn
a,ị + a,-2 +

... + a n +

... =

n=1

an

( 1 -1 )

được gọi là một chuỗi số.
+ an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số.
+ Tổng
sn — aĩ + ơ<2 + ••• + 0,n = ^2 a*,

( 1 -2 )

k=ì

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Dãy {sn} được gọi là dãy
tổng riêng của chuỗi ( 1 . 1 ).
Nếu giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = s tồn tại và hữu hạn thì
Tl—Ì o c

chuỗi được gọi là hội tụ và có tổng riêng là s. Khi đó ta cũng viết
+ oo

11—1
Nếu lim sn = ±oo hoặc không tồn tại giới hạn này thì chuỗi được gọi
n—>oc
là phân kì.
V í d ụ 1.1. Xét chuỗi số


n=0

qn = 1 + q + q2 + ... -b qn + ...

Tổng riêng thứ n của chuỗi được xác định như sau
sn = 1 + q + q2 + ... + qn~l .

Ta xét các trường hợp
(i) Trường hợp q 7^ 1, ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là
1 - qn
sn — -------- .
1 - q

+ Nếu |ợ| < 1 thì lim qn = 0. Do đó
7Í —>OC

lim s,>n —
1 —q

n^oc

Vậy chuỗi số đã cho là hội tụ và có tổng là
+oo
1
Ẹ l ộ
+ Nếu |ợ| > 1 thì lim sn = oo ncn chuỗi đã cho phân kì.
n —> o o

(zz) Trường hợp q = 1, khi đó ta có
lim sn = lim n = + 00 .
n^oc
n—
>oc
Vậy chuỗi đã cho phân kì.
(ni) Trường hợp q = —1. Dãy tổng riêng được xác định như sau
í 0

khi n = 2k

^ 1

khi n = 2k + 1

S n = \

Như vậy dãy {sn} không có giới hạn. Do đó với \q\ = 1 thì chuỗi đã
cho phân kì.
V í dụ 1.2. Cho chuỗi số
+oo
1
E
, = 1 n(n + 1 )
9


Ta có
1

s,i

1

1

1

1.2 + 2.3 + 3.4 + ■■■+ n(n + 1)

1

= 1 ------ —
71+1

Từ đó, suy ra lim sn = 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ với tống bằng 1 .
n-toc
1.1.1.1. Đ iều kiện để chuỗi hội tụ
Đ ịn h lí 1 . 1 (tiên chuẩn Cauchy). Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi
với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và
mọi số nguyên dương p ta cố
Ian+i + an+2 + ... + an+p\ < £.

(1-3)

C h ứ n g m in h . Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn}
hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi £ > 0
tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên
dương p ta có
l^+p

sn I
Điều này tương đương với
\a n + l +

a n+ 2 +

... +

Q>n+P I ^

£•

H ệ q u ả 1 (điều kiộn cần đổ chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì
lim an = 0 .

n —»■oo

T hật vậy, theo (1.3) thì với mọi n > N chọn p = 1 ta nhận được
la'/i+i| < £■
Do đó ta có
10


lim an = Ü.
n—
>00
C h ú ý. Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện
đủ.
V í dụ 1.3.
+°°
fi
ĨI
1
a) Chuỗi V — —— phân kì vì lim — —— = —.
n=l 2 n + 1
П-+00 2 ra + 1

2
+ OC

b) Xót chuỗi

l

1

Mặc dừ lim — = 0 nhưng chuỗi này phân kì. T hật
n=l n
ra—
^00 n

vậy, ta có
1

1

1

— -------------- h --------------h ... +

S211 —

n+ị n + 2
1
1
2n
277,

2n
1

-----

2n
n _ 1
2n
2

Nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng {sn} và {s2n} phải dần
tới một giới hạn khi n —)• + 00 , tức là lim (s2n — sn) = Ü. Tuy nhiên,
11 —> o c

điều này mâu thuẫn với đánh giá trên.
H ệ q u ả 2 . Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách
thêm, vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc
cùng phân kì.
1.1.1.2. T ín h chất về các phép toán củ a chuỗi hội tụ
+OC +00
Đ ịn h lí 1 . 2 . Nếu các chuỗi ^2 an, ^2 bn hội tụ và có tong lần lượt là
n=l
n—1
+ 00

s và t thì các chuỗi

+00

ian =b bn) và

11 = 1

(Лan) củng hội tụ và lần lượt
n = 1

được xác định theo công thức dưới đây
+-1-0
00
0

Ể

Y, (ö n
n=\
7,= 1

+00
± K ) = s ± t ; ^ 2 Xan = As.
n =1

C hứng m inh. Kí hiộu
ãị +

0,2

+

... +

CLn \ t n — b ị +

11

l>2 +

... 4 * b,,


Khi đó
{

i

}

+ 00

là tổng riêng của chuỗi

i a n

±

bn )

và {Asn} là tổng riêng của chuỗi

71= 1
+ 00

n=1

(Aan). Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có
lim (sn ± tn) = s ± t; lim Asn = As.
11 —» 0 0

n —»■0 0

Vậy có điều cần chứng minh.

1 . 1.2

D ấ u hiệu hội t ụ c ủ a chuỗi d ư ơ n g
+ 00

Đ ịn h nghĩa. Chuỗi số

n=1

an được gọi là chuỗi dương nếu an > 0 với

mọi n.
Đ ịn h lí 1.3. Điều kiện cẦn và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy
tổng riêng của nó bị chặn.
+00

C h ứ n g m in h . Vì ^2 an hội tụ nên dãy tổng riêng (sn) của nó hội tụ.
71—1
Do đó dãy (s„) bị chặn.
Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi dương là dãy (sn) tăng nôn nếu

+00

dãy (sn) bị chặn thì tồn tại giới hạn. Do đó chuỗi ^2 an hội tụ.
'11=1
+ 00

+00

1.1.2.1. D ấ u h iệ u so sá n h . Cho hai chuỗi số dương ^ 2 a n và ^ 2 bn
n —1

Đ ịn h lí

1.4 (dấu hiệu sosánh

n= 1

thứ nhất). Giả sử tồn tại số nguyên

dương Щ vàmột hằng số с > 0 sao cho
an < Cbn; với mọi n > Щ.
Khi đó ta có các khẳng định sau
— ОС

(г) Nếu chuỗi

+00

bn hội tụ thì kéo theo chuỗi ^2 an hội tụ.
n=l

11=1

12


+OC
(и) Nếu chuỗi

+OC
an phân kì thì kéo theo chuỗi

bn phân kì.
n=1
n=1
C h ứ n g m in h . Như đã nói trong hệ quả 2 , mục 1.1, không mất tính
tổng quát ta có thể giả thiết По = 1. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng
+ 00

thứ n của các chuỗi

n—1

+00

an và

bn. Khi đó ta có
n=1

sn < C t n\ với mọi n > 1 .
Như vậy nếu dãy {tn} bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn và nếu dãy
{sn} không bị chặn thì dãy {tn} cũng không bị chặn. Từ đó ta suy ra
kết luận của định lý.
Đ ịn h lí 1.5 (dấu hiộu so sánh thứ hai). Giả sử lim — = k. Khi đó
n

¥ ОС

bv

ta có các khẳng định sau
+00
(г) Nếu 0 < к < +00 thì từ sự hội tụ của chuỗi

bn kéo theo sự
n=1

+ OC

hội tụ của chuỗi ^2 an71 — 1

+ЭС
(гг) Nếu 0 < к < +00 thì từ sự phân kì của chuỗi ^2 bn kéo theo sự
n=1
+ 00

phân kì của chuỗi ^2 an.
ì1=1
C h ứ n g m in h , (г) Bởi vì lim — = к và о < к < +00 nên tồn tại số

n - > oo

bn

nguyôn dương Щ đổ với mọi n > Щ
— < к+ 1
bn

an < (k + l)bn.

+ 00

an hội tụ.

Theo định lí 1.4 thì chuỗi
n=ì

+ 00

(гг) Trường hợp о < к < +00 và chuỗi ^2 bn phân kì. Khi đó ta có
n=1

[o
13

кЫ М +”
khi = +00


+ 00

tức là о < к* < + 00. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi
+ OC

hội tụ thì chuỗi

n=1

an

+00

bn cũng phải hội tụ. Do đó, chuỗi

11=1

V í du 1.4. Xét chuỗi

an phân kì.
11—1

n=1 n

Với mọi n ta có
1
s n

—

1

Ф
22

+

1
+

•••

n 22

+

1
-

1

+

1

=

2

-

-

1
—

1

<

Vì
Từ

kết quả trên đây

+

T

o
1.2

+

2 .3

1
+

+

1
1
3 + "' + ^ ĩ

2 + 2

77,
dãy tổng riêng bị

1

1
7

_
1 T
(n —
1)72

1
»

2.

chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý 1.3.
cùng dấu hiệu so sánh thứ nhất, ta cũng suy ra

ngay hàm Ricmann-zcta
C(s) = Ễ - 7 ; với s > 2
n=l n

là một chuỗi hội tụ.
+ 00

7J-

V í d ụ 1.5. Xét chuỗi Ỵ]
z—'1 n tan Ọ
n=
z n+1
Dễ dàng kiểm tra rằng nếu X G 0,— thì tan X < 2x. Do đó, với mọi
n > 1 ta có
7Ï

2lT

n

7itan ——- < n.
= тт.— .
2?г+1
2n+1
2n
ị

+ ОС

Theo ví du 1.4, chuỗi ^2
71=1

о hôi tu. Lai Yỉ

n

n
1

lim
?г—>■o o

n2

2"

= lim — = 0 ,
1
n —> 0 0 2 n
n2
+ 00

nên theo đinh lý 1.5, chuỗi
—00

n=ỉ 2n

hôi tu.T ừ đó theo đinh lý 1.4, chuỗi

7J-

V
n tan 9?г+1
——— hội

tụ.
^
v

n=l

z

14


1.1.2.2. D ấ u hiệu C auchy
Đ ịn h lý 1.6. Cho chuỗi dương ^2 an- Gỉa sử lim
n=1

= c. Khi đó,

?woc

ta có các khẳng định sau
(i) Nếu c < 1 thì chuỗi đõ, cho hội tụ.
(ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
C hứng m inh, (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1. Vì
= c nên tồn tại riQ để

lim


an < pn; với mọi n >

7Ỉ 0 .

pn hội tụ, nên chuỗi ^2 an hội tụ theo định lí 1.4.
n=1
11=1
(ii ) Nếu c > 1 thì tồn tại no để

Vì chuỗi

> 1

an > 1 ; với mọi n > n 0.

Như vậy chuỗi phân kỳ theo hộ quả 1 của định lý 1.1.
1.1.2.3. D ấ u hiệu D ’A lem b ert
_

+ oc

V

Đ ịn h lý 1.7. Cho chuỗi dương ^2 aìf Giả sử tồn tại giới hạn lim
n=ỉ

n^ ° °

0

1

7—
an

d. Khi đố ta cỏ các khẳng định sau
(i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hổi tụ.
(ii) Nếu d, > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
C h ứ n g m in h . Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 . Vì lim
n->oo

nên tồn tại số nguyên dương TĨQ để mọi n > TĨQ và

®no+ l ^ ^n0Q
a no+2 < cLn0+iq2 < anoq2
15

n+1 = d
an


0"ìĩ(ì+k ^
+ OC

Vì chuỗi

+OC

a1ĩữqh hội tụ, nghĩa là chuỗi

n= 1

n= 1
Nếu d > 1 thì tồn tại Щ để mọi n > Щ và
''> 1 h-ciy Q>n+1 ^

an hội tụ theo định lý 1.1.

— ß'fto •

Vậy không có lim an = 0 nên chuỗi phân kỳ.
n—>oc
1.1.2.4. D ấu hiệu tích phân C auchy
+ 00

Đ ịn h lý 1.8. Cho chuỗi số dương ^2 an- Giả sử f ( x ) Ị,à một hàm, đơn
n = l

điệu giảm và liên tục trên [l;+oo) sao cho
f ( n ) = an; với mọi n = 1 , 2 ,...
+ 00

oo

Khi đó, chuỗi ^2 an và tích phân f f ( t ) d t cùng hội tụ hoặc cùng phân
n = 1

1

C h ứ n g m in h .T ừ giả thiết của định lý, với mọi X G [к, к + 1] và số tự
nhicn к > 1 , ta đều có
ak+i = f ( k + 1) < f ( x ) < f ( k ) = ak.

(1.4)

Từ đó, ta có
к+1
(Ik+ 1 < I f ( x ) d x < ak.
к
Lấy tổng các vế của bất đăng thức trên theo к từ 1 đến n ta được
Ê ak+l < / f ( x ) d x < Ỳ, ak
k= 1

1

k=ì

hay
Sn+ 1 -a > \< f f ( x ) d x < sn;
1
16

(1.5)


trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi

+OC
ak- Từ bất đẳng thức
Ả:=l
11

+1

kcp (1.5) ta thấy rằng dãy {sn} và tích phân f f ( x ) d x cùng bị chặn
1

hoặc cùng không bị chặn. Điều đó cho ta khăng định của định lý.
C h ú ý. Khi áp dụng dấu hiộu D ’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu
lim

n-»oo

" — = 1 hoặc lim

CLn

= 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội

n —»00

tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tuy nhiên, nếu từ một số 77,0 nào đó trở đi
mà

n+1 > 1 thì có thể suy ra
0>n

Q"in ^ ^n<) 5

^ n 0.

Điều đó cho ta khẳng định dãy an không tiến đến 0 khi n —»• +oo và

+ 00

như vậy chuỗi

1.1.3

n=1

an phân kỳ.

C h u ỗ i với số h ạ n g có d ấ u t ù y ý

1.1.3.1. C huỗi đan dấu
+ oo

(—l ) n_ an trong đó các số an

Đ ịn h n g h ĩa . Một chuỗi số có dạng
n=l
cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu.
1.1.3.2. Sự hội tụ

Đ ịn h lý 1.9 (dấu hiộu Leibniz). Giả sử dẫy {an} Ị,à đơn điệu giảm và
+ oo

lim an = 0. Khi đó, chuỗi E ( - i r an hội tụ.
n->oo
n=1
C h ứ n g m in h . Gọi {sn} là dãy tổng ricng của chuỗi. Bởi vì
s 2m =

(ữl — a 2 ) +

(ữ 3 — a i) +

••• +

( a 2m - l — a 2 m )

các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m} đơn điệu tăng.
Mặt khác, ta lại có thể viết
17


$2 m

—

a l

—

[(a 2 —

а з) +

( a 4 — ft5) +

... +

(a 2m-2

—

^ 2 m -l)

+

a 2m\-

Do đó, s2m < aỵ với mọi m. Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu chuẩn đơn
điệu. Từ đó, nến lim s2m = s thì với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên
m —> o c

Ni
dương N[ đế với mọi m > —— ta đều có
\s2m — s \ < “ ■
Lại vì lim an = Ü nên với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N 2 để
n —>00

với mọi n > N 2 cũng có

Đặt N = max{7Vi, N 2 } thì với mọi n > N ta có
Isn — sị < —; với n chẵn.
1

I

2’

Với n lẻ thì n + 1 chẵn nên ta cũng có
s n — s \ — | 5 H+1 — s — ( ln + 1| <

| 5 '/ỉ+ l — s | +

Iữ ' / t + l | <

“

+

“

— £■

Như thế, với mọi n > N ta nhận được
1
Isn - s\ < £-.

Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s. Chuỗi
n —Ï 0 0

đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lí 1.9 gọi là chuỗi Leibniz.
Vậy chuỗi Leibniz hội tụ.
1.1.3.3. C huỗi hội tụ tu y ệ t đối và chuỗi bán hội tụ
+00

Đ ịn h nghĩa. Chuỗi số ^2 an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
n=i
+ 00

n=1

+00

|ữn| hội tụ. Khi chuỗi

n= 1

+00

an hội tụ nhưng chuỗi

+ ОС

thì chuỗi ^2 an được gọi là bán hội tụ.
n=1
18

n=1

lfln| phân kỳ


Đ ịn h lý 1.10. Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.
+ 00

C h ứ n g m in h . Nếu chuỗi ^2 \an\ hội tụ thì theo định lý 1.1, với mọi
71= 1

£ > 0 tồn tại số nguyên dương N để với mọi n > N và mọi p G N* ta
có đánh giá
1^71+2 !

lQ'n+2 “1“ ••• “1“ ^n +pl — |^n+l|

•••+

•

+ 0C

Như vậy, chuỗi ^2 an hội tụ theo định lý 1.1.
71= 1

+ 00

Y

V í d ụ 1.6. Chuỗi ^2 (—l ) n+1— hội tụ theo dấu hiệu Leibniz (định lý
n=1
^
+ 00

ỵ

+ 00

1.9) nhưng chuỗi ^2 —phân kỳ. Do đó chuỗi ^2 (—1)”
n=1 ^

n=l

ỵ

— là bán hội
^

tụ.
V í d ụ 1.7 Chuỗi £
n = l

n z

Isin 77,2 1
1
,
_ +2^ 1
_ +2? Isinnxl
Ta c ó ----- — < —•, ta đã biêt chuỗi 2J ^ 7 hội tụ nên chuỗi
n2
n2
n=l n 2
■
n=1
n2
~j~°°

s in

ỴIX

hôi tu. Vây chuỗi Y1 — 0— hôi tu tuyct đối.
n =1

n2

1.1.3.4. C ác tín h chất của chuỗi hội tụ
+00

T ính chất 1 (tính chất kết hợp). Nếu chuỗi ^2 an hội tụ và có tổng
11 = 1

là s thì chuỗi
(ữi + a 2 + ... + anị) + (ani+i + a „ 1+2 + ••• + (In.2) + •••

+ (^7ifc_x+ l + ữnfe_1+2 + ••• + a>nk) + •••;

(*)

cũng hội tụ và có tổng là s.
C hứng m inh. Gọi t k là tổng riêng thứ k của chuỗi (*) và sn là tổng
+00

riêng thứ n của chuỗi Y1 an- Ta có
n= 1
tk

^ĩik ’

19


Do đó, từ lim sn = s suy ra lim tỵ = lim snk = s. Vậy ta có điều cần
n —>00

'

?г—»00

?г—»oo

chứng minh.
+00

T ín h chất 2 (tính chất giao hoán). Nếu chuỗi số

an hội tụ tuyệt
n= 1

+ 00

đối và có tổng là s thì chuỗi ^2 bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy ý
71 — 1

+ 00

các số hạng của chuỗi ^2 an củng hội tụ và có tong bằng s.
n= 1
+ 00

+00

C h ứ n g m in h . Vì chuỗi ^2 an hội tụ tuyột đối ncn chuỗi ^2 \an\ hội
n=1
11=1
tụ. Do đó, theo định lý 1.1, với mọi £ > Ü tồn tại số nguyên dương 711
để
X/ \ai\ < ọ
iE F

^

với mọi tập con hữu hạn F с {n G N : n > Uị}.
+00

Gọi sn và tn lần lượt là tổng riông thứ n của chuỗi ^2 an và chuỗi
n= 1
+ 00

E bn11=

1

Giả sử lim sn = s. Khi đó tồn tại n -2 > 721 sao cho với mọi n > n 2

Chọn n 3 > n 2 sao cho các số hạng a b a 2,

an2 có đủ mặt trong các

số hạng 61 , b2 ĩ ồ„3. Khi đó với mọi n > ra3, ta có
\tn

^1

\tn

5 П()

snị)

s\ ^ Itn

s ??0I|
s\

£

-

£
+

-

s.

Vậy ta cũng có lim t n = s. Định lý trôn chỉ đúng với chuỗi hội tụ
n —> ОС

+ 00

an bán hội tụ thì ta có thể thay đổi

tuyệt đối. Còn nếu chuỗi số
n=i

thứ tự của các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng
bằng một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kỳ.

20


1.2

C huỗi hàm số

1.2.1

M ộ t số k h á i n iệ m cơ b ả n

Đ ịn h nghĩa. Cho dãy hàm (ĩ/n(a:)} cùng xác định trên tập X с R.
Gọi tổng vô hạn
щ (х ) + u 2(x) + ... + u n(x) + ... = X) un(x)

(1.7)

n = l

là một chuỗi hàm xác định trên X
+ Hàm un(x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi hàm.
+ Hàm sn(x) = Uị(x) + u2(x) + ... + u n(x) gọi là tổng riêng thứ
n của chuỗi hàm.
+ Điểm X E X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7)
nếu dãy tổng riêng {sn(a;)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này.
Nếu X q là miền hội tụ của dãy {sn(x)} thì ta cũng gọi X q là miền hội
tụ của chuỗi (1.7). Nếu sn(x) —y u(x) trôn X q thì ta cũng viết
un(x) = u{x)]x G Xo
11=1
và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm.
Đ ịn h nghĩa. Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ điểm trên X nếu với
mỗi X G X và với mọi £ > 0 đều tồn tại một số tự nhiên щ = Щ (e, x)
phụ thuộc vào

£

và

X

sao cho với mọi n > Щ ta có
+OC
E uk 0 ) < £.
k= 'n + \

Đ ịn h n g h ĩa . Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên miền X
nếu các dãy tổng riêng của nó hội tụ đều trên X . Nói cách khác, chuỗi
hàm số (1.7) hội tụ đều trôn X neu với mọi £ > 0 đều tồn tại một số
tự nhiên щ = щ (г) chỉ phụ thuộc vào £ sao cho khi n > Щ ta có

21


+ oo

uk (x) < e; với mọi X 6 X .
k= n + 1

1.2.2

C ác tiê u ch u ẩ n hội t ụ đ ề u c ủ a chuỗi h à m số
+ oo

Đ ịn h lý 1 . 1 1 (tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm, số

un{x ) hội tụ
n = 1

đều trên tập X khi và chỉ khi với số £ > 0 cho trước tồn tại số tự
nhiên n Q= 710(£) (không phụ thuộc vào x) sao cho với mọi n > n 0 và
mọi số nguyên dương p ta có
|sn+p(a;) — s„(x)| < E\ với mọi X £ X.
+ 0C

C h ứ n g m in h . T hật vậy, theo định nghĩa chuỗi hàm ^2 un{x ) hội
11= 1

tụ đều trên X đến tổng S(x) của nó khi và chỉ khi dãy hàm tổng
n

ricng Sn(x) =

u k{x ) hội tụ đều trên X đến S(x). Theo tiêu chuẩn
k=ì
n

Cauchy vồ dãy hàm số ta có dãy hàm tổng ricng S n(x) = ^2 uk(x)
k=1
hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi với £ > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên
n 0 = ra0(e) sao cho với mọi 71 > n 0 và với mọi p £ N* ta có

|sn+p(x) — sn(x)| < £\ với mọi X £ X .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
+ oo

Đ ịn h lý 1 . 1 2 (tiêu chuẩn Weierstrass). Cho chuỗi hàm, số ^2 un(x).
n = 1

Nếu với mọi số nguyên dương n ta có
\un{x)\ < Cn\ với mọi X £ X
+ oo

và chuỗi số

Cn hội tụ thì chuỗi hàm đãcho hội tụ tuyệt

đối và đều

n = i

trên X.
C h ứ n g m in h . Với mọi X £ X theo dấu hiệu
+ oo

+oo

un{%) và

số
n = 1

K ( z ) | hội tụ. Đặt
11= 1

22

so sánh ta cócác chuỗi


u(x) = J2 un(x) và ơn = Y j [un(x)\.
11=1
n= 1
Vì chuỗi

n=1

Cn hội tụ nên \/e > 0, 3 N : Vn > N, \/p e N*, ta có
C n+1 + C n+2 + ... + с„+р < £.

C h o p —У (X) tel đ ư ợ c

+ 00

C n +1 = C n +1 + C n+2 + ... < e.

n=1
Từ đó, với mọi n > N
n
u (x ) uk(x )
k=1

+OC
+ 00
I ] un+i{x) < E \un+i{x)\
i=1
i=1
n

ơ(x) - 12К + г О ) |
i= 1

11

+OC

<
i= 1

cn+i<£.
11

Do đó, chuỗi ^2 u k{x) hội tụ đều đến u(x) trên X và chuỗi ^2 |ĩ/jfe(a;)|
k=1
k=l
hội tụ đều đến ơ(x) trên X .
™
1 ~ 1
'
cosnx
V í dụ 1.8. Cho chuôi hàm sô 2J
ri n 2 + x ‘
Bởi vì
1 , 4
m
< — Vn, \fx E R

lcosnxl

+OQ ị
và chuỗi 5^ —- hội tụ ncn chuỗi đã cho hội tụ tuyột đối và đều trôn
= 11
71 =

7V

+ ЭО

V í d ụ 1.9. Chuỗi hàm số ^2
/— hội tụ tuyệt đối và đều trên [—1; 1]
11=1 n ự n
vì ta có

I 111
Tl^/n

1

— - = < — - = ; V n , V : r e [ - 1; 1]
+ ОС

Пу/П

^

và chuỗi Ỵ2

hội tụ.

n = l 77/2

Đ ịn h lý 1.13 (dấu hiệu Dirichlct). Cho hai dẫy hàm {an(x)} và
{bn(x)} cùng xác định trên tập X . Giả thiết
23


+ OC

(i) Dẫy tổng riêng sn(x) của chuỗi hàm

an(x ) bị chặn đều trên
n= 1

X , cố nghĩa Ị,à tồn tại số M > 0 sao cho
E ak{x) < M ; V n , V x 6 X .
k=l
(li) Dầy hàm {bn(x)} đơn điệu, có nghĩa là với mỗi X G X dẫy bn(x)
Ị,à dãy số đơn điệu và dãy hàm, {bn(x)} hội tụ đều trên X đến 0.
+ oo

Khi đố chuỗi hàm ^2 an(x)bn(x) hội tụ đều trên X .
71 — 1

C h ứ n g m in h . Ta có thể xcm ( 6n(x)} là dãy đơn điộu giảm và dãy
hàm {òn(x)} hội tụ đều trên X đến 0.
Khi đó với £ > 0 tồn tại số tự nhiên n 0 = n 0(e) sao cho
0 < bn(x) <

> ™o,Vx G X.

Từ bất đẳng thức này đồng thời kết hợp với giả thiết của định lý ta
nhận được
n + rn

E bk{x)ak(x)
k=n

- b n(x)sn-i(x ) + [ònO) - 6n_i(x)]sn(x)| +
... “h ịbn_\-m—1(3?) bn+m (3?)] s??-|_m—1 (x) H- ^71+(3?) sn-|_m(3?)
< M[bn(x) + (bn(x) - bn+1(x)) + ... + (bn+m. ị ( x ) - bn+m(x)) + bn+m(x)]
= 2Mbn(x) < e;\fx e X,Mn > n 0,Vm £ N*.
+ OC

an(x)bn(x) hội tụ đều trên X .

Vậy chuỗi hàm
n= 1

Đ ịn h lý 1.14 (dấu hiộu Abcl). Cho hai dãy hàm {an(x)} và ( 6n(x)}
cùng xấc định trên tập X . Giả thiết
+00

(?') Chuỗi hàm,

ữn(x) hội tụ đều trên X .
n= 1

(ii)

Dãy hàm {bn(x)} đơn điệu với mọi X E X và bị chặn đều. Có

nghĩa là với mọi X G X , dãy số bn (x) là dãy đơn điệu và tồn tại số

24


А/ > о sao cho
|0„(ж)| < А/; Vn 6 N*,Vx е X.
+ 00

Khi đó chuỗi ^2 an(x)bn(x) hội tụ đều trên X .
71= 1

C h ứ n g m in h . Từ giả thiết (i) với £ > 0 tồn tại số tự nliicn По = щ(е)
sao cho với mọi n > Щ và mọi số tự nhiên m ta đều có
n+ m

аЛ х )
k= n+ 1

< ử ’y x € X -

trong đó
Sn =

CLk{x).
k= 1

Đặt
ơ ^ x ) = an+1(x) = sn+l(x) - sn(x)
ơ2(x) = an+l(x) + an+2(x) = sn+2{x) - sn(x)

ơm(x) = an+l(x) + ... + an+1(x) = sn+m(x) - sn(x),
Khi đó
ЗА/
và

11=ỉ

aỵ(x)bk(x) = bn+ìai + òn+2( a 2 —Qfi) + ... + bn+m(am — a m_i)

( ^ 7 1+ 1

b'n + 2 )

“b

ip n -\-2

^ 7 i + 3 ) ^ 2 H- • • • “ b

—1

b'11 + ĩn

)^ 7 М — 1 “ Ь

Ьц + т

•

Bây giờ ta giả sử {bn} là dãy hàm đơn điệu tăng (trường hợp là dãy
hàm đơn điệu giảm được chứng minh tương tự). Khi đó với mọi n > Щ
và với mọi n 6 N* ta có
25