Khoá luận tốt nghiệp bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức cauchy đảo ngược

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHỎA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
C huyên ngành: Đ ại số

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, khóa luận tốt nghiệp của em
đã hoàn thành.
Đe hoàn thành được đề tài nghiên cứu này, em xin gửi lời cảm ơn
đến các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện cho em trong quá trình
tìm kiếm tài liệu và đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc với thầy Nguyễn Huy
Hưng người đã trực tiếp hướng dẫn khóa luận cho em.
Lần đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, do khả năng
còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không có nhiều, khóa luận tốt

nghiệp của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót.Em rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Loan


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng em, do chính em
nghiên cứu và hoàn thành dưới sự giúp đỡ của giảng viên hướng dẫnthầy Nguyễn Huy Hưng, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của mình không trùng với bất cứ kết quả
của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Loan


M Ụ C LỤC

MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài...................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứ u ............................................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứ u ........................................................................ 1

CHƯƠNG 1. BẤT ĐẢNG THỨC CAUCHY.............................................2
1.1. B ất đẳng thức Cauchy......................................................................... 2
1.1.1. Với hai số không â m .....................................................................2
1.1.2. Với n số không â m ....................................................................... 3
1.1.3. Bất đẵng thức Cauchy mở rộng hay định lý tổng quát về
trung bình cộng và trung bình nhân.................................................... 3
1.2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm ...................3
1.2.1. Chứng minh của Polya.................................................................3
7.2.2. Chứng minh băng quy nạp toán học............................................4
1.2.3. Chứng minh của Cauchy.............................................................. 6
1.2.4. Một cách chứng minh khác...........................................................8
1.3. ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy................................................. 9
1.3.1. Chứng minh bât đắng thức.......................................................... 9
1.3.2. Tìm cực trị....................................................................................19
1.3.3. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình..........................................................................................25
1.3.4. Úng dụng trong vật lý.................................................................32
CHƯƠNG 2.................................................................................................. 37
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC........................................37
2.1.

Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm............... 37


2.2.2. Các bất đắng thức Cauchy đảo ngược với ma trận và hàm
toán tử đơn điệu.....................................................................................40
2.3. Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho chuẩn bất biến đơn vị và
ứng dụng.................................................................................................... 44
Định lý 3 :............................................................................................... 44
2.4.

Bất đắngthức Cauchy đảo ngược với nhiều hơn hai ma trận ...49

KẾT LUẬN...................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO

52


M Ở ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức cổ điển hay
và quan trọng bậc nhất. Không chỉ được sử dụng nhiều trong chứng
minh bất đẳng thức, nó còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
của Toán học. Ngược lại, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược lại là vấn đề
khá mới, chưa nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Bản thân em cũng có
đam mê và thực sự quan tâm tới hai bất đẳng thức này.
2.Mục đích nghiên cún
Nghiên cứu các cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy, những ứng
dụng cụ thể của bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Cauchy đảo
ngược.
3.ĐỐÌ tượng nghiên cửu
Bất đẳng thức Cauchy và Cauchy đảo ngược
4.Phưotig pháp nghiên cún
- Đọc, nghiên cứu tài liệu
- Tổng họp kiến thức
- Tổng hợp, sắp xếp, phân loại, giải bài tập

1

C H Ư Ơ N G 1. BẤ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C A U C H Y

1.1.Bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng
và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như
sau:“Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng
trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân
khi và chỉ khi n số đó bằng nhau”.
1.1.1. Với hai số không âm
Cho hai số không âm a, btSL luôn có:
^> 4 ã b

2

Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b .
Hệ quả 1:
Neu hai số dương thay đối nhưng có tống không đối thì tích của
chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Chứng mình
Cho 2 soa, b> 0,

s = a + b, s không đổi
s2
=> 2\fãb < s <=> ab < —
4

s2

ab = ——

4

a= b

Ỷ nghĩa hình học:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện
tích lớn nhất.
Hệ quả 2:
Neu hai số dương a, b thay đổi nhưng tích không đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

2


Thật vậy, cho a, b > 0, p = a b , p không đổi
=> a + b > 2 yfp
=> a + b = 2yfp <^> a = b
Ý nghĩa hình học:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu
vi nhỏ nhất.
1.1.2. Với n số không âm
Cho n số không âm ỡị,

an, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiứ, =a2 =... = an.
1.1.3. Bất đẳng thức Cauchy mở rộng hay định lý tổng quát về trung
bình cộng và trung bình nhân
Cho n số không âm a]9

ỡ„và n số thực dương /?p

.Khi đó:

^

/7j + p 2 + ...+ /?„

)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiữ, =a2 =...= an.
1.2.ChÚTig minh bất đăng thức Cauchy cho n số không âm
1.2.1. Chứng minh của Polya
n
=> f \ x ) = ex-x- \
f \ x ) = 0 o e x-' —1 =0<=> JC= 1

3

Pn


Bảng biến thiên:
- ao

X

+00

1

/'(*)+
+00

f(x)

+00

0'
/( x ) đ ạ t giá trị nhỏ nhất tại x = \ v à / ( l ) = 0. Do đ ỏ , x < e x 1 với mọi
số thực X.

(1)
an. Áp dụng bất đẳng

Xét một dãy các số thực không âma,,
thức (l)ta có:
e ụ ...e>1 = e ụ
M M
- K / I ' a

\

1

a

"

(2)

M
2

1

a

1

n

ữ

.

+

a

2

+ . . .

+

a

— - I = —-----—------- ỉỉ--n = n - n = 0

M à— —l + — —! +
JU

M

/u

JU

Do đó, từ (2) ta có:
ỔId' ^ •«Ổ

< e — 1 « a ìa 2...an < juil
ũị + 0*2

Cl,
n

1.2.2. Chúng minh bằng quy nạp toán học
Cho X> 0, ta có:
x " +l - [n + l) X + n

= x ,,+l - X - n x + n

=xỊx"
=x(x-l)^x"*' +x"~2+ ... + X+ 1j-;z(x -l)
= ( x - l ) ( x " + x ”_l + ...+ X 2 + x j - / z ( x - l )

= (x-l)(x" +X”' 1+ ... + X—/2^
= (jc-l)2( y í-, +2x"-2 + ... + / í )>0

4


Đặt
ữị + ữ0 + ... + Ö
ũ, + ữj +... + ũ
? -;x:= -> 0
a :=—----- iL- ----- — ; b := —— —-----n
b
n+1
Từ đó:
í

Y 7+1

—I

Vb)

—(?7 + 1)—+ 72> 0
y

Jb

Ể7/?+l —b n

+ ữ 2 + ... + tì!,7+i ) + n b n+]

<3, + <32 + . . . + g „ + ,

0

X /7 + 1

> b n (öj + a 2 + ... + a n+Ị ) —n b n+x

72 + 1

b1

I + ỐỈ2 + ••• + ^/7+] —7ỉ£>)

>a„ |( đ' + đ 2 + - + đ«y
/ỉ+
/2
Ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n
• Với n = 1, bất đắng thức hiển nhiên đúng.
• Giả sử bất đắng thức đúng với n = k , tức là ta có:
/

_ \Ấ:

ữị + $2 “
I“••• “
I“ũỵ

Theo bất đẳng thức (1) ta có:
NẮT+l

/
> aẦ+1

&+1
Từ đó ta suy ra :

k+ì
=>Bất đẳng thức đúng với n = k + ì
=>Bất đẳng thức đúng với mọi n > 1

5

_
_ \k
ữị + ữ2 "i"... "1"

(1)


1.2.3. Chứng minh của Cauchy
- Neu dị =a1 =... = anth ì:
at =n[i

n
=>Bất đẳng thức đúng.
-Các a.(i = 1,n) là khác nhau
• Với n = 2, ta có:
a{ ^ a2 => ax - a2 ^ 0

<=> (ứ( - a2)2 > 0 <^> af - 2<2,<32 + cíị > 0

<=> ứị2 + 2<2ịú!2 + a ị > AaỴa2
<=>(ứị+ớ2) >4ớ,a2 <=> ——-—
•

2

Với n = 2k , k nguyên dương, ta chứng minh bằng quy nạp toán

học theo k. Với £ = lthì n = 2,bất đẳng thức đã được chứng minh ở
trường hợp trên. Giả sử mệnh đề đúng với n = 2k, ta chứng minh mệnh đề
đúng với n = 2k+]. Ta có:
a \ +

ứ 2

••• +

ứ 2 fc

2*

ớ 2*+l

~+

ỡ 2*+2 +

•••

ã 2 k+1

2*

2

2

(1)
( 2)

ở bất đẳng thức (1), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

6


Ở bất đẳng thức (2), dấu đẳng thức chỉ xảy ra nếu 2 giá trị trung bình
bằng nhau. Vì không phải tất các dị ịi = 1, 2k+ij đều bằng nhau nên dấu
đẳng thức không thể xảy ra cả ở (1) và (2)

=>Bất đẳng thức đúng với n = 2k+i
=>Bất đẳng thức Cauchy đúng với mọi n = 2k, k nguyên dương.
•

Với n< 2k , k nguyên dương: Neu n không phải một hàm mũ tự

nhiên cơ số 2 thì nó sẽ luôn nhỏ hơn một số nào đó biểu diễn theo hàm
mũ tự nhiên cơ số 2 vì chuỗi số 2,4,8,..., 2k ..không bị chặn trên. Không
mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn
hơn n ,nếu có n số ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng ỊẤvà có mở
rộng như sau:

Ta có:
M=

ax+a2 + ... + an
n
m
(aj+ a2+... + a;ỉ)
m
ữị + ũ,2 + ... + 3. +

m

1

m -n
(aj-ha2+ ...a;ỉ)
n


Như vậy ta có:
ụ > a Ảa 2...a njum~ì
=> //" > a xa ^ ...a n

=>JU> ỹỊãia 2...a l
Định lý được chứng minh.
/.2.4. Mơí cấc/ỉ chứng minh khác
Đặt A

ũ, + ÚL + ...ữ.

ữịŨ2

**

./r+1

< 1^+1

Ta chứng minh rằng

VB k+\ J

Ta có :

\t+i

Ả'+l
r kAk +ak+, V'
*+1

V^+1 y

k+ 1

\

k+\

y

r

V
V^A' y

a ^ '+l
k + - ằ±L
\
'a '
k +\
\ a k+1 y

V

y

Ak (í k + a
ứẢ-+1 V k +1
Với

a

f*+aY+1
k +1

Y+1

> 0, ta có:
k+l
a-lY

1+
> 1+ (& +1)——-v ì

k+1

k

8

1

ỚT-1
> -]
k +1


1.3. ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy
1.3.1. Chứng minh bất đẳng thức
Đứng trước một bài toán chứng minh bất đẳng thức, ta có khá nhiều
phương pháp có thể sử dụng để giải, một trong những phương pháp đó là
sử dụng các bất đẳng thức cổ điển. Bất đẳng thức Cauchy là một trong
những bất đẳng thức cổ điển được sử dụng rất hiệu quả và linh hoạt. Ta
xét một số ví dụ.
Bài l:Chứng minh rằng với các số dương a, b, c bất kỳ ta có:
ab

bc

ca

a+b

b+c

c+ a

<

a +b +c

2
(ĐHQGHN1999)

Giải
Do a, b, c > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(a + b Y

^ _b + c
Tương tự:

bc
4
ac

b +c
a +c


Cộng vế với vế ta được:
ab

a+b

+

bc

ac

b+c

a+c

a +b b +c a +c a +b +c
— -— + —-— H--- — = ----- ----4
4
4
2

Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉkhi

a = b = c .

Nhận xét: Đe chứng minh bất đẳng thức đề bài cho, ta đã chứng
minh 3 bất đắng thức riêng là :
ab

a +b

bc

b +c

ac

a +c

a+b

4

b+c

4

a+c

4

Với một loạt ví dụ dưới đây, ta sẽ thấy rằng, cách chứng minh sử
dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đẳng thức riêng, từ đó
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là cách làm khá quen thuộc và hiệu
quả.
Bài 2:
Cho tam giác ABC các cạnh a, b , c và <2 + b + c = 2 S . Chứng minh
rằng:
ab
bc
+
S -c S -a

ca
>4s
S -b

(*)

Giải
s = X+ ỵ + z
x := s-c > 0
a = X+ z

Đặt y : = S —a> 0

b = x+ ỵ

z:= s-b > 0

c = y + z

( * + £ ) ( • * + y ) ( * + )7) ( ) ; + £) ( x + z ) ( y + z )
,
----- -J + ±------- ^ ----- - > A ( x + y + z )
^
^
+^

/ *\

X

y

z

xy
Vì — , — , — dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
X

y

z

10


xy

y

Tương tự, ta có:
— + — > 2x
y

z

— + — > 2y
z

X

Cộng vế với vế, ta có:
ỵz

2

zx

y

V

xỵ

>2x + 2y + 2z

yz zx xỵ
<=> — H--- - + — > x + y + z đúng
X
y
z
* ,

_

Vậy (*) đúng.
Bài 3:
Cho a , b, c dương thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 1.Chứng minh rằng:
a
3
>

+
+
b2 +c2 c2 + a2 a2 +b2

(*)

Giải
a
b
c
3V3
( ) <=> — — r H— —r H— —7- > 12LL
w
ỉ —a 1
- b 2 1 —c 2
a2

b2

373

c2

a ị l —a 2^ b ị ì —b 2^c ( l —c 2)

2

Vì 2ứ2, 1 —ứ2 dương, ápdụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số
2a2, \ —a 2, ì —a 2 ta có:

11


2a2(l - a 2^ị\ - ứ2) <

l a 2 + \ - c r + \ - a 2'\

_8_

27

<=> 2a2( ì - a 2) < —
v
'
27
o a2( \ - a 2^ < — o a { \ - a 2^< — .
27
a
3J 3 :
<=>—7——7T ^ -^—á
a \\-a j
2

0)

Tương tự ta có:

b ị ì - b 2)

(2)

2

c2

3-S

c(l —c2)

(3)

2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
a2
b2
c2
33J-S
3 ,
"7-------7------- 7\
TY —------^
T,— ~ÕT +-----7--------r
t t : —~ r H+----_ r:—
-

a í( l - a )

è ( l - £ 2)

e(l-c)

2 '

2 ,2

2^_ 3^3

c )—

'

Bài 4:
Với A , B,

c là 3 góc 1 tam giác bất kỳ, chứng minh rằng:

1
^
sinz A

1
T
sinz B

1
sinz c

1
>

1
1
2A
2 B
2c
cos
COS — cos —
2
2
2
— - + --------- ~ ^ r + —

Giải
Do sin2 A, sin2#, sin 2C > 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
1 1 >2
2
2
2
>> ---------------------= ---------------------------------1------—
> -----------sin 2A sin2 B sin A sin B ( sinA + sinZ?Y ( . A + B
A -B
sin--- --- C O S ---—

Y

V

12

2

2


c
V

co s—COS—2

2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1
sin2 A sin2 B
sin A = sin B
o A =B
COS

A -B

Tương tự:
1
sin B
-—

1
sin c

+ —

-—

> —

2

—

2A

COS

1 + — Ị—
1 > — _2
_—
sin c sin A
2 B
cos
Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được:
1
1
1
A— + — ^ +
sin A sin B sin

1

c

2

A

cos —

2

1
1
2B
2c
cos — cos —

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi A = B = c , hay tam giác ABC
đều.
Đôi khi cùng một bài toán bất đẳng thức, ta có thể sử dụng bất đẳng
thức Cauchy để chứng minh theo nhiều cách khác nhau.
Bài 5:
Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn:—!— I— !— I— !— I— ỉ— >3
1+ a 1+b 1+ c ì + d

(*)

Chứng minh rẳng: abcd < —
(VĐ Toán Rumani)

13

Giải
Cách 1:
1-

1+ a

1+6

+ 1-

+

' 1 - 7ì +7 -d '
V

b
c
ế/
H-------- 1
1+b 1+ c 1+d

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
b

c
d
„ I
z?cd

H— -— I— - — > 33/
1+ 6 1+ c 1+ d
V(l + WƠ + c)(l + 1

bed

1+ ũ

(1 + b )(\ + c)(l + í/)

Tương tự:
1

„ /
>33

1+

tfcd
(1 + ứ)(l + c)(l + í/)

1

„ /
>3.3
1+ c
V (l + <2 )(l + fr)(l + d )
1
1+ d

V (1 + ứX1 + /?X1 + c )

Nhân vế từng vế ta có:
'ềXabcd
(l + ứ)(l + £>)(l + c)(l + í/)

1
(l + ứ)(l + £>)(l + c)(l + . . . 1
ữ/?cí/ < —
81

Các/z 2:
Đặt

A = —*—
1+ứ

=

(0< A < l)
y
J

A

B = -^— ^ b = ]—^ \+ b
B

(0 < B < \ )
v
'

14


(0 < c < \ )

c = —!— => c = ^ —^~

c

1+c

v

D = -^ — ^ > d = ]- ^ 1+ d
D

'

( 0 < D < l)
v

'

\ - A \ - B \ - C \ - D

1

(**) <=>----- < —
A

B

c

D

81

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

(1-A)(l-*)(1-C)s

í1
1- A
A +I 1
1 —B
z? +[ 1
1- n
c

7

27

Tưong tự:
(1_ A)(1_ b )( i _ jD) < | 1

Nhân từng vế ta có:
(1-A) (1 -ổ ) ( l - c ) (1-D ) <

(.ABCD )3
27

= > (1 -A )(1 -S )(1 -C )(1 -D )s

ABCD
81

(***) đúng do đó (**) đúng.
Các/z i :
(*) <=> (l + z?)(l + c)(l + ứf) + (l +
+ (l +

+ c)(l + í/)

+ í/) + (l +

> 3 (l + fl)(l + fc)(l + c)(l + ế/)

15

+

+ c)

1+ i? + c + ứí 4- be + bd + cd + bed + l + ứ + c + í/ + Í7C + Í7ứf 4- cd 4- ữCúí 4-1 + ữ + b

+ d + ab + ad + bd + abd + \ + a + b + c + ab + bc + ac + abc
> 3(1 + a + b + c + d + ab + ac + ad+ bc + bd+ cd + abc + abd + bed + acd + abed)
o l >ab + ac + ad+bc + bd + cd + 2abc + 2abd + 2bed + 2acd + 3abcd

Áp dụng bat đẳng thức Cauchy:
ab + ac + ad +bc + bd + cd> 6 %Ja3b3c3d 3
abc + abd + bed + acd > 4yja3b3c3d 3
=> VP( 1) > 6\la3b3c3d 3 + sịja3b3c3d 3 + 3ứZ?cd
> 6(yjabed)2 + 8(yjabed y +3(V ^c5")4
Đặt/ = ịỊabcd
(1) < ^ 1 > 6 /2+8/3+3 í 4
<» 3/4 + 8í3 + 6í2 -1 < 0
<^>(3/-l)(r+ l)3 < 0
< = > 3 f-l< 0 vì í + i > 0
3

ịỊãbccĩ < —o abcd < —
3

81

Các/z 4:
(*)<=> 1— — +1 — — +1 — — +1 — — < 1
1+ 0
1+/?
1+ c
1 ~\~d
a

b
c
d
0 —— +
—— + ------- < 1
1 + ữ 1 + Z? 1 + c 1 + ú?
<» (\ + a + \+ b + \ + c + \ + d ) { - ^ — + - ^ — + -^— + - ^ —
v
' ụ + ứ 1+Z? 1+ c \ + d )
Áp dụng bất đắng thức Bunhia-copxki:

16

(1)


Ạ +a .^ Ê = +\Ị\ +b. ịHL + y/l +c.—^ — + *J\ +d. ^
•\/l + £ỉ
Jĩ+ĩ?
\l\ +d
Vĩ + c
< (\ + a + 1+ b + 1+ c + \ + d)

+ —— + ■ ■+
1 Cl 1~\rb 1+ C‘ 1+ í/

^ t í + /? + c + í / + 4
<£í> Ị sfci + •\/^" + •\fc + •\/í/' Ị 5íứ!+Z ? + 6, + í/ + 4

Cl b -\- c (ỉ + 2\[ãb + 2\Ịac + 2yịcid + 2yfbc + 2yịbíỉ + '2,\fcd 5í£Z+ /? + c + £/ + 4

yfãb + ^ịãc + \ỉãd + yfbc + yfbd + 'Jed < 2

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái:
+ Vcd > 6]ị /a 3b3c3d 3 = 6ịỊabcd

+ >/õc + Võd + Vfrc +
(1) => 6

<2

<^> \fabcd < —
3
<^> abccl < —

81
Bài 6:Cho n số dươnga., / = 1, n. Chứng minh rằng:
1

1

1
>n'
a/1y

Giải
X

r o

Ap dụng bât đăng thức Cauchy:
ứ, +ứ2 +... + ứw> ỉỉjaìa2...an
1 1
— +— +
ax a2

1

1 1 1
> n„
a..
Ma, 2 a.n

Nhân vế với vế ta có điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiứị =a2 =... = an.
Nhận xét: Bất đẳng thức này được chứng minh đơn giản nhưng nó
lại được sử dụng khá nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Ở đây ta đưa ra 2 ví dụ cụ thể.

17


Bài 7:
Cho a , b, c > 0 thỏa mãna + b + c = l. Chứng minh rằng:
a

b

c

3
<—
c+1 4

a + 1 z?+ l

(*)

Giải
(*) <^> 3 -

í

1
ũ +1

+

1
/? +1

+

1
c+1

<—
4

1
1
1
<=> — + ^ — + — > 9
ữ + 1 £>+ 1 c + 1 4
Ta có:

ữ+1
a + 1 z? + l

+

+1

+

1
c +1

>9

9
>—
c+1 4

(**) đúng do đó (*) đúng.
Bài 8:
Cho a, b, c> 0. Chứng minh rằng:
1
1

1
iíì
1 1
-------------- 1--------------- 1-------------- ^ — — I------ 1—
2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 ya b c J
Giải
Ta có:
+ b + c) -----h
=> 2a + b + c >

1

>4

1
1
+
2a b + c

1
1
---------------< — í 1 +
2a + b + c

\

4V 2 a

o

b +c )

1 ~ 1
1
< — ----1—
4 _2a 2

Tương tự:

18

1
1
1
<— +— +
8a 16b 16c


1
a + 2b + c

16a

8b

16c

1
1 1 1
-------------- < --------1-------- 1-----

a + b + 2c

16a

16b

8c

Cộng vế với vế ta có:
1

1

1

+ ---- ----- + -----

ci+b + c

2

a + 2b + c

<

lí ì

—

a+ b + 2c

1
41 a

1
b

c

1.3.2. Tìm cực trị
Bất đắng thức Cauchy có ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của hàm số, giải một số lóp bài toán cực trị về hàm số như
tìm khoảng cách nhỏ nhất, lớn nhất, diện tích, chu vi lớn nhất, nhỏ nhất
của hình tạo bởi các điểm.
Bài l:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F=

ab^fc —2 + bc%/a-3 + a c ^lb -4
abc

với a> 3, b> 4, c> 2.

Giải
_ y/c —2 \Ịa - 3 y/b —4
F = — -----+ — ----- + — ----c
a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

(c ^ +2>ự2(c-2) ^ v ^ 2<

Tương tự:

19

2-Jĩ


v ^ 3 < ^

273
2-JÃ

4

' Ị c - Ĩ 4 0 ^ -Jb^Ã
1
1
1
=> F = — -----+ — -----+ — ----- < - = + — = + a
b
2V2 2^3 4
c-2 = 2

_L _L i

=>F„=-

<2 = 6

a - 3 = 3 <=>

b - 4 =4

c=4

Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

y

cx + d

trong đó a, b, c, d là các hằng số.
Giải
Ta có:
bc

yfãx + b

a

í

-

i

r J

á ----

V

kY , kì
d ----

CX + —

V

-

CX + -

a

<

a

, bc

+ CÌ- —

a

r
bc^ị
d ----

a J

V

a )

a J

Do đó:

^Ịcix +b

1

y = ——------< —
cx + d
2

a
r
V

bc^

bc
- bc
<^>CXH---- = d ------ <^> X =
ũ

d ------

d-

2bc
a

ũ

a

Bài 3:
a. Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 8, hãy chỉ ra hình có diện
tích lớn nhất.
b. Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng 9, hãy chỉ ra hình có
chu vi nhỏ nhất.

20