Khoá luận tốt nghiệp toán bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

TRƯ Ờ N G ĐẠI H Ọ C s ư PH Ạ M HÀ N Ộ I 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ TOÁN

BÀI TOÁN CON MIỀN TIN CẬY
VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
TUYẾN TÍNH

K HÓA LUẬN T Ố T N G H IỆ P Đ ẠI H Ọ C
C huyên n g àn h : G iải tích
Người hướng dẫn khoa học:
ThS. HOÀNG NGỌC TUẤN


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện
khóa luận này.
Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn T hị Toán


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em. Trong
khi nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và
nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa
được công bố trên bất kì công trình nào khác.
Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
N guyễn T hi Toán


Mục lục
Lồi M ở Đ ầu ..

2

C hương 1. Cơ sở lí thuyết

4

1.1. Giói thiệu chung

4

1.2. Tính lồi ẩn của m iền tin cậy m ỗ rộng

5

1.3. Sự nới lỏng SD P chính xác

10

1.4. Tối ư u to àn cục và đối ngẫu m ạnh

16

C hương 2. ứ n g dụng

24

2.1. ứ n g d ụ n g vào tối ư u vững

24

2 . 1 . 1 . Bình

phương tối thiểu vững
2 . 1 .2 . Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững
2.2. M ở rộ n g và nghiên cứ u thêm

27
29
32

K ết lu ận

36

Tài liệu th a m khảo

37

1


L Ờ I M Ở ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Ngày nay, bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính đã được
quan tâm nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết lẫn ứng dụng trong thực tiễn. Mô hình
bài toán này được phát triển mở rộng từ bài toán miền tin cậy cổ điển. Bài toán miền
tin cậy, tìm cực tiểu của hàm toàn phương không lồi trên một hình cầu, là bài toán
con quan trọng trong phương pháp miền tin cậy để giải bài toán tối ưu phi tuyến. Nó
có được nhiều tính chất quan trọng ví dụ như sự nới lỏng quy hoạch tuyến tính nửa
xác định (sự nới lỏng SDP) chính xác và đối ngẫu mạnh. Với việc chọn đề tài này
em mong muốn sẽ góp phần làm rõ tính chất và ứng dụng của bài toán con miền tin
cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính.
2.

M ục đích nghiên cứu

Mục đích của bài khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh và hữu ích của bài toán
miền tin cậy cổ điển tiếp tục được thỏa mãn cho bài toán miền tin cậy mở rộng
với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính dưới một điều kiện số chiều mới. Đầu tiên,
chúng ta thiết lập rằng lớp của bài toán miền tin cậy mở rộng có sự nới lỏng SDP
chính xác là thỏa mãn mà không cần ràng buộc tiêu chuẩn Slater. Thứ hai, chúng ta
chỉ ra rằng điều kiện số chiều cùng với điều kiện Slater đảm bảo rằng một tập hợp
của các nhân tử Lagrange bậc một và bậc hai kết hợp là cần và đủ cho tối ưu toàn
cục của bài toán miền tin cậy mở rộng và cho đối ngẫu mạnh. Cuối cùng, chúng ta
chỉ ra rằng điều kiện số chiều là dễ dàng thỏa mãn cho mô hình miền tin cậy mở
rộng sinh ra từ sự sửa đổi của bài toán bình phương tối thiểu vững LSP cũng như
bài toán mô hình quy hoạch nón bậc hai vững.
3. P hư ơng p h áp nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đưa ra nội dung và tìm hiểu rõ hơn về bài toán con miền tin cậy
với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính.
4. P h ạm vi nghiên cứu
Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số điều về bài
toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính.
5. Bố cục đề tài
Bố cục của bài khóa luận bao gồm hai chương
• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về cd sở lí thuyết bao gồm: tính
lồi ẩn, sự nới lỏng SDP chính xác, tính tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh của
bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính và minh
họa chúng bằng một số ví dụ.
2


• Chương hai của khóa luận tập trung trình bày ứng dụng của bài toán con
miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính. Đăc biệt chú trọng đến
ứng dụng vào tối ưu vững của bài toán bình phương tối thiểu cũng như bài
toán mô hình quy hoạch nón bậc hai.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận
không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

3


Chương 1

Cơ sỏ lí thuyết
1.1.

Giới thiệu chung

Xét bài toán mô hình miền tin cậy mỏ rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyến
tính
(p)

min

xTAx + aTX

xeM "

thỏa mãn \\x —JCo112 < Oí,
bỊX < /3/, ỉ — 1 , . . . ,m,
trong đó A là một ma trận đối xứng cấp ( n x n ) , a , bị, JC() G M" và a , Pi e R , a >
0, ỉ' = 1 ,..., m. Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ việc áp dụng phương
pháp miền tin cậy đối với nghiệm bài toán tối ưu ràng buộc, ví dụ như bài toán quy
hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến
với các biến rời rạc [ 1 ], và bài toán tối ưu vững dưới chuẩn ma trận hoặc tính bất
định đa diện [4].
Trong trường hợp đặc biệt của (P) trong đó (bị, Pi) — (0, 0), nó là mô hình
miền tin cậy nổi tiếng, và được nghiên cứu rộng rãi từ lý thuyết đến thuật toán. Bài
toán miền tin cậy cổ điển có được sự nới lỏng quy hoạch nửa xác định (sự nới lỏng
SDP) chính xác và thừa nhận đối ngẫu mạnh. Hơn nữa, nghiệm của nó có thể tìm
bằng cách giải một hệ Lagrangian đối ngẫu. Thật không may, những kết quả này,
nói chung, không còn đúng với mô hình miền tin cậy mở rộng (P) của chúng ta.
Thật vậy, ngay trong trường hợp đơn giản nhất của (P) với ràng buộc bất đẳng thức
4

tuyến tính duy nhất, đã được chỉ ra rằng sự nới lỏng SDP là không chính xác [2].
Tuy nhiên, trong trường hợp cho ràng buộc bất đẳng thức duy nhất, đối ngẫu mạnh
và sự nới lỏng SDP chính xác thỏa mãn dưới một điều kiện số chiều.

1.2.

Tính lồi ẩn của miền tin cậy mỏ rộng

Trong phần này, chúng ta nhận được tính chất về tính lồi ẩn quan trọng của hệ
toàn phương miền tin cậy mở rộng cái mà giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu
của chúng ta về sau về sự nới lỏng chính xác và đối ngẫu mạnh.
Chúng ta bắt đầu bằng cách đặt các kí hiệu và định nghĩa sẽ được sử dụng về sau
trong bài khóa luận. Đường thẳng thực được kí hiệu bởi M và không gian Euclicle
thực n chiều được kí hiệu là M'2. Tập tất cả các vec-tơ không âm của R n được kí
hiệu bởi R n
+ . Không gian tất cả ma trận thực đối xứng cấp (n X n) được kí hiệu là
s nxn. M a trận đơn vị cấp (n X rì) được kí hiệu bởi In. Kí hiệu A y B có nghĩa là ma
trận A —B là nửa xác định dương. Tuy nhiên, kí hiệu A y B là xác định dương. Tập
bao gồm tất cả các ma trận nửa xác định dương cấp n

X

n được kí hiệu là S" . Cho

A, B e s nxn. Tích trong của A và B được kí hiệu bỏi A •B =

ị

ị

aịjbịj, trong

đó dịj là phần tử nằm ỏ dòng i cột j của A và bịj là phần tử nằm ở dòng i cột j của B.
Một sự kiện hữu ích về tích trong là A • (xx;7 ) = XTAX với mọi x G K " và A £ S'ỈX'\
Cho một ma trận A G s nxn, đặt Ker(A) := { d G R" : Ad = 0}. Với một không gian
con L, người ta sử dụng dim L để kí hiệu số chiều của L.
M ệnh đề 1.2.1. Cho f(x) = xTAx + aTx + 7 , go(x) — II* —*o ||2 —OL và gi(x) =
b j x — /3/, i = 1 , . . . , ra, A G S'ỈX", a , Xo, bi G R ” VÀ 7 , a , Pi £ R, i = 1 , . . . , m. Khi
đó, u ( / , go, g \ , . . . , g m) l à đóng.
Chứng minh. C h o ( /, sk0 , s \ ĩ .. . , s kJ e ư ( / , go, g i , . . . ,gm) với
( r \ số, skì : . . . , s i ) ->• 0 , So, Si
Bởi định nghĩa, với mọi k, tồn tại X* G M sao cho
/(/) <

| | / - * o ||2 < a + 4 , b ] x k < /3] + s \ , . . . , b m
Txk < Pm +s^ .

( 1 .2 . 1 )

Điều này chứng tỏ rằng ^ bị chặn, và như vậy, bằng cách cho tiến đến dãy con,
chúng ta có thê giả thiết rằng xk - ì X. Khi đó, chuyển qua giới hạn q1.2. lị), chúng ta
có
f ( x ) < r , \\x- x0\\2 < a + So, b]X < Pị + s \ , . . . , b m
Tx < p„ + sm.
5


Nghĩa là, (г, 50, S |,...,S W) e ơ ( / , go, g \ , • • • ,8m)-D o vậy, ơ ( / , go, g l , . . . , gm) là
đóng.

□

Ví dụ một chiều đơn giản sau chứng tỏ rằng tập ơ ( / , go, g \ , . . . , g m), nhìn
chung, không là tập lồi.
Ví dụ 1.2.1. (Tính không lồi của ơ ( / , go, g i , . . . ,gm)) Đối với (P), cho n = 1, m —
1, f( x ) = x —x2, go(jt) = x 2 — \ v àg i (;t) = —X. Khi đó, f ( x ) = x TAx + атX + r với
A = -1, a = 1 và r = 0, g o M = \ \x —*o ||2 —Oí với Xo = 0, a = 1 v àg i (jc) = b \ x —ß\
với b\ — 1 và ßi — 0 .
Khi đó, tập ơ ( / , go, g i) không là tập lồi. Đ ể thấy điều này, ta chú ý rằng
/ ( 0) = 0, go (0) = - 1 vàgi(O ) = O v à / ( l ) = 0, g o (l) = 0 v à g i (1) = - 1 Do vậy,
(0, —1,0) G u ( f , go, 8\) và (0, 0, - 1 ) G U ( f , go, g i). Tuy nhiên, trung điểm của
chúng (0, —ị , —ị ) ị u ( / , go 5 g I )• Trái lại, tồn tại X G M sao cho
9 ^ 9
1 V
1
X —X < о, X — 1 < ——v à —X < —- .
2
2
Dễ dàng kiểm tra rằng hệ bất phương trình trên vô nghiệm. Đây là một mâu thuẫn,
và do đó ( 0 , - ị , - ị ) ệ u ( f , go, gi). Do vậy, ơ ( / , go, g\) là không lồi.
Các điều kiện về số chiều sau đóng một vai trò quan trọng trong phần còn lại
của bài khóa luận. Nhắc lại rằng với mọi ma trận A £ s n, Ằmin(A) kí hiệu giá trị
riêng nhỏ nhất của A.
Đ ịnh nghĩa 1.2.1. (Điều kện số chiều) Xét hệ của hàm số f( x ) —XTAx + aTx + 7 ,
go(;t) = ||jt —xo ||2 —Of5 8i(x) —b ] X —ßi, i = 1 ... ,w, trong đó A G s nxn, a , Xo, bi €
M" rà 7 , a , ßi £ R, i = 1 ,... ,ra. Cho s là số chiều của không gian con sinh bởi
Khi đỏ, chúng ta nói rằng điều kiện số chiều thỏa mãn hệ khi
dỉmKer(A —Xmịn(A)In) > s + 1.

(1.2.2)

Nói cách khác, điều kiện số chiều khẳng định rằng bội của giá trị riêng của A nhỏ
nhất là s+1.
Nhắc lại rằng hàm giá trị tối ưu h: R w+I -> M u {+°°} của (P) được cho bởi
h(r,s]ĩ, . . . , s m)
min { /(* ) : ||x - * o ||2 < « + r, b j x < ß + Sj, i = 1 ,... ,ra}, (r,s 15, .. . , s m) e D}
+ 00,

nếu trái lại,

trong đ ó D = { (r , S \ f, . . . , s m) : I|jc — Xo112 < ОС+ г, b j x < ßi + Si , đ ố i với J c G l " } .

6


Đ ịnh lý 1.2.1. [Đều kiện số chiều dẫn

tới

tính lồi ẩn]. Cho f( x) — X T Ax + атX +

7 , go w = ||x —*o ||2 —a và giịx) = b f x —ßi, i — 1 ... ,ra, A G s nxn, a, X(), bị € шп
và Ỵ,

Д- € м , i = 1 ,..., т. Giả sử rằng điều kiện số chiều ị 1.2.2 ) là thỏa mãn.

ОС,

Khi đó,
u ( / , go, g i , . . . , g m) := { (/(* ), g o W , gi (■*)>• ■■>£«(*)) : XG Mn} + M++2

là một tập lồi.
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, nếu A là nửa xác định dương, thì
/ , gi, i = 0 , 1 ,. .. , m là các hàm lồi. Do vậy, trong trường hợp này Ư ( / , go, g 1 , . . . , gm)
luôn là lồi. Vì vậy, chúng ta có thể giả sử rằng A không là nửa xác định dương và
do đó Ằmin(A) < 0.
[U (/, go, g i , . . . , g w)] = epỉh. Cho D = {(r,

: | | x - * o ||2 < « +

r, b j X < ßi + 5/} với X e Mn}. Rõ ràng, D là một tập lồi. Khi đó, theo định nghĩa,
chúng ta có u ( / , go, g i , . . . ,gm) = epih.
[Tính lồi của h àm giá tri h]. Đ ể thấy điều này, ta khẳng định rằng, với mỗi
(r, S\, . . . , sm) G D , bài toán sự cực tiểu hóa

min {/(*) - xmịn(A) 11* - Xo112 : I\x - *0112 < « + r, bỊX < ßi + Si}

vCĨữn

đạt cực tiểu tại một số

I

G M" với I|jt —X()| |2 = a + r và b j X < ßi +

Sị.

Thừa nhận

điều này, chúng ta có
m in { f ( x ) л-еК"

=
>

Ằnũn { A ) I \ x - Xo 112 : I \ x - Xo 112 < a + r , b j X < ß i + S i }

f( x ) - Ằnĩin( A ) { a ^ r )
mị n{ f(x ) : | | x - x 0||2 < a + r, bỊX < ß + s i} - X min(A)(a + r)

xeRn

— m in {f ( x ) —Ằmin(Л) ( a + r) : I\x —X()112 < а + r, bỊx < ß + Si}
xeRn

>

m ì n{ f(x ) - Ảmin(A)ịịx - Xị)\\2 : Цх-X o ll 2 < a + r, b J x < ß i + Si},

xeRn

trong đó bất đẳng thức cuối suy ra bởi

Ằ min (A)

< 0 . Điều này dẫn tới

min ị f ( x ) : I\x —Xo 112 < oc + r, b j X < ß + Si, i = 1....... m}

xeM "

=

m in{ f ( x ) ~ Xmỉn(A)I|x —* 0112 : l k - ^ o ||2 < « + /■, b f x < Д- + 5,-}

JCGM"

“I“ Л min

) ( Oí -|- r ) .

7


Chú ý rằng
F(x) := f( x ) - hùn (A) I\x - Xo 112
— X

(A

Ằmỉ/7

-I-

(ứ - ị - 2 ằot/jị ( A ) x o )

Ằmỉ/7( A ) I Ị.XOỊỊ

)

là một hàm lồi, và do vậy, (r, 5i ,.. . , s m) I—y minxelK« { F (x ): \\x —X()||2 < a + r, b j x <

pi + .V,-} cũng là lồi. Suy ra rằng
(r, S\, . . . , sm) I-» min { f ( x ) : I\x —Xo 112 < a + r, bỊX < p + 51/, ỉ' = 1 ,..., m}
xeRn

là lồi. Do đó, h là lồi, và như vậy, u ( / , go, g b • • • ì8m) = epi h là lồi.
[Cực tiểu đ ạ t được trê n hìn h cầu]. Chúng ta tiến hành chứng minh theo
p h ư ơ n g p h á p p h ả n c h ứ n g v à g i ả s ử r ằ n g m ọ i đ i ể m c ự c t i ể u X* c ủ a

m in {F(x) : I\x —X()112 < a + r, b j X < pị + Sj}
thỏa mãn Iịx* —XQ112 < a + r và b j X* < /3; + Sị. Ta chú ý rằng tồn tại

V

€ R n\{0}

sao cho
(1.2.3)
[Trái lại, ( n - l , b-}-) n Ker(A —7imin(Ạ)In) — {0}. Nhắc lại rằng điều kiện số chiều
của chúng ta là dimKer(A —Xmin(Á)In) > 5 + 1, trong đó s là số chiều của không
gian con sinh bởi {^1 ,..
n+ 1=

(5

+ 1) +

(72

Khi đó, từ định lý số chiều suy ra

- s)

< dimKer [A —Xmin [A)Ịn) + dir

= dim

b ị n Ker(A - Xmịn(A)In)

Ker(A - Ằmin(A)In) + f
i-

điều này là không thể và do đó (|l.2.3|) là đúng], c ố định bất kì điểm cực tiểu X* của
min^ỊK» {F(x) : I\x —JC0I|2 < Oí + r, b Ị x < Pi + 5/}. Bây giờ, ta xét hai trường hợp:
Trường hơp 1, (a + 2Xmin(A)xq)t v — 0; Trường hơp 2, (a + 2Xmin(A)xo)r V Ỷ 0Giả sử trường hợp 1 đúng, tức là, (a + 2Ằmin(A)xo)TV = 0. Xét x(ỉ) =

X*

+ ỉv.

Vì I\x* —Xo 112 < Cí + r nên tồn tại to > 0 sao cho I\x(to) —JCo112 = Oí + r. Chú ý rằng

8


bỊx(to) = b Ị (x* + tov) = bỊX* < Pi + Si và
F(x(to)) = (x* + t 0v)T( A - Ả min(A)ỉn)(x* + t 0v)
+ (a

2 Ảmj „(A)xo)T (x* + ?o v) + ( y — Xmịn (A)|ỊxoỊỊ2)

= (x*)T (A

Ằmjn(A)ỉn)x* + (a + 2Ằmịn(A)xo)TX* + ( 7 —Amj„(A)ỊỊA:o||2)

= F(x')Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng X* là điểm cực tiểu bất kì của
minxGK» (F(jc) : \\x —xo||2 < a + r, bjX < Pi + Sị} thỏa mãn \\x* —X()||2 < a + r.
Giả sử trường hợp 2 đúng, tức là, (a + 2Ằnìin(A)xo)TV Ỷ 0- Bởi phép thế V với
-V n ế u c ầ n t h i ế t , c h ú n g t a c ó t h ể g i ả s ử m à k h ô n g l à m m ấ t t í n h t ổ n g q u á t r ằ n g

(ạ + 2Xmin(A)TX())TV < 0. VI I|jc* —JC()112 < a + r tồn tại to > 0 sao cho \\x(t) —
* 0 112 < a + r với mọi t G (0, í()]. Chú ý rằng bjx(to) — b j (x* + íov) = b Ị X* < /3/ + Si
và
F(x(t0)) = (x* + t0v)T(A - Ảmin(A)ĩn)(x* + t0v)
+ (fl + 2Ảmin(A)xo)T (x* + tov) + ( 7 —Ảmị„ (ẩ )| \xo\|2)
< (x*)r (Ấ + Xmị„(A)In)x* + (a + 2 Ằmin ( A ) x o ) TX* + ( 7 — Ằmịn { Á ) \ 1* 0 1|2)

= F ự ).

□
Như một hệ quá, chúng ta suy ra tính lồi ẩn của hệ miền tin cậy nổi tiếng.
Hệ q u ả 1.2.1. Cho f(jt) = XTAx + aTX + 7 và go(x) = I —JCo112 — OIÍ trong đỏ
A e S'ỈX", ứ, *0 E K” và 7 , ơ, G M. Khi đó, u ( / , go) là lồi.
Chứng minh. Cho bị = 0, ỉ — 1 ,... ,ra (do vậy, số chiều của không gian con sinh
bởi

bm} bằng 0). Khi đó, điều kiện số chiều (Ị1.2.2Ị) rút gọn đến dimKer(A —

Kún{A)In) > 1 là luôn được thỏa mãn. Do vậy, Định líjl.2.ljchứng tỏ u ( / , go) luôn
là lồi.

□

9


1.3.

Sự nối lỏng SDP chính xác

Trong phần này, chúng ta thiết lập rằng sự nới lỏng nửa xác định của bài toán
mô hình (P)
min

(p)

xTAx + aTX

xeM "

thỏa mãn

\\x —JCo112 < ct,
bT
ị X < Pi, i = 1

là chính xác dưới điều kiện số chiều. Quan trọng là, nó thỏa mãn mà không cần
điều kiện Slater. Đ ể thiết lập sự nới lỏng SDP của (P), chúng ta xét các ma trận cấp
A
a/2
(n + 1) X (n + 1) sau đây M = x

aT/ 2
0
u _ (

0

ln

[ - 4

\

-Xo

,

||xo||2 - a J

0
‘

\- b ĩ/2

b i/2 \
-p, )'
(1.3.4)

Chú ý rằn g XTA x + aTX = Tr(M X), \\x—xo ||2 —ơ, = Tr(HoX) v ầ b Ị x —Pi = Tr(HịX),
trong đó X =

XXT

với X = (xT, 1)T. Do vậy, bài toán mô hình có thể được viết tương

đương như sau

min

Tr(MX)

Xes'|+I
thỏa mãn Tr{H()X) < 0,
Tr(HịX) < 0, i = 1 , . . . ,m

^ + 1,/Ỉ + 1 = 1, rank(x) = 1,
trong đó rank(X) kí hiệu hạng của ma trận X và Xn+\_n+\ là phần tử của X nằm ở
dòng thứ n+1 và cột thứ n +1. Bỏ đi ràng buộc hạng là một, chúng ta thu được sự
nới lỏng nửa xác định của (P) như sau
(SDRP)

m in

Tr(MX)

Xes'ị+I
t h ỏ a m ã n T r ( H QX ) < 0 ,

Tr(HịX) < 0, i =
11+1,n+ 1 -- 1 •

10


Bài toán sự nới lỏng nửa xác định (SDRP) là một quy hoạch lồi trên một không gian
ma trận. Bài toán đối ngẫu lồi có thể được phát biểu như sau
(D)

max
{ Ị1 : M + V XịHị y ( ^ ^ ^ Ị
;UeR, Ằ,>0,7=0,...,m \
\ 0 Ị1 ) )
=

max min < X T Ax + aTX + Ằ{)(|U —xo ||2 —Oí) + Ỵ X i ( b Ị x - P i ) >,
Ằj>0 iGi" [

—

J

nó trùng với bài toán đối ngẫu Lagrangian của (P). Rõ ràng, (SDRP) và (D) là bài
toán quy hoạch tuyến tính nửa xác định và do vậy có thể giải được một cách hữu
hiệu, trong khi bài toán (P) ban đầu là một quy hoạch toàn phương không lồi với
nhiều ràng buộc, nói chung, là một bài toán tính toán khó. Vì vậy, ta nghiên cứu
vấn đề này khi sự nới lỏng nửa xác định là chính xác theo nghĩa rằng min(P)=
min(SDRP).
Nếu A là nửa xác định dương, thì bài toán (P) là bài toán tối ưu toàn phương
lồi đã được biết đến với những tính chất tốt ví dụ như đối ngẫu mạnh và và sự nới
lỏng chính xác. Vì thế, từ bây giờ , chúng ta giả thiết rằng A không là nửa xác định
dương và do vậy, có ít nhất một giá trị âm.

Đ ịnh lý 1.3.1. (Sự nới lỏng SDP chính xấc) Giả sử rằng điều kiện số chiều ị 1.2.2)
được thỏa mãn. Khi đó, sự nới lỏng nửa xấc định là chính xấc, tức là, min (P) =
min(SDRP).
Chứng minh, [min(p) —max(D) < + 00]. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng không
có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D) dưới điều kiện số chiều. Ý nghĩa rằng ta
chứng tỏ rằng hàm giá trị tối ưu của (P)
v (sq,

s \ ,...,s m)

in f ị x TA x +
JCGR"

a T X : \ \ x — Jt()||2 < a

+

So,

b j x < Pi + Si, ỉ =
là nửa liên tục dưới và là hàm lồi trên Mm+ 1. Đ ể thấy điều này, chúng ta lưu ý rằng
e p i v = u ( f , go, g i , . . . , g m) trong đó f ( x ) = xTAx + aTX, goW = ||* - * o || - «
và gi (x) = b j X — /3/, ỉ = 1 ,..., m. Vì vậy, từ Mệnh đề 1.2.1 epi
do vậy

V

là một hàm lồi. Tính liên tục dưới của

V

V

là một tập lồi, và

sẽ được suy ra từ Mệnh đề 1.2.1

vì £ /(/, go, g i , . . . , g w) là một tập đóng.
Ịmin(P) = min(SDRP)] Bằng cách xây dựng của bài toán sự nới lỏng (SDP) bài
toán (SDRP) và đối ngẫu (D), chúng ta dễ dàng thấy rằng
min(p) > mỉn(SDRP) > max(D).
11


Như vậy không có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D), chúng ta rút ra được min(P)
= min (SDRP).
[C ực tiểu đ ạ t được của (SDRP)]. Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng trong (SDRP)
đạt được cực tiểu. Đ ể thấy điều này chúng ta chỉ cần thiết lập tập chấp nhận được
của (SDRP) bị chặn. Nếu không, thì tồn tại x k G

* = V( Y
l
/

với

1

sao cho ||X*||f := ^ T r ( x kx k) -> + 00, Tr(HiXk) < 0, i = 0,1

trong đó

Hj, ỉ — 1 ,... ,m được định nghĩa như trong ( 1.3.4>. Điều này dẫn tới
0 < Tr(Yk) < - | M | 2 + a + 2 ( f ) Tx0 và b Ị y k < ft.

Vì x k >: 0, chúng ta có Yk —yk(ỵk)T >: 0. Do vậy,
l l / l l 2 = Tr(yk(yk)T) < Tr(Yk) < - | M |2 + a + 2 ( / ) 7*0.
Do vậy, ỵk là bị chặn, và do đó Tr(Yk) cũng là một dãy bị chặn. Theo đó, cả Yk
và yk đều bị chặn. Điều này kéo theo x k là bị chặn, mâu thuẫn với thực tế rằng

xk

+ 00.

□

Cần lưu ý rằng tính lồi của tập u ( / , go ->gI

J • • • J

gm) giữ một vai trò quan trọng

trong việc xây dựng sự nới lỏng SDP chính xác của (P). Tuy nhiên, như chúng ta
thấy trong các ví dụ sau đây, tính lồi không suy ra rằng bài toán (P) tương đương
với bài toán tối ưu lồi theo nghĩa chúng có cùng tập nghiệm tối ưu.
Ví d ụ 1.3.1. Xét f( x )

— X2 ,

go(x)

—

X2 — 1 và gi (jt)

=

—X2 +

1.

Ta kiểm tra rằng

u ự , go, gì) = { 0 2, X2 - 1 , - x 2 + 1 ) : x e M} = {(z, z - 1 , - z + 1 ) :z > 0},
là đóng và là tập lồi. Nói cách khác, bài toán tối ưu tương ứng min^eK{(x 2 :x2 - ì <

0, —X2 + 1 < 0)} không thể tương đương với bài toán tối ưu lồi vì tập nghiệm của
nó là { —1 , 1 } không là tập lồi.
Một mặt mạnh hấp dẫn của kết quả sự nới lỏng SDP của chúng ta là sự chính
xác của nó độc lập với điều kiện Slater. Ví dụ sau minh họa rằng sự nới lỏng SDP
của chúng ta có thể chính xác mà không cần điều kiện Slater.

12


v í d ụ 1.3.2. (Sự nới lỏng SDP chính xác mà không cần điều kiện Slater). Xét bài
toán tối ưu toàn phương ba chiều với hai bất đẳng thức tuyến tính
(EP)

min

—xị —x ị —xị + 3x\ + 2x2 + 2x 3
(X| ,X2,X3)gR3
thỏa mãn (xi — 1 )2 + xị + xị < 1 ,
Xị

<

0 ,

*1 + *2 +*3 < 0.
Điều này có thể được viết như bài toán mô hình của chúng ta trong đó A =
(
V

-\

0

0

0

-1

0

0

\
, a — (3 ,2 ,2)r , Xo = (1 ,0 ,o )7 , a = 1, b\ — (1 ,0 ,0 )7 , b2 —

0 -I )

(1,1 ,1 ) và

= p2 — 0. Rõ ràng, điểm chấp nhận được duy nhất là (0,0,0) và do

vậy, min(EP) = 0. Chúng ta cũng chú ý rằng không cần điều kiện Slater. Cho không
gian con sinh bởi { b ] , b 2 } có số chiều s = 2. Chúng ta thấy rằng
dimKer(A —Ằmin(A)In) = 3 = s + 1.
Do vậy, điều kiện số chiều được thỏa mãn.
Nói cách khác, sự nới lỏng (SDP) của (EP) được cho bởi
(.SDRPg)

min
Z\ + 3Z4 - Z5 + 2Z7 - Z8 + 2Z9
xeS4
thỏa mãn Z\ - 2^4 + Z5 + Z8 < 0
24 < 0

Z4 + Zl + Z9 < 0
(

Z\ Z2 Z3 Z4 \

Z2 Zỹ Z(y z~ì

h0.

z 3 z 6 z 8 z9

\Z4 Zi z9 1 /
Từ đó Zi = Z2 =

= Z9 = 0 là chấp nhận được của (SDRPe),min(SDRPE) < 0.
(

Hơn nữa, với mỗi X chấp nhận được, X —

Zị
z1

ZZ22

Zt,
Z2

Z4

Z2

Z5

Z(y

Z7

z3

z6

z8

Zg

z4

z7

z9

I

Z
^4

>- 0, chúng ta có

/

Zl > 0,Z5 > 0,
zs> zl> 0

và
13

Z5 > Z j > 0.

(1.3.5)

Điều này cho biết rằng
-2 z4 < Z\ - 2 z4 + Z5 + Z8 < 0

và do vậy Z4 > 0. Vì Z4 < 0, chúng ta có Z4 — 0 và do vậy z 1 + Zs + Z8 < 0. Do đó,
Zị = Z5 — Z8 = 0 và Zi — Z9 — 0. VI vậy, m in (SDRP e ) = 0 = min(EP).
Trong phần sau, chúng ta sử dụng bài toán tối ưu toàn phương một chiều đơn
giản để chứng tỏ rằng sự nới lỏng SDP có thể không chính xác nếu điều kiện số
chiều đầy đủ ( 1 .2 .2 ) của chúng ta không được thỏa mãn.
Ví d ụ 1.3.3. (Tầm quan trọng của điều kiện số chiều đầy đủ). Xét bài toán sự cực
tiểu hóa
{ E P ^ m ỉ n ị / i x ) :go(x) < 0, gị(x) < 0},
trong đó f ( x ) = x —x2, go(x) = X2 —

g\ (x) — —X, n = 1 v à m = 1. Khi đó, f ( x ) —

XTA x - \ - a Tx + r vớ i A = — 1, a = 1 v à r = 0 , g o M

và

— II* — * o | | 2 - oc v ớ i Xo = 0 , oc = 1

(x) = b \ x —ị3i với b\ = 1 và P\ = 0. Rõ ràng, dimKer{A —Ằmịn(A)In) = 1 <

2 = dim s p a n ị b ị } + 1 .
Sự nới lỏng SDP của (EP\ ) được cho bởi
(.S D R P e ỉ )

min
-Zỉ+Z2

Xes2
thỏa mãn Zi — 1 < 0

—Z2 <0

Rất dễ dàng thấy rằng m in(£'P i) = 0 và min(SDRPE\ ) = —1. Do vậy, sự nới lỏng
SDP của (EPị) là không chính xác.
Xét bài toán tối ưu toàn phương với một ràng buộc chuẩn và một ràng buộc bất
đẳng thức toàn phương hạng một
(Po)

x TAx + aTX

min

xeRn

thỏam ãn

||x —xo||2 < cc,
(bTx ) 2 < r,

trong đóẨ G s nxn, a, Xo, b G

Oi G M và r > 0.
14


Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ ứng dụng của phương pháp miền
tin cậy đối với sự cực tiểu hóa cuả một hàm phi tuyến với ràng buộc gián đoạn. Ví

dụ, xét bài toán xấp xỉ miền tin cậy
min
хежп

X

Ax + a

X

thỏa mãn ||jt —JCo112 < а ,
bTX 6 { 1 , - 1 }.
Sự nới lỏng liên tục của bài toán trở thành
min

xTAx + aTx

thỏa mãn I|jc —JCo112 < а ,

1 < bTX < 1 ,
trong đó, lần lượt, tương ứng đến (Pq) với r — 1 .
Sự nới lỏng SDP của (ffo) được cho bỏi
(SDRPq)

min
Xes'l+i
thỏa mãn

Tr(MX)
Tr ( HoX) < 0

Tr ( Hj X) < 0, i — 1,2

Xn+l,/2+l trong đó

M-LVĨ)' W- V - .
,/!rU w .
",

",

\ —b / 2

bT/ 2 - y / r l

yfr

Bây giờ chúng ta có được kết quả sự nới lỏng SDP chính xác như sau đối với bài
toán (Po) dưới điều kiện số chiều.
Hệ q u ả 1.3.1. (Mô hình miền tin cậy với ràng buộc hạng một) Giả sử rằng dimKer(A
Knin{A)In) > 2. Khi đó, sự nới lỏng nửa xác định là chính xác đối với (Pq), nghĩa là,
mỉn(Po) = min(SDRPo).

15


Chứng minh. Chú ý rằng (bTx )2 < r là tương đương với —y / r < bTX < y/r. Trong
trường hợp này, điều kiện số chiều của Định lí 1.3.1 quy về giả thiết rằng
dimKer(A —Ằmin(A)In) > dim spanịb, —b} +
Hệ quả được suy ra từ Định lý 1.3.1 và thực tế rằng không gian con sinh bởi {/?, —b}
có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 1 .

1.4.

□

Tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh

Trong phần này, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tối ưu toàn cục cho
(P) và nhờ đó, đạt được đối ngẫu mạnh giữa (P) và (D) khi điều kiện số chiều được
thỏa mãn và điều kiện Slater đúng đối với (P).
Đ ỉnh lý 1.4.1. (Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu toàn cục). Đối với (P),
giả sử rằng tồn tại

X

với I —X()||2 < a và bjX < /3n i — 1 , . . . , m, và giả

£

sử rằng điều kiện số chiều trong ị 1.2.2) là thỏa mãn. Cho X* là điểm chấp nhận
được của (P). Khi đỏ, X* là điểm cực tiểu toàn cục của (P) khi và chỉ khi tồn tại
(A<), X\ , . . . , Xm) G M++ 1 sao cho điều kiện sau thỏa mãn:
2 ((A + ẰqI„)x*) = - ( a + 2 Ả{)(x* - X o )

+ HỈL1 W i ) ,

(Điều kiện KKT)

A<)( Il-XT* —-XTo112 —oc) = 0 và Ằị(bjx* — Ị5ị) = 0,
ỉ — 1 ,..., ra,

(Điều kiện B ổ Sung)

0,

A+

(Điều kiện Bậc Hai).

Chứng minh. [Điều kiện cần đ ể tối ưu] Cho X* là điểm cực tiểu toàn cục của (P).
Khi đó, hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
I I * - -XoH2 < 0^5 b Ị X < f t , i =

Đặc biệt, cho 7 = —

1 , . . . , m , XTA x - \ - a TX < (x * )TA x* + a Tx * .

+ a TX*), hệ bất phương trình sau cũng vô nghiệm:

II*- *o ||2 < OÉ, bjX < Pi, i — 1 ,... ,m, XTAx + aTx + 7 < 0.
Khi đó, 0 ị i

n

t

u

trong đó

Ư ( f , go, g i, •••,£»,) := { ( / 0 ), goO ), gi
16

gmO)) : x e R n} + R n
Ị +2


là một tập lồi bởi M ệnh đề 1.2.1 Hơn nữa, vì f , g i là các hàm liên tục , chúng ta
thấy rằng
{ ( /M , goM , ^ i W v ^ m W ) : х е Г } + ш Л 7

= int и ( / , go,

cũng là lồi.
Bây giờ, bởi định lý tách các tập lồi, tồn tại (jU, Я(), X], . . . Д т ) G М++ 2\{ 0 } sao
cho, với mọi i g I " ,
ịầ (x t A x

+ атX +

7

) + Я ()(||х -х о | | 2 - а ) + £ X ị ( b Ị x - ßi) >
i= 1

0

.

Bởi điều kiện tính chấp nhận được chặt, ta thấy rằng ỊẤ Ỷ 0. Do vậy, với mọi i G l "

XTАх + атX +

7

+ А()(||л: —-Го112 —Oí) +

Xị{bT
ị X — ßi) > 0,
Í=1

trong đó Ằị — Ỵ , i — 0 , 1 ,. .. , m. Cho X = X*, chúng ta thấy rằng
m

A<) (I \x* - Xo 112 - a ) + £ Xi (bf X* - ßi) > 0.
i—1
Bởi vì X* là điểm chấp nhận được của (P), nên
A{)( I\x* —X()112 —a ) = 0 và Aj(bỊX* — ßj) = 0 , i = 1 , . . . , ra.
Cho h(x)

XTAx + aTx + 7 + я<)( 11л: —*o ||2 — cc) + ỵ^-ị Ằj(bỊx —ßi). Khi đó, ta

thấy rằng X* là điểm cực tiểu toàn cục của h, và do vậy Vh(x*) — 0 và v 2h(x*) >: 0.

Ta nói rằng,
2(A + Ằị)In)x + ị^ũ

2Ằị)(x —Xo) + ^ Xịb^j — 0 và А + Ằ()In ^ 0.

[Điều kiện đ ủ của tối ưu] Ngược lại, nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn,
thì ta thấy rằng h(x) := xTAx + атX + Ảị)( I\x —Xo112 — ot) +

1 Я/(bỊX —ßi) với

v/z(x*) = 0 và v 2h(x * ) b 0. Do vậy, X* là điểm cực tiểu toàn cục của h, và do đó,
với mọi điểm chấp nhận được x G K " của (P),
m

xTAx + aTx > XTАх + атX + Ả{)(\\x —x 0||2 —Oí) +

Xị(bJX —ßi)
/= 1

> (x*)TA x * + а тX* +Я()(||х* —л:о112 —Oi) + ^ Ảj(bỊX* — ßi)
i= 1
= (x*)r Ax:* + a Tx *,

17


trong đó đẳng thức cuối suy ra từ điều kiện bổ sung. Như vậy, X* là cực tiểu toàn
cục của (P).

□

Xét bài toán đối ngẫu Lagrangian của (P) :
(D) max min < хтAx + атX + Я()(||х —Xo 112 —Oí) + Ỵ Ảị(bỊx —ßi)
А,->0хеК'! I
“

>.

I

Bây giờ ta chứng tỏ rằng đối ngẫu mạnh thỏa mãn dưới điều kiện số chiều cùng với
điều kiện Slater.
Hệ q u ả 1.4.1. íĐối ngẫu mạnh) Giả sử rằng tồntại

X

G шп với 11je —xo ||2 < a và

b f x < Д , i = 1 , . . . , m, và điều kiện số chiều (Ị 1 .2 .2 |) là thỏa mãn.
Khi đó, đối ngẫu mạnh thỏa mãn, tức là,
min {хг Ах + атX : ||jt —JCo| | 2 < a , bỊX < ßi, i =
=

1 ,...

,m}

m

í

ì

max min < хтAx + атX + A<) ( I\x —X() 112 —a ) + Ỵ Я/ (bf X —ßi) >( 1.4.6)
Л,->()хеК" I
“ j
I

trong đó ị 1.4.6 ) đạt được giá trị lớn nhất.
Chứng minh. Trước hết chúng ta chú ý rằng, đối ngẫu yếu sau luôn thỏa mãn :
min \ x TAx + атX : \\x —JCo112 < Oí, b j X < f t, i = 1 , . . . ,m }
*eR"
>

m

í

ì

max min < х тAx + атX + ?L()(\\x —JCo112 —Oí) + V Ằị(bỊx — ßi) > .
Aj>0 л-еЕ" I

“

I

Đ ể thấy bất đẳng thức ngược, gọi X* là điểm cực tiểu của minA-eK« {хтАх + атX :
II* — xo ||2 ^ b j X < Д , i = 1

tồn' tai
Khi đó, theo 1.4.1
Định ỉí
A 1’

(A<), X\ , . . . , Ằw) G R n
Ị + 1 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
2(A + Ao4)x* = - ( f l + 2Ằo(x* - X 0) + L ỉli Я/Ь,-),

A<)( I|x* —Xo112 —ос) = 0 và Aj(bỊX* —ß i ) = 0, i = 1 , . . . , m,
Л I Xữh ъ 0.
Khi đó, ta thất rằng h(x)

X T Ах

+ атX + Ằ+)(\\x —X()||2 —a ) + LÍ =1 Ãị(bỊx —ß j ) là

lồi vớiVh(x*) = 0 và v 2h(x*) у 0. Vì vậy, X* là điểm cực tiểu toàn cục của

18

h, và


do đó, với mọi X G R n
X T Ax

+ a Tx +

Л о ( ||*

—-Xo112 —cx) +

Xị(bỊ X —ßi)
i=\

(x*)TAx* -\-aTx* + A{)(||x* —JC{)112 —a ) +

>

Ãị(bỊX* —ßi)
i=\

=

(х*)тАх* + атX * .

Do vậy, bất đẳng

th ứ c

ngược là đúng và ( 1.4.6 ) đạt được giá trị lớn

n h ấ t.

Do đó, suy

ra kết luận sau.

□

Dễ dàng để thấy rằng, đối với bài toán mô hình miền tin cậy mở rộng với ràng
buộc bất đẳng thức tuyến tính, Hệ quả 1.4.1 của chúng ta cho thấy rằng tỉ lệ giữa
giá trị tối ưu của bài toán cơ bản và bài toán sự nới lỏng SDP liên kết với nó là một
khi điều kiện số chiều đã được thỏa mãn.
Xét một bài toán tối ưu toàn phương không lồi sau với một ràng buộc chuẩn và
một ràng buộc tuyến tính :
(p2)

min
хеш"

xTAx + aTx
\\x —-Го112 < Cí,

thỏam ãn

b]x < ß u
trong đó bị G шп và ß\ G ш.
Như một hệ quả của Định lí 1.4.1 bây giờ ta thiết lập đối ngẫu mạnh cho (P\ )
tương tự như đã được thiết lập trong [2 ].
Hệ q u ả 1.4.2. ịMô hình miền tin cậy với ràng buộc tuyến tính duy nhất) Đối với
bài toán (Pị), giả sử rằng dim(Ker(A —Ằmịn( A ) / , ; ) )

>

2, và giả sử rằng tồn tại

X

sao cho ||x —X()||2 < a và b \ x < ß \ . Khi đó, đối ngẫu mạnh thỏa mãn đối với (P\),
nghĩa là,
min ỊxTAx + атX : lljt —JCo112 < 01, b ĩ x < ß ] \
J

Л-€М" 1

=

max min

xTAx + aTx + Äo(|U —ЛТП112 —Of) + Ằ\ ( b î x — ß\ )

Я(ЬЯ, >0хеМ" 1

(1.4.7)
và ụ .4.7) đạt được giá trị lớn nhất.

19


Chứng minh. Kết luận được suy ra bỏi cho 1 = 1 trong Hệ quả 1.4. và chú ý rằng

□

s là số chiều của không gian con sinh bởi ị b ị } , s < 1 .

Ta lưu ý rằng, nếu điều kiện Slater không được thỏa mãn, đối ngẫu mạnh sẽ
không đạt mặc dù sự nới lỏng SDP là chính xác. Thật vậy, điều này đã được chứng
minh qua bài toán trong Ví dụ 1.3.2
Ví dụ 1.4.1. (Sự nới lỏng SDP mà không cần đối ngẫu mạnh). Xét một bài toán
giống như trong ví dụ 1.3.2
min

(EP)

—Xị —

2x 2 “t” 2x 3

—x-ị H” 3x\

A'| ,A*2

(Xị — l ) 2 + x \

thỏa mãn

+*3

< 1,

X\ < 0 ,
Xị + X 2 + *3 < 0 .

Ta đã chứng tỏ rằng min(EP)= 0, và đối với (EP) sự nới lỏng SDP là chính xác mà
không cần điều kện Slater. Bây giờ ta chứng tỏ rằng (EP) không đạt đối ngẫu mạnh.
Bài toán đối ngẫu Lagrangian của (EP) là
max
min
< —x2ị —xị —xị + 3x\ + 2 jC2 +
^0 »^l (*] ,X2 ,X3 )eK3 [

2^3

+ Ao ( ( *1 — 1) 2

-\-xị + xị — 1 ) + Ằ\X\ + Ằ2 (jC| + X2 + X3 )
=

max
min
< (Ao — 1 )*? + (Ằ\ + % 1 —2 A{) + 3);ti + (Ao — 1 )xị
^-0^1 (x\,x2,x3)gR3 t
+

(2

+ Ằ2)x2 + {Ằq — 1 ) 4 +

(2

+ ^ 2)^3

Với mỗi A{), X\ > 0,
min

/ (Ằ{) —

+ (Ẳ| —2Ẵị) + 3)X|

A'1 ,A'-),A'3€]R3 ^

+ (A{) — 1 )xị + (2 + A-2)*3

—00?

nếu

Ao <

1,

—00,

nếu Ao =

1,

< 0,

nếu Ao >

1.
20

(Ằ{) — 1 )xị + (2 + ^ 2)^2


Do vậy, không đạt đối ngẫu mạnh.
Như một hệ quả của định lí đối ngẫu mạnh, ta nhận được đặc trưng đối ngẫu đối
với giá trị không âm của hàm toàn phương không lồi trên ràng buộc miền tin cậy
mở rộng. Đặc trưng này có thể được coi như một dạng của bổ đề s nổi tiếng.
Hệ q u ả 1.4.3. (Bổ đề

s

đối với miền tin cậy mỏ rộng). Cho Xo,

7 , Pi, a e l , ỉ — 1

Giả

sử

bị £ R" và

rằng tồn tại X G M” với ||jc —xo ||2 < CK và

bỊX < /3/, i = 0 1 , .. ., m, và rằng điều kiện số chiều (Ị1.2.2Ị)là thỏa mãn. Khi đó, các
điều kiện sau là tương đương:
(1) ||jc — xo ||2 —Oí <0, bỊX — Pi < 0, i = 1 , . . . ,ra =>

X T Ax

+ aTX +

7 > 0.

(2 ) (3 Ằ/ > 0, ỉ — 1 ,... ,m )(V x G M”)
(xTAx + aTx + ỵ ) + Ằodl* —xo | | 2 —Oí) +

hi{bjX — Pi) >
i—1

0

.

Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh (1) => (2) bỏi vì hàm ngược lại luôn
đúng. Đ ể thấy điều này, giả sử (1) luôn đúng. Khi đó, giá trị tối ưu của bài toán tối
ưu sau là lớn hơn —Ỵ
min { x TAx + aTX : \ \x —Xoi|2 < ot, bỊX < ổ/, ỉ — 1 , . . . ,m ).
Khi đó, Hệ quả 1.4.1 có nghĩa rằng
m in {xTAx + aTX : \\x —Xoll2 ^
x€Rn 1

=

x

i — 1J

}

m

í

ì

Ao(|bt —xo ||2 —oì) + Ỵ Ằi(bỊX — Pi) >> —7 ,
“ Ị1

maxmi n < X T Ax + aTX +
Xj>0xeRn1

(1.4.8)
và ( 1.4.8) đạt được giá trị lớn nhất. Do vậy, suy ra (2).

□

Nhắc lại rằng bổ đề s nổi tiếng phát biểu là, đối với hai hàm toàn phương
/ , g, [g(x) < 0 =>- f( x ) > 0] là tương đương nếu tồn tại Ằ > 0 sao cho f + Xg luôn
không âm. Chú ý rằng, trong trường hợp này trong đó bị = 0 và Pi — 1, điều kiện số
chiều luôn thỏa mãn vì dimKer(A —Ằmịn(Á)In) > 1 và số chiều của không gian con
s in h b ở i { b \ , . . . , b m } b ằ n g 0 , v à v ì v ậy , h ệ q u ả trê n q u y v ề b ổ đ ề

s

tro n g tn íò n g h d p

này trong đó g — I|x —JC()112 —Oí.
Điều đáng chú ý là trong Hệ quả 1.4.3 ngay khi điều kiện số chiều đã được thỏa
mãn, thì điều kiện tính chấp nhận được chặt không được phép bỏ qua. Đ ể thấy điều
21


này, xét hàm toàn phương một chiều sau
điều kiện số chiều là thỏa mãn và

f(x) — X

và g o M

— x 2. D ễ

dàng thấy rằng

< 0 =>- f ( x ) > 0]. Mặt khác, với bất kì

[g o M

Ằ > 0,
inf { f ( x )


—

nếu X > 0

+ Ằ g{x)} =

nếu X — 0.

—oo,

Do đó, Hệ quả 1.4.3 có thể không đúng nếu điều kiện tính chấp nhận được chặt
không được thỏa mãn.
Mặt khác, nếu không cần điều kiện tính chấp nhận được chặt, ta chứng tỏ rằng
nó thỏa mãn bổ đề s tiệm cận.
H ệ q u ả 1.4.4. ( B ổđ ề s tiệm cận) Cho A E s n, JCo, a , bị G R" và 7 , j3/, Oí G M, i =
m với {x : I\x —Xo112 < ot, bjX < Pi, / = 1 , . . . , m} ỹá 0. Giả thiết rằng điều
kiện số chiều ( 1 .2 .2 ) được thỏa mãn.
Khi đó, những điều kiện sau là tương đương :
(1) Ị\x —Xo112 —Oí < 0, bỊ x —Ị5ị < 0, i = 1, . . . , m =4> XTAx + aTX + 7 > 0
(2) (V £ > 0)(3 Ằ/ > 0, ỉ = 1 ,... ,m)(Vx G R")
(xTAx + aTX + ỵ ) + Ao (11* —-XTo112 —oc) + ^ Ằị(bỊX — Pi) + £ > 0.

i= 1
Chứng minh. [(1) ==> (2)]. Giả sử rằng (1) đúng. Cho f ( x ) = XTAx + aTX + 7
và g o M = II* —

112 —

gi(x) = bỊX —j3j, i = 1 , . . . ,ra. Khi đó, với mỗi £ >

0 ,( —£, 0, 0 , . .. ,0 ) ^ ơ ( / , go, g \ , . . . , g m). Điều kiện số chiều (Ị1.2.2Ị) được thỏa
mãn, từ Mệnh đề 1.2.1 và Định lí 1.2.1 thì Ư ( / , go , g i , . . . , gm) là một tập lồi đóng.
Khi đó, định lý tách mạnh cho ta thấy rằng (jU, Ão, Ấ i,...,Ằ m) G M++ 2\{ 0 } và
ô £ R sao cho
m
—ụ. £ < ô < ỊẤ f ( x ) +

ẴiW) với mọi jc g R " .
i= 1

Khi đó, ỊẦ > 0. Trái lại, ỊẤ = 0. Khi đó,

Ằ;g;(jc) > ổ > 0 với mọi X G M”. Điều

này không xảy ra, bởi vì ỵ™= J Xigi(a) < 0 với mọi a £ {x : gi(x) < 0 , / = 1 ,
Do vậy, ta suy ra (2) với Ằị —

. . . ,

ra}.

i — 0 , . . . , m.

[(2) =4> (1)]. Đối với X bất kì với gí(x) < 0, thì (2 ) có nghĩa rằng với mỗi £ > 0,
tồn tại Ằ/ > 0 sao cho với mọi Jt G R ",
m

+ e < f( x ) + £.

0 < f( x ) +
i=0

Cho £ —> 0, chúng ta thấy rằng f( x ) > 0 và do vậy suy ra (1).
22

□