Khoá luận tốt nghiệp toán tìm hiểu về lý thuyết matroid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH THỦY

TÌM HIỂU VỀ LÝ THUYẾT MATROID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng Dụng

Người hướng dẫn khoa học:
TS. TRẦN M INH TƯỚC

Xuân Hòa - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi đã thực hiện đề tài Tìm hiểu về lý thuyết Matroỉd.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Kết quả nghiên
cứu của đề tài này đảm bảo tính khách quan, trung thực, không trùng lặp với các tác
giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thi T hanh Thủy

1


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần M inh Tước người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị T hanh Thủy

2


Mục lục
Chương 1. KHÁI NIỆM MATROID VÀ HỆ T H ố N G TIÊN ĐE

2

1.1. K hái niệm m atroỉd

2

V

9

1.2. Tiên đê cơ sở

4

1.3. Tiên đề hạng

6

1.4. Tiên đề vòng

9

Chương 2. S ự LIÊN HỆ GIỮA MATROID VÀ LÝ THUYET Đ ồ TH Ị

12

2.1. M atroid vòng của đồ thị

13

2.2. M atroid đối ngẫu

18

2 .2 . 1. Đ ồ thị đối ngẫu

18

2.2.2. M aroid đối ngẫu

19

Chương 3. S ự LIÊN HỆ GIỮA MATROID VỚI TRANSVERSAL

20

3.1. Khái niệm transversal

20

3.2. Sự liên hệ giữa m atroid vối transversal

21

Chương 4. Sự LIÊN HỆ GIỮA MATROID VÀ T ố i Ưu T ổ HỢ P

23

4.1. T huật toán tham lam

23

4.2. V íd ụ l...........................

24

3


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

Lý thuyết Matroid là một dạng hiện đại của hình học được đề cập lần đầu tiên
bởi nhà toán học Bill Tutte.
Lý thuyết Matroid là lý thuyết về tập hợp với cấu trúc độc lập xác định trên
chúng. Như vậy, vẫn theo lý thuyết chung, nghiên cứu những đối tượng (hình thức)
trong mối quan hệ với các đối tượng khác dựa trên một cấu trúc nào đó.
Lý thuyết Matroỉd đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lập tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector và còn nhiều ứng dụng đối với lý
thuyết đồ thị, tổ hợp. Hơn nữa, càng về sau người ta càng thấy Matroid có ý nghĩa
với Toán học hiện đại.
2.

M ục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Bước đầu tiếp cận để tìm hiểu về Lý thuyết Matroid.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu Lý thuyết, vận dụng các phép suy luận logic để tìm cách chứng
minh một số định lý, tính chất chưa được trình bày.
4. Phạm vi nghiên cứu
Khái niệm Matroid, sự liên hệ giữa Matroid với lý thuyết đồ thị, transvertion,
tối ưu tổ hợp hạn chế trong các tài liệu thu thập được.
5. Bố cục
Bố cục của khóa luận bao gồm :
Mỏ đầu.
Chương 1: Khái niệm Matroid và hệ thống tiên đề.
Chương 2: Sự liên hệ giữa Matroid với lý thuyết đồ thị.
Chương 3: Sự liên hệ giữa Matrid với transversal.
Chương 4: Sự liên hệ giữa Matroid với tối ưu tổ hợp.
Kết luận.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý

kiến phản biện của thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cám ơn!


Chương 1

KHÁI NIỆM MATROID VÀ
HÊ THỐNG TIÊN ĐỀ
1.1.

Khái niệm matroid

Đầu tiên ta sẽ tìm hiểu matroid là gì? Khái niệm được đưa ra sau đây dựa trên
các tập con độc lập của tập nền

s cùng với một số ví dụ giúp ta có hình dung đầu

tiên về Matroid. Ngoài ra ta có thể định nghĩa Matroid bằng các khái niệm tương
đương dựa trên tập cơ sở, tập vòng hay hàm hạng được được trình bày trong các
mục sau.
Đỉnh nghĩa 1.1.1. Matroid là một cặp M gồm tập hữu hạn
của

s và họ J

các tập con

s được gọi là các tập độc lập của M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
M (li) 0 6 5.
M(2i) N ế u X e J v à Y ạ

thì Y e 7.

M(3i) Nếu u , v E ÍF và |ơ | > |v | thì sẽ tồn tại phần tử X £
( V U { i} ) G Ĩ .

Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.1.1.
Cho ma trận dưới đây với các nhãn tương ứng:

2

u —V sao cho


1 2

3

4

1 0

0

1 0

0

1 0

0

0

5

6

7

0

0

1 1 1 0
1 0

1 1 0

Ký hiệu E — { 1 ,2,3,4,5,6,7 } là tập các vector cột xác định bởi nhãn của chúng.
Giả sử 3 là họ các tập chỉ số I c E sao cho tập các vector cột được gãn nhãn bởi I
là độc lập tuyến tính . Khi đó 3 gồm các tập con của E — {7} có nhiều nhất ba phần
tử loại trừ {1,2,4}, {2,3,5}, {2,3,6} và loại cả các tập chứa {5,6}. Ta được {E, J)
là matroid.
Tính chất "độc lập" của các phần tử ở đây chính là tính chất độc lập tuyến tính
của hệ vector cột của ma trận đã cho.
Ví dụ 1.1.2.
Xét đồ thị G cho bởi hình vẽ.
7

Hình 1.1: Đồ Thị G
Xét họ 3 các tập cạnh của G mà không chứa chu trình nào của G. Như vậy, các
tập của J sẽ không chứa bất kỳ tập nào trong các tập sau: {7}, {5,6}, {1,2,4},
{2,3,5}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}. Khi đó, E(G) với họ jF xác định trên lập thành một
matroid của G.
Tính độc lập của các phần tử xác định bởi tính chất không chứa chu trình của
các tập cạnh.
Matroid xác định như trên gọi là matroid vòng của G.
3


Ví dụ 1.1.3.
Cho tập s hữu hạn phần tử.
Xét họ

= {0} khi đó ta có ( s , ^ ) là một matroid được gọi là matroid tầm

thường.
Xét họ З 2 = СР(5*) = 2s khi đó ta có thể chứng minh được (51, З 2 ) là một matroid
được gọi là matroid rời rạc.
Trên đây khái niệm matroid được định nghĩa dựa trên tính độc lập của các phần
tử . Người ta có thể định nghĩa matroid với những cách khác, tất nhiên là chúng
tương đương. Sau đây ta tìm hiểu điều này thông qua các tiên đề.

1.2.

Tiên đề cơ sở

Cho matroid M = (s , jF). Xét họ không rỗng ъ có phần tử là các tập con độc lập
lớn nhất của s trong M. Vì các phần tử của ъ là các tập độc lập nên ъ là họ các tập

độc lập của M.
Bổ đề 1.2.1. Nếu B\, B 2 là cơ sở của matroỉd M thì \B\ I = |Ä2 1Chứng minh
Cho B \, B 2 là hai cơ sở của M, \B\ I < 1^21- Vì Bị và B 2 là hai tập độc lập nên
thỏa mãn điều kiện M(3i), tồn tại phần tử e G (в 2 —Bị) sao cho (Bị и e) G 3 . Như
vậy B\ không phải là tập độc lập lớn nhất, mâu thuẫn với B\ là cơ sở, suy ra giả sử
sai. Vì thế \B\ I > \I$2 1•
Đổi vai trò của B\ và B 2 , tương tự ta chứng minh được 1^21> \B\ |.
Suy ra \Bị I = 1^21-

О

Định lý 1.2.1. Họ khác rỗng các tập con hữu hạn của s, kí hiệu là ъ là họ cơ sở
của một matroỉd trên s khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
B(li) MBUB2 е Ъ , Bị Ç B 2 v à B2 Ç B \ .
B(2i) Nếu B ị, B 2 G ъ và Xị £ (В 1 —в 2 ) thì tồn tại y G B 2 —B\ sao cho
(ß, и {><})-W e ® .
Chứng minh
Ta chứng minh rằng họ ъ được xác định như trên thỏa mãn hai điều kiện Bị li),
B(2i) của định lý 1.2.1.
Xét B ị,B 2 G Ъ ,В\ Ф z?2 » mà theo bổ đề 1.2.1 ta có số phần tử của các cơ sỏ
bằng nhau \B\ I = |z?2 |, hiển nhiên B(li) được thỏa mãn.
4


Cho B\ —X và B 2 là hai tập độc lập, \B\ —x\ < 1-^21- Theo điều kiện M(3i),
G (B 2 — (B 1 —Jt)) sao cho

((# 1

- i ) U } ') G 3r. Hiển nhiên y E (B 2 —Bị). Đặt

Bị — (Bị —x) Uy. Theo bổ đề 1.2.1 ta có |Яз| = |(5 | —x) U}’| = \B\ |. Hơn nữa,
(В] —Jt) Uy là tập độc lập, suy ra z?3 là cơ sở của M. Vậy B(2i) được thỏa mãn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh họ ъ và tập s là một matroid theo định nghĩa 1.1.1.
Cho 3 — {/ ç B\B G Ъ }. Ta sẽ chứng minh (5, J) là một matroid.
Từ ъ thỏa mãn Bị li) nên 3 thỏa mãn Mị ỉ ỉ).
Nếu ỉ e 3 , ĩ С ỉ ^ Ï с в , в е Ъ , thỏa mãn M(2i).
Cho / ] , /2 G 0 với |/i I < |/г| sao cho vcó chứa phần tử Bị ,# 2 - Như vậy, /| с в I và / 2 Ç ß 2. Cho rằng tập в 2 được chọn
sao cho \B2 — ( / 2 Q B \)| là nhỏ nhất. Bởi vậy ta chọn /ị , / 2 để

h-B\ = h - ỉ\

(1)

Giả sử rằng B 2 — {h u B\ ) là khác rỗng. Khi đó, ta có thể chọn phần tử X từ tập
này, theo B(2i), có một phần tử у £ B\ —B2 sao cho (B2 —x) Uy G ъ . Nhưng sau
đó |((z?2 —x)\Jy) - (/2 U # i)| < |i?2 —{Ỉ2 и B\ ) I và việc chọn B 2 là mâu thuẫn, nên
z?2 —( h u Bị ) là rỗng và B2 —B\ =

/2

—B\. Mà theo ( 1)/] = в 1 nên

B2 - B ì = h - I ì
Tiếp theo ta chứng minh В] — (ỉị UB 2 ) là rỗng.

(2)
Giả sử B\ — (Iị UB 2 )là không

rỗng, thì có X G B\ — (ĩị и В 2 ) và y G B 2 —Bị sao cho (Bị —Jt) Uy G ъ.
Bây giờ thì (/] U}7) Ç ((B\ —Jt) Uy) nên I] u>’ G0.
Từ y G (B2 — В \), theo (2), y G

( /2

—/ | ), mâu

thuẫn với điều giásử. Suyra

B\ — ( / 1 u B2) là rỗng. Vì thế B\ —B2 — I\ —B2.
B ,-B 2Ç h - I 2

(3)

Mà IB\ I = |ß 2| nên |ßi —# 2 ! = \Вг —в 1 1, kết hợp với (1), (2), (3) ta có
^ 1^2 !9 IĨ13.U thuan VƠI § 1 ã thuyet
(5,J) làmatroid.

□

Ví dụ 1.2.1. Cho ma trận A là ma trận 5x8 có các cột là các vecter trong M5. Tập
các vecter cột của A là { 1 ,2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }.

5


1 2

3

4

5

6

7

8

1 0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1 0
0 1

1 0 0
1 0 1 0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

Cơ sở của matroid là một tập độc lập tuyến tính tối đại trong không gian vector
cột. Xét hai cơ sở của matroid.
/

1

1

0

>

0

1
1
0

0
= < 0 5 1 5 0 1 0
1
1
0
0
1
о 1
1
о 1

1

0

0

1 у
ч
0

1

1

0

0

1

1о

4
/

1
о 1
1
о 1

1
1о

= < 0 5 1 5 1 5 0
1
1
0
0
1 J

Thay vector thứ 2 trong B\ bằng vecter thứ 2 trong # 2 được cơ sở Bi
/

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1 5 0 5 0
1
1
0

к

1

1
о 1

1
1о

0

ч

1 J

Trong trường hợp này ta thấy tính chất B(2i), được thỏa mãn.Và điều này cũng
chứng tỏ không có cơ sở nào chứa cơ sở khác.
Một cách mô tả khác về khái niệm matroid là nhờ vào hàm hạng.

1.3.

Tiên đề hạng

Cho M = (S , jF) và họ tất cả các tập con của
6

s là 2S.


Gọi hàm số r{A) — max{\X\ với X ç A và X G (F)} là hạng của A. Hạng của
matroid M kí hiệu là r(M ), hay r(s).
Nhận xét: Hạng của tập A là số phần tử của tập độc lập cực đại thuộc A. Nếu A
độc lập thì r(A) = |A|
Định lý 1.3.1. Cho s là tập hữu hạn khác rỗng và hàm số r : 2S — >N. Khi đó r là
hàm hạng của matroid trên s khi và chỉ khi thỏa mãn cấc điều kiện sau v x , Y của
S:
R ( l i ) 0 < r ( X ) < |X|.
R(2i) Nếu Y Ç X thì r(y) < r(x ).
R(3i) r(X u y ) < r(X) + r(Y) - r(X n Y).
Chứng minh
Ta chứng minh rằng hàm số r được xác định như trên thỏa mãn ba điều kiện của
định lý 1.3.1.
Theo M(]ỉ),(d

|A|

r(A) < |A|, Rị li) được thỏa mãn.
Xét X e J J Ç X theo M(2Ỉ) ta có, Y e ЗГ. Y là tập độc lập

r{Y) = \Y\. Có

Y ç X nên \Y\ < |x | và r(X) = |x |, suy ra r(Y) < r(x), R(2i) được thỏa mãn.
Xét u , v G 3 và |ơ | = \v\ + 1. Theo M(3z) thì tồn tại JC G (и — V) sao cho
( v u u ) 6 (F), suy ra V U x là tập độc lập.
Ta có r(U) = \u\, r(V) = \v\, r(VUx) = \V\Jx\,

r(ư UV) < \uuv\,r(ưnv) < \unv\.
\u\ + |v |

|ơ u v | + |ơ n v |

|Ơ| + |V| > r ( ơ u v ) + / '( ơ n v )
^ r(U) + r(V) > r ( u u v ) + r ( u п V)
r ( u u v ) < t ị u ) + r(v) — r ( u п V)
Cho

R(3Ỉ) được thỏa mãn.

3 = ị x Ç 5 |r(x ) = |x|}, bây giờ ta sẽ chứng minh (5,J) là một matroid.

Để làm được điều này, trước tiên ta đưa ra bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.1. Cho E là một tập hữu hạn và r là một hàm trên 2E thỏa mãn điều kiện
R(3i). N ế u X , Y e 2E y y G Y —X , r ( X и y) = r { x ) thì r ( X u y ) = r ( x) .

Chứng minh
Cho X — Y — { j | ,

-^Ук}- Ta xét phép quy nạp theo к.

Nếu к = 1 bài toán hiển nhiên là đúng.
Giả sử bài toán đúng với k = n, cần chứng minh bài toán đúng với к = n + 1.

7


r(X ) + r(X ) = r ( Z U { y i ,> ?2 ,..-,>'/t}) + K ^ u >’« + 0

> r((X U {yi,);2,--.,);J ) U ( X U j „ + l)) + r((X U {ji,} 72,--,)7-t} ) n ( X U ^ + 1))
= r ( x u {)’! ,);2, - , y i c + 1}) + r(X)

o r(X) > /•(XU{}'i,)’2 v , ) ' t + 1})
Theo R(2i) suy ra (X u { > ’ 1 ,>’2 ,
+ 1}) Q X, vô lý, suy ra
r(X) = r ( x u {>’1 ,}’2 , •••,}’£: + 1})

□

Ta trở lại phần chứng minh (S,J) là matroid. Theo Rị li), 0 > r(0) > |0|nên
r|0| = |0| suy ra 0 G 0. Mị l i ) được thỏa mãn.
Cho / e J ,/' C /. Khi đó rự) = |/|. Theo R(3i)
rự ' u (/ —/ ) ) + r { ỉ n (/ —/ ) ) > r ( / ) + r ( / - / ) > r(//) + r ( 7 - / )

^r(/) + r(0) >r(/) + r(/-/)

(1)

Nhưng r(ỉ) — |/| và r(0) = 0. Ngoài ra, theo R(2i), r ự ) > | / | và r(I —ĩ ) >
\I —ĩ \ và (1) suy ra
|/| > r ự ) + r ( I - í ) > | / | + | / - / ' | = |/|
=> r ự ) = |/1

I G J. M(2/J được thỏa mãn.

Để chứng minh J thỏa mãn M(3i), giả sử ngược lại.
Cho /ị , / 2 G ũ với |/| I < I/2 I và Ve £

( /2

—/1 ),/j u £ e J. Khi đó , Vé’, r(/i u e) Ỷ

|/j Ue\. Do đó, theo R ịli), R(2i) và / e 3. ta nhận được \fe:
|/, I + 1 > r(/i U^) > r(/,) =

/1

<£> (/1 Ue ) = |/i I

Áp dụng bổ đề trên với X = I\ và Y = h , ta có /*(/]) = rự\ u / 2 ). Nhưng|/] I =
r ự I) và rự\ u / 2 ) < r ự 2) = 1/ 2 1, nên |/i I < |/2|, mâu thuẫn với |/| I <: |/2|.
Suy ra 3 thỏa mãn M(3i). Vậy (S, 3) là một matroid.

□

Ví dụ 1.3.1.

Xét ma trận A và matroid như ở ví dụ 1.2.1. Ta có một trong những không gian
vector cột của A là
/

1

1

0

0

\

1

1
0
0
0 5 1 5 0 5 0
1
1
0
0
0

0

0

1 V


Vì đây có 4 vector trong cơ sở và là tập độc lập tuyến tính lớn nhất nên hạng của
ma trận A là 4.
Quan sát ma trận

c các vector cột của A.
/

\

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

5

5

0

5

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

V

Kích thước của c là 5, hạng của c là 4 nên R(2i) được thỏa mãn.
Cho tập D sao cho D c c CA
\

/

1

1

0

1

0

1

0

í

1

5

0

0

0

1

0

0

0

>

Ta thấy rằng 3 = rị p) < r(c) — 4 nên điều kiện R(2i) được thỏa mãn.
Từ định nghĩa của matroid, điều kiện R(3i) được thỏa mãn với hai tập C,D c E.
r ( c UD ) + ĩ ị c n ữ ) < r(C) + r(D)
4+ 3 = 4+ 3

1.4.

Tiên đề vòng

Cho matroid M = (s , jf). Gọi mỗi tập phụ thuộc cực tiểu của M là một vòng, kí
hiệu G(M) là họ các vòng.
Nhận xét: Nếu bớt đi một phần tử của c thì ta được tập độc lập.
Định lý 1.4.1. Cho tập hữu hạn

s và

c là họ các tập con của

s. Khi đóc là tập

vòng của matroỉd M trên s khỉ và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
C(li) %ị Q.
C(2i) Nếu C\ ,C 2 6 c vồ C\ c C2 thì C\ = C2 .
C(3i) Nếu C\ ,C 2

6

c và e G C\ n C 2 thì tồn tại C3 G c, C3 c (Cl UC 2 ) —e.

9


Chứng minh
Ta chứng minh tập с được xây dựng như trên sẽ thỏa mãn ba điều kiện của Định
lý 1.4.1
Theo M(li) ta có 0 £ jF nên hiển nhiên ữ ị G, C(ỉi) được thỏa mãn.
Theo M(2i), nếu X e J , Y ç X thì Y G 3\ Khi ta thêm cùng một phần tử vào mỗi
tập X, Y thì được X , Y là các tập phụ thuộc tối tiểu và Y Ç x ' . Nếu Ý с X thì vô

lý vì một tập phụ thuộc tối tiểu không thể là con thực sự của một tập phụ thuộc tối
tiểu khác, suy ra Ý = x ' , C(2Ỉ) được thỏa mãn.
Cho c , , c 2 G С,С] Г1С2 = e. G iả sử không CÓC3 G с sao CI10C3 ç (Cl UC2) —e.

Ta CÓ Cl —e,C 2 — е,Сз ç ( с I UC 2 ) —e đều là các tập độc lập và |(C| UC 2 ) — e \>
IC\ —e\, |(Ci UC2 ) —e \ > |Сг —e\. Theo M(3i), xét hai tậpCị —е,Сз Ç (Cị UC2 ) —e
độc lập và |(Cị UC 2 ) —e\ > \Cị — e\ thì 3 / G ((Cl UC 2 ) — e) — (Cl —e) sao cho
(C, - e) u / G 3r. Mà / G ((Cl UC 2 ) —e) <^> / G (c2-e) suy ra |Сг —ể| > |C] - e\.
Tương tự ta có \C\ — e\ > |Сг —e\, mâu thuẫn chứng tỏ giả sử sai. Vậy điều kiện
C(3i) được thỏa mãn.

□

Cho С là họ tập con của s thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.4.1, c' là họ các
tập С với С С С. Như vậy С là tập độc lập, suy ra с ç

Theo định nghĩa ì. 1.1

{s , ể ) là một matroid.
Ví dụ 1.4.1. Cho đồ thị H bởi hình vẽ.
2

Hình 1.2: Đồ thị H

Ta có thể nhìn nhận một vòng là một chu trình trong lý thuyết dồ thị. Ta sẽ lấy
một vòng trong matroid M, là chu trình của H . Tập vòng của đồ thị H gồm:
{a, b, c, d, e}
10

{a,ej}
6, úí, g j{dj,g}
{b,c,g}
{b,c,d,f}
Quan sát các vòng trên ta thấy điều kiện C(li), C(2i) được thỏa mãn.
Xét vòng C\ — { a , e , f } ,C 2 = {a, b, c, d, e} thuộc c. Ta thấy hai vòng đều chứa
hai phần tử {«} và {^}. X étX = c 1 UC 2 .
2

Hình 1.3: Vòng c,

2

Hình 1.4: VòngC2
Có thể thấy ở đây ba vòng trong X là { ữ ,£ ,/} , {ữ,z?,c,d,e},

trong

đó, { b, c , d, f } là một vòng trong X mà không chứa cả {a } và {e}. Như vậy, điều
kiện C(3i) được thỏa mãn.

11


Chương 2

s ự LIÊN HỆ GIỮA
MATROID VÀ LÝ THUYẾT
Đ ồ THỊ
Sự liên hệ giữa matroid với lý thuyết đồ thị sẽ cung cấp thêm công cụ mang tính

lý thuyết có thể làm sáng tỏ nhiều vấn đề trong lý thuyết đồ thị. Tuy nhiên sự thay
thế hoàn toàn là không thể. Chẳng hạn trong ví dụ sau đây, hai đồ thị Q\ và Q2 là
không đẳng cấu nhưng hai matroid vòng M(Q\ ) và M(QÌ) là hai matroid đẳng cấu.

Ta nhắc lại, M\ = ( S\, 5^1 ) và М2 = (S2 , 3 2 ) được gọi là đẳng cấu nếu có song
ánh (p : S\ — » S 2 sao cho X ç Si ,x G 5 khi và chí khi
12

ọ(x)

E 3^2 .


Ở ví dụ trên, chỉ cần xét matroid rời rạc trên E(G 1 ) và EịGỉ) hiển nhiên ta thấy
M ( G \ ) và M{G 2 ) là đẳng cấu.
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số mối liên hệ giữa matroi với lý thuyết đồ
thị. Các kí hiệu liên quan tới lý thuyết đồ thị nói tới trong chương này được sử dụng
theo [5].

2.1.

Matroid vòng của đồ thị

Cho đồ thị G = (V,E), khái niệm matroid vòng của G, kí hiệu M(G) đã được
nói đến trong chương 1. Ở đó, cấu trúc độc lập của M( G) được xây dựng bởi các
tập cạnh không chứa chu trình của G.
Trong mục này ta sẽ nói đến sự liên hệ giữa matroid với đồ thị thông qua khái
niệm matroid vòng của đồ thị. Định lý sau có thể suy ra ngay từ định nghĩa.
Định lý 2.1.1. Cho đồ thị G — (V, £), khi đó mỗi chu trình của G sẽ tạo thành một
vòng của matroid M(G) trên tập cạnh E của G.

Một số tính chất khác.
Tính chất 2.1.1. Nếu đồ thị G là liên thông thì mỗi cơ sỏ của M(G) là một cây
khung của đồ thị G.
Chứng minh
Ta đã biết với đồ thị liên thông G có n đỉnh. Có thể hình dung một cách đơn
giản cây khung của G là đồ thị con kết nối mọi đỉnh của G và có /ì — 1 cạnh.
Nếu T là cây khung bất kỳ của đồ thị G và có 72— 1 cạnh thì T không chứa chu
trình. Nếu thêm vào T một cạnh thì T sẽ chứa chu trình và có n cạnh.
Ta đi chứng minh tập cây khung có n — 1 cạnh của đồ thị G là họ cơ sở. Trên đồ
thị G không có cây khung nào là con của cây khung nào nên B(ỉi) luôn thỏa mãn.
Xét cây khung p 1 , p2 của G v ầe 1 G P\ — P2 . Ta thêm 6\ vào P2 thì p2 có n cạnh
nên chứa một chu trình. Luôn tồn tại đỉnh
bớt đi

£2


thuộc chu trình của P2 ,e 2 Ỷ e\ để khi

thì p2 không chứa chu trình. Suy ra (P2 и P\ ) —^ 2 cũng là một cây khung.

B(2i) được thỏa mãn.

□

Từ tính chất trên, hiển nhiên ta thấy hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1. Nếu G không liên thông thì mỗi cơ sở của M(G) là một rừng khung
của G. Mỗi cây thuộc rừng khung là cây khung của một thành phần liên thông của
G.

13


Tính chất 2.1.2. Nếu G liên thông thì r(M(G)) — IV(G) — 1| (bằng số cạnh của
cây khung)
Chứng minh
Hàm hạng của một tập A là số phần tử của tập độc lập lớn nhất trong A. Theo
tính chất 2.1.1, ta có cây khung của G là cơ sở của M(G) hay chính là tập độc lập
lớn nhất. Vậy r(M(G)) bằng số cạnh của cây khung.

□

Từ tính chất này, hiển nhiên ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.2. Khi G không liên thông, r(M(G)) — |V(G) —k( G) I với k(G) là số
thành phần liên thông của đồ thị G.
Với mọi X Ç E{G), X là một đồ thị độc lập thỏa mãn tính chất trên. Từ đó hiển
nhiên ta có tính chất tiếp theo.
Tính chất 2.1.3. v x Ç E(G), r(X) — |V(X)Ị —k ( x ) với k(X) là số thành phần liên
thông của X
Ví dụ 2.1.1.
Cho đồ thị К như hình vẽ:

Hình 2.1: Đồ Thị к
Theo tính chất 2.1.1 ta có tập cơ sở của đồ thị gồm:
{a,b,c,d,e},{a,b,c,dj}, { b , c , d , e j } , { a , c ,d , e j }
{ a , b , đ , e , f } , { a , b , c , e , f } , {a, b, c, d, g} , {a, b, c, g, e}
{a j,e ,đ ,g }, {a ,f, g, e,c }, {c,d,g,f,a} , {b,c,d,g,f}
{b,g,f,e,d},{b,c,g,f,e}.
Theo tính chất 2.1.2 ta có:
14

r(M(G)) = \ v (G)| - 1 = 6 - 1 = 5
Ví dụ 2.1.2.
Trong hình 1.2, ta thấy các cơ sỏ của đồ thị H là:
{«,/?, c,d}, {a, e, d, c}, {b, c, d,e}
{b, a, e,d}, {c,b,a,e}, { c , b , f , e }
{ c , d j , a } , {c,g,a,e}, { c , g j , e }
Quan sát danh sách trên ta thấy điều kiện B(li) được thỏa mãn vì không có cơ
sở nào chứa cơ sở khác. Ta có thể chứng minh điều kiện B(2i) bằng việc xét hai cơ
sở. Nếu ta chọn B\ — {a, b, c, d} và B 2 — {c,£,£,£}, khi đó ta thấy cây khung của
Bị và

#2

trong hình 2.2 và hình 2.3.
2

Hình 2.2: Cây khung Bị

2

Hình 2.3: Cây khung

15

#2


Ta thấy, cây khung của đồ thị G có 5 đính và 4 cạnh. Chúng ta có thể chứng

minh B(2i) bằng cách thay cạnh a của B\ bởi cạnh e của # 2 sao cho

#3

là một cơ sỏ

mới. Bị — Bị — {ữ} u {2

Hình 2.4: Cây khung

#3

Làm tương tự với bất kỳ cơ sở nào ta đều thấy B(2i) được thỏa mãn.
Ta xem xét ví dụ sau để thấy rõ hơn hạng của matroid trong lý thuyết đồ thị.
Ví dụ 2.1.3.
Cho đa đồ thị p với tập cạnh E (đồ thị có khuyên a). Xét matroid vòng của M(G)
trên tập cạnh E.

f

Hình 2.5: Đồ thị G
Ta sẽ tính hạng của một số tập cạnh của G. Xét A cho bỏi hình 2.6 là đồ thị con
liên thông không chu trình của G (là tập con độc lập của M(G)).
Vì A là tập con độc lập của M(G) nên r(A) = |AI = 2 = 3 — 1.
Xét В cho bởi hình 2,7 là đồ thị con liên thông không có chu trình của G. Hạng
của В là 3 bởi vì tập con có số phần tử lớn nhất của

в

mà không chứa vòng là

{b,c,d}, ịb, c, e}, {b,e,d}, có 3 phần tử. в có 4 đỉnh, r(B) = 3 = 4 — 1.
16


с /

\

d

Hình 2.6: Đồ thị con A của G

Hình 2.7: Đồ thị con в của G

Hình 2.8: Đồ thị con с của G
Xét С cho bởi hình 2.8 là đồ thị con chỉ có một khuyên của G. r(C) = 0 = 1 — 1
e

f

Hình 2.9: Đồ thị con D của G
Xét D cho bởi hình 2.9 là đồ thị con của G. D có hai đỉnh và hai cạnh, r(D) =
1 = 2 -1 .

17


2.2.

Matroid đối ngẫu

2.2.1.

Đồ thị đối ngẫu

Cho đồ thị phẳng G. Xây dựng đồ thị đối ngẫu G* của G như sau.
Mỗi đỉnh của G* biểu diễn một miền của đồ thị phang G.
Với mỗi cạnh e của G, nếu e nằm trên ranh giới của hai miền thì G* có một cạnh
nối hai đỉnh của G* biểu diễn hai miền đó và gán cho nó nhãn chính là e. Nếu e
nằm trong một miền duy nhất thì G* một khuyên ở đỉnh tương ứng của G* rồi gán
cho nó nhãn là e.
Ví dụ 2.2.1.
Xây dựng đối ngẫu G* của đồ thị G được cho bởi Hình 1.1

Đồ thị G

Đồ thị G*
Hình 2.1: Đồ thị G* là đối ngẫu của đồ thị G

Họ các chu trình của đồ thị G* chính là họ các vòng của matroid

:

{{1,4}, {1,2,3}, {2,3,4}, {3,5,6}, { 1 ,2 ,5 ,6 },{2 ,4 ,5 ,6 }}
Mỗi vòng của G*, nếu loại đi các cạnh tương ứng ở G thì đồ thị G bị chia thành
hai phần. Một tập cạnh như thế gọi là lát cắt của đồ thị G. Từ ví dụ trên ta thấy một
lát cắt của đồ thị G là một vòng của M(G).
18

2.2.2. Maroid đối ngẫu
Định lý 2.2.1. Cho M — (s, 23) là một matroỉd trên s được định nghĩa theo tiên đề
cơ sở. Xét họ ъ* xấc định bởi
ъ* = { s - B \ B e % }
Khi đó họ B* cũng thiết lập một matroid M* = {s, Î3*} trên s.
Chứng minh
Sau đây ta sẽ chứng minh M* = (s, ъ*) là một matroid.
Ta có VÆ] ,B 2 £ "В, B\ Ç B2 và

#2

ç В], nên Ve G B\ , e Ệ B2. Với B\ = s —

B\ , B *2 = S —B 2 , ta suy r a e ị B*ị,e G B*2. Vậy thỏa mãn điền kiện B(li).
Cho B\,B*2 e Ъ*{М). Với j = 1,2, cho Bj = S - % * . Khi đó Bị e Ъ{ м) và
В* —

— B2 — B\. Theo Bị2i), X G B2 — B\ thì Зу E B\ — B2 sao cho (в 1 —у и

x) G Ъ( м) . Theo đó mà y G B j — B\ và S(M) — ((B\ —y) и y) G ъ * ( м) . Nhưng
S{M) - ({Bị —y) u x) =

- x ) U y = ( B \ - x ) u y). Suy га ъ * { м) thỏa

mãn B(2i). Vậy ъ* (м ) là cơ sở của matroid trên s hay M* = {51, 23*} là một matroid.

□
Matroid trong định lý 2.2.7 trên nền S(M) và họ cơ sở ъ * ( м ) được gọi là đối

ngẫu của M. Như vậy Ъ ( м *) = ъ*( м) .
Sự liên hệ giữa M và M* được nói đến trong định lý sau đây.
Định lý 2.2.2. Trên mỗi tập nền s ta luôn có (M * y = M.
Matroid đối ngẫu cũng cho ta thấy quan hệ rõ hơn giữa matroid và đồ thị.
Xét đồ thị G — (V,E), tập cạnh В С Е được gọi là lát cắt của đồ thị G nếu đồ thị
V,E —В có số phần tử liên thông lớn hơn của G.
Người ta chứng minh được rằng, họ tất cả các lát cắt cực tiểu của đồ thị G tạo
nên một họ các vòng (tập phụ thuộc nhỏ nhất) của matroid trên E(G). Kí hiệu là
M*(G). Định lý sau sẽ cho ta thấy một sự liên hệ đặc biệt.
Định lý 2.2.3. Với mọi đồ thị G — (V,E), ta luôn có M*(G) — (M(G))*, trong đỏ
M(G) là matroid vòng của G, M*(G) là matroid với lát cắt cực tiểu của đồ thị G.
Chứng minh
Ta có M(G) là matroid vòng của G hay M( G) — (E(G),C*) trong đó c* là tập
không chứa vòng của G. (M(G)Y = (E(G*),Q),Q là tập chứa vòng của G*. Mà
vòng của G* là lát cắt cực tiểu của G chính là matroid với lát cắt cực tiểu của G.
Suy ra ( M ( G ) y — M* { G) .

□

19


Chương 3

s ự LIÊN HỆ GIỮA
MATROID VỎI
TRANSVERSAL
3.1.

Khái niệm transversal

Ở chương này ta sẽ xem xét kết quả của một bài toán thực tế có tên "đám cưới
vùng quê". Bài toán đám cưới vùng quê được phát biểu như sau: có m chàng trai
đến tuổi lấy vợ, với mỗi chàng trai i, ta biết tập Sị các cô gái mà chàng trai thích.
Hỏi rằng có thể ghép mỗi cô cho mỗi chàng mà chàng nào cũng vừa ý hay không?
Nếu như có một cách ghép đôi thỏa mãn bài toán thì ta gọi kết quả đó là một hệ đại
diện phân biệt hay transversal. Sau đây ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về cấu trúc transversal.
Định nghĩa 3.1.1. Cho Л là họ {Aị ,Ấ 2 ,

các tập con của tập E hữu hạn.

Một tập con { * 1 ,* 2 , -- л } của E là một transversal bộ phận của Л nếu đó là sự
tương ứng một một từ tập { 1 , 2 đến tập { 1 , 2 , m} sao cho Xị G A;V/.
Với k = m thì transversal bộ phận được gọi là transversal.
Ví dụ 3.1.1.
Xét tập E = { 1 ,2 ,3,4,5,6 ,7 }. Cho Л = ({1,2,4}, {2 ,3 ,5 ,6 }, {5,6}, {7}) có
{2,3,6,7} là một transversal vì 2, 3, 6, 7 lần lượt thuộc A \,А 2 ,Аз,А 4 .

20


Л có thể được biểu diễn bằng đồ thị hai phía với các đỉnh bên trái biểu diễn cho
các phần tử thuộc E, các đỉnh bên phải biểu diễn cho các phần tử thuộc Л , gọi là đồ
thị T (Л). Gọi A là đồ thị biểu diễn một transversal của Л

(a)
(b)
Hình 3.1: (a) Đồ thị T( A), (b) đồ thị л .

3.2.

Sự liên hệ giữa matroid vối transversal

Định lý 3.2.1. Cho Л là họ các tập con của E hữu hạn. Cho J là họ tất cả các
transversal bộ phận của Л. Khi đó (E,3) là một matroỉd.
Chứng minh
Rõ ràng mọi tập con của một transversal bộ phận là một transversal bộ phận,
nên điều kiện M(2i) được thỏa mãn.
Tập 0 là một transversal của họ rỗng các tập con của л nên điều kiện M(li)
được thỏa mãn.
Ta xây dựng đồ thị hai phía Л như sau: Gán nhãn cho một lớp đỉnh của đồ thị
bởi các phần tử của E và một lớp đỉnh bởi các tập A\ ,Ấ2> " ’Лт trong Л.
Đặt một cạnh từ một phần tử e G E đến một phần tử Aj nếu nó đại diện cho Aj
là một phần tử thuộc Л.
Cho X và Y là hai transversal bộ phận là phần tử của Л và |x | = |y| + 1. Ta
xét đồ thị hai phía Л chỉ đối với hai tập X, Y. Các cạnh đại diện cho tập X tô màu
xanh còn đại diện cho tập Y thì tô màu đỏ, cách cạnh giống nhau thì coi là vừa màu
xanh và màu đỏ. Như vậy ta sẽ có IX — Y\ cạnh màu xanh và IY - XI cạnh màu đỏ và

21