Khoá luận tốt nghiệp toán phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

TRƯ Ờ N G ĐẠI H Ọ C s ư PH Ạ M HÀ N Ộ I 2
K H O A TOÁN
ẶẶĩịíẶ ẶíỊ:

ĐOÀN THỊ LINH

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Tự LIÊN HỢP BỊ CHẶN

KHÓA LUẬN T Ố T N G H IỆ P Đ ẠI H Ọ C
C huyên n g àn h : G iải tích

Người hướng dẫn khoa học:
ThS. HOÀNG NGỌC TUẤN


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận này, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có
thế hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài khóa luận này.


L Ờ I CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận "Phổ của to án tử tuyến tín h tự liên hợp bị
chặn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn không

trùng với bất kì đề tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày

tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Đoàn Thị Linh


Mục lục
Lồi M ở đ ầ u ..........................
C hương 1. M ột số kiến th ứ c ch u ẩn bị
1. 1. K hông gian đỉnh chuẩn

1.2. K hông gian H ilb e rt
1.2 .1. Đ ịnh nghĩa không gian H ilbert

1 .2 .2 . Toán tử liên hợp
1.2.3. Tính trực giao

1.3. Pho của toán tư tuyên tín h
C hương 2. p h ổ của toán tử tuyến tín h tự liên hợp bị chặn

2. 1. C ác tín h ch ất p h ổ của to án tử tuyến tín h tự liên hợp bị chặn
2. 1. 1. Đ ịnh lý giá trị riêng, vectơ riêng

2 . 1.2 . Định lý tập giải thức

2.1.3. Đ ịnh lí phố

2.2. M ột số tín h ch ất phô khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn
10
2 .2 .1. Đ ịnh lý phố

10

2 .2 .2 . Đ ịnh lý chuẩn

11

2.2.3. Định lý (m và M là các giá trị phổ)

11

2.2.4. Đ ịnh lý phổ thặng dư

12

2.3. Toán tử dương

13

2.3.1. Đ ịnh lý tích của toán tử dương

13

2.3.2. Định nghĩa dãy đơn điệu

15

2.3.3. Đ ịnh lý dãy đơn điệu

16

3


2.4. C ăn bậc h ai của toán tử dương

17

2.4.1. Đ ịnh nghĩa căn bậc hai dương

17

2.4.2. Định lý căn bậc hai dương

18

2.5. P hép chiếu toán tử

20

2.5.1. Đ ịnh lý phép chiếu

21

2.5.2. Định lý tính dương, chuẩn

22

2.5.3. Định lý tích của các phép chiếu

22

2.5.4. Đ ịnh lý tổng của các phép chiếu

23

2.6. C ác tín h ch ất kh ác của phép chiếu

24

2.6. 1. Đ ịnh lý quan hệ thứ tự riêng

24

2.6.2. Định lý hiệu của các phép chiếu

25

2.6.3. Đ ịnh lý dãy đơn điệu tăne

26

2.7. Họ phô của m ột toán tử tuyến tín h tự liên hợp bị chặn

28

2.7.1. Đ ịnh nghĩa họ phố

28

2.7.2. Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

32

2.7.3. M ệnh đề toán tử liên hợp với T

33

2.7.4. Bổ đề các toán tử liên quan với 7 \

35

2.7.5. Đ ịnh lý họ phố liên kết với m ột toán tử

36

2.8. Biểu diễn phô của toán tử tuyến tín h tự liên hợp bị chặn

39

2 .8 . 1. Đ ịnh lý phố cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

39

2.8.2. Định lý các tính chất của p { T)

42

K ết lu ận

44

Tài liệu th a m khảo

45


L Ờ I M Ở ĐẦU
1. L í do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phố đóng vai trò quan trọng trong Giải
tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó được nhiều nhà toán học quan
tâm. Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới được cung cấp một số kiến
thức cơ bán của toán tử tuyến tính liên tục. Mục đích của khoá luận là tìm hiểu,
nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn. Với mục
đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, em tìm hiểu các khái niệm và các tính chất
cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh đề định lý có trong các tài liệu.
2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
3. P hư ơng p h áp nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu dựa trên sự kết hợp của các phương pháp: nghiên cứu lý luận,
phân tích, tổng hợp, đánh giá.
4. P h ạm vi nghiên cứu
Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số tính chất
phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
5. Bố cục đề tài

Bố cục của đề tài bao gồm :
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
1. Không gian định chuẩn.
2. Không gian Hilbert.
Chương 2: Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
1. Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
2. Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
3. Toán tử dương.
4. Căn bậc hai của toán tử dương.
5. Phép chiếu toán tử.

6 . Các tính chất của phép chiếu.
7. Họ phố.

8. Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
9. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận
không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

1


Chương 1

Môt số kiến thức chuẩn bi
1.1.

Không gian định chuẩn

Đ ỉnh nghĩa 1.1.1. Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p (P = R hoặc C) cùng với ánh
xạ 1111 :X — > R thỏa mãn các tiên đ ề sau:
1. Vx £ X, II Jt|| ^ 0,11*11 = 0 <(=>X = 0.
2. Vx £ X,Voc £ p, II ccx\ \ — |a | • \ \x\\.
3.

e X, I\x + ỵ 11 ^ 11X11 + 11y 11.

Số 11X 11 được gọi là chuẩn của vectơ X.
Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đ ề chuẩn.
Đ ỉnh nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản
nếu:
lim ||x „ - x m II = 0 .

n,m—

Đ ịnh nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Đ ỉnh nghĩa 1.1.4. Cho hai không gian tuyến tính bất kì X, Y trên trường p (P — R
hoặc C). M ột ánh xạ T :X — >Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu
i) T (x 1 + x 2) = r ( * i) + r ( * 2),V x i ,*2 e X .
ii) T (a x ) — ocTx,\/oc,Vx G X.

2


Điều kiện tương đương
T(dC\X\

với mọi

+ •••+

C C k^k

)

— Oí]Tx\ + • • • + 0Í£T Xk,

, Xk thuộc X và với mọi

, a k.

Nếu X = Y thì ta nói T là một toán tử trong X.
Đ inh nghĩa 1.1.5. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử T : X — >Y
gọi ỉà liên tục nếu
x„ — > X() thì

T xn — > T xQ.

Đ inh nghĩa 1.1.6. Toán tử T :X — >Y gọi là bị chặn nếu có một hằng số c > 0 đ ể
với mọi X G X:
(*)
Đ ịnh lý 1.1.1. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Khi đó ba mệnh đề sau tương đương
1. T liên tục.
2. T liên tục tại điểm

Xị)

nào đó thuộc X.

3. T bị chặn.
Đ ịnh nghĩa 1.1.7. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Hằng số c > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (*) gọi là
chuẩn của toán tử T và k í hiệu là
Đ ịnh lý 1.1.2. Cho toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y. Nếu toán tử T bị chặn thì
T 11 = sup 11T
ịịxịị^l
hay,
T

— sup 11T

Đ inh nghĩa 1.1.8. Toán tử tuyến tính T : X — > Y (X, Y là hai không gian định
chuẩn) gọi là ĩoán tử compacĩ nếu T biến một ĩập bị chặn bấĩ kì trong X thành tập
compact tương đối trong Y.
Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

3


1.2.

Không gian Hilbert

1.2.1.

Định nghĩa không gian Hilbert

Đ ỉnh nghĩa 1.2.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường p (P —R hoặc C) ta
gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào
trường p, kí hiệu

thỏa mãn tiên đề:

1. v*,y e X , (ỵ,x) = (ỵ,x).
2. Vx,j, z e X : {x + y,z) = (x,z) + (y,z).
3. Vx,y G X, V a E p : (otx,y) = a (x,y).
4. Vx G X , (x,x) ^ 0, (x, x) — 0 o - X — 6,
X, ỵ, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,ỵ) gọi là tích vô hướng của hai

nhân tử X , ỵ. Các tiên đề 1, 2, 3, 4 gọi là hệ tiên đề tích vỏ hướng.
Đ ịnh nghĩa 1.2.2. Tập H Ỷ 0 g(Ằ)m những phần tử X, ỵ, z, ... nào đó là không gian
Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng;
3. H là không gian Banach với chuẩn 11X 11 = y / (x,x),Vx E H.
Ta gọi mọi không gian con đóng của không gian H ilbert H là không gian Hilbert
con của không gian H.

1.2.2.

Toán tử liên hợp

Đ ỉnh nghĩa 1.2.3. Cho T : H\ — > Hi là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong đó
H I và ỈỈ 2 là không gian Hilbert. Khi đó toán tử liên hợp T* của T là toán tử
T * : H 2 — ►Hị

sao cho với mọi X E H\ và y E Hi,
(T x,y ) = ( x , r y ).
Đ ịnh lý 1.2.1. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian H ilbert X vào
không gian Hilberl Y. Khi đổ tồn tại toán lử T* liên hợp với loúri tử T ánh xạ không
gian Y vào không gian X.

4


Đ ịnh lý 1.2.2. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y. Khi đó toán tử liên hợp T* với toán tử T cũng là toán tử tuyến
tính bị chặn và

Đ ịnh nghĩa 1.2.4. Toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó gọi là tự liên hợp nếu
(Tx,y) = {x,Ty).
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Đ ịnh lý 1.2.3. Cho toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó. Khỉ đó T là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Tx,x) là số thực với
mọi X G H.
Đ ịnh lý 1.2.4. Tích của hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn s và T trên không
gian H ilbert H là tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó giao hoán
ST = TS.

1.2.3.

Tính trực giao

Đ ỉnh nghĩa 1.2.5. Cho H là không gian Hilbert. Ta nói hai phần tử x ,ỵ G H là trực
giao với nhau nếu (x ,y ) = 0, và được k í hiệu là X _L y.

Cho A là tập con khác rỗng của H, X G H. Khi đó, ta nói X trực giao với A nếu
X trực giao với mọi phần tử trong A, và được k í hiệu là X L A .
Đ ịnh nghĩa 1.2.6. Cho H là không gian Hilbert, E là không gian vectơ con của H.
Tập hợp F c H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực giao của E
trong H và được k í hiệu là: E ~ .
T ính ch ất cơ b ản
1. X _L ỵ, Vy E H o X ^ 0 .
2 .0 ± H .
3. Nếu X _L A, A = {yi ,y 2?• • • ơ n } c H thì X trực giao với mọi tổ hợp tuyến tính
các phần tử trong A.
4. Giả sử X J_ x n, V/7 ^ 1 và lấy dãy x n hội tụ đến y khi lĩ — > oo thì X J_ y.

5


5. A trù mật khắp nơi trong H, X _L A
B ất đ ẳn g th ứ c Schw arz: Giả sử

X — 6.

là một tích vô hướng trên X. Khi đó

\(x,y) \ ^ ^ ( x 1x ) . ^ / ( y , y ) , y x 1y e x .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X, y phụ thuộc tuyến tính.
M ệnh đề không gian không: Phần bù trực giao Y 1 của một không gian con đóng
Y của không gian Hilbert H là không gian không j V(P) của phép chiếu trực giao p
từ H lên Y.

1.3.

Phổ của toán tử tuyến tính

Cho X Ỷ ị 0 } là không gian chuẩn phức và T \ 3>(T) — » X là một toán tử tuyến
tính với miền xác định @(T) c x . Một giá trị chính quy Ằ của T là một số phức sao
cho:
( 1) R x ự ) tồn tại.
(2)

(T) bị chặn.

(3) R-x Ợ ) xác định trên tập trù mật trong X.
Tập giải thức p { T ) của T là tập các giá trị chính quy Ằ của T.
Phần bù ơ{ T ) — c —p ( r ) trong mặt phẳng phức c được gọi là phổ của T, và
Ằ G ơ ( r ) được gọi là một giá trị phổ của T. Hơn nữa, phổ ơ ( T ) được phân chia
thành ba tập rời rạc dưới đây:
• Phổ điểm: ơp(T) là tập sao cho Rx ( T ) không tồn tại. Một Ằ G ơp(T) được
gọi là một giá trị riêng của T.
• Phổ liên tục: ƠC(T) là một tập sao cho Rỵ (T ) tồn tại và thỏa mãn (3) nhưng
không thỏa mãn (2), tức là Rx (T) không bị chặn.
• Phố thặng dư: ơ r(T) là tập sao cho

tồn tại (có thể bị chặn hoặc không)

nhưng không thỏa mãn (3), tức là miền xác định của R ị { T ) không trù mật
trong X.
Chú ý:

1.c = p ( ỉ ) u ơ ( ĩ ) .
2. Rx ( T ) tồn tại khi và chỉ khi TịX — o hay (T — Xl ) x — 0 thì X = 0. Do đó, nếu

(T — Xl ) x — 0 với X Ỷ 0 nào đó thì Ằ G ơp(T).

6


Chương 2

phổ của toán tử tuyến tính tự
liên hợp bị chặn
2 .1 .

Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên
hợp bị chặn

2.1.1.

Định lý giá trị riêng, vectơ riêng

Đ ịnh lý 2.1.1. Cho T : H —> H lcì một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
một không gian H ilbert phức H. Khi đó
(a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực.
(b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T là trực
giao.
Chứng minh, (a) cho Ằ là giá trị riêng bất kì của T và X là một vectơ riêng tương
ứng. Khi đó X Ỷ 0 và T x — Xx. Theo tính tự liên hợp của T ta có
Ằ (x,x) — (Ảx,x)

—

(T x , x )

—

(x, Tx) — (x,Ằx) = Ằ ( x , x ) .

Ờ đây, (x,x) — ||* ||2 / 0 vì X / 0, và chia 2 vế cho (x,x) ta có Ằ = Ằ. Do đó, Ằ là
số thực.
(b) Cho Ằ và /1 là các giá trị riêng của T, và cho X, y là các vectơ riêng tương

7


ứng. Khi đó Tx — Ảx và Ty — Ịly. Vì T là tự liên hợp và ỊẤ là số thực,
Ằ (x,y) = (Ảx,y)

=

(Tx,y)

=

(x, Ty) = {x, ịiy) = /i (x,y) .

Vì Ằ / /i, nên (*,y) = 0, nó là cơ sở trực giao của X và y.

□

Thậm chí, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực. Kết quả
chú ý này sẽ có được từ những đặc tning dưới đây của tập giải thức p ( T ) của T.

2.1.2. Định lý tập giải thức
Đ ịnh lý 2.1.2. Cho T : H — » H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
không gian Hilbert phức H. Khi đó, một số Ằ thuộc tập giải thức p ( T ) của T khi và
chỉ khi tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi X £ H ta cỏ
(2)

117^11 ằ c l M I ,

(TẰ = T - Ả I ) .

Chứng minh, (a) Nếu Ằ G p ( ỉ ) , thì RẢ — T ~ l : H — >H tồn tại và bị chặn, tức là
11Rx 11 = k (k > 0), vì R ị ^ 0. Vì / = Rx T\ , nên với mỗi X £ H ta có

Chia hai vế cho k ta được 11TịX II ^ c 11X11, trong đó c — J.
(b) Ngược lại, giả sử (2) đúng với một số c > 0 cố định với mọi X e H. Khi đó ta
chứng minh được:
(a ) T Ả : H — > TX(H) là song ánh;
(j8 ) Tx(H) trù mật trong H;
( 7 ) Tx(H) đóng trong H, để cho Tx(H) — H và

bị chặn bởi phép

nghịch đảo bị chặn.
( a ) Ta có TẢX\ = T^X2 => X\ = X 2 . VI Tỵ là tuyến tính nên từ (2) ta suy ra được
0 = \\TẢXị - T ảx 2 \\ = \ \TX(X] - x 2)\ \ ì ^ c ị ị x ị - x 2 \\;
do đó, 11JC| - X2 11 = 0 vì c > 0, và Xị — X2 - Vì X\ ,X2 là tùy ý, ta có toán tử Tx : H — >
Tỵ (H) là song ánh.
(ß) Ta nhận thấy rằng Xo -L Tỵ (H) =>• Xo — 0, để Tỵ (H) — H bởi Định lý phép
chiếu. Cho Xo _L Tỵ (H). Khi đó Xo -L Tx (H). Do đó, Vx G H, ta có
0 = (TẢX,X0) = (T x , x 0) - Ằ (*,* 0) •

8


Vì T là tự liên hợp, nên ta có
(*,7*o) = ( Tx, x o) = ( x , Ả x o \ ,
để TXo — X xq. Một nghiệm là Xo = 0, và *0 / 0 là không thể vì Ằ là một giá trị riêng
của T, để Ằ = Ằ bởi 2.1.1 và T Xo —

= T^x 0 = 0, và (2) dẫn đến mâu thuẫn

0 = II 7 ^ 0 II ^ c ||* o || > 0
vì c > 0. Kết quả là Xo = 0. Vì vậy, Tỵ ( H) 1- — {0} vì Xo là vectơ trực giao bất kì từ
7\ (H). Do đó Tx (H) = H, nghĩa là, Tị (H ) trù mật trong H.
(y) Cuối cùng ta chứng minh rằng ỵ G Tỵ (H) thì y G Tx (//), để Tx (H) là đóng,
và Tx (H) — H bởi (jS). Lấy ỵ € Tx ( //), khi đó có một dãy (ỵn) trong y G Tx (H), hội
tụ tới y. Vì yn e Tx (//), ta có yn — Tỵx,J với

11%n

c

II ^

e H. Bởi (2), ta có
II

C^/1)11 —
c

II

11•

Do đó (jc„) là dãy Cauchy vì (yn) hội tụ. H là không gian đủ, nên (xn) hội tụ, nghĩa
là, x n — >X. Vì T là liên tục, nên Tỵ cũng liên tục, và y n — Tỵxn — y TịX. Theo
định nghĩa, TỵX G 7 \ (H). Vì giới hạn là duy nhất, nên TỵX = y, để y G Tị (H). Do
đó, Tx(H) là đóng vì y G T^(H) là tùy ý. Do đó, T ị ( H) — H bởi (j8 ). Nghĩa là,
R ị — T 7 1 được xác định trên toàn H, và bị chặn, nó được trực tiếp suy ra từ (2). Do
đó, Ằ G p ( T ) .

2.1.3.

□

Đỉnh lí phổ

Đ ịnh lý 2.1.3. Phô ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — » H
trên không gian H ilbert phức H là số thực.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.1.2, ta thấy rằng Ả — a + iị3, ( a , ß là số thực) với
ß Ỷ 0 thuộc p ự ) , để p ự ) c R.
Với mỗi

thuộc H ta có
{TẢx,x) = (Tx,x) - X (x,x)

và, vì {x,x) và {Tx,x) là số thực nên,
(TẢx,x) = (Tx,x) - Ằ ( x , x ) .

9

Ở đây, Ằ = a — iß. Bằng cách trừ vế với vế,
(TẢx,x) - (TẢx,x) = ( Ằ - Ằ ) {x,x) = 2iß ||x ||2 .
v ế trái bằng —2ilm (T^x.x), trong đó Im là kí hiệu phần ảo. Biểu thức cuối không
thể vượt quá giá trị tuyệt đối. Chia biểu thức cuối cho 2, lấy giá trị tuyệt đối và áp
dụng bất đẳng thức Schwarz, ta được
\ß\ IW I 2 = Ựm(TẦx,x)\ ắ 1(7**,*) I ắ II Txx\\ ||x ||.
C hia cho 11JE11 / 0 được 1/31• 11X11

II TịX 11. Nếu / 3 / 0 , thì Ằ G p ( T ) bởi định lý

trước. Do đó, với Ằ G ơ ( T ) ta có ß — 0, nghĩa là Ằ là số thực.

2.2.

□

Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính
tự liên hợp bị chặn

Phố ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực. Điều đó đã
được chứng minh trong mục trước. Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tả
chi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng.

2.2.1.

Định lý phổ

Đ ịnh lý 2.2.1. P h ổ của ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — >H
trên không gian Hilbert phức H nằm trên đoạn đóng [m, M ] trên trục số thực, ở đó

(1)

m=

inf (T x ,x ),
IWH

M=

sup (Tx, x) .
11*11=1

Chứng minh. ơ ( T ) nằm trên trục thực (bởi 2.1.3). Ta thấy bất kì số thực Ằ = M + c
với c > 0 thuộc tập giải thức p ( T ) . Với

= II jc||_i X ta có

= 11*11 u và

(Tx,x) = | | x ||2 ( T v , v) ^ IIx ||2 sup ( T v , v ) = (x, x) M.
p ||= i
Từ đó, —(Tx,x) ^ —(x,x) M. Theo bất đẳng thức Schwarz ta có
||7 \ x || • 11*11 ằ ~ ( T xx,x)

=

- ( T x , x ) + Ả(x ,x)

^

(—M + Ằ) ( x, x)

_— IIc\\x\\
l|2 ,
trong đó, c — Ằ - M > 0 bởi giả thiết. Chia cho 11X11ta được bất đẳng thức 11T^x 11^
c 11X11. Do đó Ằ G p (T) bởi 2.1.2. Với Ằ < m, ta chứng minh tương tự.
10

□


2.2.2.

Định lý chuẩn

Đ ịnh lý 2.2.2. Với toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn bất kì T trên không gian
Hilbert phức H ta có
(2 )

IIT II = m ax(\m \ , |M |) = sup |( r x ,x ) |.
11*11-1

Chứng minh. Theo bất đẳng thức Schwarz,
sup I(T’jc, je) I ắ sup II 7"jc 11 • \\x\\ = II T II,
11*11=1
IMI = 1
nghĩa là, K ^ 11T 11, trong đó K kí hiệu cho biểu thức bên trái. Ta thấy rằng 11T 11ắ
K. Nếu Tz = 0 với z bất kì thì T = 0. Mặt khác, với z bất kì thỏa mãn Tz Ỷ 0, ta đặt
V = \ \ T z \ \ * z v k w = II 7^ II ^ Tz- Khi đó, II V ||2 = II w \\2 — II Tz\\.
Ta đặt y\

— V+ w và J 2 = V — W. Khi đó T là tự liên hợp,
(Tyi , y i ) - {Ty2,yi)

=

= 2 ( ( T z , T z ) + ( T 2z , z ))

(3)

=
Với y

2 ( ( r V, w) + (Tw, v))

M\Tz\\2 .

O v ầ x = 11y 11- y ta có y — 11y 11X và

\(Ty,y)\ = ||y||2l(7X*)l ắ IWI2

Kr *’*)l = *IMI2-

Theo bất đẳng thức tam giác và tính toán đơn giản ta có

l(7>i,);i) - (Ty2ìy2)\

ắ

|(7>I ơ\ >1+ I(7>2,y2>|

ắ

^(ILvi II2 + 11^2 II2)

=

2AT( 11 u ||2 + | M | 2)

=

4^ | | r z ||.

Từ đó và (3) ta có 4 11Tz 112 ^ 4ẤT11Tz 11. Do đó 11Tz 11 ^ K. Lấy cận trên đúng với
mọi z, ta có 11T 11 ^ K. Cùng với K ầ 11T 11ta có (2).

2.2.3.

□

Định lý (m và M là các giá trị phổ)

Đ ịnh lý 2.2.3. Cho H và T như trong Định lý 2.2.1 và H Ỷ {0}- Khi đó m và M xác
định trong ( ì) là các giá trị phô của T.
11


Chứng minh. Ta có M G ơ ( T ) . Theo định lý ánh xạ phổ, phổ của T + kl (k là hằng
số thực) có được từ phổ của T bằng phép tịnh tiến, và
M epự)

<=>

M + k e ơ { T + kĩ).

Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử 0 ^ m ^ M . Khi đó theo định lý trước ta
M — sup (Tx,x) — II T II.
Theo định nghĩa của cận trên đúng, có một dãy (x„) sao cho
11*1*11 = 1,

ồn ^ 0,

(Txn,xn) = M - ỏn,

ôn — > 0.

Khi đó 11Tx n 11 ^ 11T 11• 11x„ 11 — 11T 11 = M, và vì T tự liên hợp,
II Txn — Mx n ||2

=

(Txn — M x n, T x n — Mx n)

=

\\Tx„ 112 —2M (Txn,xn) + M 2 \\xn \\2

ắ

M 2 —2 M( M —ổ„) + M 2 = 2M ôn

—>

0.

Do đó, không có c dương sao cho
II TMx n II = II T xn - M x n II ^ c = c\ \ xn II

(\\xn II = 1).

Định lý 2.1.2 cho thấy X = M không thuộc tập giải thức của T. Do đó M G ơ ( T ) .
Với Ằ = m chứng minh tương tự.

2.2.4.

□

Định lý phô thặng dư

Đ ịnh lý 2.2.4. Phô thặng dư ơ r(T) của toán tử tuyến tính tự liên hợp

bịchặn

T : H — >H trên không gian Hilbert phức H là rỗng.
Chứng minh. Ta nhận thấy rằng giả sử ơ r(T) Ỷ 0 dẫn tới một mâu thuẫn.Cho
Ằ G ơr(T). Theo định nghĩa của ơ r(T), tồn tại nghịch đảo của Tỵ nhưng miền xác
định của nó

1) không trù mật trong H. Do đó theo định lý phép chiếu có y Ỷ 0

thuộc H trực giao với

1). Mà

1) là miền của T ị , do đó

(TẦx , y ) = 0

VxeH.

Vì X là số thực (2.1.3) và T là tự liên hợp, nên ta có (*, Tị}’) — 0, vớimọi X.
X — Txỵ, ta có II Tỵy 112 = 0, sao cho

Tỵy = Ty - Xy = 0.
12

Lấy


Vì y Ỷ 0, ta có Ả là giá trị riêng của T. Nhưng nó mâu thuẫn với Ằ G ơr(T). Do đó,
ơ r(T) / 0 là không thể suy ra ơ r(T) — 0 .

2.3.

□

Toán tử dương

Nếu T là tự liên hợp, (Tx,x) là số thực, như đã biết ở mục 2.1. Do đó ta có thể
xét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert

phức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự ^ bởi định nghĩa
Tị^T2

(1)

(Tịx,x) ắ ( 72*,*)

^

với mọi X G H. Thay vì Tị ^ Ĩ 2 ta cũng viết Ĩ 2 ^ T \ .
Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn
T : H — >H được gọi là toán tử dương, kí hiệu
(2)

r^ o

khi và chỉ khi

(Tx,x) ^ 0, Vx £ H.

Thay vì viết T ^ 0 ta cũng viết 0 ^ T. Thực tế, một toán tử như vậy được gọi là
không âm, nhưng thông thường người ta gọi là toán tử dương.
Chú ý mối liên hệ đơn giản giữa (1) và (2), tức là,
Tx ^ T 2

^

0^72-7!,

nghĩa là, (1) đúng khi và chỉ khi 72 —Tị là dương.

Phần này và phần sau chúng ta sẽ nói về toán tử dương và căn bậc hai của chúng,
hơn nữa, nó cũng là phương tiện trong phép lấy đạo hàm của một phép biểu diễn
phố cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này.
Tổng của các toán tử dương là dương.
Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi
và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dương
được bảo toàn.

2.3.1.

Định lý tích của toán tử dương

Đ ịnh lý 2.3.1. Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn s và T trên không gian
Hilbert H là dương và giao hoán (ST = TS), thì tích của chúng ST là dương.

13


Chứng minh. Ta có (S T x , x ) ^ 0,Vx e H. Nếu 5 = 0, định lý đúng. Nếu s Ỷ 0 ta
thực hiện hai bước (a) và (b):
(a) ta xét
(3)

sn+l=s„-s2
„

^ = ^ 5 ,

(n = 1, 2 ,-*-),

và chứng minh bằng quy nạp
O S S n ấ /.

(4)

(b) Ta chứng minh rằng (STx,x) ^ 0, với mọi X E H.
Chứng minh chi tiết dưới đây
(a)

Với n = 1 bất đẳng thức (4) đúng. Thật vậy, giả sử 0 ^ s suy ra 0 ^ S \ , và

S\ ^ I thu được nhờ việc áp dụng bất đẳng thức Schwarz và bất đắng thức 11Sx 11
PII-IWI:
{SìX,x) = p ĩ ĩ < S x , í ) ắ Ị ỊJ Ị Ị 11511 • 11*11 ắ I W |2 = ự x ,x ) .

Giả sử (4) đúng với n = k, nghĩa là,
0^Sk£ ĩ

0 ^ ỉ - S k Sl-

=>

Khi đó, vì Sk là tự liên hợp với X £ H và ỵ — s kx nên ta có
( s 2k ự - s k)x,x)

=

( ự - s k) s kx , s kx)

= (ự -st)y,y)ầ 0 Theo định nghĩa điều đó chứng minh

s ịự -s k)^o.
Tương tự,

stự - s k)2^

0.

Cộng vế với vế và rút gọn ta được

0<

sịụ - s k)+skụ - s k)2= sk- si = s k+,.

Do đó 0 ^ S/C+1. Và s k+1 ắ I suy ra từ s ị ^ 0 và / - s k ^ 0 bởi phép cộng; thật vậy
0 ^ I - S k + S2
k = I - S k+í.
14


Hoàn thành chứng minh (4) bằng quy nạp.
(b) Ta thấy (STx,x) ^ 0, Vjc G H. Từ (3) ta có
5,

=

s? + s 2

=

SĨ + SỊ + S ị

=

S f + S2 + ----- f 5^ + 5 rt-ỉ-1.

Vì S n+1 ^ 0 nên ta có
S2ì +- - - + S2
„ = S , - S n+l^ S l.

(5)

Theo định nghĩa của ^ và tính tự liên hợp của Sj, có nghĩa là
L I I V I I 2 = E ( s j x -’s Jx ) = L (s2j x ’x ) = { S ì X, x )
7=1
7=1
7=1
Vì n

là tùy ý, chuỗi vô hạn 11S \ X 112 + 11S 2 X 112H-------hội

tụ.

Do đó, 11s nx 11— » 0 và s nx — > 0. Theo (5),
(6 )

Ị v s j \ x = ( S ị - S n+ị)x

S]X

—»

0n

Phép của các 5'/- giao hoán với T vì chúng là tổng và tích của s I = 11s 11~ 1 s,

và s

và T giao hoán. Sử dụng s — 11s 11S ị , công thức (6 ), T ầ: 0 và tính liên tục của tích
trong, với mỗi X G H và yj — SjX ta có
(STXyX)

=

||s ||( r s i * , j c )

=

l|S || lim00 Ẻ { T S ) X’X)'

rt-> ^
j= 1

=

||S || lim £

yy)ẫ0,

./= 1

nghĩa là (STx,x) ^ 0.

2.3.2.

□

Định nghĩa dãy đơn điệu

Đ inh nghĩa 2.3.1. M ột dãy đơn điệu (Tn) của toán tử tuyến tính tự liên hợp Tn trên
không gian Hỉlbert H là một dãy (T„) đơn điệu tăng, tức là
7, ắ T i ắ T à ắ - * *

15


Hay đơn điệu giảm, tức là
7Ì
Một dãy đơn điệu tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lý
tương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm).

2.3.3.

Định lý dãy đơn điệu

Đ ịnh lý 2.3.2. Cho (T„) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
không gian H ilbert phức H sao cho
(7)

Tị

-

-

ở đó K là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên H. Giả sử rằng Tj bất kì giao
hoán với K và với mỗi Tm. Khi đó (Tn) là toán tử hội tụ mạnh (Tnx — > TX, Vx G H )
và giới hạn toán tử T là tuyến tính, bị chặn và tự liên hợp, thỏa mãn T ^ K.
Chứng minh. Xét Sn — K — Tn và chứng minh:
(a) Dãy ( ( ^ x ,x ) ) hội tụ với mỗi X e H.
(b) Tnx — » Tx, ở đó T là tuyến tính, tự liên hợp và bị chặn bởi định lý sự bị
chặn đều.
Chứng minh chi tiết dưới đây.
(a) Rõ ràng, s n là tự liên hợp. Ta có
Sm ~ SnSm — (Sm

Sn)Sm — (Tn — Tm) ( K — Tm).

Cho m < n. Khi đó Tn — Tm và K —Tm là dương bởi (7). Vì các toán tử này giao hoán,
nên tích của chúng là dương bởi Định lý 2.3.1. Do đó, ở vế trái,

— s ns m ^ 0, tức

là s 2m ^ s ns m với m < n.

Tương tự,
s ns m - s 2n = Sn{Sm - s n) = { K - Tn) ự n - T m) Z 0 ,
để s„ sm ằ s ị. Cùng với,

í

(m
Theo định nghĩa, sử dụng tính tự liên hợp của s„, ta có
(8)

( s 2mx ,x ) = (s ns mx,x) ^ ( s 2nx,x) = (s nx , s nx) - | | ^ x | | 2 ^ 0.

16


Điều đó cho thấy ((sjjtjjc)) với X cố định là dãy đơn điệu giảm của các số không
âm. Do đó nó hội tụ.
(b)

Ta có (7^jc) hội tụ. Theo giả thiết, mỗi Tn giao hoán với mỗi Tm và K. Do đó

các Sj giao hoán. Các toán tử đó là tự liên hợp. Vì —2 (,s ms nx ,x ) ^ —2

bởi

( 8), ơ đó m < n, ta có
11s mx

S nx II

— ( (Sm

S n )x, ( S m

( (*Sm

Sf J)x)

Sn) X,

= ( s ị x , x ) - 2 (SmSnx,x ) + ( s 2nx , x )
ắ

{ s ị x , x ) - (S ;,x ,x ).

Từ điều trên và sự hội tụ được chứng minh trong phần (a) ta có (s„x) là dãy Cauchy.
Nó hội tụ vì H là không gian đủ. Tn — K —s„ nên (T„x) cũng hôi tụ. Rõ ràng giới
hạn phụ thuộc vào X, ta có thế viết Tnx — » T x v ô i X e H.
Do đó, ta có một toán tử tuyến tính T : H — >H. T là tự liên hợp vì Tn là tự liên
hợp và tích trong là liên tục. Vì (Tnx) hội tụ, nên nó là bị chặn với X G H. Định lý sự
bị chặn đều cho thấy T là bị chặn.
Cuối cùng, T ^ K suy ra từ Tn ^ K.

2.4.

□

Căn bậc hai của toán tử dương

Nếu T là tự liên hợp, thì T 2 là dương vì Ợ 2x , x ) — ( Tx. Tx) ^ 0. Ta xét bài toán
hội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A sao cho A 2 = T. Điều
đó gợi ý đến khái niệm dưới đây. Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễn
phổ.

2.4.1. Định nghĩa căn bậc hai dương
Cho T : H — » H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gian
Hilbert phức H. Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một căn
bậc hai của T nếu
A 2 = T.

(1)

Nếu A ầ: 0 thì A gọi là căn bậc hai dương của T, và được kí hiệu bởi
A = T2.
I

"

T 2 tôn tại duy nhât:
17


2.4.2.

Định lý căn bậc hai dương

Đ ịnh lý 2.4.1. M ỗi toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương T : H — » H trên
không gian Hilbert phức H có một căn bậc hai dương A là duy nhất. Toán tử A này
giao hoán với từng toán tử tuyến tính bị chặn trên H mà nó giao hoán với T.
Chứng minh. Ta tiến hành chứng minh trong 3 bước:
(a) Ta thấy nếu định lý đúng với giả thiết thêm T ^ /, định lý cũng đúng nếu
không có giả thiết đó.
(b) Ta có sự tồn tại của toán tử A — T 2 từ A nx — * Ax, trong đó Ao = 0 và
A n+ị = A n + —(T —Á ị),

(2)

n = 0,1, - - * ,

ta cũng chứng minh tính giao hoán được phát biểu trong định lý.
(c) Ta chứng minh sự duy nhất của căn bậc hai dương.
Chứng minh chi tiết dưới đây.
(a) Nếu T = 0, thì ta có thể lấy A = T 2 = 0 . Cho T Ỷ

theo bất đẳng thức

Schwarz
(T x , x ) ^ 11 r JC11 - 11JC11 ^ | | r | | - | | x | | 2 .
Chia cho 11T 11Ỷ 0 và đặt Q — ( ịĩtỊị) T, ta có
(Qx,x) ắ I M |2 — (/* ,* );
^

t

•>

ì

1

nghĩa là Q S /. Gia sử Q có căn bậc hai dương duy nhât B = Q 2, ta có B — Q và ta
thấy rằng một căn bậc hai của T = 11T 11Q là 117" 112 B vì
(\\T \\1 B) 2 = \\T \\B2 = \\T \\Q = T.
Dễ dàng thấy rằng Ổ- là duy nhất suy ra căn bậc hai dương của T là duy nhất.

Do đó, nếu ta có thể chứng minh định lý với giả thiết thêm T ắ ỉ thì ta chứng minh
xong.
(b) Sự tồn tại. Xét (2). VI A() — 0, nên ta có A\ — ị r , Á 2 — T - \ T 2, • • •. Mỗi
A n là một đa thức trong T. Do đó A n là tự liên hợp và giao hoán, và chúng cũng giao
hoán với mỗi toán tử giao hoán với T. Ta chứng minh
(3)

An

(4)
(5)

g

I

/2 = 0 , 1 , - - ;

^

A n+l

A nx — >Ax,
18

n = 0 ,1 , *• •;
A = Tĩ;


(6 )

ST — T S

= ï

AS = SA,

trong đó, S là toán tử tuyến tính tự bị chặn trên H.
Chứng minh (3):
Ta có Ao ^ /. Cho n > 0. Vì / —A„_ 1 là tự liên hợp, nên (/ —y4„_ 1)2 ^ 0. Cũng có
T ầ / suy ra / —T ^ 0. Từ điều đó và (2) ta có (3):
0

ắ

ị ự - A ^ ^

=

/_A„_

=

I - A n.

+ ị ự - T )

*(7--AỈ_,)

Chứng minh (4):

Ta sử dụng phép quy nạp. Từ (2) ta có 0 = A() ^ A 1 — ìỹT. Ta thấy rằng A n- 1 ^ A n
với n cố định bất kì suy ra A n ^ A n+1. Từ (2) ta được
A n+ ị —A n

— A n + - ( T —A l ) —A n-1 — - ( T —A ị _ ị )
=

(An —A n- \ )[/ — —(An + A n- \ )].

Trong đó, A n —A,J_ 1 ^ 0 bởi giả thiết và [• • •] ^ 0 bởi (3). Do đó A n+ ị —A„ ^ 0 bởi
2.3.1.
Chứng minh (5):
(An) là đơn điệu bởi (4) và A n ầ I bởi (3). Do đó, từ Định lý 2.3.3 suy ra sự tồn tại
của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A thỏa mãn A„x — >Ax, Vx G H. Vì
(A„x) hội tụ, (2) có
A n+ \ x - A nx = ) ị { T x - A n2x)

—>

0

khi n — ¥ oo. Do đó T x - A 2X — 0, Vx, nghĩa là, T = Á 2. Cũng có A ^ 0 vì 0 = Ao ắ
A„ bởi (4), tức là (Anx,x) ^ 0 với X £ H. Điều đó suy ra (Ax,x) ^ 0 với X e H, theo
tính liên tục của tích trong.
Chứng minh ( 6 ):

19


Ta có ST = TS suy ra A nS — SAn, tức là A nSx — SAnx, \/x G H . Cho n — >oo ta có

(6).
(c)

Tính duy nhất. Cho A và B đều là căn bậc hai dương của T. Khi đó A 2 —

B2 — T. Cũng có BT — BB2 — B2B — TB để cho AB = BA bởi (6 ). Cho X G H tùy
ý và y = (A —B)x. Khi đó (Aỵ,y) ^ 0 và (Bỵ,ỵ) ^ 0 vì A ^ 0, B ^ 0. Sử dụng AB =
BA và Á 2 — B2 ta có
(Ay,y) + (By,y ) = ((A + B)y,y) = ((A2 - B 2)x, y) = 0.
Do đó (Aỵ,y) — (By,y) — 0. Vi A ^ 0 và A tự liên hợp, nên A có một căn bậc hai
dương c , tức là c 2 = A và c là tự liên hỢp.Ta có
0 =( Ay , y ) = ( c 2y, y) = {Cy.Cy) = \\Cy\\2
và Cy = 0. Cũng có Ay — c 2ỵ — C(Cỵ) — 0. Tương tự, By = 0. Do đó (A - B)y = 0.
Sử dụng y = (A - B)x, với mọi X e H ta có
II A r —B x \ \ 2 — ((;4 —B ) 2x , x ) — ( ( A — B ) ỵ , x ) — 0.

Từ đó ta có Ax - Bx = 0 với mọi X G H và chứng minh A = B.

□

ứ n g dụng của căn bậc hai sẽ được xét trong phần 2.8. Căn bậc hai là quy tắc cơ
sở trong liên hệ với biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.

2.5. Phép chiếu toán tử
Khái niệm của phép chiếu toán tử p hay gọi tắt là phép chiếu p được định nghĩa
ở chương 1, trong đó không gian Hilbert H được biểu diễn như tổng trực tiếp của
không gian con đóng Y và phần bù trực giao của nó Y L . Do đó
H

(1)

=

YeY1

X =

y+z

( y e Y , z e Y L ).

Vì tổng đó là trực tiếp,nên y là duy nhất với X £ H cho trước. Do đó (1) xác định
một toán tử tuyến tính
(2)

p :H
X
20

—>

H

I— > y = Px.