Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng

Mở ĐầU
1. Lí DO CHọN Đề TàI
Hình học là một bộ phận quan trọng của Toán học và kiến thức về
hình học luôn là một phần kiến thức khó đối với học sinh bởi nó là một
môn học lôgic và trừu tượng hơn so với các môn học khác. Trong chương
trình hình học lớp 11 học sinh được làm quen với một phần kiến thức
hình học mới và tương đối khó đó là phép biến hình. Phép biến hình là
một mảng kiến thức khó và học sinh cũng được tiếp xúc ít với vấn đề này
nên việc sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán hình học đối với
các em còn mới lạ và gặp nhiều khó khăn. Chính bởi lí do đó em đã chọn
đề tài: Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng nhằm cung cấp cho người
đọc hiểu rõ hơn về một phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc
giải các bài toán hình học phẳng.
2. MụC ĐíCH NGHIÊN CứU
Làm rõ ứng dụng của phép đối xứng tâm trong việc giải các bài
toán hình học trong mặt phẳng.
3. ĐốI TƯợNG NGHIÊN CứU
Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng.
4. PHạM VI NGHIÊN CứU
Các bài toán hình học trong mặt phẳng.
5. NHIệM Vụ NGHIÊN CứU
Nghiên cứu những kiến thức cơ bản của phép đối xứng tâm và ứng
dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học phẳng. Đưa ra một hệ
thống bài tập về các dạng bài toán: chứng minh tính chất hình học, cực
trị, quỹ tích, dựng hình, phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các
vuông góc.

1


NộI DUNG

CHƯƠNG 1. CƠ Sở Lí LUậN
Đ1: PHéP BIếN HìNH TRONG MặT PHẳNG
1.1. ĐịNH NGhĩA
Mỗi song ánh f : P P từ tập các điểm của mặt phẳng P lên
chính nó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng.
Ví dụ: Phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến
1.2. ĐịNH Lí
Tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng lập thành một nhóm
đối với phép nhân ánh xạ.
1.3. MộT Số ĐịNH NGHĩA CƠ BảN
Cho phép biến hình f : P P
Điểm M P được gọi là điểm bất động (điểm kép) đối với phép
biến hình f nếu f(M) = M .
Hình H P được gọi là hình kép nếu f(H) = H. Nghĩa là,

M H : f(M) H.
Hình H P được gọi là hình bất động đối với phép biến hình

f nếu M H : f(M) = M.
Phép biến hình f trong mặt phẳng được gọi là phép biến hình đối
hợp nếu f 2 = id _phép đồng nhất.
Phép biến hình tích: Cho g và f là hai phép biến hình trong mặt
phẳng. Khi đó h = g f là một song ánh của mặt phẳng nên h là một
phép biến hình gọi là phép biến hình tích.

2


Đ2. PHéP DờI HìNH TRONG MặT PHẳNG
2.1. ĐịNH NGHĩA

Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong
mặt phẳng được gọi là phép dời hình trong mặt phẳng.
Nghĩa là, nếu với bất kì hai điểm M, N thuộc mặt phẳng P và có
ảnh M' = f(M), N' = f(N) ta đều có M'N' = MN.
2.2. TíNH CHấT
2.2.1. Tính chất 1: Phép dời hình bảo toàn sự thẳng hàng của ba điểm và
thứ tự của chúng trên đường thẳng chứa ba điểm đó.
Hệ quả 1: Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn
thẳng bằng nó.
Hệ quả 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác
bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn
thành đường tròn bằng nó trong đó tâm biến thành tâm.
2.2.2. Tính chất 2: Tích của hai phép dời hình liên tiếp cũng là một phép
dời hình. Nghĩa là, f1 : M M' và f2 : M' M" là hai phép dời hình thì
khi đó ta có tích của hai phép dời hình f2 f1 : M M" cũng là một phép
dời hình.
2.3. ĐịNH Lí Về Sự XáC ĐịNH PHéP DờI HìNH
Trong mặt phẳng một phép dời hình hoàn toàn được xác định bởi
hai tam giác bằng nhau.

3


2.4. CáC PHéP DờI HìNH ĐặC BIệT
2.4.1. Phép tịnh tiến.
2.4.2. Phép đối xứng tâm.
2.4.3. Phép đối xứng trục
2.4.4. Phép quay.
Trong việc giải toán hình học ngoài phương pháp tổng hợp,

phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ mà chúng ta đã biết và sử dụng
còn có phương pháp biến hình. Đó là phương pháp vận dụng tính chất
của các phép biến hình vào việc khảo sát tính chất hình học của các hình,
tính toán các đại lượng hình học, tìm tập hợp điểm và dựng hình. Các
phép dời hình được vận dụng rất nhiều trong việc giải các bài toán hình
học phẳng. Đề tài này đề cập đến một phép dời hình đặc biệt là phép đối
xứng tâm. Qua việc tìm hiểu những tính chất và ứng dụng của phép đối
xứng tâm trong mặt phẳng để vận dụng vào giải các bài toán hình học cụ
thể. Từ đó cung cấp cho người đọc một công cụ giải toán mới đó là
phương pháp biến hình mà cụ thể ở đây sử dụng phép đối xứng tâm (có
thể gọi là phương pháp đối xứng tâm).

4


Đ3. PHéP ĐốI XứNG TÂM TRONG MặTPHẳNG
3.1. ĐịNH NGHĩA
Trong mặt phẳng cho một điểm O. Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M sao cho OM' = -OM được gọi là phép đối xứng qua
tâm O. Phép đối xứng qua tâm O thường được kí hiệu là ĐO.
Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

O

M

M'

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng tâm

ĐO biến hình (H) thành chính nó, tức là ĐO(H) = H.
3.2. TíNH CHấT
3.2.1. Tính chất 1: Nếu A và B là lần lượt ảnh của hai điểm A, B trong

phép đối xứng tâm ĐO thì A'B' = -AB.
3.2.2. Tính chất 2: Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động duy nhất là
tâm O. Nghĩa là ĐO(O) = O.
3.2.3. Tính chất 3: Phép đối xứng tâm ĐO là phép biến đổi 1 - 1.
3.2.4. Tính chất 4: Tích của hai phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến
3.2.5. Tính chất 5: Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng
phân biệt là một phép đối xứng tâm.
3.2.6. Tính chất 6: Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba
điểm thẳng hàng.
3.2.7. Hệ quả: Phép đối xứng tâm ĐO biến:
Đường thẳng d thành đường thẳng d và d // d hoặc d d.
Tia Sx thành tia Sx ngược chiều nhau.
Đoạn MN thành đoạn MN và MN = MN.
Góc

thành góc

và

Đường tròn (I, R) thành đường tròn (I, R).

5

.

3.3. BIÓU THøC TäA §é CñA PHÐP §èI XøNG T¢M
Trong hÖ trôc täa ®é Oxy cho ®iÓm I(a; b). NÕu phÐp ®èi xøng t©m §I
x' = 2a - x
biÕn ®iÓm M(x; y) thµnh ®iÓm M’(x’; y’) th× 
.
y' = 2b - y

6


CHƯƠNG 2. ứNG DụNG PHéP ĐốI XứNG TÂM VàO GIảI
CáC BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG
Đ1. BàI TOáN CHứNG MINH TíNH CHấT HìNH HọC
1.1. Phương pháp chung
Bài toán chứng minh tính chất hình học ta thường gặp hai loại toán sau:
Bài toán định tính: Ta thường gặp các bài toán sau:
Bài toán 1: Xác định phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H).
Bước 1: Lấy điểm M tùy ý thuộc (H). Gọi M là ảnh của M qua
phép đối xứng tâm ĐO. Chứng minh M (H).
Bước 2: Ngược lại lấy điểm M (H). Gọi M là tạo ảnh của M
qua ĐO. Chứng minh M (H).
Bước 3: Kết luận phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H)
là ĐO.
Bài toán 2: Chứng minh O là tâm đối xứng của hình (H).
Bước 1: Lấy điểm M bất kì thuộc (H), gọi điểm M là ảnh của
điểm M qua phép đối xứng ĐO.
Bước 2: Chứng minh M (H).
Bước 3: Kết luận điểm O là tâm đối xứng của hình (H).
Bài toán 3: Chứng minh tính chất
Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép đối xứng tâm để thiết lập

mối liên hệ giữa các yếu tố.
Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép đối xứng tâm để giải các
yêu cầu của bài toán.
Bài toán định lượng: tính độ dài đoạn thẳng, số đo của góc, tỉ số độ dài
đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích của các hình hình học .

7


Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết của
bài toán.
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần
tính toán.
Bước 3: Thiết lập được các phép đối xứng tâm thích hợp.
Bước 4: Dựa vào các dữ liệu đã được thiết lập để tính toán các yếu
tố cần tính của bài toán.
1.2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O) và đều có bán kính là R. Tìm
phép đối xứng tâm biến (O) thành (O).
Ví dụ 2: Xác định tâm đối xứng của hình gồm hai đường thẳng song
song.
Ví dụ 3: Cho ABC có đường tròn nội tiếp (O). Kẻ các tiếp tuyến của
(O) song song với các cạnh của ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh của
ABC và 3 tiếp tuyến nói trên tạo thành một lục giác có các cạnh đối
diện bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho ABC vuông cân tại A, điểm M tùy ý trên AC. Kẻ tia Ax
vuông góc với BM cắt BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng với C qua H. Kẻ
tia Ky vuông góc với BM cắt AB tại N. Tính góc

?

Bài 1. Xác định tâm đối xứng của các hình sau đây.
a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau.
b ) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau.
Bài 2. Chứng minh rằng một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc
với nhau thì nó có tâm đối xứng.
Bài 3. Chứng minh một tứ giác có tâm đối xứng thì nó là hình bình hành.

8


Bài 4. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABCD nội tiếp trong hình bình
hành ABCD sao cho A AB, B BC, C CD,D DA. Chứng minh
rằng tâm của hai hình bình hành đó trùng nhau.
Bài 5. Cho 3 phép đối xứng tâm ĐA, ĐB, ĐC, (A, B, C phân biệt). Chứng
minh: Đ = ĐCoĐBoĐAoĐCoĐBoĐA là phép đồng nhất.
Bài 6. Cho đoạn AC và B là trung điểm của AC. Chứng minh rằng
ĐCoĐBoĐA = ĐB.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Hạ MM, NN, PP,
QQ lần lượt vuông góc với CD, DA, AB. BC. Chứng minh rằng bốn
đường thẳng MM, NN,PP, QQ đồng quy tại 1 điểm.
Bài 8. Cho ABC có H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB. Gọi E, F, K lần lượt là điểm đối xứng với H
qua M, N, P. Chứng minh E, F, K thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 9. Đường tròn (O) cắt các cạnh BC, CA, AB của ABC tương ứng tại
các điểm M và M, N và N, P và P. Chứng minh rằng nếu các đường
thẳng đi qua M, N, P tương ứng vuông góc với các cạnh tam giác chứa
các điểm đó đồng quy thì đường thẳng đi qua M, N, P vuông góc với
các cạnh tam giác chứa các điểm đó cũng đồng quy.

Bài 10. Cho điểm M nằm trong ABC. Gọi N, P, Q là điểm đối xứng với
M qua trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh CN, AP, BQ đồng quy.
Bài 11. Cho ABC có AM và CN là các trung tuyến. Chứng minh rằng
nếu

thì ABC đều.

9


Đ2. bài toán cực trị
2.1. Phương pháp chung
Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm.
Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn
nhất ta phải chứng tỏ được:
Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m (m là hằng số).
Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m .
Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ
nhất ta phải chứng tỏ được:
Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m (m là hằng số).
Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m .
2.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho ABC và điểm O nằm trong tam giác. Gọi ABC là ảnh
của ABC trong phép đối xứng tâm ĐO. T là một đa giác được tạo bởi
phần chung của hai tam giác ABC, ABC. Tìm vị trí của O sao cho T có
diện tích lớn nhất.
Ví dụ 2. Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc cho đường hyperbol (H) có
1
phương trình y = và điểm A(-2; 3). Một đường thẳng d đi qua gốc tọa
x

độ cắt đường cong (H) tại hai điểm M và M. Xác định vị trí của d để

AM2 + AM'2 có giá trị nhỏ nhất.

10


2.3. Bài tập
Bài 1. Cho ABC . Hãy tìm một đa giác lồi có tâm đối xứng chứa trong
nó (các đỉnh hoặc các cạnh của tam giác có thể nằm trên biên đa giác)
tam giác đã cho và có diện tích nhỏ nhất.
Bài 2. Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc cho elíp (E) có phương trình:
x2

y2

= 1 .Tìm hình chữ nhật ABCD nội tiếp (E) sao cho hình chữ nhật
a 2 b2
đó có diện tích và chu vi lớn nhất.
+

Bài 3. Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc cho đường hyperbol (H) có
1
phương trình y = và điểm A(-2; 2). Một đường thẳng d đi qua gốc tọa
x
độ cắt (H) tại 2 điểm P và Q. Xác định vị trí của đường thẳng PQ để
AP + AQ nhỏ nhất.
Bài 4. Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc cho elíp (E) có phương trình
x 2 + 4y2 = 4 và điểm A(3; -2). Một đường thẳng đi qua tâm đối xứng của
elíp nó tại hai điểm P và Q. Hãy xác định vị trí của đường thẳng PQ sao

cho AP 2 + AQ 2 nhỏ nhất.

11


Đ3. BàI TOáN QUỹ TíCH
3.1. Phương pháp chung
Sử dụng phép đối xứng tâm để giải bài toán quỹ tích là chứng minh tập
hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua phép đối xứng tâm.
Bài toán: Cho hình (H) và điểm M thay đổi trên (H). Tìm quỹ tích điểm
M khi M thay đổi.
Cách giải:
Bước 1 : Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MM.
Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm ĐI ta suy ra quỹ tích
điểm M.
Nhận xét: Để giải bài toán quỹ tích ta phải tiến hành chứng minh cả
phần thuận và phần ảo. Nhưng ở đây ta sử dụng phép đối xứng tâm để
giải bài toán, nhờ tính chất 1 - 1 của phép đối xứng tâm nên cả phần
thuận và phần ảo của bài toán cùng lúc được chứng minh.
3.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm

M, ta xác định điểm M sao cho MM' = MA + MB.
Tìm quỹ tích điểm M khi điểm M di động trên đường tròn (O, R).
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. Điểm M di động
trên (O), M không trùng với A, B. Hai đường tròn (O), (O) qua M lần
lượt tiếp xúc với AB tại A, B. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O) và
(O). Tìm tập hợp điểm N khi M di động trên đường tròn (O).
3.3. Bài tập

Bài 1. Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O), BC cố định và A di động
trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC.
Bài 2. Cho điểm C thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia
AC lấy P sao cho AC = CP.

12


a) Tìm tập hợp điểm Q là đỉnh của hình bình hành có 2 cạnh PA và PB.
b) Tìm tập hợp điểm H là đỉnh của hình bình hành có hai cạnh AB và AP.
Bài 3. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, C cố định sao cho đường thẳng
AC không cắt đường tròn (O). Điểm B thay đổi trên đường tròn (O). Tìm
quỹ tích điểm D khi B di chuyển trên đường tròn (O) sao cho ABCD là
hình bình hành.
Bài 4. Cho đường thẳng d và hai điểm A, C cố định không thuộc d. Điểm
B thay đổi trên d. Tìm quỹ tích điểm D khi B di chuyển trên đường thẳng
d sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 5. Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi
trên (O). Gọi N là điểm đối xứng với M qua A, P là điểm đối xứng với N
qua B, Q là điểm đối xứng với P qua C. Chứng minh phép biến hình biến
điểm M thành điểm Q là một phép đối xứng tâm. Tìm quỹ tích điểm Q.
Bài 6. Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C phân biệt không nằm trên
đường tròn (O, R), M di động trên (O). Điểm N đối xứng với M qua A, P
đối xứng với N qua B, Q đối xứng với P qua C. Tìm tập hợp điểm Q khi
M chuyển động trên đường tròn (O).
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với mỗi điểm M trên cạnh AB. Lấy N
đối xứng với M qua D, P đối xứng với N qua trung điểm của CD, Q đối
xứng với P qua B. Tìm quỹ tích điểm Q khi M thay đổi trên cạnh AB.

13

Đ4. BàI TOáN DựNG HìNH
4.1. Phương pháp chung
Giải bài toán dựng hình ta thực hiện theo 4 bước sau:
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn đầu bài.Tìm điều kiện xác định
từng bộ phận hình cần dựng (phần này thể hiện điều kiện cần).
Bước 2: Cách dựng
Dựa vào bước 1 để lần lượt dựng các hình bằng các phép đối xứng
tâm phù hợp (phần này thể hiện điều kiện đủ).
Bước 3: Chứng minh
Khẳng định hình thu được từ cách dựng là nghiệm. Chứng tỏ cả điều
kiện cần và đủ.
Bước 4: Biện luận
Bài toán có nghiệm : chỉ ra số nghiệm .
Bài toán vô nghiệm.
Giải bài toán dựng hình bằng cách sử dụng phép đối xứng tâm là việc
thể hiện ở phần phân tích ta quy việc xác định từng bộ phận hình cần
dựng về việc xác định một hình là ảnh của bộ phận hình cần dựng qua
phép đối xứng tâm.
4.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O) và (K) có giao điểm A. Dựng đường
thẳng qua A sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng x, y và hai điểm A, G không thuộc x, y.
Dựng ABC có trọng tâm G và 2 đỉnh B, C lần lượt thuộc x, y.

14

4.3. Bài tập
Bài 1. Qua điểm A cho trước, hãy kẻ đường thẳng sao cho đoạn thẳng
xác định bởi các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường
tròn cho trước nhận A làm trung điểm.
Bài 2. Cho ABC và điểm D nằm trong tam giác. Qua D dựng đoạn
thẳng sao cho cắt AB, BC lần lượt tại E, E và EE nhận D làm trung
điểm.
Bài 3. Hãy dựng ngũ giác có trung điểm của các cạnh lần lượt là các
điểm M, N, P, Q, R cho trước.
Bài 4. Cho bốn đường thẳng a, b, c, d không có hai đường thẳng nào
song song và điểm O không thuộc bốn đường thẳng đó. Hãy dựng hình
bình hành có bốn điểm thuộc bốn đường thẳng đã cho và nhận O làm tâm
đối xứng.
Bài 5. Cho đường tròn (O), điểm P cho trước và đường thẳng d không cắt
(O). Dựng hình bình hành có hai đỉnh liên tiếp nằm trên d và hai đỉnh
nằm trên đường tròn (O) và nhận P là giao điểm của hai đường chéo.
Bài 6. Cho góc

và 2 điểm A, C nằm trong đó. Dựng điểm B thuộc

Ox và điểm D thuộc Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

15


Đ5. PHéP ĐốI XứNG TÂM trong hệ tọa độ
đề - các vuông góc
5.1. Phương pháp chung
Sử dụng tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.
Dạng 1: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm ta xét ba bài toán:

Bài toán 1: Xác định điểm M(x; y) là ảnh của M(x; y) qua tâm đối
x' = 2a - x
xứng I(a; b). Khi đó ta có I là trung điểm của MM nên
y' = 2b - y

Đặc biệt nếu I trùng với gốc tọa độ thì dễ dàng suy ra M(-x; -y).
Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng d đối xứng với đường
thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 qua tâm I(a; b).
Cách giải
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với mỗi điểm M(x; y) d suy ra tồn tại M(x; y) d
x + x' = 2a
x = 2a - x'
nhận I là trung điểm nên:

(*)
y + y' = 2b
y = 2b - y'

Bước 2: Thay (*) vào phương trình đường thẳng d ta được:
Ax + By - C - 2aA - 2bB = 0
Bước 3: Viết lại (1) dưới dạng: Ax + By - C - 2Aa - 2bB = 0

(1)
(2)

Phương trình (2) là phương trình đường thẳng d.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lấy điểm A(x; y) d, từ đó suy ra tọa độ điểm A đối
xứng với A qua I.

Bước 2: Vì d // d, d có phương trình Ax + By + C = 0 nên suy ra d
có phương trình Ax + By + D = 0 (*)

16


Bước 3: Vì A d. Thay tọa độ A vào phương trình (*) ta tìm
được giá trị của D. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
Bài toán 3: Xác định phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường
tròn (C) : f(x, y) = 0 qua điểm A(xo, yo) (A khác tâm I của (C)).
Cách giải
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Với mỗi điểm M(x; y) (C) thì tồn tại M(x1; y1) (C)
sao cho M đối xứng với M qua A(xo, yo) tồn tại x1, y1 thỏa mãn hệ
f(x1; y1 ) = 0

phương trình: x1 + x' = 2x0
y + y' = 2y
0
1

(*)

Bước 2: Khử x1, y1 từ hệ (*) ta được phương trình đường tròn (C)
cần tìm.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Gọi I, I lần lượt là tâm đường tròn (C) và (C) và R là bán
kính của đường tròn (C).
Khi đó A là trung điểm của II.Từ đó suy ra tọa độ điểm I.
Bước 2: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I và bán kính R.

Dạng 2: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Xét hai bài toán :
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x). Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận
điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Cách giải: Thực hiện theo các bước:
X = x - a
Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ:

Y = y - b

x = X + a

y = Y + b

Khi đó hàm số có dạng: Y + b = f(X + a)
Y = F(X).
Bước 2: Chứng minh hàm số (1) là hàm số lẻ.

17

(1)


Bước 3: Kết luận I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m). Tìm điều kiện của tham số để đồ thị
hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Cách giải: Thực hiện theo các bước:
X = x - a
x = X + a
Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ:

Y = y - b
y = Y + b

Khi đó hàm số có dạng : Y + b = f(X + a) Y = F(X).

(1)

Bước 2: Đồ thị hàm số nhận I(a; b) làm tâm đối xứng khi và chỉ
khi hàm số (1) là hàm số lẻ. Từ đó tìm được giá trị của tham số m.
Bước 3: Kết luận giá trị của m.
5.2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương
trình x y + 3 = 0 và điểm I(1; 2). Phép đối xứng tâm ĐI biến đường
thẳng thành đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng .
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm A(-2; 3)
biến đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 16 thành đường tròn (C). Xác
định phương trình đường tròn (C).
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 -3x 2 +1 . Chứng minh rằng đồ thị hàm số
nhận điểm I (1;-1) là tâm đối xứng.
Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d (a 0) luôn nhận
điểm I(-

b
b
; f(- )) làm tâm đối xứng.
3a
3a

Ví dụ 4. Cho hàm số (C) : y =

1 3
x + 3mx 2 - 2 .
m

Tìm m để đồ thị hàm số (C) nhận điểm I (1; 0) làm tâm đối xứng.

18


5.3. Bài tập
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3), đường thẳng d:
3x 2y + 9 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x 6y + 6 = 0. Xác định
tọa độ điểm M, phương trình đường thẳng d, đường tròn (C) theo thứ tự
là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm A(-2; 1).
Bài 2. Cho hai đường thẳng d có phương trình: 3x - y - 3 = 0 và đường
thẳng có phương trình: x + y = 0. Phép đối xứng tâm I biến d thành d:
3x - y + 1 = 0, biến thành : x + y - 6 = 0. Tìm tọa độ điểm I.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có tâm I và phương trình cạnh AB là
2x - y = 0, phương trình cạnh AD là 4x - 3y = 0, tâm I (2; 2).
Viết phương trình cạnh BC và CD.
Bài 4. Tìm M d, N d sao cho ĐI(M) = N
a) d: 2x + 3y - 7 = 0, d: x + y - 1 = 0 và I (-1;3)
b) d: 3x - 5y + 2 = 0, d: x - 4y + 3 = 0 và I (2;3)
Bài 5. Cho đường thẳng có phương trình x + y + 2 = 0, đường tròn (C)
có phương trình x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0 và điểm A (-1; 1).
Tìm M , N (C) sao cho ĐA(M) = N.
Bài 6. Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc chứng minh rằng gốc tọa độ
O(0; 0) là tâm đối xứng của đường elíp (E) có phương trình:

Nhận xét: Tương tự ta có hypebol (H) có phương trình:
cũng nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

19

x2
a2



x2
a2
y2
b2

+

y2
b2

=1

= 1.


Bµi 7. Cho hµm sè (C): y =

x +1
. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (C)
x -1

nhËn I (1;1) lµm t©m ®èi xøng.
NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè y = f(x) =

ax + b
víi c  0 vµ ad - bc  0 lu«n
cx + d

 -d a 
nhËn ®iÓm I  ;  lµm t©m ®èi xøng.
 c c

Bµi 8. Cho hµm sè y =

x 2 - 2x - 2
. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè nhËn
x-2

®iÓm I (2; 2) lµm t©m ®èi xøng.
ax2 + bx + c
NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè y =
víi d  0 lu«n nhËn ®iÓm
dx + e
 -e b 2ac 
I  ; - 2  lµm t©m ®èi xøng.
d d d 

x 2 - mx + m -1
Bµi 9. Cho hµm sè (C) y =
. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè nhËn

x-2

®iÓm I (2;3) lµm t©m ®èi xøng.

20


KếT LUậN
Nội dung chủ yếu của đề tài nghiên cứu về phép đối xứng tâm và
ứng dụng của phép đối xứng tâm vào việc giải các bài toán hình học
trong mặt phẳng. Trong đề tài em đã đưa ra một số dạng bài toán cơ bản:
tìm phép đối xứng tâm, chứng minh tính chất hình học, tìm quỹ tích
điểm, dựng hình và bài toán sử dụng hệ tọa độ đối với phép đối xứng
tâm. Trong mỗi dạng toán em đưa ra phương pháp chung để giải dạng
toán đó và đưa ra một số ví dụ minh họa giúp người đọc thấy được ứng
dụng của phép đối xứng tâm vào việc giải dạng toán đó. Phần bài tập em
đưa ra ngay sau các ví dụ để giúp người đọc củng cố kiến thức, rèn luyện
kỹ năng vận dụng phép đối xứng tâm để giải các bài toán hình học trong
mặt phẳng. Em hi vọng rằng thông qua đề tài của mình có thể phần nào
giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép đối xứng tâm. Đồng thời qua việc
nghiên cứu đề tài này giúp em nắm vững hơn kiến thức về phép đối xứng
tâm phục vụ cho việc giảng dạy sau này.
Do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu một đề tài
khoa học, đồng thời kiến thức và kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong các thầy cô trong
tổ hình học và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn
chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

21

Tài liệu tham khảo
1. Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, Trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội.
2. Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp tập 2, Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội.
3. Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Hoàng Khanh (2008),
Tuyển chọn 400 bài tập toán 11, NXB Đại học Quốc gia Thành
phố Hồ Chí Minh, TPHCM.
4. Lê Hồng Đức-Nhóm Cự Môn, Giải toán hình học, NXB Hà Nội,
Hà Nội.
5. Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng
dụng giải toán hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
6. Lê Hoành Phò (2011), Hình học 11 bài tập và phương pháp giải,
NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
7. Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục,
Hà Nội.
8. Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán hình học phẳng 10, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
9. Hình học nâng cao 11 (2006), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

22