Rèn luyện cho học sinh các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học hình học không gian ở cấp Trung Học Phổ Thông

1
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Luận điểm “Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học” [35] đã được thừa
nhận. Luận điểm này có thể hiểu như sau: Muốn dạy Toán có hiệu quả thì nhất
thiết phải cho học sinh hoạt động, chỉ bằng con đường đó mới có thể làm cho
học sinh nắm bắt tri thức một cách vững vàng. Trong Tâm lý học cũng có những
khẳng định tương tự, chẳng hạn: Năng lực chỉ có thể được hình thành và phát
triển thông qua hoạt động.
Tâm lý học và Lí luận dạy học hiện đại đã khẳng định rằng, con đường có
hiệu quả nhất để làm cho học sinh nắm vững kiến thức và phát triển năng lực
sáng tạo là phải đưa học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động nhận thức. Thông
qua hoạt động tự lực, tự giác, tích cực của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức,
phát triển năng lực sáng tạo.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cũng lấy các luận
điểm đó làm nền tảng. Tuy nhiên, vì những lí do khác nhau, nên không phải
giáo viên nào cũng hiểu rõ và vận dụng luận điểm này. Vì vậy, đã và đang tồn
tại cách dạy học theo lối truyền thụ một chiều. Trong quan niệm của nhiều giáo
viên, giảng giải các kiến thức Toán học một cách chi tiết rồi sau đó cho học sinh
áp dụng xem như là đủ.
1.2. Các cơ sở lí luận dạy học đã khẳng định rằng tri thức không phải là cái
dễ dàng cho không. Muốn học sinh chiếm lĩnh được các tri thức Toán học một
cách chắc chắn thì trước hết họ phải được đặt trong thế chủ động bởi không thể
nào có một sự chiếm lĩnh tốt bằng con đường thụ động. Vì vậy, khi dạy một tri
thức nào đó thầy giáo thường không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn
dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích
hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo
của bản thân. Kiến thức mà học sinh thu nhận được từ hoạt động và củng cố nó
trong hoạt động của chính mình bao giờ cũng tự nhiên, chắc chắn và là cơ sở tốt
để hình thành kĩ năng thực hành, vận dụng.

2
Thực tiễn sư phạm đã khẳng định tính đúng đắn của nhận định này. Chẳng
phải tất cả mọi mong muốn của thầy về sự tiếp thu của học sinh đều trở thành
hiện thực. Điều này cho thấy rằng, truyền thụ được tri thức cho học sinh là việc
làm không dễ dàng – nếu không có những cách thức và con đường đúng đắn. Và
phương pháp dạy học tích cực là sự lựa chọn tốt cho các giáo viên thể hiện các ý
đồ sư phạm của mình.
1.3. Tuy nhiên, vì những lí do khác nhau nên không phải giáo viên nào
cũng biết và hiểu rõ các luận điểm đó. Vì vậy đã và đang tồn tại cách dạy theo
lối truyền thụ một chiều. Đối với họ, giảng giải các kiến thức Toán học một cách
chi tiết rồi sau đó cho học sinh áp dụng xem như là đủ rồi. Có người dẫu chưa
tin vào điều này nhưng cũng không thoát khỏi vòng luẩn quẩn đó, bởi vì nó
đụng chạm tới thời gian, suy ngẫm, chuẩn bị bài và cả tình hình thực tế về mức
độ tiếp thu của học sinh.
1.4. Chương trình, sách giáo khoa Toán trung học phổ thông hiện hành đã
có nhiều thay đổi theo hướng giảm dần việc cung cấp tri thức kiểu có sẵn. Một
trong những sự cải tiến đáng kể so với chương trình và sách giáo khoa trước đây
đó là những hoạt động được đặt ra cho học sinh. Tuy nhiên, như các tác giả Sách
Giáo khoa đã nói thì, những hoạt động được nêu trong Sách Giáo khoa chỉ mang
tính chất gợi ý, còn trong những hoàn cảnh cụ thể thì người giáo viên cần có sự
bổ sung và điều chỉnh sao cho phù hợp.
1.5. “Hoạt động” là một khái niệm rất phổ biến; những nghiên cứu cấu trúc
của hoạt động đã có tương đối nhiều nhưng trong từng hoàn cảnh khác nhau thì
các dạng thức hoạt động, các cấp độ hoạt động, các ý nghĩa của từng loại hoạt
động,... còn cần và có thể được nghiên cứu thêm. Ngay trong nội bộ môn Toán
cũng vậy, dù đã có nhiều công trình nghiên cứu, trong đó có thể kể đến: “quan
điểm hoạt động trong phương pháp dạy học môn Toán” do tác giả Nguyễn Bá
Kim đề xuất, "Tiếp cận hoạt động nhiều mặt trong dạy học lập trình ở trường
phổ thông" của Lê Khắc Thành (1993), “Tổ chức hoạt động nhận thức trong

dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông” của tác giả Đào Tam (2010)
hoặc “Khai thác và luyện tập các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm


3
lĩnh tri thức cho học sinh trong dạy học Đại Số - Giải Tích” (2012) của tác giả
Nguyễn Hữu Hậu,… Tuy nhiên, việc luyện tập các hoạt động nhằm phát triển
khả năng chiếm lĩnh tri thức cho học sinh trong dạy học hình học không gian thì
các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể.
Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là “Rèn luyện cho học sinh
các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học
Hình học không gian ở cấp Trung Học Phổ Thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của Luận văn là xác định các dạng hoạt động cần thiết
và bồi dưỡng các hoạt động đó nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức
trong quá trình dạy học Hình học không gian ở trường THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến khái niệm hoạt động trong Tâm
lí học
3.2. Tổng quan một số vấn đề về tích cực hoá hoạt động học tập của học
sinh
3.3. Quan điểm về hoạt động, hoạt động dạy học và các phương pháp dạy
học tích cực trong dạy học môn Toán
3.4. Tìm hiểu về tổng quan chương trình Hình học không gian trung học
phổ thông hiện hành
3.5. Tìm hiểu thực trạng của việc tập luyện cho học sinh các hoạt động
trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông hiện nay
3.6. Đề xuất một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh theo hướng
phát huy tính tích cực, chủ động của người học nhằm góp phần phát triển khả
năng chiếm lĩnh tri thức trong quá trình dạy học Hình học không gian ở trường

trung học phổ thông
3.7. Thực hiện bồi dưỡng cho học sinh các dạng hoạt động đã đề xuất trong
dạy học Hình học không gian


4
3.8. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của phương án
đề xuất và kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài trong thực tiễn
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Nghiên cứu lí luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn
4.2. Điều tra, quan sát: điều tra, khảo sát thực trạng của việc khai thác và tổ
chức cho học sinh các hoạt động chiếm lĩnh tri thức trong dạy học môn Toán
bằng phiếu. Phỏng vấn, tọa đàm với giáo viên để thu thập thông tin về thực hiện
đổi mới phương pháp dạy học, vấn đề sử dụng các hoạt động chiếm lĩnh tri thức
trong quá trình dạy học hình học
4.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của phương án
đề xuất và kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài trong thực tiễn.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu làm sáng tỏ được các dạng hoạt động thể hiện trong dạy học Hình
học không gian ở cấp trung học phổ thông và tổ chức, tập luyện các hoạt động
này một cách hợp lí, thì sẽ góp phần nâng cao được hiệu quả dạy học Toán ở
trường trung học phổ thông, đồng thời đáp ứng được nhu cầu và định hướng đổi
mới phương pháp dạy học.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện cho học sinh các dạng hoạt động nhằm phát triển khả
năng chiếm lĩnh tri thức trong quá trình dạy học hình học không gian ở trường
trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Về định hướng đổi mới phương pháp dạy học
1.1.1. Thực trạng giáo dục hiện nay ở nước ta
Trong những thập kỷ qua, nền giáo dục Việt Nam có những bước phát
triển, có những thành tựu đáng ghi nhận, góp phần quan trọng vào nâng cao dân


5
trí, đào tạo nhân lực cho công cuộc xây dựng, bảo vệ và đổi mới đất nước.
Nhưng đồng thời nền giáo dục đang ẩn chứa rất nhiều yếu kém, bất cập, mà Đại
hội IX - X đến Đại hội XI của Đảng vẫn nêu rất đậm nét, đó là:
- Giáo dục - đào tạo còn nhiều hạn chế, yếu kém, bất cập chậm được khắc
phục; chất lượng giáo dục còn thấp, quan tâm đến phát triển số lượng nhiều hơn
chất lượng, so với yêu cầu phát triển của đất nước còn nhiều nội dung chưa đạt,
chưa thực sự là quốc sách hàng đầu.
- Nội dung, chương trình, phương pháp giáo dục còn lạc hậu, chậm đổi
mới, chậm hiện đại hóa, chưa gắn chặt với đời sống xã hội và lao động nghề
nghiệp; chưa phát huy tính sáng tạo, năng lực thực hành của học sinh, sinh viên.
- Chất lượng giáo dục có mặt bị buông lỏng, giảm sút, nhất là giáo dục đạo
đức, lối sống; giáo dục mới quan tâm nhiều đến dạy “chữ”, còn dạy “người” và
dạy “nghề” vẫn yếu kém; yếu về giáo dục tư tưởng, đạo đức, lối sống, lịch sử
dân tộc, tư duy sáng tạo, kỹ năng thực hành, kỹ năng sống…
- Hệ thống giáo dục quốc dân không hợp lý, thiếu đồng bộ, chưa liên thông,
mất cân đối.
- Quản lý nhà nước trong giáo dục còn nhiều yếu kém, bất cập, chậm đổi
mới, là nguyên nhân chủ yếu của nhiều nguyên nhân khác; cơ chế quản lý giáo
dục chậm đổi mới, còn nhiều lúng túng, nhận thức rất khác nhau, nhất là trong
điều kiện kinh tế thị trường và hội nhập quốc tế; chưa theo kịp sự đổi mới trên

các lĩnh vực khác của đất nước.
- Đội ngũ cán bộ quản lý giáo dục và giáo viên còn nhiều bất cập, đạo đức
và năng lực của một bộ phận còn thấp.
- Chưa nhận thức đầy đủ, đúng đắn về công tác xã hội hóa giáo dục; định
hướng liên kết với nước ngoài trong phát triển giáo dục còn nhiều lúng túng,
chưa xác định rõ phương châm.
- Tư duy giáo dục chậm đổi mới, chưa theo kịp yêu cầu đổi mới - phát triển
đất nước trong bối cảnh phát triển kinh tế thị trường và hội nhập quốc tế; khoa
học giáo dục chưa được quan tâm đúng mức, chất lượng nghiên cứu khoa học
giáo dục còn nhiều bất cập.


6
- Các cơ quan chức năng chậm cụ thể hóa những quan điểm của Đảng thành
cơ chế, chính sách của Nhà nước; thiếu nhạy bén trong công tác tham mưu, thiếu
những quyết sách đồng bộ và hợp lý ở tầm vĩ mô (có khi chính sách được ban
hành rồi nhưng chỉ đạo tổ chức thực hiện không đến nơi đến chốn, kém hiệu
quả); một số chính sách về giáo dục còn chủ quan, duy ý chí, xa thực tế, thiếu sự
đồng thuận của xã hội.
Tất cả những vấn đề nêu trên tất yếu đặt ra những yêu cầu mới về nhận
thức, quan điểm, mục tiêu, cơ chế phát triển giáo dục; về nội dung, chương trình
và phương pháp giáo dục; đòi hỏi phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục
của đất nước.
1.1.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
"Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
từng môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
của học sinh". (Luật Giáo dục 1998, Chương I, Điều 24).
Các nhà khoa học Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Trần Bá Hoành,... đã khẳng

định: tư tưởng và cũng là mục đích của quá trình đổi mới phương pháp dạy học
là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh và bản chất của Tư tưởng này
cũng chính là sự định hướng cho sự đổi mới phương pháp dạy học trong giai
đoạn hiện nay. Định hướng chung cho sự đổi mới phương pháp dạy học là tích
cực hoá hoạt động học tập của học sinh gắn với việc tổ chức cho người học học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động, tích cực, sáng tạo,
được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
"Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo".
Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay
gọn hơn là "hoạt động hoá người học"


7
Cụ thể hoá định hướng đổi mới phương pháp dạy học liên hệ với những yếu
tố này, có thể nêu bật những hàm ý sau đây, đó cũng là những đặc điểm của
phương pháp dạy học hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác tích cực, chủ
động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập hoặc trong giao
lưu.
- Tri thức được cài đặt trong các tình huống có dụng ý sư phạm.
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
- Tự tạo và khai thác phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức mạnh
của con người.
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân
người học.
- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác,
điều khiển và thể chế hoá.
Định hướng trên được xác định trên cơ sở nghiên cứu sâu sắc hoạt động
học của người học theo hướng tiếp cận toàn diện quá trình dạy học. Những định

hướng này phù hợp với việc vận dụng Lý thuyết tình huống vào dạy học, các
yêu cầu về phương pháp dạy học, trang thiết bị, đội ngũ giáo viên và học sinh.
1.2. Hoạt động
Hoạt động là phương thức tồn tại của con người. Theo tâm lý học Macxit,
cuộc sống con người là một dòng hoạt động, con người là chủ thể của các hoạt
động thay thế nhau. Hoạt động là quá trình con người thực hiện các quan hệ
giữa con người với thế giới tự nhiên, xã hội. Đó là quá trình chuyển hóa năng
lực lao động và các phẩm chất tâm lý khác của bản thân vào sự vật, vào thực tế
và quá trình ngược lại là quá trình tách những thuộc tính của sự vật, của thực tế
quay trở về với chủ thể, biến thành vốn liếng tinh thần của chủ thể.
Jean Piaget (1896-1980) - nhà tâm lí học, nhà sinh học, người Thụy Sĩ đã
nghiên cứu và đi đến kết luận: “Tri thức không phải truyền thụ từ người biết tới
người không biết, mà tri thức được chính cá thể xây dựng thông qua hoạt động”.


8
Những năm 1925 - 1930, L.S Vygotski (1896-1934) - nhà tâm lí học Xô
Viết đã đề ra những luận điểm cơ bản để xây dựng nền tâm lí học kiểu mới tâm lí học Macxit, phủ định tâm lí học duy tâm thần bí. Xuất phát từ những luận
điểm của Vygotski, A.N Leonchiev (1893-1979) cùng các cộng sự đã nghiên
cứu và đi đến kết luận quan trọng là “hoạt động là bản thể của tâm lí”, nghĩa là
hoạt động có đối tượng của con người chính là nơi sản sinh ra tâm lí con người.
Bằng hoạt động và thông qua hoạt động mỗi người tự sinh thành ra mình, tạo
dựng và phát triển ý thức của mình. Cống hiến to lớn của Leonchiev là chỉ ra
bản chất tâm lí, với các luận điểm sau:
- Hoạt động là bản thể của tâm lí.
- Tâm lí, ý thức là sản phẩm của hoạt động và làm khâu trung gian để con
người tác động vào đối tượng; các hiện tượng tâm lí đều có bản chất hoạt động.
- Quan hệ giữa tâm lí và hoạt động là quan hệ giữa một bên là điều kiện,
mục đích, động cơ và một bên là thao tác, hành động, hoạt động [2].
Về vai trò của hoạt động học tập trong quá trình nhận thức, tâm lí học

Chủ thể
Cấu trúc tâm lý

Động cơ

Mục tiêu
Cấu trúc vật lý

Hoạt động

Hành động

Thao tác

Đối tượng

hiện đại

cho rằng nhân cách học sinh được hình thành và phát triển thông qua các
hoạt động chủ động, có ý thức. Ngay từ xa xưa, trong dân gian ta đã có câu
“trăm hay không bằng tay quen”. Nhiều danh nhân cũng đã từng nói những câu
bất hủ, như: “Suy nghĩ tức là hành động” (Jean Piaget), “Cách tốt nhất để hiểu là
làm” (Kant), “Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh). Trong xã


9
hội có nhiều biến đổi nhanh chóng như ngày nay thì khả năng hành động càng
được đánh giá cao.
Theo Nguyễn Bá Kim, có thể nói vắn tắt về quan điểm hoạt động trong dạy
học là: Tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,

tích cực sáng tạo. Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học là động cơ hoạt
động, các hoạt động và hoạt động thành phần, tri thức trong hoạt động, phân bậc
hoạt động. Định hướng hoạt động hoá người học thực chất là làm tốt mối quan
hệ giữa ba thành phần: mục đích, nội dung và phương pháp dạy học. Bởi vì:
- Hoạt động của học sinh vừa thể hiện mục đích dạy học, vừa thể hiện con
đường đạt được mục đích và cách thức kiểm tra việc đạt mục đích.
- Hoạt động của học sinh thể hiện sự thống nhất của những mục đích thành
phần (4 phương diện: tri thức bộ môn, kĩ năng bộ môn, năng lực trí tuệ chung và
phẩm chất, tư tưởng, đạo đức, thẩm mĩ theo 3 mặt: tri thức, kĩ năng, thái độ).
Định hướng hoạt động hoá người học bao hàm một loạt ý tưởng lớn đặc
trưng cho các phương pháp dạy học hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể người học.
- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
- Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo.
- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của người học.
1.3. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học Toán
Có thể vận dụng lý luận của A. N. Leonchev về hoạt động tâm lý để giải
quyết hàng loạt vấn đề về lý luận và thực tiễn hoạt động. Trong đó, chủ yếu là
việc hình thành hoạt động học tập cho người học, đặc biệt là các người học nhỏ
tuổi. Xung quanh vấn đề này, trước hết cần hình thành cho người học các đơn vị
chức năng của hoạt động học tập: động cơ, mục đích học tập, để qua đó hình
thành thao tác, hành động và hoạt động học. Trong quá trình đó, hình thành hành
động học là khâu trung tâm. Sau khi đã có hoạt động học cần chuyển từ hoạt
động thứ yếu lên mức hoạt động chủ đạo trong quá trình phát triển của người
học.


10
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định.
Đây là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình hình thành và vận

dụng nội dung đó. Phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội
dung là vạch được một con đường để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những
mục đích dạy học khác, đồng thời cụ thể hoá những mục đích dạy học nội dung
và chỉ ra cách kiểm tra việc thực hiện những mục đích này. Cho nên điều cơ bản
của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong nội
dung để đạt được những mục đích dạy học. Khi đó giúp người học con đường
chiếm lĩnh nội dung và đạt được những mục đích dạy học khác, tức là kết hợp
truyền thụ tri thức với truyền thụ tri thức phương pháp [21, tr.128].
Hoạt động của người học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Trước hết,
đây là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và
ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những
hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung
đó. Trong quá trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những hoạt động có tác dụng
củng cố tri thức, rèn luyện những kỹ năng và hình thành những thái độ liên quan.
Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và
phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục
học cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt
động.
Theo [11] "Dạy học một nội dung nào đó là khai thác, lựa chọn những hoạt
động tiềm tàng trong nội dung này. Từ đó tổ chức, điều khiển học sinh thực hiện
những hoạt động này trên cơ sở đảm bảo những thành phần tâm lý cơ bản của
hoạt động".
Phương pháp dạy học mới là phương pháp tổ chức hoạt động có đối tượng.
Do đó việc xác định được đối tượng hoạt động dựa trên cơ sở tổ chức hoạt động
của người học là nền tảng cơ bản để tiến hành việc giáo dục có hiệu quả.


11
Việc thiết kế các hoạt động, tạo môi trường cho học sinh được học tập

trong hoạt động và bằng hoạt động là yêu cầu quan trọng của việc định hướng
đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy
học có thể được thể hiện ở những tư tưởng chủ đạo sau:
1.3.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt
động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học
1.3.1.1. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung
Chúng ta hiểu một hoạt động là tương thích với nội dung nếu nó góp phần
đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Từ "kết
quả" ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với
kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài.
Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một
phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những dạng
nội dung khác nhau (như khái niệm, định lý hay phương pháp), về những con
đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn, con đường quy nạp
hay suy diễn trong hình thành khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có
pha suy đoán để học tập định lý.
Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung ta cần chú
ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diện khác nhau.
Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:
- Nhận dạng và thể hiện;
- Những hoạt động ngôn ngữ;
- Những hoạt động trí tuệ chung;
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến;
- Những hoạt động toán học phức hợp.
Sau đây ta đi vào các hoạt động cụ thể đó:
Ví dụ 1. Sau khi dạy xong bài hai mặt phẳng vuông góc – Hình Học
Không Gian lớp 11, Giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng: “Cho hình lập
phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy chỉ ra các cặp mặt

phẳng vuông góc”.


12
- Hoạt động thể hiện khái niệm: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu
trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia”.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông, SA vuông góc với (ABCD). Chứng minh rằng: mặt phẳng

( SCD ) ⊥ ( SAD ) ; ( SAB ) ⊥ ( SBC ) .
Với khái niệm vừa nắm được, giáo viên cho học sinh thể hiện khái niệm
đó thông qua bài toán trên. Cụ thể:
• Chứng minh: ( SAD ) ⊥ ( SCD )

Vì CD ⊥ ( SAD ) ,CD ⊂ ( SCD ) nên ( SAD ) ⊥ ( SCD ) .
• Chứng minh: ( SAB ) ⊥ ( SBC )

Vì BC ⊥ ( SAB ) , BC ⊂ ( SBC ) nên ( SAB ) ⊥ ( SBC ) .
- Hoạt động ngôn ngữ: Ta có tính chất “ Cho hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Nếu mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt
phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng kia”.
Học sinh có thể phát biểu tính chất trên bằng kí hiệu như sau:
( P ) ⊥ ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = ∆ ⇒ a ⊥ ( Q )

a ⊥ ∆,a ⊂ ( P )

- Những hoạt động trí tuệ chung: Gồm có phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, ...

Ví dụ 2. Hình học lớp 10 có bài toán: “ Cho hai điểm A, B và đường
thẳng d. Tìm M thuộc d sao cho (MA + MB) là nhỏ nhất”.
Chúng ta có bài toán tương tự cho hình học không gian lớp 12 như sau: “
Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm M thuộc (P) sao cho (MA + MB) nhỏ
nhất”.
Ví dụ 3. Từ bài toán cụ thể ta dẫn đến bài toán tổng quát như sau:
uuur r

- Xét điểm A và số k ≠ 0 . Ta có: k.AA = 0 .


13
- Xét hai điểm A1 , A 2 và hai số k1 , k 2 thỏa mãn k1 + k 2 ≠ 0 . Lấy điểm G
uuuur
GA
thỏa mãn
1 =−

uuuur
uuuur r
k 2 uuuuur
A1A 2 . Khi đó ta có: k1 GA1 + k 2 GA 2 = 0
k1 + k 2

- Xét ba điểm A1 , A 2 , A 3 và ba số k1 , k 2 , k 3 thỏa mãn k1 + k 2 + k 3 ≠ 0 . Khi
uuuur

đó lấy điểm G thỏa mãn GA1 = −
uuuur

uuuur

uuuuur
uuuuur
k2
k3
A1A 2 −
A1A 3 khi đó ta
k1 + k 2 + k 3
k1 + k 2 + k 3

uuuur r

có: k1 GA1 + k 2 GA 2 + k 3 GA 3 = 0 .
- Bài toán tổng quát như sau: Cho n điểm A1 , A 2 ,... , A n và n số thực
k1 , k 2 ,..., k n thỏa mãn k1 + k 2 + ... + k n ≠ 0 . Chứng minh rằng tồn tại điểm G sao
uuuur
uuuur
uuuur r
cho: k1 GA1 + k 2 GA 2 + ... + k n GA n = 0 .

- Hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có
nghiệm, có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm...), phân tích chia trường hợp...
Ví dụ 4. Sau khi dạy định lý, một câu hỏi thường được đặt ra là: “liệu
mệnh đề đảo của nó còn đúng không?”
Cụ thể: “Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), đường thẳng ∆
vuông góc với (P) thì vuông góc với d”. Vậy liệu rằng ∆ vuông góc với d thì có
vuông góc với (P) hay không?
Ví dụ 5. Trong hình học không gian lớp 11, để khắc sâu tính chất: hai
đường thẳng chéo nhau. Giáo viên dẫn dắt học sinh lật ngược vấn đề bằng câu

hỏi: “Trong không gian, nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì có chéo
nhau không?”
- Những hoạt động toán học phức hợp: Những hoạt động Toán học phức
hợp như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán
dựng hình, giải toán quỹ tích, ... thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong
sách giáo khoa phổ thông. Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm
cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát triển những kỹ năng và
năng lực Toán học tương ứng.
1.3.1.2. Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần


14
Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện
như một thành phần của một hoạt động khác. Phân tích được một hoạt động
thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn
bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa
chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan
trọng khi cần thiết.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AB = 2a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và
( SBC ) .
Để dẫn dắt học sinh phát hiện hướng giải quyết
của bài toán, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thực
hiện các hoạt động thành phần sau:
Hoạt động 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng

( SAD ) và ( SBC ) .
- Hoạt động 1.1: Xác định giao tuyến
SI = ( SAD ) ∩ ( SBC )

DE ⊥ SI, DE ⊂ ( SAD )
BE ⊥ SI, BE ⊂ ( SBC )

- Hoạt động 1.2: Xác định hai đường thẳng 
Khi đó

( ( SAD ) , ( SBC ) ) = ( DE, BE ) = α

Hoạt động 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) .
Ta có tam giác BDE vuông tại D, DE và BD tính được nên α = arctan 7 .
1.3.1.3. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
Nói chung, mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên,
nếu khuyến khích tất cả các hoạt động như thế thì có thể sa vào tình trạng rải
mành mành, làm cho học sinh thêm rối ren. Để khắc phục tình trạng này, cần
sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích
nhất định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng
của mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại.
1.3.1.4. Tập trung vào những hoạt động Toán học
Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạt động
đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng mục đích và chức năng
phương tiện của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này. Trong môn


15
Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để đạt được những
yêu cầu Toán học: Kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán học. Một số trong
những hoạt động như thế nổi bật lên do tầm quan trọng của chúng trong Toán
học, trong các môn học khác cũng như trong thực tế và việc thực hiện thành thạo
những hoạt động này trở thành một trong những mục đích dạy học. Đối với
những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức năng phương

tiện theo công thức của Faust: "Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động
trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện" [21, tr.79]
1.3.2. Gợi động cơ và hướng đích cho hoạt động
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [38, tr.13] thì: “Việc học tập tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục đích
đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt
các mục đích đó. Điều này được thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản
bằng việc nêu rõ mục đích mà quan trọng hơn còn do hoạt động gợi đông cơ”.
Gợi động cơ và hướng đích cho hoạt động không phải là việc làm ngắn
ngủi trước khi thực hiện các hoạt động đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học.
Vì vậy, chúng ta phân biệt thành ba hình thức gợi động cơ: gợi động cơ mở đầu,
gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc. Chúng ta sẽ trình bày cụ thể từng
hình thức đó.
1.3.2.1. Hướng đích
Hướng đích cho học sinh là hướng vào những mục đích đặt ra, vào hiệu
quả dự kiến của những hoạt động của học sinh nhằm đạt được những mục đích
đó.
Một trong những biện pháp hướng đích là đặt mục đích (đương nhiên đó
không phải là biện pháp duy nhất). Để đặt mục đích một cách chính xác, cụ thể,
người thầy giáo cần nghiên cứu sách giáo khoa và tham khảo sách giáo viên.
Trong tiết học, người thầy giáo phát biểu những mục đích và mức độ yêu cầu
một cách dễ hiểu để học sinh nắm được.
Hướng đích không phải chỉ thực hiện bằng cách đặt mục đích mà điều cơ
bản là, trong quá trình tìm hiểu và mô tả con đường đi tới đích, cần luôn luôn
hướng những quyết định và hoạt đông vào mục đích đã đặt ra. Đặt mục đích
thường là một pha ngắn ngủi, còn hướng đích là một nguyên tắc chỉ đạo toàn bộ
tiết học. Người học sinh được hướng đích nếu đối với tất cả những gì họ làm và
nói, họ đều biết rằng những cái đó nhằm mục đích gì.

16
Trong dạy học, việc hướng đích thường được thực hiện gắn liền với gợi
động cơ.
1.3.2.2. Gợi động cơ mở đầu
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [23, tr.133] thì : “ Gợi động cơ mở đầu cho
hoạt động là hướng tới mục tiêu phát hiện các thuộc tính bản chất của các đối
tượng toán học; nhằm phát hiện các định lý, quy tắc, phát hiện cách giải quyết
một vấn đề”.
Có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học.
Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:
- Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
- Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kĩ thuật, quốc phòng…);
- Thực tế ở những môn học và khoa học khác.
Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:
- Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể đơn giản
hoá vì lí do sư phạm trong trường hợp cần thiết.
- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều kiến thức phụ.
- Con đường từ lúc nêu tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn gọn càng tốt.
Ta cố gắng hướng tới các điều kiện này, tuy nhiên không phải bao giờ ta
cũng đảm bảo được ba điều kiện trên một cách mĩ mãn.
Tuy nhiên, Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó
không phải bất cứ nội dung nào cũng có thể được gợi động cơ xuất phát từ thực
tế. Vì vậy ta còn tận dụng cả những khả năng gợi động cơ xuất phát từ nội bộ
Toán học.
Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát từ nhu
cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán, từ những phương thức tư duy và
hoạt động toán học.
Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn hay
một chương, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế. Còn đối với từng
bài hay từng phần của bài thì cần tính tới khả năng gợi động cơ từ nội bộ Toán

học mà những cách thông thường là:
* Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ sự hạn chế


17
Ví dụ 1. Mở rộng không gian hai chiều Oxy sang không gian ba chiều
Oxyz để có thể khai thác và sử dụng những tính chất trong không gian. Chẳng
hạn, hai đường thẳng không có điểm chung thì không hẳn đã song song( chúng
có thể chéo nhau), ...
* Hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc
Ví dụ 2. Xây dựng thuật toán giải phương trình bậc hai sau đó tiến tới
chuyển giao cho máy tính nhằm hướng tới sự tiện lợi.
* Chính xác hóa một khái niệm
Có những khái niệm mà học sinh đã biết nhưng trước kia chưa thể định
nghĩa chính xác; đến một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại
vấn đề và giúp học sinh chính xác hóa khái niệm đó.
Ví dụ 3. Trong sách giáo khoa lớp 7 (tập 1), người ta định nghĩa khái niệm
hàm số như sau: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho
với mỗi giá trị của x ta luôn xác định chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được
gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số”.
Tới lớp 10, khái niệm hàm số đã được chính xác hóa như sau: “Cho một
tập hợp khác rỗng D ⊂ R . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương
ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá
trị của hàm số f tại điểm x. Tập D gọi là tập xác định(hay miền xác định), x gọi
là biến số hay đối số của hàm f”.
* Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống
Để có thể đại số hóa các bài toán hình học không gian ta đưa vào chủ đề
phương pháp tọa độ trong không gian thay vì trước đây chỉ làm được với những
bài toán phẳng.
* Lật ngược vấn đề

Sau khi chứng minh Định lý, một câu hỏi rất tự nhiên thường được đặt ra
là liệu mệnh đề đảo của nó có còn đúng không?
* Xem xét tương tự
Chẳng hạn, để gợi động cơ cho việc phát hiện và tìm lời giải cho bài toán:
“Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm M thuộc (P) sao cho (MA + MB) nhỏ
nhất”.
Nhìn vào bài toán này, học sinh sẽ liên tưởng đến bài toán tương tự đã
được giải quyết trong hình học phẳng: “Cho hai điểm A, B và đường thẳng d.


18
Tìm M thuộc d sao cho ( MA + MB ) nhỏ nhất”. Từ cách giải bài toán này ta đi
đến lời giải bài toán trên.
* Khái quát hoá
Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến
việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu [39, tr.21]
* Tìm mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, yếu tố
4
2
Ví dụ 4. Cho phương trình trùng phương ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (1). Nếu
2
đặt t = x ( t ≥ 0 ) thì ta được phương trình bậc hai theo t: at 2 + bt + c = 0 (2). Do đó

muốn biết số nghiệm của phương trình (1) thì ta chỉ cần biết số nghiệm của
phương trình (2) và dấu của các nghiệm đó.
1.3.2.3. Gợi động cơ trung gian
Theo Nguyễn Bá Kim [23, tr.138] thì: “Gợi động cơ trung gian là gợi
động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những hoạt động tiến hành trong
những bước đó để đi đến mục đích”.
Trong khi tiến hành các hoạt động, học sinh có thể gặp những khó khăn,

lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, tiếp tục như thế nào… Phát hiện được
những thời điểm này và đề ra được những gợi ý sâu sắc, thích hợp với trình độ
học sinh sẽ có tác dụng tích cực thúc đẩy hoạt động của các em. Tuy nhiên để
đảm bảo tính khái quát chỉ nên đưa ra những câu gợi ý phù hợp với những tri
thức phương pháp tiến hành các hoạt động. Việc làm này đạt được mục đích
kép; vừa gợi động cơ, vừa truyền thụ được tri thức phương pháp tương ứng. Vì
thế, những gợi ý đừng quá cụ thể, làm mất tính khái quát và cũng đừng quá tổng
quát làm mất khả năng chỉ đạo, hướng dẫn hành động. Dưới đây là những cách
thường dùng để gợi động cơ trung gian:
* Qui lạ về quen.
Khi học cách giải phương trình bậc hai, giáo viên cho học sinh giải
2
phương trình x 4 − 3x 2 − 4 = 0 . Bằng tư duy, học sinh đặt t = x ( t ≥ 0 ) đưa

phương trình bậc 4 về phương trình bậc hai đã biết cách giải.
* Tương tự hoá
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các
cạnh là BC = a , AB = c , AC = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
uur

uur

uur r

Chứng minh rằng aIA + bIB + cIC = 0 ”.


19
Trong hình học không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện
tích các mặt là S∆BCD = S1 , S∆ACD = S2 , S∆ABD = S3 , S∆ABC = S4 . Gọi I là tâm mặt

uur

uur

uur

uur r

cầu nội tiếp tứ diện chứng minh rằng: S1 IA + S2 IB + S3 IC + S4 ID = 0 ”.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Một đường thẳng đi qua G cắt
các đường thẳng AB, AC lần lượt tại B',C ' . Chứng minh rằng:
AB AC
+
= 3.
AB' AC'

Bài toán tương tự trong không gian:
Cho hình chóp S.ABC, trọng tâm G. Một mặt phẳng (α) đi qua G cắt các
đường thẳng SA,SB,SC lần lượt tại A ', B',C ' . Chứng minh rằng:
SA SB SC
+
+
= 4.
SA ' SB' SC'

* Khái quát hoá
Ví dụ 7.
- Xét hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ta có:
BD12 = AD 2 + DD12

= AB2 + AD2 + AA12
DB12 = BD 2 + BB12

= AB2 + AD2 + AA12
AC12 = AC2 + CC12

= AB2 + AD2 + AA12
CA12 = AC2 + AA12

= AB2 + AD2 + AA12
Từ đó suy ra:

- Xét hình hộp chữ nhật
ABCD.A1B1C1D1 ta có:
BD12 = AD 2 + DD12


20
= AB2 + AD2 + AA12
DB12 = BD 2 + BB12

= AB2 + AD2 + AA12
AC12 = AC2 + CC12

= AB2 + AD2 + AA12
CA12 = AC2 + AA12

= AB2 + AD2 + AA12
Từ đó suy ra:
BD12 + DB12 + AC12 + CA12 = 4(AA12 + AB2 + AD 2 )

- Từ đó hai trường hợp trên, yêu cầu học sinh khái quát hóa: Cho hình hộp
ABCD.A1B1C1D1 ta luôn có:

* Tư duy hàm (xét sự biến thiên và phụ
thuộc, chuyển qua trường hợp đặc biệt hoặc
giới hạn)
1.3.2.4. Gợi động cơ kết thúc
Gợi động cơ kết thúc nhằm hướng tới
hoàn chỉnh một vấn đề nào đó: giải quyết các trường hợp

xảy

ra;

trình bày các cách giải khác nhau; đề cập, mở rộng
các vấn đề nhờ khái quát hóa; nêu ý nghĩa thực tiễn; khai thác các ứng dụng;...
Gợi động cơ kết thúc cũng nâng cao tính tự giác trong hoạt động học tập
như các cách gợi động cơ khác. Mặc dù nó không có tác dụng kích thích đối với
nội dung đã thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học
tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này là sự
chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này.
Ví dụ 8. Sau khi học xong khái niệm hai vectơ cùng phương, ta có thể gợi
động cơ kết thúc cho học sinh bằng cách hỏi: tính chất hai vectơ cùng phương
có thể ứng dụng để giải bài toán nào?
Giáo viên mong đợi câu trả lời của học sinh:
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng.


21

- Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Trên đây chúng ta đã trình bày nội dung gợi động cơ cho hoạt động, việc
sử dụng tất cả các hình thức gợi động cơ cho một hoạt động là điều không thể
thực hiện được vì mỗi một hoạt động chỉ thích hợp với một số hình thức gợi
động cơ.
1.3.3. Dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương
pháp như phương tiện và kết quả hoạt động
Tri thức vừa là điều kiện, vừa là kết quả của hoạt động. Vì vậy trong dạy
học ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong
quá trình hoạt động. Thầy giáo cần chú ý tới những dạng khác nhau của tri thức
như: tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị… điều
này tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện.
Trong những dạng tri thức nêu trên, tri thức phương pháp đóng một vai
trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động.
Những tri thức phương pháp thường gặp là:
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ
thể như cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai…
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học
phức tạp như định nghĩa, chứng minh…
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong môn toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp…
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung
như so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá…
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động ngôn ngữ
lôgic như thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh
đề thành hội hay tuyển của chúng…
Những tri thức phương pháp có thể thể hiện những phương pháp có tính
chất thuật toán cũng như những phương pháp có tính chất tìm đoán.
Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cả
các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm được như vậy không

phải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứ vào
mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, mức độ làm việc thích hợp,


22
từ mức độ dạy học tường minh tới mức độ thực hành ăn khớp với tri thức
phương pháp.
Nói chung, việc truyền thụ tri thức phương pháp có thể diễn ra ở ba mức
độ khác nhau:
- Truyền thụ tường minh tri thức phương pháp quy định trong chương trình;
- Thông báo tri thức phương pháp nhân tiến hành hoạt động;
- Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp;
Tri thức phương pháp tổng quát để giải một bài toán, theo G. Polya, bao
gồm bốn bước sau đây:
- Tìm hiểu đề toán;
- Xây dựng chương trình giải;
- Thực hiện chương trình giải;
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải [30, tr.124]
Ví dụ 9. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ta có thể phân tích để tìm lời giả bài toán này như sau:
Ký hiệu a và b là hai đường thẳng chéo nhau đã cho, A và B lần lượt là
hai điểm chuyển động trên a và b. Ta cần xác định vị trí của đoạn thẳng AB sao
cho nó ngắn nhất. Độ dài đoạn thẳng AB phụ thuộc vị trí hai đầu mút A và B,
chúng đều là những điểm biến thiên. Có hai điểm biến thiên chứ không phải chỉ
có một, và đó chính là khó khăn đặc trưng của bài toán. Nếu như một trong hai
điểm này cố định thì bài toán có lẽ cũng dễ.
Ta tạm thời cố định một trong các điểm chuyển động ban đầu, A chẳng hạn
(hoạt động đặc biệt hóa). Khi đó đoạn thẳng AB sẽ nằm trong mặt phẳng đi qua
điểm A cố định và đường thẳng b đã cho và đoạn thẳng này chỉ có một trong
hai đầu mút của nó (là B) chạy dọc đường thẳng b. Khi đó rõ ràng độ dài đoạn

thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất khi nó vuông góc với đường thẳng b (hoạt động
liên tưởng với kết quả đã biết).


23
Nhưng ta có thể thay đổi vai trò của hai điểm A và B. Bây giờ ta cố định
điểm B và chỉ cho điểm A di chuyển (hoạt động tương tự hóa). Khi đó đoạn
thẳng AB có độ dài ngắn nhất khi nó vuông góc với đường thẳng a.
Vị trí cực tiểu của đoạn thẳng AB hiển nhiên không phụ thuộc vào cao
hứng của ta và vào chỗ cho các điểm A, B vai trò nào. Như vậy, ta có thể cảm
thấy ở vị trí đó đoạn thẳng AB vuông góc cả với đường thẳng a lẫn đường
thẳng b (suy luận có lý). Ta hãy xét kỹ hơn tính huống này.
Trong thực tế, suy luận trên đã trực tiếp chỉ ra vị trị của cực tiểu không thể
ở chỗ nào khác (và nó chỉ gián tiếp vạch ra vị trí cực tiểu phải ở chỗ nào).
Chúng ta dễ thấy rằng vị trí mà tại đó đoạn thẳng AB không vuông góc với
đường thẳng a tại điểm A không phải là vị trí cực tiểu. Thật vậy, ta cố định
điểm B và chuyển điểm A đến một vị trí khác sao cho AB vuông góc với đường
thẳng a, và như vậy ta được đoạn thẳng ngắn hơn (hoạt động so sánh). Suy luận
đó rõ rằng cũng có thể được áp dụng đối với điểm B như nó đã được áp dụng
đối với điểm A (hoạt động tương tự hóa). Từ đó ta thấy: Chiều dài đoạn thẳng
AB không thể cực tiểu nếu đoạn thẳng đó không đồng thời vuông góc với a và
b. Nếu khoảng cách ngắn nhất tồn tại thì nó phải đạt được đối với đường vuông

góc chung của hai đường thẳng đã cho.
Do đó, khi dạy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b;
giáo viên cần dạy cho học sinh nắm vững kiến thức qua việc thông báo tri thức
phương pháp.
- Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b;
- Tính khoảng cách từ b đến (P);
Ví dụ 10. Tìm điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d;
- Tìm giao điểm H của (P) và d;
- A’ đối xứng với A qua d khi và chỉ khi H là trung điểm AA’.
1.3.4. Phân bậc hoạt động
Phát hiện được hoạt động, tìm được khả năng gợi động cơ, xác định được
tri thức phương pháp là những điều kiện quan trọng để tiến hành hoạt động,


24
nhưng nếu không định được mức độ tập luyện sát với trình độ học sinh thì việc
tiến hành hoạt động cũng không mang lại kết quả tốt. Muốn vậy, phải phân bậc
hoạt động. Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển cho quá trình dạy
học.
Sự phân bậc hoạt động dựa vào những căn cứ sau đây:
1.3.4.1. Sự phức tạp của đối tượng hoạt động
Nếu đối tượng hoạt động càng phức tạp thì hoạt động đó càng khó thực
hiện, ta có thể phân bậc như sau:
- Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên đối tượng đơn giản.
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A ( 1,0, 2 ) và có vecto chỉ
r

phương u = ( 2, −1,3) .
- Bậc cao: Tiến hành hoạt động trên đối tượng phức tạp hơn
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M ( 3,1,1) và vuông góc
với mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 3 = 0 .
- Bậc cao hơn:
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao tuyến của hai mặt
phẳng ( P ) : x + y − z + 2 = 0; ( Q ) : 3x − 2y + z − 1 = 0
1.3.4.2. Sự trừu tượng, khái quát của đối tượng
Ví dụ 4.

- Bậc thấp: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
- Bậc cao: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a, SA ⊥ BM với
M là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
- Bậc cao hơn nữa: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a,
SA ⊥ BM với M là trung điểm SC. Tìm a để thể tích khối chóp bằng 3 6 .

1.3.4.3. Nội dung của hoạt động
Nội dung của hoạt động chủ yếu là những tri thức liên quan tới hoạt động
và những điều kiện khác của hoạt động. Nội dung hoạt động càng gia tăng thì
hoạt động càng khó thực hiện, cho nên nội dung cũng là một căn cứ của phân
bậc hoạt động.


25
1.3.4.4. Sự phức hợp của hoạt động
- Bậc thấp: Biết cách làm trên một loạt trường hợp tương tự với trường
hợp đã làm.
- Bậc cao: Khái quát hoá cách làm trên trường hợp cụ thể thành cách làm
cho trường hợp tổng quát.
1.3.4.5. Chất lượng của hoạt động
Sự phân bậc hoạt động còn dựa trên chất lượng của hoạt động.
- Bậc thấp: Tiến hành hoạt động với sự giúp đỡ của giáo viên.
- Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động.
1.3.4.6. Phối hợp nhiều phương diện làm căn cứ phân bậc
Ta cũng có thể xem xét đồng thời nhiều phương diện khác nhau làm căn
cứ phân bậc.Người thầy giáo cần biết lợi dụng sự phân bậc để điều khiển quá
trình học tập, trước hết là theo những hướng sau đây:
- Chính xác hoá mục đích yêu cầu: Nhờ phân bậc hoạt động ta có thể đề
ra yêu cầu dạy học một cách chính xác hơn. Sự chính xác hoá yêu cầu như thế

có thể được ghi rõ trong chương trình, nhưng cũng có thể do giáo viên tự đề xuất
căn cứ vào mục đích qui định và điều kiện hoàn cảnh cụ thể.
- Tuần tự nâng cao yêu cầu
- Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết.
- Tiến hành dạy học phân hoá.
Sự phân tích trên đây giúp chúng ta thấy được: Thực chất quá trình giáo
dục là một quá trình tổ chức cho học sinh hoạt động theo một mục đích đã định.
Đó là quá trình giúp học sinh chuyển những thao tác bên ngoài vào tư duy bên
trong, biến những thao tác ấy thành kỹ năng, năng lực của mình.
Nói tóm lại, "Năng lực, kĩ năng hay tư duy của con người chỉ có thể được
hình thành và phát triển thông qua hoạt động" là một Nguyên lí đã được hiện
thực hóa một cách rõ nét qua các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học.
1.4. Vấn đề lựa chọn và phối hợp các phương pháp dạy học tích cực
nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức toán học của học sinh
1.4.1. Cơ sở lựa chọn phương pháp dạy học
“Sử dụng phương pháp nào là câu hỏi thường xuyên của mọi người thầy
khi dạy học”. Hiện nay phần lớn giáo viên lựa chọn phương pháp dạy học theo