Rèn luyện kỹ năng sử dụng công thứ lượng giác giải phương trình lượng giác

Mở ĐầU

1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Toán ở Phổ thông, lượng giác là một trong những kiến
thức cơ bản và quan trọng.
Cuối chương trình lớp 10, học sinh đã được học về phần lượng giác. Kiến
thức cơ bản và đầu tiên học sinh được học đó là: Các công thức biến đổi lượng
giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích,
công thức biến đổi tích thành tổng. Nó có mặt ở hầu hết các phân môn toán như:
Hình học; Đại số; Gải tích;... Và được coi là một trong những nội dung trọng tâm
trong bộ môn toán ở nhà trường phổ thông.
Sang đến lớp 11, học sinh được nghiên cứu thêm một phần quan trọng của
lượng giác nữa đó là phương trình lượng giác, bao gồm: Các phương trình lượng
giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp cùng với cách giải
chúng. Thực tế, những phương trình lượng giác mà chúng ta gặp trong bài tập
cũng như trong các kì thi đều không phải là các phương trình lượng giác đã biết
cách giải. Khi giải các phương trình đó, chúng ta cần phải vận dụng các phép
biến đổi phương trình lượng giác thích hợp để đưa chúng về các phương trình
lượng giác quen thuộc và đã biết cách giải. Để có được lời giải đúng và ngắn gọn,
ngoài việc vận dụng các phép biến đổi phương trình lượng giác thích hợp thì
chúng ta phải nắm vững và sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác.
Vì vậy, xuất phát từ sự say mê của bản thân và với mong muốn có được
kiến thức vững hơn về lượng giác cùng với sự động viên khích lệ của cô giáo Đào
Thị Hoa tôi đã chọn đề tài: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức lượng giác
giải phương trình lượng giác.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tìm hiểu nhiều vấn đề về bài tập toán học và kĩ năng giải bài tập

toán học, khóa luận hệ thống nhiều kiến thức cơ bản về công thức lượng giác và
phương trình lượng giác, từ đó xây dựng hệ thống bài tập về giải phương trình
lượng giác nhằm rèn luyện và phát triển cho học sinh kĩ năng giải loại phương
trình này. Thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn
Toán ở trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận chung:
- Bài toán và lời giải bài toán, kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài
tập toán.
- Xây dựng và khai thác các bài tập trong sách giáo khoa và thực tế để rèn
luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng việc sử dụng các công thức
lượng giác.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiện cứu: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình toán phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên
cứu lí luận; Phương pháp quan sát, điều tra; Phương pháp tổng kết kinh nghiệm;
Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 02
chương
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức lượng giác giải phương
trình lượng giác.
2


NộI DUNG

CHƯƠNG 1. CƠ Sở Lí LUậN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ
ràng, nhưng không thể đạt ngay được.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán
là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một
số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài tập,...
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể: Có một lời giải, không có lời giải hoặc nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài
toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.2. Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán
1.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán
học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ
kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức
đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ
như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân

3


tích, tổng hợp lại để ra các kiến thức mới nữa... Cuối chúng ta đi đến được lời giải
của bài toán.

Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong
bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng
cố qua lại nhiều lần.
1.2.2. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học
suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài toán
là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích
rõ rệt. Vì vậy, khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta
năng lực sử dụng các phép suy luận hợp lôgic: suy luận có căn cứ đúng, suy luận
tuân theo quy tắc suy diễn,...
Chúng ta biết rằng, không thể có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời
giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết
cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau,
biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa... Như vậy, qua việc giải bài toán thì
năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển.
1.2.3. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ
môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học
đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt
ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán: Bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống
của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây
tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài toán

4


được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm;

Bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức
gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán
có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lí. Đặc biệt là việc tổ chức
hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh
tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay
một chương nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống
các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố các
kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
1.2.4. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục đích rất rõ rệt,
vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt
động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người
giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta
phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLYA là
Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải
mọi bài toán. Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu
của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
1.3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán

5


Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho

hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:
Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong đề
bài toán.
1.3.2. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chưa để chia các bài toán thành 2 loại:
Bài toàn có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một
angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
Bài toàn không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
không theo một angôrit nào hoặc không mang tính chất angôrit nào.
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ
của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại
khác nhau như sau: Bài toán số học; Bài toán đại số; Bài toán hình học.
1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay là
bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có 2 loại bài toán như sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi
học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

6


1.4. Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA.

1.4.1. Bước 1: Tìm hiểu đề.
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi,
biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
1.4.2. Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng
chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất.
Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so
sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
i) Phương pháp đi xuôi
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy luận
hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp tục chọn lọc
trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới.
Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với
kết luận... Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết
luận của bài toán. Khi ấy, ta tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A B
X , trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận.
C D
ii) Phương pháp đi ngược

7

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp lôgic
chúng ta đi ngược lên để tìm các tiên đề lôgic của kết luận này. Tiếp tục chúng ta
chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới,
từ đó rút ra các tiền đề lôgic mới của các kết luận mới này ... Quá trình này lại
được tiếp diễn, ta tìm được các tiền đề lôgic trùng với giả thiết của bài toán và
tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C A
X
, trong đó A, B là giả thiết còn X là kết luận.
D

B


Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta
thường kết hợp cả 2 phương pháp đi ngược và đi xuôi.
iii) Phương pháp sử các phép suy luận quy nạp
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có nhiều phương pháp.
Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.
Có những bài toán mà ta sử dụng nhiều phương pháp như: Phương pháp đi
xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó mà vẫn
chưa tìm ra được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng suy nghĩ
theo hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp,
nghĩa là: suy nghĩ đến bài toan liên quan, có tính chất gần với bài toán ta cần giải
(có thể là bài toán con, bài toán tương tự, đôi khi là bài toán khái quát).
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của bài toán có liên quan với bài toán
đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho.

Theo G.POLYA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: Anh có biết
một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?; Đây là một bài toán gần
giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể dùng được nó làm gì
không?; Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài
toán gần giống với nó.
1.4.3. Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
8


Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng
các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của toán học, các mệnh đề toán
học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được - chính là
điều chứng minh được.
1.4.4. Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được
của bài toán.
Tìm các cách giải khác của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải của bài toán sau.
Chứng minh rằng nếu ABC thỏa mãn điều kiện

cos2 A cos2 B 1
(cot 2 A cot 2 B)
2
2
sin A sin B 2

(1)

thì ABC là tam giác cân.
Hướng dẫn:
Bước 1: Tìm hiểu đề.
Bài toán đã cho: ABC thỏa mãn điều kiện

cos2 A cos2 B 1
(cot 2 A cot 2 B) .
2
2
sin A sin B 2
Bài toán yêu cầu: chứng minh ABC là tam giác cân.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
- Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có cách nào?
- Theo giả thiết, chúng ta sử dụng cách chứng minh nào?
- Có nhận xét gì về 2 góc A và B?
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách: hoặc chứng
minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng nhau.
9


ở đây, ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc. Vậy
ta sẽ chứng minh tam giác đó có 2 góc nào đó bằng nhau.
Hơn nữa, ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và B là như
nhau. Do đó, ta dự đoán 2 góc mà ta phải chứng minh bằng nhau là 2 góc A và B.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
(1)


1 sin 2 A 1 sin 2 B 1 1

1

2 1 2 1
2
2
2 sin A
sin A sin B
sin B
2
sin 2 A sin 2 B

1


1

sin 2 A sin 2 B
2 sin 2 A sin 2 B





2

sin2 A sin2 B 4(sin2 A sin2 B) , do sin A,sin B 0
2

sin A sin B 0 sin A sin B A B

Vậy ABC là tam giác cân tại C.
Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Ngoài cách giải trên ta còn cách giải khác, đó là

(1)



2 cos2 A cos2 B
2

2

sin A sin B

cot 2 A cot 2 B

2 cos 2 A cos2 B cot 2 A cot 2 B sin 2 A sin 2 B



2 cos2 A cos2 B cos2 A cot 2 B sin 2 A cos2 B cot 2 A sin 2 B

cos 2 A cos2 B cot 2 B sin 2 A cot 2 A sin 2 B





cot 2 A sin 2 A sin 2 B cot 2 B sin 2 B sin 2 A 0
cot 2 A cot 2 B sin 2 A sin 2 B 0

cos2 A cot 2 A sin 2 B cos2 B cot 2 B sin 2 A 0

10


cot 2 A cot 2 B



sin 2 A sin 2 B

cot A cot B

sin A sin B

cot A cot B



sin A sin B

A B

Vậy ABC là tam giác cân tại C.
1.5. Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán
1.5.1. Kĩ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở trong
trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về tri thức và kỹ năng,
cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán
và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn, tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng
cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt
động và tư duy hàm. Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có
những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,
theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: Trong khi dạy học môn toán cần quan
tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán.

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống.
Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
1.5.2. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong

11


các bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ năng
học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết
các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
i) Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt
chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau: Các hệ
thống số; Hàm số và ánh xạ; Phương trình và bất phương trình; Định nghĩa và
chứng minh toán học; ứng dụng toán học.
ii) Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
iii) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với
việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.

iv) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩn
thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.

12


CHƯƠNG 2. RèN LUYệN Kĩ NăNG Sử DụNG CÔNG THứC LƯợNG
GIáC GIảI PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC
2.1. Mục tiêu dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở trường phổ thông
Về kiến thức
Học sinh phải nắm vững khái niệm phương trình lượng giác như: Phương
trình lượng giác cơ bản, một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Hiểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương
pháp giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Về kĩ năng
Học sinh có kĩ năng giải những phương trình lượng giác, giải thành thạo
những phương trình lượng giác theo thuật giải hay theo một hệ thống quy tắc
biến đổi xác định.
Đồng thời, học sinh phải biết cách giải một số dạng phương trình lượng
giác không quá phức tạp có thể quy được về phương trình bậc nhất và bậc hai đối
với một hàm số lượng giác.
Về tư duy
Học sinh phát triển được tư duy thuật giải thông qua việc giải những
phương trình lượng giác theo thuật giải, được rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo
khi giải những phương trình lượng giác không quen thuộc.
Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, tính cẩn thận và thói
quen tự kiểm tra.

13

2.2. Các kiến thức cơ bản
2.2.1. Các công thức lượng giác
Công thức cộng
tan tan
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
cot cot 1
cot( )
cot cot
cot cot 1
cot( )
cot cot
tan( )

sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin

Công thức nhân
Công thức góc nhân đôi
sin 2 2sin cos

2 tan
1 tan 2
cot 2 1
cot 2

2cot
tan 2

cos2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2

Công thức góc nhân ba
3tan tan3
1 3tan 2
cot 3 3cot
cot 3
3cot 2 1

sin 3 3sin 4sin 3

tan 3

cos3 4cos3 3cos

Công thức hạ bậc
1 cos2
2
1 cos2
cos2
2
1 cos2
tan 2
1 cos2

3sin sin 3
4

3cos cos3
cos3
4
3sin sin 3
tan 3
3cos cos3

sin 2

sin 3

14


Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos a cos b cos a b cos(a b)
2
1
sin a sin b cos a b cos(a b)
2
1
sin a cos b sin a b sin(a b)
2
Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
cos
2

2
ab
a b
cos a cos b 2sin
sin
2
2

a b
a b
cos
2
2
ab
a b
sin a sin b 2cos
sin
2
2

cos a cos b 2cos

sin a sin b 2sin

Công thức tính sin , cos , tan , cot theo tan
Nếu đặt t tan


2

2

thì ta có

2t
1 t 2
1 t 2
cos
1 t 2

2t
1 t2
1 t 2
cot
2t

sin

tan

Các công thức khác
sin cos


2 sin
4


sin cos 2 sin

2cos
4





2cos
4

4



2.2.2. Phương trình lượng giác cơ bản
2.2.2.1. Phương trình sin m (1)
Nếu m 1: phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu m 1 : phương trình (1) luôn có nghiệm.

15

tan cot

2
sin 2

tan cot 2cot 2

Nếu là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin m thì

x k 2
sin x m
x k 2

k (1),trongđó arc sin m .

Nếu m0; 1 , công thức (1) có thể viết gọn như sau:
sin x 1 x


2

k 2 k

sin x 1 x


2

.

k 2 k

sin x 0 x k k

.

.

Từ (1) ta thấy: Nếu , là hai số thực thì
k 2
sin sin
k 2

x
Ví dụ 1: Giải phương trình sin
5

k


1
.
2


Hướng dẫn:

x
sin
5


x
1
sin

2

5

x

5 6 k 2

k

x
5 6 k 2






sin

6

11
x 6 k10
k
29
x
k10

6

11
x 6 k10
Vậy nghiệm của phương trình là:
k
29

x
k10

6
2.2.2.2. Phương trình cos x m (2)
Nếu m 1: phương trình (2) vô nghiệm.

16

.




Nếu m 1 : phương trình (2) luôn có nghiệm.
Nếu là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos m thì

x k 2
cosx m
x k 2

k

(2), trong đó arccos m.

Nếu m0; 1 , công thức (2) có thể viết gọn như sau:

cos x 1 x k 2 k

.

cos x 1 x k 2 k
cos x 0 x


2

k k

.
.

Từ (2) ta thấy: Nếu , là hai số thực thì
k 2
cos cos
k 2



k .

Ví dụ 2: Giải phương trình cos 3 x 15o

2
.
2

Hướng dẫn:





cos 3 x 15o

2
cos 3 x 15o cos135o
2



3 x 15o 135o 360k

k
o
o
3 x 15 135 360k

x 50o 120k

k
o
x 40 120k

x 50o 120k
Vậy nghiệm của phương trình là:
k
o
x 40 120k



.

2.2.2.3. Phương trình tan x m (3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) là: cos x 0 .
Với điều kiện trên thì phương trình (3) luôn có nghiệm với m .
Nếu là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan m thì

17


tan x m x k k

(3) (trong đó arc tan m ).

Từ (3) ta thấy: Nếu và là hai số thực mà tan , tan xác định thì

tan tan k k

.

Ví dụ 3: Giải phương trình tan 2 x 1 3 .
Hướng dẫn:
tan 2 x 1 3 tan 2 x 1 tan
2x 1


3

k k


3

x 6 21 k2 k

Vậy nghiệm của phương trình là: x


6



1 k

k
2 2

.

2.2.2.4. Phương trình cot x m (4)
Điều kiện xác định của phương trình (4) là: sin x 0 .
Với điều kiện trên thì phương trình (4) luôn có nghiệm với m .
Nếu là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot m thì

cot x m x k k

(4') (trong đó arc cot m ).

Từ (4) ta thấy: Nếu , là hai số thực mà cot ,cot xác định thì

cot cot k k

.

1
Ví dụ 4: Giải phương trình cot 2 x cot .
3
Hướng dẫn:

1
cot 2 x cot 2 x 1 k k
3
3

x 16 k2 k

1 k
Vậy nghiệm của phương trình là: x
k
6 2

18

.


2.2.3. Một số phương trình lượng giác đơn giản
2.2.3.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
a) Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có
dạng
at b 0

(1)

trong đó a, b là các hằng số (a 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
b) Cách giải
Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình
(1) về phương trình lượng giác cơ bản.





Ví dụ 5: Giải phương trình sin x 1 2 cos2 x 2 0 .
Hướng dẫn:

sin x 1 2 cos2 x

sin x 1 0
2 0
2 cos2 x 2 0





sin x 1
x


k 2

2



k
cos2 x 2


x k 2

2

4

x 2 k 2
Vậy nghiệm của phương trình là:
k

x k 2

4

.

2.2.3.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
a) Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có
dạng
at 2 bt c 0
19

(2)


trong đó a, b, c là các hằng số (a 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
b) Cách giải
Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương
trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 6: Giải phương trình 2 cos2 x 3cos x 1 0
Hướng dẫn:
Đặt t cos x 1 t 1 . Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương

t 1
trình 2t 3t 1 0 1
t
2
2

So sánh điều kiện, ta thấy 2 nghiệm t đều thoả mãn.
Với t 1, ta có: cos x 1 x


2

k (k ).

1
1

Với t , ta có: cos x x k 2 (k ).
2
2
3



x 2 k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

k

x k 2

3

.

2.2.3.3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
a) Định nghĩa
Phương trình a sin x b cos x c (3) trong đó a, b, c
được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x,cos x .
b) Cách giải
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo 2 bước sau:
20

và a 2 b 2 0


Bước 1: Kiểm tra
Nếu a 2 b 2 c 2 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu a 2 b 2 c 2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp
bước 2.
Bước 2: Chia cả 2 vế của phương trình (3) cho a 2 b 2 , ta được

a
a 2 b2
2

sin x

b
a 2 b2

c

cos x

a2 b2

2




a
b

Vì

1 nên tồn tại góc sao cho
2
2
2
2
a b a b
a
b
cos ,

sin
a 2 b2
a 2 b2

Khi đó phương trình (3) có dạng
sin xcos cos x sin =

c
2

sin( x ) =

a b

2

c
a b2
2

Đây là phương trình lượng cơ bản đã biết cách giải.
Cách 2: Thực hiện theo 3 bước sau:
x
Bước 1: Với cos 0 x k 2 , k
2

thử vào phương trình (3) xem có là

nghiệm hay không?
x

Bước 2: Với cos 0 x k 2 k
2

. Khi đó ta làm như sau:

2t
x
1 t 2
Đặt t tan suy ra sin x
, cos x
2
1 t 2
1 t 2
Khi đó, phương trình (3) có dạng

a

2t
1 t 2

b
c (c b)t 2 2at c b 0 (3)
2
2
1 t
1 t

Giải phương trình (3) theo t , sau đó giải tìm x .
21

Cách 3: Chia 2 vế của phương trình (3) cho a 0 (hoặc b 0 ), rồi đặt tan
a
(hoặc tan ).
b

Giả sử, chia cả 2 vế của phương trình (3) cho a 0 , ta được
sin x tan cos x

c
c
sin x cos cos x sin cos
a
a

c
sin x cos
a

Đây là phương trình lượng giác cở bản đã biết cách giải.
Ví dụ 7: Giải phương trình

3 sin x cos x 1 .

Hướng dẫn:
Phương trình

3 sin x cos x 1 () có a 3; b 1; c 1.

Cách 1

Bước 1: Ta thấy a 2 b 2 c 2

3

2

2

1 4 12 1 (luôn đúng).

Bước 2: Chia cả 2 vế của phương trình () cho a 2 b 2 2 , ta được
()

3
1
1
sin x cos x
2
2
2

sin x cos


6

cos x sin


6

1
2



x

k 2

6
6

k
x k 2

6
6




sin x sin
6
6

x

k 2
3
k
x k 2

22



b
a




x k 2

Vậy nghiệm của phương trình () là:
k
3

x k 2

.

Cách 2
x
Bước 1: Khi cos 0 x k k

2

Ta thấy các giá trị x k k

sin x 0

thì cos x 1.


là nghiệm của phương trình ().

x
Bước 2: Với cos 0 x k 2 k
2



2t
x
1 t 2
Đặt t tan suy ra sin x
, cos x
.
2
1 t 2
1 t 2
Khi đó, phương trình () có dạng

3
Với t

2t 1 t 2
1
1 2 3t 2 t

2
2
1 t 1 t
3

1
3

thì tan

x 1


x k 2 k
2
3
3

.



x k 2

Vậy nghiệm của phương trình () là:

k
3

x k 2

.

Cách 3: Chia cả 2 vế của phương trình () cho a 3 ta được phương trình
tương đương sin x
Đặt tan

1
3

1
3

cos x

1
3

.

, khi đó phương trình () trở thành

sin x tan cos x

1
3

sin x cos cos x sin

23

1
3

cos



1

cos k 2
x arcsin
1
3

sin x
cos
k



1
3
x arcsin
cos k 2

3




Vậy nghiệm của phương trình () là:


1

cos k 2
x arcsin
3


k

1

x arcsin
cos k 2
3



, trong đó tan

1
3

.

b) Dạng đặc biệt



sin x cos x 0 x k (k ).
4
sin x cos x 0 x


4

k (k ).

c) Chú ý
Từ cách 1 ta có kết quả sau: a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2
Từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng:

y asin x b cos x, y

asin x b cos x
và phương pháp đánh giá cho một số
c sin x d cos x

phương trình lượng giác.
2.2.3.4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
a) Định nghĩa
Phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d (4) trong đó a, b, c, d
được gọi là phương trình bậc hai đối với sin x,cos x .

b) Cách giải
Cách 1: Ta làm theo 2 bước sau:

24


Bước 1: Kiểm tra xem cos x 0 (hoặc sin x 0 ) có phải là nghiệm của phương
trình hay không?
Bước 2:
Nếu cos x 0 thì ta chia cả 2 vế của phương trình trên cho cos2 x để đưa về
phương trình bậc hai đối với tan x .
Hoặc nếu sin x 0 thì ta chia cả 2 vế của phương trình trên cho sin 2 x để
đưa về phương trình bậc hai đối với cot x .
Hoặc nếu sin 2x 0 thì ta chia cả 2 vế của phương trình trên cho sin x cos x
để đưa về phương trình bậc hai đối với tan x hoặc cot x .
Cách2: Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi

sin 2 x

1 cos2 x
1 cos2 x
sin 2 x
; cos2 x
; sin x cos x
2
2
2

đưa phương trình đã cho về phương trình: b sin 2 x (c a)cos 2 x d c a
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x ta đã biết cách giải.

Ví dụ 8: Giải phương trình 2sin 2 x 3 3 sin x cos x





3 1 cos2 x 1 .

Hướng dẫn:
Cách 1
Bước 1: Ta thấy, khi cos x 0 thì sin x 1 nên dễ thấy các giá trị của x mà
cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Bước 2: Vì cos x 0 nên ta chia cả hai vế của phương trình đã cho cho cos2 x .
Khi đó, ta được phương trình tương đương
2

sin2 x
cos2 x



sin x

cos

x

3 1





3 1 1 tan 2 x

3 3

2 tan 2 x 3 3 tan x





1
cos2 x


25