Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Họ và tên học viên: TRẦN THỊ HOÀI
3. Ngày sinh:

17 - 02 - 1990

5. Quyết định công nhận học viên số:

2. Giới tính: Nữ
4. Nơi sinh: Trực Ninh - Nam Định
, ngày 29 tháng 10 năm 2012

6. Các thay đổi trong quá trình đào tạo: Không
7.Tên đề tài luận văn:
Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian.
8. Chuyên ngành: Toán giải tích

9. Mã số: 60 46 01 02

10. Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Tiễn, Trường Đại học Khoa học Tự
Nhiên Hà Nội.
11. Tóm tắt các kết quả của luận văn:
- Trong luận văn, bằng việc giới thiệu khái niệm tương đương tôpô, chúng ta

nghiên cứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính x  A  t  x và hệ phương


trình nửa tuyến tính x  A  t  x  f  t, x  . Một vài điều kiện đủ đảm bảo cho sự tồn

tại của hàm tương đương H(t, x) từ nghiệm (c, d) – tựa bị chặn của hệ phương trình
nửa tuyến tính lên hệ phương trình tuyến tính được giới thiệu. Kết quả khái quát là

định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ động lực trên thang thời gian.
- Trong luận văn, chúng ta sẽ đưa ra một phương pháp giải tích mới để
nghiên cứu bài toán tương đương tôpô trên thang thời gian. Thậm chí nó còn mới
trên trường số thực. Để đưa ra một cách đầy đủ các phương pháp khác nhau nghiên
cứu bài toán tương đương tôpô, chúng ta xem xét các kết quả khác nhau từ công
trình nghiên cứu đầu tiên của Higler. Hơn nữa, chúng ta chứng minh được rằng
hàm tương đương H(t, x) cũng tuần hoàn khi hệ là tuần hoàn. Higler chưa xét đến
tính chất quan trọng này của hàm tương đương H(t, x).
- Định lí tuyến tính hóa của Hartman cho phương trình vi phân thường phát
biểu rằng tồn tại tương ứng 1 : 1 giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
.

.

autônôm x  Ax và các hệ bị nhiễu x  Ax+f(x) , trong đó hàm f thỏa mãn một vài
điều kiện tốt như liên tục, Lipschitzian, nhỏ nhất… Sau đó, Palmer mở rộng những


.

kết quả đến một lớp hệ phương trình tuyến tính không autônôm x  A  t  x+f(t,x) với
nhị phân mũ.
- Gần đây, lý thuyết của thang thời gian giới thiệu bởi Higler đã nhận được
rất nhiều sự chú ý. Qua nhiều kết quả tốt như nghiệm tuyến tính hóa, ổn định, tuần
hoàn và hầu tuần hoàn thu được cho phương trình vi phân thường và phương trình
sai phân thường. Lý thuyết trên thang thời gian đa dạng hơn vì vậy chúng ta nghiên
cứu sẽ khó khăn hơn. Rất nhiều nhà toán học có những đóng góp lớn để nghiên cứu
trên thang thời gian và đã thu được một vài kết quả tốt như nhị phân mũ, và bài
toán giá trị bị chặn. Tuy nhiên, một vài tác giả có xem xét đến bài toán tương
đương tôpô trên thang thời gian. Kết quả thu được đó là, nếu hệ phương trình nửa

tuyến tính là tương đương tôpô với hệ phương trình tuyến tính, thì rất nhiều tính
chất của hệ phương trình nửa tuyến tính này đồng nhất hoặc tương tự với hệ
phương trình tuyến tính.
- Việc nghiên cứu sự tương đương tôpô của phương trình động lực trên thang
thời gian rất quan trọng trong thực tiễn cũng như trong lí luận. Thực chất, ý tưởng
giới thiệu bởi Kirchgraber và Palmer trong chứng minh định lí của Hartman –
Grobman là dạng tổng quát. Trong nghiên cứu này, bài toán tuyến tính hóa trên
thang thời gian được thảo luận. Tuy nhiên Kirchgraber và Palmer đã minh họa
trong phần hình học sau đó của sự chú ý. Higler đưa ra một cách đại số chặt chẽ
hơn trong suốt quá trình chứng minh.
- Thêm vào đó, Higler đã mở rộng và tổng quát hóa những kết quả của
Kirchgraber và Palmer. Tuy nhiên, những kết quả và sự gần đúng ( phép lấy xấp xỉ)
được sử dụng trong bài báo của ông phụ thuộc vào những lí luận hình học và đại
số.
- Để thu được những kết quả một cách dễ dàng, một phương pháp giải tích
mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô được trình bày trong luận văn. Để
đưa ra những phương pháp khác nhau một cách đầy đủ để nghiên cứu bài toán
tương đương tôpô, chúng ta có nhiều kết quả khác nhau từ những công trình nghiên
cứu của Higler. Trình bày bởi những nghiên cứu của Potzsche và Shi và Zhang,
chúng ta thiết lập định lí Hartman – Grobman cho các hệ phương trình định nghĩa


trên thang thời gian. Ngoài ra, chũng ta nghiên cứu tính tuần hoàn của hàm tương
đương H(t, x) khi thang thời gian là tuần hoàn.
- Luận văn được chia thành ba chương
+ Chương 1 giới thiệu một vài kí hiệu và định nghĩa trên thang thời gian.
Khái niệm nhị phân mũ của phương trình sai phân và phương trình vi phân cũng
được giới thiệu trong chương này.
+ Chương 2 phát biểu kết quả chính của luận văn đó là định lí tuyến tính hóa
của phương trình động lực trên thang thời gian và chứng minh định lí.

+ Chương 3 ta sẽ chứng minh định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian tuần
hoàn. Đó là, hàm tương đương H(t, x) cũng tuần hoàn khi thang thời gian là tuần
hoàn.
12. Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: Không có khả năng nào ( còn có thể ứng
dụng vào bài toán ổn định của phương trình hệ động lực trên đa tạp compact).
13. Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Một cách nghiên cứu mới cho bài toán ổn
định của phương trình hệ động lực trên đa tạp compact.
14. Các công trình đã công bố có liên quan đến luận văn: Không có

Ngày

tháng

năm 2014
Học viên

(Kí và ghi rõ họ tên)

Trần Thị Hoài


INFORMATION ON MASTER’THESIS
1. Full name: TRAN THI HOAI

2. Sex: Female

3. Date of birth:

4. Place of birth: Truc Ninh - Nam Dinh

17 - 02 - 1990

5. Admission decision number:

Dated

6. Changes in academic process: No
7. Official thesis title: A new analytical method for the linearization of dynamic
equation on measure chains.
8. Major: Math calculus

9. Code: 60 46 01 02

10. Supervisors: Dr. Le Huy Tien, University of Natural Sciences in Ha noi
11. Summary of the finding of the thesis:
- In the thesis, by introducing the concept of topological equivalence on
measure chain, we investigate the relationship between the linear sysem
x   A  t  x and the nonlinear system

x   A  t  x  f  t, x  . Some sufficient

conditions are obtained to guarantee the existence of a equivalent function H(t, x)
sending the (c, d) – quasibounded solutions of nonlinear system x   A  t  x  f  t, x 
onto those os linear system x   A  t  x . Our results generalize the Palmer’s
linearization theorem in to dynamic equation measure chains.
- In the present thesis, we give a new analytical method to study the
topological equivalence problem on measure chains. As we will see, due to the
completely different method to investigate the topological equivalence problem, we
have a considerably different result from that in the pioneering work of Higler.
Moreover, we prove that equivalent function H(t, x) is also periodic when the

systems are periodic. Higler never considered this important property of the
equivalent function H(t, x).
- Hartman’s linearization theorem for ordinary differential equations states
that a 1 : 1 correspondence exists between solutions of a linear autonomous system
.

.

x  Ax and those of the perturbed system x  Ax+f(x) , as long as f fulfills some


good conditions, like smallness, continuity or being Lipschitzian. Later, Palmer
.

extended the results to a class of linear nonautonomous system x  A  t  x+f(t,x)
with exponential dichotomies.
- Recently, the theory of measure chain, introduced by Higler, has received
a lot of attention. Though many good results such as linearization, stability,
periodic and almost periodic solutions are obtained for the ODE and ADE, the
theory on measure chains is much richer and more difficult to study. Many
mathematicians, have made great contributions to the work on measure chain (time
scales), some good results were obtained such as exponential dichotomy, oscillation
and bounded value problem. However few authors have considered the topological
equivalence problem on measure chain. It is well known that if a kind of nonlinear
systems are topological equivalent to their linear systems, then many properties of
this kind of nonlinear systems are identical or similar to their systems.
- Therefor, the studies of topological equivalence for dynamic equations are
very important in practice and in theory. Essentially, following the ideas presented
by Kirchgraber and Palmer, Higler proved the theorem of Hartman – Grobman in a
very general form. It stated the topological equivalence of the flow of a nonlinear

nonautonomous differential or difference equation with critical component to the
flow of a partially linearized equation. In this excellent work, the linearization
problem on measure chains was discussed. Whereas Kirchgraber and Palmer
illustrated the geometric background of their considerations, Higler gave a more
algebraically rigorous but nevertheless transparent proof.
- In addition, Higler extended and generalized the results of Kirchgraber and
Palmer. However, the results and approaches used in his paper depends on
geometrical and algebraic arguments.
- In order to obtain some easily verifiable results, a new analytical method to
study the topological equivalence problem is presented in this paper. Due to our
completely different method to investigate the topological equivalence problem, we
have a much different results from the existing results in Higler. Motivated by the
works Potzsche and Shi and Zhang, we establish a Hartman – Grobman like
theorem for systems defined on time scales/ measure chains. Morever, we


investigate the periodicity of the equivalent function H(t, x) when the measure chain
is periodic.
- The thesis is divided into three chapters
+ Chapter 1 introduces some notation and definitions on the time scale. The
concept of binary exponential equations and difference equations are also
introduced in this chapter.
+ Chapter 2 stated the main results of the thesis that the theorem of linear
equations of dynamics on the time scale and prove theorems.
+ Chapter 3 we will prove theorems on linearized time scale circulation.
That is, the equivalent function H (t, x) as well as the time scale circulation is
circulation.
12. Practical applicability: No possibility (also can be applied to the problem of
stability of the system dynamics equations on compact manifolds).
13. Further research directions: A new study to the problem of stability of the

system dynamics equations on compact manifolds.
14. Thesis-related publications: No.

Date: November

, 2014

Signature

Tran Thi Hoai