TUYẾN TÍNH hóa của PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG lực TRÊN THANG THỜI GIAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN

TRẦN THỊ HOÀI

TUYẾN TÍNH HÓA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC
TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2014


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Thang thời gian . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Một số kí hiệu . . . . . . . . .
1.1.4 Đạo hàm trên thang thời gian
1.2
1.3

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
1
2
3
6

Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nguyên lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian
2.1
2.2

.
.
.
.
.

ii
iii

12

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Định lí tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian

29

3.1 Thang thời gian tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo

34

i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong
thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,
thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi
người.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy
đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những
người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao
học.
Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại

Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thiện các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng
hộ tôi vô điều kiện.

ii


Lời nói đầu
Gần đây, lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian được phát
triển một cách có hệ thống nhằm hợp nhất và suy rộng lí thuyết phương trình
vi phân và phương trình sai phân. Luận văn trình bày lí thuyết phương trình
động lực trên thang thời gian với bài toán tuyến tính hóa.
Xét hệ phương trình tuyến tính
x∆ = A(t)x,

(1)

và hệ phương trình nửa tuyến tính
x∆ = A(t)x + f (t, x)

(2)

trong đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)).
Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô chúng tôi sẽ nghiên
cứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính (1) và hệ phương trình nửa
tuyến tính (2). Trong luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một vài điều kiện đủ
đảm bảo cho sự tồn tại của hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bị
chặn của hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1).
Chúng tôi mở rộng định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ động

lực trên thang thời gian. Ở đây, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp giải
tích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô trên thang thời gian. Kết quả
là mới ngay trong trường hợp T = R. Để đưa ra một cách đầy đủ các phương
pháp khác nhau nghiên cứu bài toán tương đương tôpô, chúng tôi xem xét các
kết quả khác nhau từ công trình nghiên cứu đầu tiên của Higler. Hơn nữa, chúng
tôi sẽ chứng minh hàm tương đương H (t, x) cũng là ω - tuần hoàn khi hệ là ω tuần hoàn.
Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian
chứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) và
hệ phương trình tuyến tính (1). Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các khái
niệm nhị phân mũ, và xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x). Nội dung luận
văn trình bày kết quả chính trong bài báo " A new analytical method for the
linearization of dynamic equation on measure chains" của Yonghui Xia, Jinde
Cao và Maoan Han.
Luận văn được chia thành ba chương
iii


Chương 1: trình bày khái niệm cơ bản trên thang thời gian và các kí hiệu,
khái niệm nhị phân mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân và
khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian.
Chương 2: chứng minh sự tồn tại hàm tương đương tôpô của hệ phương trình
nửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. Đây chính là mục đích chính của
luận văn.
Chương 3: chứng minh hàm tương đương là ω - tuần hoàn nếu hệ tuyến tính
là ω - tuần hoàn trên thang thời gian.
Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót.
Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng
nghiệp.
Hà nội, tháng 12 năm 2014
Trần Thị Hoài

iv


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Thang thời gian

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Thang thời gian là tập con đóng, khác rỗng tùy ý của tập số
thực R.
Kí hiệu thang thời gian là T.
Các tập R, Z, N, [0, 1] ∪ [2, 3] là ví dụ về thang thời gian.
Sau đây ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui và hàm graininess
trên thang thời gian.
Định nghĩa 1.2. Cố định t ∈ T. Toán tử σ : T −→ T xác định bởi
σ (t) := inf {s ∈ T : s > t}

được gọi là toán tử nhảy tiến trên thang thời gian T.
Ví dụ:
Nếu T = Z thì σ (n) = n + 1.
Nếu T = R thì σ (t) = t.
Định nghĩa 1.3. Cố định t ∈ T. Toán tử ρ : T −→ T xác định bởi
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}

được gọi là toán tử nhảy lui trên thang thời gian T.

1


Ví dụ:
Nếu T = Z thì ρ(n) = n − 1.
Nếu T = R thì ρ(t) = t.
Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật
phải, điểm bị cô lập và điểm trù mật như sau.
Nếu σ (t) > t, ta nói t là rời rạc phải.
Nếu ρ(t) < t, ta nói t là rời rạc trái.
Nếu ρ(t) < t < σ (t), ta nói t bị cô lập.
Nếu σ (t) = t, ta nói t trù mật phải.
Nếu ρ(t) = t, ta nói t trù mật trái.
Nếu ρ(t) = t = σ (t), ta nói t trù mật.
Định nghĩa 1.4. Hàm µ : T −→ [0, ∞) xác định bởi
µ(t) := σ (t) − t

được gọi là hàm graininess.
Ví dụ:
Nếu T = Z, ta có µ(n) = 1.
Nếu T = R, ta có µ(t) = 0.
Ta định nghĩa tập
Tκ =

T \ (ρ (supT) , supT) nếu supT < ∞
T
nếu supT = ∞.

Sau đây ta giới thiệu một số khái niệm liên quan đến hàm mũ trên thang thời
gian.

1.1.2

Hàm mũ

Ta kí hiệu tập tất cả các hàm regressive và rd - liên tục f : T −→ R bởi
R = R(T) = R(T, R).

Định nghĩa 1.5. Giả sử p ∈ R, ta định nghĩa hàm mũ tổng quát trên thang
thời gian như sau
t

ep (t, s) = exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

trong đó, ξµ(τ ) (p(τ )) =

1
Log (1 + µ(τ )p(τ )).
µ (τ )
2

, t, s ∈ T.

Bổ đề 1.1. Với p ∈ R, ta có
ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), τ, s, t ∈ T.

Chứng minh. Giả sử p ∈ R với τ, s, t ∈ T, ta có
t

ep (t, τ )ep (τ, s) = exp

τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

τ

s
t

= exp

τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ +
τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

t

= exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

= ep (t, s).
Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta giới thiệu một số tính chất của hàm mũ trong định lí sau.
Định lý 1.1. Giả sử các hàm p, q ∈ R. Khi đó ta có
(i) e0 (t, s) ≡ 1 và ep (t, t) ≡ 1;
(ii)ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s);
1
= e p (t, s);
(iii)
ep (t, s)
1
(iv) ep (t, s) =
= e p (s, t);
ep (s, t)
(v) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s);
ep (t, s)
(vi)
= ep q (t, s).
eq (t, s)
Chứng minh. Xem [ 1 ].
Bây giờ ta sẽ giới thiệu một số kí hiệu được dùng trong luận văn.

1.1.3

Một số kí hiệu

Giả sử T là thang thời gian tùy ý với hàm bị chặn graininess µ và X là không
gian Banach thực hoặc phức với chuẩn · .
Gọi L (X1 , X2 ) là không gian tuyến tính các ánh xạ tuyến tính liên tục với
chuẩn xác định bởi
T := sup T x , ∀T ∈ L (X1 , X2 ) .
x =1

3


Gọi GL (X1 , X2 ) là tập các đẳng cấu tuyến tính giữa hai không gian con X1 , X2
của X.
IX1 là ánh xạ đồng nhất trên X1 .
L (X) := L (X, X).
N (T ) = T −1 ({0}) là không gian nhân.
R (T ) := TX là khoảng biến thiên của T ∈ L (X).

Một vài kí hiệu đặc trưng cho phép toán trên thang thời gian
T+
τ := {t ∈ T : t ≥ τ }, ∀τ ∈ T.
T−
τ := {t ∈ T : t ≤ τ }, ∀τ ∈ T.
Ta cũng dùng kí hiệu ρ+ để chỉ toán tử nhảy tiến, tức là ρ+ (t) = σ (t), ∀t ∈ T.
Tập J ⊆ T được gọi là không bị chặn trên (tương ứng dưới) nếu tập
{µ (t, τ ) ∈ R : t ∈ J, ∀τ ∈ T}

không bị chặn trên (tương ứng dưới).
Đạo hàm riêng cấp 1 của ánh xạ Φ : T × T −→ X, kí hiệu là ∆1 Φ.
Crd (Tκ , X) là tập các ánh xạ rd - liên tục từ Tκ đến X.
Crd R+ (Tκ , R) là không gian tuyến tính của các hàm regressive với các phép

toán đại số
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t),
a(t) − b(t)
,
(a b)(t) :=
1 + µ(t)b(t)
(1 + ha(t))α − 1
(α a)(t) := lim
, t ∈ Tκ ,
h

h

µ(t)

trong đó a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) , α ∈ R và
Crd R+ (Tκ , R) := {a ∈ Crd (Tκ , R) : 1 + µ (t) a (t) > 0, t ∈ Tκ }.

Nếu T = R thì
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t),
(a

b)(t) := a(t) − b(t).

4

Nếu T = Z thì
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t),
a(t) − b(t)
(a b)(t) :=
.
1 + b(t)
Với τ ∈ T cố định và c, d ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta định nghĩa
+
Bτ,c
(X) := {λ ∈ Crd T+
τ , X : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞},
τ t

−
Bτ,d
(X)

:= {λ ∈

±
Bτ,c,d
(X) :=

Crd T−
τ ,X

: sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞},
t τ

λ ∈ Crd (Tκ , X) |∃τ ∈ T : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞,
τ t

sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞ .
t τ

là không gian tuyến tính các ánh xạ c+ - tựa bị chặn và d− - tựa bị chặn.
Các không gian trên là không gian Banach với chuẩn
λ
λ

+
τ,c

:= sup λ(t) e c (t, τ ),

±
τ,c,d

λ

τ t

:= max{ λ|T+τ

+
τ,c ,

λ|T−τ

−
τ,d

:= sup λ(t) e d (t, τ ),
t τ

−
τ,d }.

trong đó ec (t, τ ) là hàm mũ thực trên T. Có thể dễ dàng thấy rằng
λ(t) ≤ λ

+
τ,c ec (t, τ ), ∀t

λ(τ ) ≤ λ

+
τ,c

≤ λ

∈ T+
τ ,

λ(t) ≤ λ

±
τ,c,d ,

λ(τ ) ≤ λ

−
τ,d ed (t, τ ), ∀t ∈
−
±
τ,d ≤ λ τ,c,d .

T−
τ ,

Một số kí hiệu viết tắt
b − a := infκ {b(t) − a(t)},
t∈T

a ✁ b :⇔ 0 < b − a ,
a ✂ b :⇔ 0 ≤ b − a .

trong đó hai hàm regressive a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) được kí hiệu là bậc tăng nếu
sup µ(t)a(t) < ∞ và

sup µ(t)b(t) < ∞.

t∈Tκ

t∈Tκ

Khi đó ta thu được các giới hạn sau
lim ea b (t, τ ) = 0,

lim eb a (t, τ ) = 0.

t→∞

t→−∞

với bậc tăng a ✁ b không bị chặn trên (tương ứng dưới) trên thang thời gian.
Khái niệm khả vi delta trên thang thời gian được giới thiệu dưới đây.
5


1.1.4

Đạo hàm trên thang thời gian

Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm f : T → R khả vi tại t ∈ Tκ . Với mọi ε > 0, tồn
tại một lân cận U của t sao cho
|[f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ U.

Khi đó f ∆ (t) là đạo hàm của hàm f tại t.
Ví dụ 1.1. Nếu T = R thì
|f (t) − f (s) − A(t − s)| ≤ ε|t − s|,
⇔|

f (t) − f (s)
− A| < ε, ∀|s − t| < δ.
t−s

Do đó,

f (t) − f (s)
= A = f (t).
s→t
t−s

lim
Ví dụ 1.2. Nếu T = Z thì

|f (n + 1) − f (n) − A(n + 1 − n)| ≤ ε|n + 1 − n|,
⇔ |f (n + 1) − f (n) − A| < ε.

Do đó,
f (n + 1) − f (n) = ∆f = A.

Ví dụ 1.3. Hàm f : T −→ R xác định bởi f (t) = α, ∀t ∈ T, α ∈ R.
Khi đó f ∆ (t) ≡ 0.
Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có
|f (σ (t0 )) − f (t) − µ(σ (t0 ), t).0| = |α − α| = 0 ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|, ∀t ∈ T.

Ví dụ 1.4. Hàm f : T −→ R xác định bởi f (t) = t, ∀t ∈ T, α ∈ R.
Khi đó f ∆ (t) ≡ 1.
Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có
|f (σ (t0 )) − f (t) − µ(σ (t0 ), t).1| = |σ (t0 ) − t − µ(σ (t0 ), t)| = 0 ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|, ∀t ∈ T.

Một vài tính chất của đạo hàm trên thang thời gian được giới thiệu trong
định lí sau đây.
6


Định lý 1.2. Giả sử f, g : T −→ R khả vi tại t ∈ Tκ . Khi đó ta có:

i) f + g : T −→ R khả vi tại t với
(f + g )∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t).
ii) Với hằng số α, αf : T −→ R khả vi tại t với
(αf )∆ (t) = αf ∆ (t).
iii) Hàm f g : T −→ R khả vi tại t với
(f g )∆ (t) = f ∆ (t)g (t) + f (σ (t))g ∆ (t)
= f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g (σ (t)).
iv) Nếu f (t)f (σ (t)) = 0 thì

1

khả vi tại t với

f

1
f

v) Nếu g (t)g (σ (t)) = 0 thì
f
g

∆

(t) = −

f ∆ (t)
.
f (t)f (σ (t))

f
khả vi tại t với
g
∆

(t) =

f ∆ (t)g (t) − f (t)g ∆ (t)
.
g (t)g (σ (t))

Chứng minh. Giả sử f, g khả vi tại t ∈ Tκ .
i) Cho ε > 0, khi đó tồn tại lân cận U1 , U2 của t sao cho
| [f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)(σ (t) − s)| ≤
| [g (σ (t)) − g (s)] − g ∆ (t)(σ (t) − s)| ≤

ε

2
ε

2

|σ (t) − s|, ∀s ∈ U1 ,
|σ (t) − s|, ∀s ∈ U2 .

Cho U = U1 ∩ U2 . Khi đó ∀s ∈ U ta có
| [(f + g )(σ (t)) − (f + g )(s)] − [f ∆ (t) + g ∆ (t)](σ (t) − s)|
≤ | [f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)(σ (t) − s)| + | [g (σ (t)) − g (s)] − g ∆ (t)(σ (t) − s)|
ε

ε
≤ |σ (t) − s| + |σ (t) − s| = ε|σ (t) − s|.

2

2

Do đó f + g khả vi tại t và (f + g )∆ = f ∆ + g ∆ với mọi t.
ii) iii) iv) và v) xem [1]. Định lí được chứng minh.
Phần tiếp theo chúng tôi giới thiệu khái niệm nhị phân mũ của phương trình
vi phân, phương trình sai phân.
7


1.2

Nhị phân mũ

Xét phương trình
x = Ax, x ∈ X,

(1.1)

với nghiệm x(t) = etA x(0).
Định nghĩa 1.7. Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân
mũ) nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, X = E s ⊕ E u sao cho
etA x ≤ N e−αt x , t ≥ 0, x ∈ E s ,
e−tA x ≤ N eαt x , t < 0, x ∈ E u .

Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình

x =x
y = −y

Khi đó nghiệm của hệ phương trình trên là
x = x0 e t
y = y0 e−t

Do đó,
sup (x(t), y (t))

≤M

t∈R

⇔

sup |x(t)| ≤ M
sup |y (t)| ≤ M

⇔

x0 = 0
y0 = 0

Ta có định nghĩa tương đương sau.
Định nghĩa 1.8. Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân mũ)
nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, và phép chiếu P : X −→ X, với X = ImP ⊕ Im(IX − P )
sao cho
etA P y ≤ N e−αt y , t ≥ 0, y ∈ X,
e−tA (IX − P )y ≤ N eαt y , t < 0, y ∈ X.

Để ý rằng E s = ImP, E u = Im(IX − P ).
Sau đây ta sẽ giới thiệu khái niệm nhị phân mũ đối với hệ phương trình
không ôtônôm.
Xét phương trình
x = A(t)x, x ∈ X, t ∈ R.

8

(1.2)


Định nghĩa 1.9. Phương trình (1.2) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại
N ≥ 1, α > 0, và họ phép chiếu P (t) thỏa mãn
sup P (t) < +∞,
t∈R

X = ImP (t) ⊕ Im(IX − P (t))

sao cho
U (t, s)P (s)x ≤ N e−α(t−s) x , x ∈ X, t ≥ s,
U (t, s) khả nghịch trên Im(IX − P (t)),
U (t, s)−1 (IX − P (t))x ≤ N eα(t−s) x , x ∈ X, t < s,

trong đó, (U (t, s))t≥s là họ toán tử giải (Cauchy) của phương trình (1.2).
Dưới đây, ta giới thiệu khái niệm nhị phân mũ đối với hệ phuơng trình sai
phân.
Xét phương trình
xn+1 = An xn , xn ∈ X, n ∈ Z.

(1.3)

Định nghĩa 1.10. Phương trình (1.3) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại
N ≥ 1, λ ≥ 0, họ phép chiếu Pn thỏa mãn
sup Pn < +∞,
n

X = ImPn ⊕ Im(IX − Pn )

sao cho
Φn,m Pm x ≤ N λn x , n ≥ m,
Φn,m khả nghịch trên Im(IX − Pn ),
−n
Φ−1
x , n < m,
n,m Pm x ≤ N λ

trong đó, Φn,m = An−1 An−2 ...Am , với mọi n > m, Φn,n = I.
Chú ý rằng:
1) Các điều kiện U (t, s) khả nghịch trên Im(IX − P (t)) và Φn,m khả nghịch
trên Im(IX − Pn ) luôn được thỏa mãn khi X = Rd .
2) U (t, s), Φn,m nói chung không khả nghịch trên toàn không gian X.
Trong trường hợp tổng quát, ta xét nhị phân mũ của phương trình động lực
trên thang thời gian.

9


Xét phương trình động lực tuyến tính
x∆ = A(t)x,

(1.4)

với A ∈ Crd (Tκ , L(X)) và toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) ∈ L(X) nghĩa là toán tử
giải của bài toán giá trị ban đầu
X ∆ = A(t)X, X (τ ) = IX , ∀τ, t ∈ T, τ ≤ t.

ΦA (t, τ ) trong trường hợp tổng quát không khả ngược và chỉ tồn tại với τ ≤ t.
Ta định nghĩa toán tử chiếu bất biến như sau.
Định nghĩa 1.11. P : T −→ L(X) được gọi là phép chiếu bất biến của phương
trình (1.4) nếu
P 2 (t) = P (t),

P (t)ΦA (t, s) = ΦA (t, s)P (s), ∀s ≤ t, s, t ∈ T.

P được gọi là thỏa mãn điều kiện chính quy nếu ánh xạ

[IX + µ(t)A(t)] |KerP (t) : KerP (t) −→ KerP (σ (t))
là song ánh.
Trong trường hợp T = R ta không cần điều kiện phép chiếu chính quy vì khi
đó µ(t) = 0 nên IX + µ(t)A(t) = IX luôn là song ánh.
Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển mở rộng như sau.
Định nghĩa 1.12. Toán tử ΦA (t, s) : KerP (s) −→ KerP (t) được xác định bởi
−1

ΦA (t, s) :=

ΦA (s, t)|KerP (t)
,tΦA (t, s)|KerP (s) , t ≥ s

với (t, s) ∈ T × T.
Dễ dàng thấy rằng ΦA (t, s) ∈ GL(KerP (s), KerP (t)) và
ΦA (t, τ ) = ΦA (t, s)ΦA (s, τ ), ∀ τ, s, t ∈ T.
Ta giới thiệu khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian T như sau.

10


Định nghĩa 1.13. P : T −→ L(X) là phép chiếu bất biến của phương trình (1.4)
thỏa mãn điều kiện chính quy. Khi đó phương trình (1.4) được gọi là có nhị phân
mũ nếu
ΦA (t, s)P (s) ≤ Kea (t, s),

s ≤ t, s, t ∈ T,

ΦA (t, s)[IX − P (s)] ≤ Keb (t, s),

s ≥ t, s, t ∈ T.

với K ≥ 1 là hằng số thực và bậc tăng a, b ∈ Crd R+ (T, R) , a ✁ b.
Định nghĩa trên suy rộng định nghĩa nhị phân mũ khi T = R, T = Z.
Dưới đây ta chỉ xét trường hợp thang thời gian T không bị chặn trên, không
bị chặn dưới.
Bổ đề 1.2. Phương trình (1.4) có nhị phân mũ với bậc tăng a, b và các phép
chiếu bất biến P, Q trên T. Với τ ∈ T cố định và c, d ∈ Crd R+ (T, R). Khi đó
P = Q và a ✁ c ✁ b, a ✁ d ✁ b phương trình (1.1) không có nghiệm không tầm
thường (c, d) - tựa bị chặn trên T.
Bổ đề 1.3. Giả sử τ, t, t1 , t2 ∈ TK , t1 ≤ t2 và a, b ∈ Crd R+ (T, R) . Khi đó ta có


e (t, τ )

 a
t2
[eb a (t2 , τ ) − eb a (t1 , τ )] nếu a ✁ b,
b−a
ea (t, ρ+ (s))eb (s, τ )∆s ≤

t1
 ea (t, τ ) [eb a (t1 , τ ) − eb a (t2 , τ )] nếu b ✁ a.
a−b

Bổ đề 1.4. Giả sử phương trình (1.4) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 và P trên
T. Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất
x∆ = A(t)x + r(x)

(1.5)

±
và cố định c, d ∈ Crd R+ (T, R) , a ✁ c ✁ b, a ✁ d ✁ b. Khi đó, với r ∈ Bc,d
(X ) phương
±
trình (1.5) có duy nhất nghiệm λ ∈ Bc,d
(X ) sao cho
t

+∞

ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))r(s)∆(s) −

λ(t) =
−∞

1.3

ΦA (t, ρ+ (s))[IX − P (ρ+ (s))]r(s)∆(s).
t

Nguyên lí điểm bất động

Định lý 1.3. (nguyên lý ánh xạ co Banach). Giả sử (X, d) là không gian metric
đầy đủ và F : X −→ X là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất điểm bất động u và
F n (y ) → u với mọi y ∈ X.
Chứng minh. Xem [ 8 ]
11


Chương 2

Tuyến tính hóa trên thang
thời gian
2.1

Giới thiệu bài toán

Định lí tuyến tính hóa của Hartman cho phương trình vi phân thường phát
biểu rằng tồn tại tương ứng 1 : 1 giữa nghiệm của hệ tuyến tính ôtônôm
x = Ax

và các hệ bị nhiễu

x = Ax + f (x)

trong đó, f thỏa mãn một vài điều kiện tốt như liên tục hoặc Lipschitz. Sau đó
Palmer mở rộng kết quả trên cho lớp hệ tuyến tính không ôtônôm
x = A(t)x + f (t, x).

Bài toán tuyến tính hóa phát biểu rằng, nếu một hệ phương trình nửa tuyến
tính là tương đương tôpô với hệ phương trình tuyến tính thì có nhiều tính chất
của hệ phương trình nửa tuyến tính tương tự hoặc đồng nhất với tính chất của
hệ phương trình tuyến tính. Do đó, việc nghiên cứu sự tương đương tôpô của
phương trình động lực trên thang thời gian rất quan trọng trong thực tiễn và lí
luận. Một phương pháp giải tích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô
được trình bày trong chương này.
Trước tiên ta sẽ giới thiệu khái niệm tương đương tôpô trong trường hợp
ôtônôm.

12


Định nghĩa 2.1. Hai hệ phương trình sai phân
xn+1 = f (xn ), xn ∈ X
yn+1 = g (yn ), yn ∈ X

được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại đồng phôi h sao cho
h ◦ f = g ◦ h.

Điều kiện h◦f = g◦h có nghĩa h◦f n = g n ◦h hay h(f n (x0 )) = g n (h(x0 )), ∀x0 , ∀n.
Nói cách khác, đồng phôi h biến nghiệm của hệ xn+1 = f (xn ) với điều kiện
ban đầu x0 thành nghiệm của hệ yn+1 = g (yn ) với điều kiện ban đầu h(x0 ).
Ta có định lí Hartman - Grobman như sau

Định lý 2.1. Hai hệ phương trình
xn+1 = Axn + f (xn )
yn+1 = Ayn

với điều kiện
i) σ (A) ∩ S 1 = ∅,
ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
|f (x) − f (y )| ≤ L|x − y|.

Khi đó, nếu L đủ bé thì hai hệ phương trình trên là liên hợp tôpô.
Định nghĩa 2.2. Hai hệ phương trình
x = f (x), x ∈ X

(2.1)

y = g (y ), y ∈ X

(2.2)

được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại đồng phôi h sao cho
h ◦ ϕt = ψt ◦ h.

Định nghĩa 2.3. Hai hệ phương trình (2.1) và (2.2) được gọi là tương đương
tôpô nếu tồn tại đồng phôi h : X −→ X và đồng phôi tăng τ : R −→ R sao cho
h ◦ ϕt = ψτ (t) ◦ h

trong đó, τ là phép tham số hóa thời gian.
13

Ta có định lí Hartman - Grobman như sau.
Định lý 2.2. Hai hệ phương trình
x = Ax
y = Ay + f (y )

với điều kiện
i) σ (A) ∩ iR = ∅,
ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
|f (x) − f (y )| ≤ L|x − y|.

Khi đó, nếu L đủ bé thì ta nói hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô.
Sau đây ta sẽ giới thiệu khái niệm tương đương tôpô trong trường hợp không
ôtônôm.
Định nghĩa 2.4. Hai hệ phương trình
xn+1 = f (xn , n), xn ∈ X
yn+1 = g (yn , n), yn ∈ X

được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại họ các đồng phôi {hn } sao cho hn (xn ) = yn .
Định lý 2.3. (Định lí Hartman - Grobman)
Hai hệ phương trình
xn+1 = An xn + f (xn , n)
yn+1 = An yn

với điều kiện
i) Hệ phương trình yn+1 = An yn có nhị phân mũ,
ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f (x) − f (y ) ≤ L x − y .

Khi đó, nếu L đủ bé thì ta nói hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô.
Xét các hệ sau

x = f (t, x)

(2.3)

y = g (t, y )

(2.4)

14


Định nghĩa 2.5. Hai hệ (2.3) và (2.4) liên hợp tôpô nếu tồn tại họ các đồng
phôi {ht } sao cho
ht (x(t)) = y (t).
Nếu ta chỉ quan tâm về mặt hình học theo nghĩa đồng phôi h biến quỹ đạo
của hệ (2.3) thành quỹ đạo của hệ (2.4) thì ta có khái niệm tương đương tôpô.
Định nghĩa 2.6. Hai hệ (2.3) và (2.4) tương đương tôpô nếu tồn tại họ các
đồng phôi {ht } và đồng phôi tăng τ : R −→ R với τ (0) = 0 sao cho
ht ◦ ϕt = ψτ (t) ◦ ht

trong đó, τ là phép tham số hóa thời gian.
Định lý 2.4. (Định lý Hartman - Grobman) Hai hệ phương trình
x = A(t)x
y = A(t)y + f (y, t)

thỏa mãn điều kiện
i) Hệ phương trình (1.2) có nhị phân mũ,
ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f (t, x) − f (t, y ) ≤ L x − y .

Khi đó, nếu L đủ bé thì hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô.
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng trên thang thời gian T, hai hệ phương trình
x∆ (t) = A(t)x

(2.5)

x∆ (t) = A(t)x + f (t, x)

(2.6)

là tương đương tôpô nếu hệ phương trình (2.5) có nhị phân mũ và f (t, x): "nhỏ".
Xét hai hệ phương trình
x∆ (t) = f (t, x)

(2.7)

y ∆ (t) = g (t, y )

(2.8)

Để nghiên cứu tuyến tính hóa trên thang thời gian, khái niệm tương tương tôpô
sẽ được điều chỉnh bởi định nghĩa sau.
15


Định nghĩa 2.7. Giả sử tồn tại hàm H : T × X −→ X thỏa mãn
(i) Với mỗi t cố định, hàm H (t, .) là đồng phôi từ X lên X;
±
(ii) H (t, x) ±
τ,c,d −→ ∞ khi x τ,c,d −→ ∞ đều với mỗi t;

(iii) Giả sử rằng hàm G(t, .) = H −1 (t, .) cũng có tính chất (ii);
(iv) Nếu x(t) là nghiệm (c, d) - tựa bị chặn của (2.7) thì H (t, x(t)) là nghiệm
(c, d) - tựa bị chặn của (2.8).
Khi đó hệ (2.7) và hệ (2.8) được gọi là tương đương tôpô. Ta viết (2.7) ∼ (2.8)
và H (t, .) được gọi là hàm tương đương của (2.7) và (2.8).

2.2

Định lí tuyến tính hóa

Định lý 2.5. ( Tuyến tính hóa trên T)
Với τ ∈ T cố định c, d ∈ Crd R+ (T, R) , a ✁ c ✁ b, a ✁ d ✁ b. Giả sử các điều
kiện sau thỏa mãn
(H1 ) Hệ tuyến tính (2.5) có nhị phân mũ trên T.
(H2 ) f : T × X −→ X là rd - liên tục và thỏa mãn
f (t, x)

±
τ,c,d

f (t, x) − f (t, y )

≤ µ,
≤ γ x − y , t ∈ T, x, y ∈ X.

(H3 ) γC2 (c, d) < 1.
Khi đó hệ (2.6) tương đương tôpô với hệ (2.5) và hàm tương đương tôpô
H (t, x) thỏa mãn
H (t, x) − x

±
τ,c,d

≤ µC2 (c, d),

trong đó,
C2 (c, d) = max {C1 (c) +

K2
K1
, C1 (d) +
} > 0,
c−a
b−c

K1
K2
+
> 0,
d−a
b−c
K2
K1
C1 (d) =
+
> 0.
d−a
b−d
C 1 ( c) =

Nhận xét
(H1 ) đưa ra giả thiết hệ phương trình tuyến tính có nhị phân mũ và điều kiện
này là thông thường.
(H2 ) ngoài giả thiết phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz, chúng tôi đưa
16


thêm giả thiết về tính bị chặn mũ của f (t, x).
(H3 ) đưa ra giả thiết về sự tương tác giữa hằng số Lipschitz và phần phi tuyến.
Định lí 2.5 có phạm vi áp dụng rộng hơn nhiều so với Định lí Hartman Grobman (ngay cả khi T = R, T = Z).
Ta sẽ phát biểu định lí tuyến tính hóa trong trường hợp T = R.
Với T = R, ta có
a ⊕ b = a + b,

a

T−
τ = (−∞, τ ).

T+
τ = (τ, +∞),

ea (t, s) = ea(t−s) .

µ(t) = 0 ⇒ 1 + µ(t)a(t) > 0,
Crd = C,

b = a − b.

Crd R = Crd R+ = C.

+
+
Bτ,−β
= Bτ,c
=
−
−
Bτ,β
= Bτ,d
=

f ∈ C : sup |f (t)|eβ(t−τ ) < +∞ ,
t≥τ

f ∈ C : sup |f (t)|e−β(t−τ ) < +∞ ,
t≤τ

±
+
−
Bτ,c,d
= Bτ,−β
∩ Bτ,β
=

f ∈ C : sup |f (t)|eβ(t−τ ) < +∞,
t≥τ

sup |f (t)|e−β(t−τ ) < +∞ .

t≤τ

Với β = 0 = c = d, ta có
BC =

f ∈ C : sup |f (t)| < +∞ .
t∈R

Khi đó (c, d) - tựa bị chặn tương đương với bị chặn và
Ta xét với a = b = α, c = −β, d = β

·

±
τ,c,d

=

·

sup .

K
2K
K2
+ 1=
,
α
α
α

K1
K
2K
C 1 ( c) =
+ 2=
,
α
α
α
3K
C2 (c, d) =
.
α
C1 (d) =

Định lí tuyến tính hóa với T = R được phát biểu như sau.
Hệ quả 2.1. (Tuyến tính hóa của hệ ôtônôm trên R) Giả sử các điều kiện sau
thỏa mãn
i) Hệ phương trình x = Ax có nhị phân mũ trên R với số mũ α.
17


f (x) ≤ µ,
f (x) − f (y ) ≤ γ x − y .
3K
iii) γ
< 1.
α
Khi đó hệ x = Ax và hệ x = Ax + f (x) là tương đương tôpô và

ii)

H (x) − x

≤µ

3K
α

.

Hệ quả 2.2. (Tuyến tính hóa của hệ không ôtônôm trên R) Giả sử các điều
kiện sau thỏa mãn
i) Hệ phương trình x = A(t)x có nhị phân mũ trên R với số mũ α.
ii) f (t, x) ≤ µ,
f (t, x) − f (t, y ) ≤ γ x − y .
3K
< 1.
iii) γ
α

Khi đó hệ x = A(t)x và hệ x = A(t)x + f (t, x) là tương đương tôpô và
H (t, x) − x

≤µ

3K
α

.

Để chứng minh định lí tuyến tính hóa trên T ta đi chứng minh các mệnh đề
sau đây.
Giả sử Φ(t, t0 ) được kí hiệu là toán tử giải (trong trường hợp X là vô hạn
chiều) của hệ tuyến tính (2.5), X (t, t0 , x0 ) là nghiệm của (2.6) sao cho điều kiện
ban đầu X (t0 ) = x0 , kí hiệu Y (t, t0 , y0 ) là nghiệm của (2.5) thỏa mãn điều kiện
ban đầu Y (t0 ) = y0 .
Trong phần này ta luôn giả sử các giả thiết của Định lí 2.5 được thỏa mãn.
Mệnh đề 2.1. Giả sử (σ, η ) cố định. Khi đó hệ
z ∆ = A(t)z − f (t, X (t, σ, η ))

có duy nhất nghiệm (c, d) - tựa bị chặn h(t, (σ, η )) thỏa mãn
h(., (σ, η ))

±
τ,c,d

≤ µC2 (c, d)

ở đây, C2 (c, d) định nghĩa như trong Định lí 2.5.
Khi T = R Mệnh đề 2.1 được phát biểu như sau
Với (σ, η ) cố định. Khi đó hệ
z = A(t)z − f (t, X (t, σ, η ))

có duy nhất nghiệm bị chặn h(t, (σ, η )) thỏa mãn
h(., (σ, η ))

18

≤µ

3K
α

.

(2.9)


Chứng minh. Cho (σ, η ) cố định, ta định nghĩa
t

h(t, (σ, η )) = −

ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, X (s, σ, η ))∆s
−∞
+∞

+

(2.10)
ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, X (s, σ, η ))∆s.

t

Bằng phép lấy đạo hàm, dễ dàng chỉ ra h(t, (σ, η )) là nghiệm của (2.9).
Bởi điều kiện (H1 ) ta có
ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))

≤ K1 ea (t, ρ+ (s)),

ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))]

≤ K2 eb (t, ρ+ (s)).

Khi đó từ phương trình (2.10) và điều kiện (H1 ) ta thu được
t

h(t, (σ, η ))

≤

ea (t, ρ+ (s)) f (s, X (s, σ, η )) ∆s

K1
−∞

(2.11)

+∞

+ K2

eb (t, ρ+ (s)) f (s, X (s, σ, η )) ∆s.
t

Cho τ ∈ T. Không mất tính tổng quát, trước tiên ta xét (2.11) trên T+
τ . Ta có
τ

h(t, (σ, η ))

≤

ea (t, ρ+ (s)) f (s, X (s, σ, η )) ∆s

K1
−∞

t

+ K1

ea (t, ρ+ (s)) f (s, X (s, σ, η )) ∆s
τ
+∞

+ K2

eb (t, ρ+ (s)) f (s, X (s, σ, η )) ∆s
τ

≤

t

ea (t, ρ+ (s))ed (s, τ )∆s f (., X (., σ, η ))

K1
−∞

−
τ,d

t

+ K1

ea (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s f (., X (., σ, η ))

+
τ,c

τ
+∞

+ K2

eb (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s f (., X (., σ, η ))
t

Do

⇒
⇒

f (., X (., σ, η ))

−
τ,d

:= sup f (s, X (s, σ, η )) e d (s, τ )

f (., X (., σ, η ))

−
τ,d

≥

f (s, X (s, σ, η ))

s τ

f (s, X (s, σ, η )) e

d (s, τ ),

≤ ed (s, τ ) f (., X (., σ, η ))

19

−
τ,d .

∀s ≤ τ

+
τ,c .

Tương tự
f (s, X (s, σ, η ))

+
τ,c .

≤ ec (s, τ ) f (., X (., σ, η ))

Mặt khác,
±
τ,c,d

f (., X (., σ, η ))

:= max{ f (., X (., σ, η )) |T+τ

+
τ,c, ,

f (., X (., σ, η )) |T−τ

−
τ,d, }.

Khi đó ta có
τ

h(t, (σ, η ))

≤

+∞

ea (t, ρ+ (s))ed (s, τ )∆s + K2

K1
−∞
+∞

+ K2

eb (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s
t

eb (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s

f (., X (., σ, η ))

t

≤
≤

K1
K2
−
d−a
c−a
C 1 ( c) +

K1
d−a

±
τ,c,d

ea (t, τ ) + C1 (c)ec (t, τ ) µ
ec (t, τ ) −

K2
ea (t, τ ) µ, ∀τ < t.
c−a

(2.12)
Nhân cả hai vế (2.12) với e c (t, τ ) ta có
h(t, (σ, η )) e c (t, τ ) ≤

C 1 ( c) +

K1
d−a

−

K2
ea c (t, τ ) µ
c−a

≤ µC2 (c, d), ∀τ < t.

(2.13)

Tương tự, xét (2.11) trên T−
τ ta có
h(t, (σ, η ))
h(t, (σ, η )) e

d (t, τ )

≤

C1 (d) +

K2
b−c

ed (t, τ ) −

≤

C1 (d) +

K2
b−c

−

≤

K1
eb (t, τ ) µ, ∀τ > t.
b−d

K1
eb
b−d

µC2 (c, d), ∀τ > t.

Chú ý rằng (2.13) và (2.14) đúng với t = τ.
Từ (2.13) và (2.14) lấy cận trên đúng ta có
h(., (σ, η ))

±
τ,c,d

≤ µC2 (c, d), ∀t ∈ T.

Mệnh đề được chứng minh.

20

d (t, τ )

µ,

(2.14)