Ứng dụng một số vấn đề phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

HOÀNG XUÂN QUÝ

ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ
THỊ HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ BÌNH

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học Sƣ phạm HàNội 2.
Có đƣợc bản khóa luận tốt nghiệp này em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã
trực tiếp hƣớng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý
giá để em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.
Với mong muốn viết đƣợc một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu
ích cho ngƣời đọc em đã rất cố gắng nhƣng lƣợng thời gian ít, kinh
nghiệm bản thân còn ít và dung lƣợng hạn chế nên không thể tránh khỏi
sai sót và chƣa hoàn thiện. Rất mong đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và
bạn đọc để đề tài đƣợc hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Xuân Quý


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm
số để giải phƣơng trình và bất phƣơng trình " đƣợc hoàn thành dƣới
sự hƣớng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số
liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không
trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa
luận này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã
đƣợc ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Xuân Quý


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................... 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2

5. Cấu trúc khóa luận .......................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ....................................................... 4
1.1. Khái niệm hàm số ....................................................................................... 4
1.2. Khái niệm đồ thị hàm số .............................................................................. 4
1.3. Một số đồ thị hàm số cơ bản ........................................................................ 4
1.3.1. Đồ thị hàm số lũy thừa ........................................................................... 4
1.3.2. Đồ thị hàm số lƣợng giác ....................................................................... 8
1.3.3. Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit........................................................... 9
1.3.4. Đƣờng bậc hai ...................................................................................... 10
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ............................................. 14
2.1. Sự biến đổi đồ thị ...................................................................................... 14
2.2. Phép tịnh tiến ............................................................................................ 14
2.3. Phép co, dãn đồ thị. .................................................................................... 18
2.4. Phép phản xạ(phép đối xứng) .................................................................... 24
2.5.Các phép biến đổi hỗn hợp ......................................................................... 29
2.6. Một số dạng đồ thị đặc biệt ........................................................................ 33
Đồ thị hàm số dạng: y = |f(x)| và y = f (|x|) ................................................... 33
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ................................................... 37
3.1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số. ......................................................................... 37
3.2. Dạng 2:Ứng dụng các phép biến đổi trong giải phƣơng trình và bất
phƣơng trình. ..................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 46


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất
quan trọng trong việc dạy học ở các trƣờng học. Qua toán học, ngƣời
học nâng cao khả năng tƣ duy, suy luận và việc vận dụng các kiến

thức đó vào các môn học khác. Và toán học cũng giúp ngƣời học phát
triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội
và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không ngƣời dạy toán nào
không quan tâm.
Trong chƣơng trình toán học phổ thông, đại số là một bộ phận lớn
mà trong đó hàm số, đặc biệt là các phép biến đổi đồ thị hàm số đóng
vai trò khá quan trọng. Vì vậy việc hiểu và nắm vững đƣợc nó là việc
làm vô cùng cần thiết, là tiền đề cho ngƣời học khi tiếp tục học lên
những bậc cao hơn. Hơn thế nữa, ứng dụng của các phép biến đổi đồ
thị hàm số là vấn đề đƣợc sách giáo khoa nƣớc ngoài đặc biệt quan
tâm, ngoài phép tịnh tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép co dãn đồ
thị theo chiều ngang hay chiều dọc với nhiều ứng dụng của nó. Trong
khi đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới
hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ và cũng đƣợc
cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao,
chƣa nghiên cứu kĩ ứng dụng các phép biến đổi này vào giải phƣơng
trình và bất phƣơng trình. Trong xu thế hội nhập quốc tế hiện nay, nền
toán học cũng cần hội nhập.

1


Hiện nay trên thị trƣờng sách đã xuất bản và Internet ngày càng có
nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này. Tuy nhiên,
trong các tài liệu này thì các dạng bài tập chƣa thực sự đƣợc phân loại rõ
ràng, hệ thống hóa chƣa đƣợc đầy đủ, đa dạng. Vì vậy việc nghiên cứu
chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hƣởng đến việc nắm bắt kiến thức và
giải bài tập.
Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận
tình của ThS. Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "Ứng

dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phƣơng trình và bất
phƣơng trình " nhằm làm rõ hơn vấn đề này và phân loại các dạng bài
tập. Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập đƣợc phân loại rõ ràng,
đáp ứng đƣợc nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng nhƣ học tập trên
lớp,tiến tới hội nhập chƣơng trình toán quốc tế.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và phân loại ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị của
ánh xạ vào giải phƣơng trình và bất phƣơng trình. Làm rõ sự biến đổi đồ
thị hàm số và một số bài tập liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng trong giải phƣơng
trình và bất phƣơng trình và các bài tập liên quan.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa.

2


5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt
nghiệp bao gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ sở
Chƣơng 2: Một số phép biến đổi đồ thị
Chƣơng 3: Một số ví dụ và bài tập.

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Khái niệm hàm số
Cho D  R , D   . Một quy tắc f cho tƣơng ứng mỗi x  D với một và
chỉ một y  R gọi là một hàm số.
Kí hiệu: f: D  R
x y

Tập D đƣợc goi là tập xác định của hàm số. Phần tử x gọi là đối số (biến
số). Phần tử y  R tƣơng ứng với x gọi là giá trị của hàm số tại x, kí hiệu

y  f ( x) .
Tập hợp Tf   f ( x)  x  D gọi là tập giá trị của hàm số.
1.2. Khái niệm đồ thị hàm số
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D
Ta gọi tập hợp các điểm  x, f ( x)  với x  D là đồ thị của hàm số

y  f ( x) .
Việc biểu diễn các điểm  x, f ( x)  thuộc đồ thị hàm số y  f ( x) lên mặt
phẳng tọa độ Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số.
1.3. Một số đồ thị hàm số cơ bản
1.3.1. Đồ thị hàm số lũy thừa

4


{

a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n

}

y

y= x

5

y = x2

4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

Hình 1.3.1.1
{

b) Hàm số lũy thừa bậc lẻ y = xn với

}

y
5

y=x

y = x3

4

3

2

1

x
-4

-3

-2

-1

1

O
-1

-2

-3

-4

-5

Hình 1.3.1.2

5

2

3

4


{

c) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc chẵn y = xn với

y

}

y = x-2

4

3

2

1

O
-3

-2

-1

x
1

2

3

-1

Hình 1.3.1.3
d) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc lẻ y = xn với

{

}

y

y = x-

y = x-

O

Hình 1.3.1.4

6

x


{

e) Hàm số căn bậc chẵn y = xn với

}

y

y = x1/2
y = x 1/4
x

O

Hình 1.3.1.5
f) Hàm số căn bậc lẻ y = xn với

{

}
y

y=x

/

y=x

/

x

Hình 1.3.1.6

7


1.3.2. Đồ thị hàm số lƣợng giác

y

y  sin x
x

O

Hình 1.3.2.1

y

y  cos x
x

O

Hình 1.3.2 .2

8


1.3.3. Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit
a) hàm y = ax
4

y

y=1

x

y = ex

3

2

1

x
-2

-1

1

O

2

-1

-2

Hình 1.3.3.1
b) Hàm y = loga x
y

y  ln x
y = lg x

x

O

Hình 1.3.3.2

9


1.3.4. Đƣờng bậc hai
y

a) Đƣờng tròn x2  y 2  r 2
r

Tâm O(0,0)
Bán kính r

r
-r

O

x

-r

Hình 1.3.4.1

b) Đƣờng elip

x2 y 2

1
a 2 b2

y

Tâm O(0,0), độ dài trục lớn 2a,
độ dài trục bé 2b

b
-a

a

O

x

-b

Hình 1.3.4.2

10


y

c) Đƣờng hypebol

x2 y 2
c1) 2  2  1
a
b

Tâm đối xứng: O(0,0),
Các đỉnh có tọa độ (-a,0) và (a,0)

-a

a
O

Các đƣờng tiệm cận y 

x

b

b
x và y   x
a
a

Hình 1.3.4.3

y 2 x2
c2) 2  2  1 Tâm đối xứng: O( , ), Các đỉnh có tọa độ (0,-b) và (0,b)
b
a

Các đƣờng tiệm cận y 

b
b
x và y   x
a
a

y

b
O

x
-b

Hình 1.3.4.4
11


Chú ý:
x2 y 2
(1)Đƣờng tròn x  y  r , đƣờng elip 2  2  1 ,
a
b
2

2

2

x2 y 2
y 2 x2
và


1
  1 tất cả đều đối xứng qua trục Ox,
a 2 b2
b2 a 2
Oy và điểm O(0,0)

đƣờng hypebol

(2) Đƣờng tròn, đƣờng elip, parabol và hypebol đƣợc biết đến một cách tổng
quát là các đƣờng Conic. Chúng có thể thu đƣợc bằng cách lấy thiết diện của
một hình nón theo những góc khác nhau.

Ví dụ 1.3.4.1 Dựng đồ thị các hàm số sau:
a) 9x2 + 9y2 = 5
b) 2x2 + 3y2 = 6
y

c) 2x2 - 3y2 = 6
Lời giải:
a) 9x2 + 9y2 = 5
x2 + y2 = 5/9
 5
x2 + y2 =  

 3 

O

2

Hình 1.3.4.5

12

x


b) 2 x2  3 y 2  6

y

x2 y 2

1
3
2

O

x

Hình 1.3.4.6

c) 2 x2  3 y 2  6

y

x2 y 2

1
3
2

O

Hình 1.3.4.7

13

x


CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
2.1.Sự biến đổi đồ thị
Cho đồ thị của hàm số y = f(x):
Nếu biến x đƣợc thay thế bởi một hàm số của x (ví dụ x đƣợc thay bởi
2x), hoặc nếu biến y đƣợc thay thế bởi một hàm số của y (ví dụ y đƣợc thay
thế bởi 3y+4), thì về mặt đồ thị, các đồ thị này sẽ tƣơng ứng với sự biến đổi
của đồ thị hàm số y=f(x)
2.2. Phép tịnh tiến
Cho đồ thị hàm số y = f(x):
Đồ thị của các hàm số sauđƣợc tịnh tiến từ đồ thị hàm y=f(x)
Hàm số

Y = f(x+a)

Y+a = f(x)

Phép biến đổi
Các điểm
Tịnh tiến theo phƣơng ngang a đơn
vị
(x,y)  (x-a,y)
(tịnh tiến theo trục 0x)
Không có điểm bất động
(i) sang trái nếu a > 0
(ii) sang phải nếu a < 0
Tịnh tiến theo phƣơng thẳng đứng
a đơn vị
(x,y)  (x,y-a)
(Tịnh tiến theo trục 0y)
Không có điểm bất động
(i) xuống dƣới nếu a > 0
(ii)
lên trên nếu a < 0

Ví dụ 2.2.1.
(a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2, từ đó vẽ đồ thị hàm y = (x +1)2
Hƣớng dẫn:
 Vẽ đồ thị hàm số y = x2
 Vẽ đồ thị hàm số y = (x+1)2
Đồ thị hàm số y = (x+1)2 có dạng y = (x+a)2 với a > nên đồ thị hàm
y   x  1 đƣợc suy ra từ đồ thị hàm y = x bằng cách tịnh tiến sang trái 1
2

2

đơn vị.

14


y
7

y = (x+1)2

y = x2

6
5

(x,y)

(x-1, y)

4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1
-1

O

1

2

3

4

5

-2
-3

Hình 2.2.1
(b) Vẽ đồ thị hàm y=x2 và y-1=x2
Hƣớng dẫn:
 Vẽ đồ thị hàm y = x2
 Vẽ đồ thị hàm y – 1 = x2 từ đồ thị hàm y = x2 bằng cách tịnh tiến
đồ thị hàm y = x2 lên trên 1 đơn vị.

y

y -1 = x2

5

y = x2
4

3

(1,2)

(x,y+1)
2

1

(x,y)

(1,1)
x

-3

-2

-1

O

1

2

3

Hình 2.2.2
Ví dụ 2.2.2: Dựng đồ thị hàm số cho bởi phƣơng trình sau

15


(i) x2 + y2 =5

(ii) (x-2)2 + (y + 1)2 = 5

Hƣớng dẫn:
y

X2+ y2 = 5

O
x
(2,-1)
-2
(x-2)2+(y+1)2=5

Hình 2.2.3
Chú ý: Phƣơng trình tổng quát của đƣờng tròn tâm có toạ độ (p,q) và bán

kính r là
(x – p)2 + (y – q)2 = r2
Các trục đối xứng là x = p và y = q và tâm đối xứng là (p , q)
Ví dụ 2.2.3:
a) Cho đồ thị hàm số y  3x2  1 (C1) vẽ đồ thị hàm số y  3 x  2   C 2 
2

b) Tìm m để phƣơng trình 3x2 12x 10  m  0 (1) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Đặt f  x   3x 2  1 và g ( x)  3 x  2 

2

Đồ thị hàm số y  3 x  2  đƣợc suy ra từ đồ thị hàm y  3x2  1 bằng việc
2

biến đổi theo các bƣớc:

16


 Tịnh tiến (C1) sang phải 2 đơn vị

y  f ( x) 
 y  f ( x  2)  3 x  2   1 C '1
2

 Tịnh tiến (C’1) xuống dƣới 1 đơn vị đƣợc hàm số:

y  1  f ( x  2)  3 x  2   1

2


 y  f ( x  2)  1  3( x  2)2  1  1
 3( x  2)2  g ( x)
15

y

10

y = 3x2 + 1
y = 3(x - 2)2
5

y= 2 - m
x
-8

-6

-4

-2

O

2

4

6

8

Hình 2.2.4
a)

3x2  12 x  10  m  0  3( x 2  4 x  4)  m  2  0  3 x  2   2  m
2

Số nghiệm của phƣơng trình (1) bằng số nghiệm của phƣơng trình

3( x  2)2  2  m
Số nghiệm phƣơng trình 3( x  2)2  2  m bằng số giao điểm của đồ thị (C2)
và đƣờng thẳng y  2  m
Từ đồ thị có: Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2  m  0  m  2
Kết luận: Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt khi m < 2

17


2.3. Phép co, dãn đồ thị.
Cho đồ thị hàm số y = f(x), đồ thị các hàm số sau đƣợc co, dãn từ đồ thị hàm
y = f(x)
Hàm số

y = f (ax)

ay = f(x)

Sự biến đổi
Co dãn theo chiều ngang với hệ số
co dãn là 1/a
(co, dãn theo trục Ox)
(i) đồ thị dãn nếu 0 < a <1
(ii) đồ thị co nếu a > 1
Co dãn theo chiều dọc với hệ số co
dãn là 1/a
(co, dãn theo trục Oy)
(i) đồ thị dãn nếu 0 < a <1
(ii) đồ thị co nếu a > 1

Các điểm
(x, y)  (x/a, y)
Điểm bất động: mọi
điểm nằm trên trục
Oy

(x, y)  (x, y/a)
Điểm bất động: mọi
điểm nằm trên trục
Ox

Ví dụ 2.3.1:
Vẽ đồ thị hàm số y = (2x)2 từ đồ thị hàm số y = x2.
Lời giải:
Ta thấy đồ thị hàm số y = x2 là đồ thị hàm số đơn giản dễ vẽ.
Hàm số y = (2x)2 có dạng y = f(ax) với f(x) = x2 và a = 2 > 1. Do đó từ đồ thị
hàm số y = x2 ta thực hiện 1 phép co theo hƣớng trục Ox với hệ số co là

1 1
 .
a 2
Toạ độ các điểm thay đổi:
(x;y)



(x/a;y)

(0;0)



(0;0)

18


(1;1)



(1/2;1)

(2:4)



(1;4)

Ta có đồ thị:
y
5
x 
 , y
2 

(x,y)

4

y = (2x)2
(1,4)

y = x2
(2,4)

3
2
1
x
-3

-2

-1

O

1

2

3

Hình 2.3.1
 Nhận xét: từ hình 2.3.1 ta có thể thấy với mỗi giá trị của y thì giá trị của x
giảm 2 lần từ đồ thị trƣớc sang đồ thì sau biến đổi. Tức là giá trị x nhỏ đi hay
đồ thị co lại theo chiều ngang.
Ví dụ 2.3.2:
Vẽ đồ thị hàm số

y
 x 2 từ đồ thị hàm số y  x 2 .
4

Lời giải:
Hàm số

y
1
 x 2 có dạng ay  f (x) với f ( x)  x 2 và a   1 . Do đó từ
4
4

đồ thị hàm số y  x 2 ta thực hiện 1 phép dãn theo hƣớng trục Oy với hệ số
dãn là a  4

19


Nhƣ vậy đồ thị hàm số

y
 x 2 sẽ đƣợc vẽ dễ dàng nhờ việc dãn đồ thị
4

hàm số y  x 2 với hệ số dãn là 4.
Lúc này mọi điểm thuộc đồ thì ban đầu sẽ thay đổi:
(x;y)



 y
 x, 
 a

(0;0)



(0;0)

(-1;1)



(-1;4)

Ta có đồ thị:
y
5

y = 4x2

4

(x,4y)

y = x2

(1,4)

3
2

(x,y)

1

(1,1)

O

1

x
-3

-2

-1

2

3

Hình 2.3.2
 Nhận xét: từ hình 2.3.2 ta có thể thấy với mỗi giá trị của x thì giá trị của y
tăng 4 lần từ đồ thị trƣớc sang đồ thì sau biến đổi. Tức là giá trị y lớn hơn hay
đồ thị dãn ra theo chiều dọc.
Ví dụ 2.3.3: Vẽ đồ thị hàm số y 2  2 y  x 1 từ đồ thị hàm số y 2  x
2
Hƣớng dẫn:
 Vẽ đồ thị hàm số x  y 2 : f ( y) (C1)

20


 Ta có y 2  2 y  x 1  x  2( y 1)2
2
 Suy ra ta vẽ đồ thị x  2 f ( y ) (C1’), từ đó vẽ đồ thị hàm x  2 f ( y 1) có
đồ thị (C2) là đồ thị cần vẽ.
Lúc này do vai trò x, y thay đổi cho nhau nên từ đồ thị (C1) ta thực hiện
phép dãn theo hƣớng trục Ox hệ số dãn là 2 đƣợc đồ thị (C1’).
 Các điểm thuộc (C1) chuyển sang (C1’):
(x;y)



(2x;y)

(0;0)



(0;0)

(1;1)



(2;1)

(1;-1)



(2;-1)

(4;2)



(8;2)

 Tịnh tiến (C1’) theo chiều dƣơng Oy 1 đơn vị ta đƣợc đồ thị (C2)
Ta có đồ thị:

y
3

y2  2 y 

x
1
2

2

1

x
-1

1

O

2

-1

y2  x
-2

Hình 2.3.3

21