Khoá luận tốt nghiệp toán học một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình hục

TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học Th .s. NG UYỄ N TH Ị TR À

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ƠĨ1 sâu sắc đến thạc sĩ NGUYÊN THỊ TRÀ,
người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng
để tôi hoàn thành bài khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp
cậĩi và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết Ơ 11 tới các thầy, các cô công tác tại Khoa Toán
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực tiếp giảng dạy,
truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuycn rriôn cũng như kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn
chế ncn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóa luận của tôi dược hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn

.


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những Iiội dung mà tôi trình bày
trong khóa luận này là kết quả quá trình nghiên cứu
nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ
tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là cô NGUYỄN
THỊ TRÀ.

Mục lục


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt đối với
những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn giúp chúng ta có một
phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc
chương trình phổ thông.
Những bài toán về đường tròn dược sử dụng phương pháp chứng minh bằng
Pascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là những bài toán rất hay.
Vì vậy trong đề tài Iiày tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp của hai
định lý. Đồng thời ncu lẽn cách giải của một lớp các bài toán đẹp ứng dụng
chúng.
2. Mục đích - Yêu cầu
• Đây là một dịp đổ có thổ tập dượt nghicn cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã dược đặt ra, một số ứng dụng,
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan đến Định lý
Pascal - Định lý Brianchon.
4. Đối tư ợn g - Phạm vi nghiên cứu
- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan.
Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu
thập thêm.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

5


MỤC LỤC

Nội dung chính
1. Tên đề tài
Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
2. Kết cấu của nội dung
Gồrn 2 chương:
•
-

Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị.
Định lý Pascal.
Định lý Brianchon.

•
-

Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
Ưng dụng của định lý Pascal.

-

ứng dụng của định lý Brianchon.

3. Phương pháp nghiên cứu
•

Thu thập, tra cứu, phân tích tài liộu.

•
•

Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh.
Tharri khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết một số vấn
đề.

Chương 1

Lý thuyết chuẩn bị
1.1 Định lý Pascal
Xét trong mặt phang, ta có định lý sau:
1.1.1

Định lý Pascal

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

6


Định lý 1.1.1. Trong một lục giác nội tiếp, giao điểm của các cặp cạnh
đối diện (nếu cỏ) nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh

Giả sử A , B , c , D , E , F là một lục giác nội tiếp trong một đường tròn.
Các cặp cạnh đối diện A B và D E ; B C và E F ; C D và F A cắt
nhau theo thứ thự Oí, /3, 7.
Ap dụng định lý Menelaus vào tam giác P Q R tạo bởi ba cạnh không kề
nhau của một lục giác với các cát tuyến C Ị 3 B , D E a , j F A (ba cạnh còn lại)
ta lần lượt có:
CQjR~BP _

~DQ 'ẼR ~ÕP _
Ĩ)R'W P ' Z ẼQ~ ’
và:

___________

7 Q FR AP = 1

~ĨR~FP'~ÃQ ~
Nhân từng vế ba đẳng thức sau này với nhau và để ý rằng:
A P . B P = F P . E P (phương tích của điểm p đối với vòng tròn ngoại
tiếp),

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

7


MỤC LỤC

A Q . B Q = C Q . D Q (phương tích của điểrn Q đối với vòng tròn ngoại
tiếp),
C R . D R = ER. F R (phương tích của điềm R đối với vòng tròn ngoại
tiếp),
ta được:
___________
Ị3R aR 7R pp
aQ 7R
Hộ thức này chứng tỏ rằng «,/3,7 là ba điểm thẳng hàng nằm trên ba cạnh
của tarri giác R Q P (đpcm).

Chú ý. Định lý áp dụng cho rriọi lục giác nội tiếp không cần giả thiết là lục
giác lồi.

1. 1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal
• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:
Giả sử A B C D E F là một lục giác Iiội tiếp. Ta hãy
hình dung một
đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trcn vòng tròn đến trùng với một đỉnh khác, thí
dụ là điểm A . Lúc đó lục giác trở thành một ngũ giác (nội tiếp) và cạnh F A
trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn ngoại tiếp và ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không kề nhau
nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm, thẳng hàng với giao điểm của
cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

8


Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứ giác, tarri giác
nội tiếp bằng cách xem những hình đó như những lục giác có hai hay ba cặp
đỉnh trùng nhau và thay cạnh nối hai đỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điổrri
trùng với hai đỉnh đó. Bằng cách đó, ta có thẻ phát biểu định lý như sau:
• Tứ giác nội tiếp đường tròn:
Định lý 1.1.3. Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện và hai
cẠp tiếp tuyến ở CÁC cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có) theo bốn điểm
thẳng hàng.
• Tam giác nội tiếp đường tròn:

Định lý 1.1.4. Ba cạnh của 'một tam giác cắt ba tiếp tuyến với đườny tròn

ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng hàng.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

9


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẦN DỊ

Định lý Brianchon
1.2 Định lý Brianchon
1.2.1

Định lý Brianchon (Đối ngẫu của đị nh l ý Pascal )

Định lý 1.2.1. Các đường thắng nối các đỉnh đối diện của một lục giác
ngoại tiếp với một vòng tròn đồng quy tại một điểm,.

Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

10


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẦN DỊ

1.2.2

Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

Cũng như đổi với định lý Pascal ta có thổ áp dụng định lý Bri- anchon vào
các ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coi những hình Iiày như

những lục giác ngoại tiếp dặc biệt có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau. Thí
dụ ta hãy hình dung tiếp điổm A ị chạy trên vòng tròn đến trùng với điềm B ị
để cạnh F A đến trùng với cạnh A B . Lúc đó ta có rriột ngũ giác A B C D E
ngoại tiếp có tính chất sau:
•

Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:
Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại một, điểrn
thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối
diện với đỉnh này.

A

B

Theo đó ta có thể phát hiện thêm nì lững tính chất mới của tứ giác,
tam, giác ngoại tiếp như sau:
• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối các đỉnh đối
diện và các đường nối các tiếp điểrn trên các cạnh đối diện đồng quy.

Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

11


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẦN DỊ

• Tam giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường nối rriỗi đỉnh

với tiếp điểm trên rriỗi cạnh đối diện là ba đường đồng quy.
A

Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

12


Chương 2

Một số ứng dụng của định lý Pascal
và định lý Brianchon
2.1 ứng dụng của định lý Pascal.
Bài tập 2.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (0). Gọi A \ в\ С’
lần lượt là các điểm chính giữa của các cung в с, CA, А в không chứa А,
в, с của (О). Các cạnh ВС, CA, AB cắt các cặp đoạn thẳng C’A’ và A’B\
A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M và N; p và Q; R và
s.
Chứng minh Tằng: MQ, NR, PS đồng quy.
Bài giải
•

Vì A \ B ', C ' lần lượt là các điổm chính giữa của các cung B C , A C ,
А В liên A A ', B B ' , C C ' theo thứ tự là các đường phân giác của góc
B A C , A B C , A C B . Suy ra I = A A ' П B B ' n C ữ (do ba đường
phân giác đồng quy).
A

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm c, ơ', A', B ', в , Ả ta có:
C ữ П B ' B = /;

С'Л' П B A = 5;

A'B' n АС = p.
Vậy /, p thẳng hàng (1).
•

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , A ' , B ' , C ' , C , B ta có:
Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

13


AA' П ơc = /; n CB
=N\ B'C' n AB = R.
Vậy N , /, R thẳng hàng (2).
•

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm в , B ', c \ A '

1

А , с ta có:

BB' n A'A = /;
B'C'nAC = Q;

C'A' n С В = М.
Vậy M,/,Q thẳng hàng (3).
Từ (1) (2) (3) suy ra M Q , N R , P S đồng quy tại I (đpcm).
Bài tập 2.1.2. CÌIO tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm, (O). Gọi M

ỉ,à điểm nào đó trên cạnh AC (M Ỷ A, C). Đường thẳng BM cắt đường
tròn lần nữa tại N. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường
thắng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điếm Q.
Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển
trên cạnh AC.
Bài giải
A

Kỏ các đường kính B D và C E .
• Ta có: <

ì A B L A D (giả thiết)

y A Q L A B (giả thiết)
Suy ra ba điểrn A , D , Q thẳng hàng (*)

• Vì <

ị C N - L N E (do A nôi tiếp đường tròn có môt canh là bán kính)
^ N Q A - C N (giả thiết)
Suy ra ba điểm E , N , Q thẳng hàng (**)

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

14


Từ (*) và (**) => A D n E N = Q .
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C , E , N , B , D , A ta
có:

C E n B D = 0; E N n D A = Q; n A C =
M.
Suy ra ba điểm 0, M, Q thẳng hàng.
Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là o (đpcm).

Bài tập 2.1.3. Cho AABC nội tiếp đường tròn tâm (0) và 3 điểm M, N, p
cùng thuộc đường tìiẳng (d). AM, BM, CM cắt lại (0) tương ứng ở
Aị,Bi,Ci \ AịN, BịN, C\N cắt lại (0) tương ứng ở A 2 , B 2 , Ơ2;' AịN, BịN,
C\N cắt lại (0) tương ứng ở A3,i?3,C3.
Chủng minh Tằng: AA 3, BBs^CCs, (d) đồng quy.
Bài giải

Gọi: <

í ố* — ^4^4.3 n в в‘ị

_
_
^ V = B ỵ A П B 3A 1
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điổm A i , A 2 , A ị , B ị , B 2 , B -3 ta có:
3

Ẩ2A3 n = P\
Bị A3 п B3A1 = V ;
A 2 A 1 n B 2 B 1 = N.
Suy ra ba điểrn N , p , V thẳng hàng.
Hay V Iiằm trên ( d ) (1).
Áp dụng định lý" Pascal cho sáu điểm Л , A i , A 3 , в , B ị , B ta có:
3

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

15


Suy ra ba điổm M, s , V thẳng hàng.
Hay s nằm trên (ri) (2).
<

ị S' = BB 3 n cc 3 + Gọi

— C 1A 3 п C 3A 1
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A \ , A 2 , A 3 , C l , C 2, C s ta có:
C 1A 3 п С3А1 = Q\ C 1C 2 п
A 1A 2 = N;
A2A3 П C 2C 3 = p .
Suy ra ba điổm Q, N , p thẳng hàng.
Áp dụng định lỷ Pascal cho sáu điểm A , A i , A 3 , c , Cl, C3 ta có:

CCi n AAị = M;
C1Ẩ3 n C3A1 = Q; cc3 nAA3 =S'.

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

16


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Suy ra ba điổm M, Q, s ' thẳng hàng S ' £ (d ) (3).

Từ (2) và (3) suy ra s = S' (đpcrn).
Bài tập 2.1.4. Cho tam, giác ABC nội tiếp đường tròn (0), ngoại tiếp (I).
Một đường tròn (0’) tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần
lượt tại s, M, N.
Chứng minh rằng I £ MN.
Bài giải
Đổ chứng minh bài toán trcn, trước hết ta chứng minh bổ đồ sau: "Cho đường
tròn ( O ) với dây cung A B . Một đường tròn ( ĩ ) t i ế p xúc trong với (0) và
tiếp xúc với A B lần lượt tại M, N . Khi đó M N đi qua điểm chính giữa cung
A B không chứa M của (0)".

Gọi p = M N n ( O ) .
• Xét AM N I : ĨMN = ĨĨĨM (AM NI cân).
• Xét АM P O :

ОМР = ОРМ (АM P O

cân).

Suy ra MĨTl = МРО.
Do hai góc ở vị trí đồng vị. Suy ra O P / / I N HI à I N Á - A B liên O P L A B (đpcm).
Trở lại bài toán ban đầu:

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

17


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Ta CÓ: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp AA B C nên C I là tia phân giác
A C B , C I n (0) = F . Suy ra F là trung điểm dây cung A B liên ơ, /, F thẳng
hàng.
Ap dụng bổ đề trên ta cũng có 5, M, F thẳng hàng suy ra S M , C I và (0)
đồng quy tại điểm F .
+ Tương tự ta có: B I là tia phân giác A B C , E — B I n (0) ncn E là
trung điềm dây cung A C . Suy ra 3 điểrn B , I , E thẳng hàng.
Áp dụng bổ dề trên ta cũng có 5, N , E thẳng hàng liên S N , B I , (0) đồng
quy tại điểm E .
Áp dụng định lỷ Pascal cho sáu điểrn F , c , A , B , E , s ta có:
F C n B E = /; CA n
ES = N; A B n S F =
M.
Vậy ba điổm M, /, thẳng hàng hay M N luôn đi qua một điổrri cố định là I .
Bài tập 2.1.5. Cho hình cìhữ nhật ABCD nội tiếp (0). Tiếp tuyến của (0)
tại A cắt CD ở s. BS cẨt lại đường tròn ở T.
Chứng minh rằng CT, so và AD đồng quy.

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

18


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Bài giải

Gọi I — C T n A D , (d ) là tiếp tuyến với đường tròn tại A .
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , B , c , D , T, A ta có:
AC n BD = 0;

A D n C T = /;
(ri) n C D = s.
Suy ra 3 điổm 5, /, o thẳng hàng.
Hay C T , S O , A D đồng quy (đpcm).
Bài tập 2.1.6. Cho tom giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O).
Kẻ đường kính AD của đường tròn, s là 1 điểm di động trên đường tròn.
SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N.
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

19


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

A

Giả sử B M , A N cắt ( O ) tương ứng ở s , /, tiếp tuyến của (O) tại С cắt
SI ởT.
+ Vì A A B С là A cân tại A ncn B A D — C A D hay cung B D = C D .
=> S N là tia phân giác B S C .
H- Vì vậy В S C I là tứ giác điều hòa псп S I , tiếp tuyến tại Б, с của (O)
đồng quy (Hay T là giao điểrn của 2 tiếp tuyến tại £>, с của (0) nên T cố định).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm А , В , С , С , Б , 1 ta có:

AC n BS = M;
B C n A I = N ; SI n
CT = T.

Suy ra 3 điểrn M , N , T thẳng hàng (đpcrn).
Bài tập 2.1.7. Cho tam, yiác ABC và điếm

s thuộc cạnh BC. Trên các tia

AB, AC lấy tương ứng các điểm, M, N sao cho AMC = —ASC, ANB =
Ẩu

— A S B . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tom giác A M N .

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

20


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

2
Chứng minh Tằng: IS^-BC.
Bài giải

Giả sử N B , M C cắt đường tròn (/) tại H và K .
H K cắt tiếp tuyến tại A của (/) ở V .
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , Ẩ, H , K , M, N ta có:

AV nHK = V;
AMnHN = B\

AN n MK = c.
Suy ra 3 điểm V , B , C thẳng hàng.

f A N H = - A I V (góc ở tâm)
+ Vì <
?
ĨĨĨH = -ASV (theo gt)

____
=>AIV=ASV.

+ Vì A I V = A S V (cùng chắn cung AV).
=> Tứ giác AISV là tứ giác nội tiếp nên:

VAI = ĩsv = 180° ĩsv = 180° - 90° = 90°
Vậy I S 1 B C (đpcm).

Bài tập 2.1.8. Chứng minh rằng ba đường chéo chính của một lục giác
ngoại tiếp đồng quy.
Bài giải
Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

21


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

I

E

Ta ký hiệu A B C D E F là lục giác ngoại tiếp (O). Tiếp điểm (0) trên
A B , B C , C D , D E , E F , F A lần lượt là M, N , p, Q, R , s .

Xét cực và đối cực với (O).
Gọi /, J, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (H M , PQ),
(MN, QR), {NP,RS).
Ap dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp M N P Q R S ta có /, J, K
thẳng hàng.
Ta có các đường đối cực của /, J, K lần lượt là A D , B E , C F nên
A D , B E , C F đồng quy.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2.1.9. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm (O) trên
AB, BC, CD, DA lần lượt ì,à M, N, p, Q. Một điểm, s nằm. trên

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

22


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

cung nhỏ PN của (0). Tiếp tuyến của (O) tại
K.
Chứng minh rằng: M H / / A K .

s cắt BC, CD lần lượt tại H,

Bài giải

'

Xét cực và đối cực với ( O ) .
SNnAB = I SP n MQ = J

Giả sử
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm M, p, ố1, N , Q ta có:
MPDNQ = 0\
S N n M B = /;
Q M П P S = J ( M B là tiếp tuyến tại M ) .
Suy ra 3 điểm /, o, J thẳng hàng.

Mà /, o, J lần lượt là các cực của M H , A K ncn =>> Suy ra

IJLAK
IJ1MH

A K / / M H (đpcm).

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

23


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Bài tập 2.1.10. Cho sáu điếm A, B, c, D, E, F cùng thuộc một đường tròn
(0) sao cho ABCD là hình chữ nhật. Giả sử EF cắt AB, CD lần lượt ở p,

Q; BE cắt A F ờ H; CE cắt DF ở K.
Chứng minh Tằng: PH // QK.
Bài giải

Xét cực và đối cực với (0).
„ . \ I = AE1BF Goi <

{ J = DE-LCF

__

_

_

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm А , в , с , F , E , F ta có:

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

24


C H Ư Ơ N G 2 . M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

А С П E F = O;
A E n В F = /;
A J П C F = J ( A J là tiếp tuyến tại A của (О)).
Suy ra ba điểm o , /, J thẳng hàng.
Mà /, J chính là các cực của H P , Q K

HPUJ
QK1IJ

= ï H P / / Q K (đpcni).

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I<37 - Cử nhân

25