Khoá luận tốt nghiệp toán học một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

BÙI THỊ NGOAN

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT VÀ ỨNG DỤNG

K HÓ A LU ẬN T ỐT N GHI ỆP Đ ẠI HỌ C
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học T.s TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2015

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

THS. TRẦN

V Ă N N G H Ị , người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Toán, trường Dại học Sư phạm Hà Nội
2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, dộng
viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!


Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015.
Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

LỜI CẢM

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng
dẫn của

Th.s T R Ầ N V Ă N N G H Ị .

Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và
ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận
nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
LỜI CAM

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

Mục lục


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tính lồi là Iiiột trong số các tính chất quan trọng của các hình hình học. Tính lồi
xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực Hình học lồi, Giải tích lồi, Quy hoạch lồi...
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính lồi của các tập lồi đặc biệt và ứng
dụng của chúng, em đã chọn đề tài

VÀ ỨNG DỤNG"

"MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT

để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
•

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi.

•

Làm rõ tính chất của các tập lồi đặc biệt.

•

ứng dụng tính lồi vào một số bài toán cực trị.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Dối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi.

•

Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
•

Trình bày c,ơ sở lý thuyết về tập lồi.

•

Trình bày tính chất của một số tập lồi đặc biệt.

•

Trình bày một số ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.


6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận bao gồm ba chương:
Chương 1: Sơ lược về tập lồi.
Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt.
Chương 3: ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị.

Chương 1

Sơ LƯỢC VỀ TẬP LÒI
1.1 Định nghĩa và tính chất
Giả sử

X

là không gian tuyến tính, K là tập các số thực.

Định nghĩa 1.1. Tập

A C X

được gọi là

LỒI,

nếu

VXX, X2 ẽ /4, VA (E K : 0 ^ A 5^ 1 =7’" À £ 1 -b (1 —

XỴx2

ẽ

Á.

Chú ý. Theo định nghĩa trên, tập 0 được xem là tập lồi.
Giả sử

A

c

X; X1,X2

Định nghĩa 1.2.

€

A.

ĐOẠN NỐI XI,X2

[x\,x2] — {x G A : X — ẰXị

Nhận xét

A

1.1. Tập

là lồi, nếu

được định nghĩa như sail

+ (1 — A)x 2 ,0 < A < 1}.

\/XI,X2€ A,

ta có [X 1,X 2] c

A.

Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình tròn trong mặt
phang

là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Danach là tập

Mệnh đề

1.1. Giả sử

Khi đó, tập

A

A

=n

A

A

A

c

X

(tt 6

I)

là các tập lồi, với / là tập

lồi...

chỉ số bất

kỳ.

cũng lồi.

QẼ/

Chứng minh.
Lấy Ii,x 2 £

Ả.

Khi đó,

XI,X2

€

A

A

(Va G

I).

Với mọi O' G /, do

A

A

lồi, cho


\XỊ
A.

Suy ra Axi + (1 — A)a ?2 £

+ (1 — A)X'2 €

A

(VA € [0,1]).

A

Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2. Giả sử tập

AI C X

(I

lồi, Àj G R.

= 1,..., ra). Khi đó,

A1.41 + ...
+ \mAm

là tập lồi.

Mệnh đề 1.3. Giả sử

M).

XỊ

là không gian tuyến tính, tập

Khi đó, tích Descartes

Mệnh đề 1.4. Giả sử

X, Y

A Ị

X ... X

A

M

AỊ E XỊ
X\

là tập lồi trong

là các không gian tuyến tính,

T

lồi

X ... X

(I

X .
M

X —> Y

:

= 1,...,

là toán tử

tuyến tính. Khi đó,
a) Nếu A c X lồi, thì
b)

T ( A ) lồi;
Nếu B c Y lồi, thì nghịch ảnh T ~ ( B )
L

Định nghĩa 1.3. Vectơ

X i ,..., x

m

G

X,

X

G

X

n ế u 3A j > 0

được gọi là

(i

của

B

là tập lồi.

TỔ HỢP LỒI
m

= 1, . . . , r a ) ,

^2

của các vectơ
m

= 1 , s ao c h o

X

= ^ AjX ị .

¿=1
Định lý 1.1. Giả sử tập

A

c

X

lồi;

xi,...,xm

€

A.

i=l
Khi đó,

A

chứa tất cả các

tổ hợp lồi của Xi,..., x m .

Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp.

L,XI,X2

€

A,

RN =

2: với mọi A 1, A 2 > 0, A| + A 2 =

theo Định nghĩa 1.1,
AịXi +

Giả sử kết luận đúng với

M < K,

X 2X 2 G A .

ta sẽ chứng minh rằng:

k +1
1), x i =
I= 1
X — AjXi + • • • + AfcXjfc + X K + I X K + I € A .
Vxi,...

Có thể xem như

,xk+i e A, y Xi > 0(i = ỉ,... ,k +

\K+I <

1, bởi vì nếu À f c+1 = 1 thì Ai = ... =

= 0 và ta có

ngay lẽ Ả Khi đó,
1

—

^k+1

= Ai + .. . +

> 0;

-

^

>0

( i — 1,..., k ) .


A,
1, nên theo giả thiết quy nạp ta có
*k+i

k

Vì Ẻ
-^1

I

—1

XI

Y —

X\

1-A f c+1
Với các điểm

Y

A

€

và
1

xk
"X H G

+•••+

Á.

1-A f c+1

X K +1 G Ẩ, ta có
—

^ K +1 > 0, (1 — A f c+1 ) + Afc + 1 = 1.

Do đó,

X

= (1 —

ẰK+I)Y

+ Ajfc +1 Xfc+i €

A.

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng
Định nghĩa 1.4. Giả sử /1 c

X.

Giao của tất cả các tập lồi chứa

BAO LỒI (CONVEX HULL)
Nhận xét 1.2. a)
b) Tập

A

COA

CO A

A,

là một tập lồi. Đó là tập lồi

lồi khi và chỉ khi

Định lý 1.2.

của tập

A

A

và ký hiệu là

nhỏnhất

được gọi là

COA.

chứa

A;

CO A.

=

trùng với tập tất cả các tố hợp lồi của

A.

Chứng minh.
Theo Nhận xét 1.2,

A

các tổ hợp lồi của

CO A

lồi. Bởi vì

Do đó, nó chứa

COA.

Hệ quả 1.1. Tập

A

A

c

X.

A

là lồi, chứa

cho nên

CO A

chứa tất cả

A.

chứa tất cả các tổ liỢp lồi của

Giao của tất cả các

BAO LỒI ĐÓNG
Nhận xét 1.3.

COA.

A.

là không gian lồi địa phương.

Định nghĩa 1.5. Giả sử
gọi là

A

là lồi khi và chỉ khi

X

c

(Định lý 1.1).

Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của

Bây giờ giả sử

A

CÕA

của tập

A,

tập

và ký hiệu là

lồi đóng chứa

A

được

Ã)A.

là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa

A.


Mệnh đề 1.5. Giả sử

INTA

a) Phần trong

X1

b) Nếu

€

A

c

X

lồi. Khi đó,

INTA,X2€ A
[ X U X 2)

Nói riêng, nếu

A

và bao đóng

là các tập lồi;

thì

= {A^I + (1 —

INTA Ỷ

A

của

Ằ ) X 2 : 0 < A < 1} c I N T A .

0 thì

=

A

int A, int A

=

int A.

Chứng minh.

X\

Lấy

6

INTA,X2€ A.

U của X Ị

Khi đó, tồn tại lân cận

Ư
Đặt

X = ẰXI

+ (1 — A)x 2 , (0 < A < 0), ta có

c

XU +

và

XU

+ (1 —

Bây giờ lấy
Giả sử
Dü

XỊ

Ư
€

Ằ)X2

c

A,

XI,X2€ A.

Dặt

là một lân cận lồi của

A

X

G

INT A.

Do đó,

Ằ)X2

cận của

X

INTA

= AjiCi + (1 — A)x 2 ,

lồi.

(0 < A <

1).

O.

nên

(Xị
Suy ra,

Đặt

X

suy l'a

X' — \X\

+

ư)

íì Ấ / 0, (ỉ = 1, 2).

G {Xị + u) n A,
+ (1 —

\)X'2.

Định lý 1.3. Bao lồi đóng của tập

A

= 1,2).

Khi đó,

x' e \{xx + ư) +
u => {x + ư)
X € A =>

{ỉ

(1 -

X)(x2 + U) = x +

nA Ỷ 0
A lồi.
trùng với bao đóng của bao lồi của
CÕA

=

coA.

cho

A.

(1—

lân

sao

A,

tức

là

một


Chương 2

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT

••••

2.1 Đoạn thẳng
Định nghĩa 2.1. Cho hai điểm
đường thẳng

ỊIOQ

D

đi qua

P

và

P

Q

và

Q

của không gian affine thực

khi và chỉ khi với điểm

O

A.

tùy ý thì

Điểm

OM

=

M

thuộc

XOP +

¡1 = 1

với A +

hay là

ÕM
Tập hợp những điểm
được gọi là

M

sao cho

P = Q , đoạn thẳng P Q

Khi

P Ỷ QÌ

đoạn thẳng

và Iihững

Hai điểm
thẳng

P, Q

PQ

XÕP +

(1 - A)ÕỌ, A € R.

OM — XOP

+ (1 —

X)OQ,

với 0 < A < 1

ĐOẠN THẲNG PQ.

Khi

0)

=

PQ gồm

điểm

P.

P (khi

A

=

1)

và

ọ

(khi

A

=

điểm ứng với A (0 < A < 1).

gọi là

gọi là

gồm chỉ một điểm

HAI MÚT

Ở GIỮA P

và

của đoạn thẳng

Q.

Hiển nhiên đoạn thẳng là tập lồi.

P Q , những điểm

khác của đoạn


2.2 Đơn hình
Cho m + 1 điểm độc lập
1 điểm đó gồm những điểm

Tập hợp đó được gọi là
và ký hiệu là

P(). PỊ, , P .

Ta biết rằng m-phẳng

M

O

M

sao cho (với điểm

M-ĐƠN HÌNH

A

đi qua

M +

nào đó)

với các

Đ Ỉ N H : P ( Ị , P I ,..., P

M

Ta chứng minh rằng, m-đơn hình là tập lồi bé nhất chứa các đỉnh của đơn hình. Rõ ràng

các đỉnh p 0 ,
đỉnh

P Ị ,..., P

M

đều thuộc đơn hình (cho Aj = 1 và các

\J

khác bằng 0 ta được

PỊ).

Lấy hai điểm

Nếu điểm

X

M, N

thuộc đơn hình, tức là

M N

thuộc đoạn thẳng

thì

Õx = tÕM + (1 - t)ÕN
hay

OX

—

[ T X Ị + (1 — í)/ij]OPj.

i—Q

^ 2 [ X I + (! - *)/'•*] = \ Ị + ( Ì - T ) ^ 2
Ị I Ị I =0 ¿=0 ¿=0 — T \ — T = 1
và T X Ị + (1 — T ) N I > 0 vì Àj > 0, H I > 0,1 — T >
Rõ ràng

T

Vậy điểm
đỉnh

X

S(P0

thuộc đơn hình. Tóm lại đơn hình

Ì

0.

P\,, P )

là tập lồi chứa các

M

PI.
Bây giờ ta chứng minh rằng nếu

đơn hình
Thật vậy

S'

là tập lồi chứa P(), P],...,

M

thì

S'

chứa m-

S(POI PI,..., P ).
M

1

s

chứa một đơn hình

S ( P q , P ị , ..., P k ) ,

0<

k <

S (P Q . P ị
m thì

S'

).Bằng quy nạpgiả sử

chứa ( k

+

M

e S(PQ, PỊ,

tức là
k +1
fc+l
O M = ^ 2 ^ I O I » với r Aj = 12=0

2=0
, Pk+i)

P

S ' chứa Ả;-đơn hình

l)-đơnhình S ( p 0 ,

Pk+i)-

Giả sử

P

P \,...,

Pk,


Nếu

k

^2

=

1=0
k

Nếu Aj = A

0.

0

thì X K + Ì = 1, và do đó

Ta c ó t h ể

M

P 1€ S'.

=

k+

viết ¿=0

k
Õ M = \ ( T, j Õ P i )
1=0

+ A k+íOPk+\.

—^
Y - '' Àj —■>
Aị

Àj
Đăt OJV = /
— O P Ị thì vì / — và — > 0
A
^ A
A

2=0
X- n / T~t T~i
cho nên N € S ( P ( ) ,

z=o

___
ATsnỉ
Pi,..., P ) quy ra N E S ' .

AT

Khi đó, OM

M

Vậy

\

K

— XON + Ằk+iO Pk+1 với A + Xk+1 = 1 và A > 0, Afc+1 >

thuộc đoạn thẳng

S'.

n

P

K

+ Ì

N.

Vì

S{PO,PU...,P

Tóm lại, mọi tập lồi chứa P(),

K

+

S'

chứa

I)

c 5".

N

P\,... , P

M

và

0, bởi vậy

chứa Pjfc+1 nên M

€

đều chứa m-đơn hình

S ( P 0 , Pi ,..., P m ) . Nói cá ch k há c, đơn hì nh S ( P ( ) , P ị , . . . , P m ) là tập l ồi
bé nhấ t
chứa các đỉnh của nó.

2.3 Hộp
Cho

M

+ 1 điểm độc lập P 0 ,

Pi,..., P .
M

Tập hợp những điểm

^I OPI,

với 0 < X I < 1
được gọi là M - H Ộ P .
Dỗ dàng thấy rằng M -hộp là một tập lồi.
Thật vậy, nếu M và N là hai điểm tùy ý thuộc m-hộp,
P

PQM

= X I P ( ) P I , 0 < Aj < 1,
¿=1
vĨPÕPii
z= 1

thì điểm

X

thuộc đoạn thẳng

MN

0<

Hi <

khi và chỉ khi
p¡$ = tĩụì + {I - t)P¡$

hay
PoX

=

{tXị +
PqPì-

(1 — t ) ß i )
i =0

1

M

sao cho

P0M

=


Ta có 0 < t.Xị < t (vì t, Xị > 0 và t, Aị < 1)
và 0 < (1 —

T)HI <

1—

T

(vì 0 < 1 —

T, HI

<

1).

T\Ị +

Vậy 0 <
thuộc

(1 —

T)FII
Điền đó chứng tỏ

X

M -hộp và vì vậy ra-hộp là tập lồi.

2.4 Tập affine và bao affine

2.4.1

Tập affine
Định nghĩa 2.2. Tập

A

c M” được gọi là

A F F I N E , nếu ( 1 — X ) X + X Y

Ễ

A

, Vx,

TẬP

Y

6

A,

VA G M.

A

Nhận xét 2.1. Nếu

A

là tập affine thì với

A + A

6 R",

= {æ + a : rr G A}

là tập affine.
Mệnh đề 2.1. Tập

M

c M' 1 là không gian con khi và chỉ khi

Định nghĩa 2.3. Tập affine
tồn tại

A

A

được gọi là

SONG SONG

là tập affine chứa

O.

với tập affine M, nếu

€ K' 1 sao cho

=

A
Ký hiệu

M

M + a.

AỊỊM.

Định lý 2.1. Mỗi tập affine

/1^0

song song với một không gian COI 1 duy nhất

L

được

xác định như sau
L = A — A

=

{x — y : X £ A,y € A}.

Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh rằng: nếu

A

song song với các không gian COI 1

L 1, L 2

thì Lị = L2.
Thật vậy, ta c ó
Ta lại có o £

Lị//L2 =>

L 2 — r* — Ữ

3a G M ?ỉ
ẽ

LỊ

=7’-

: L2 = Lị + a.

Ữ

G

L\

=r*

LỊ

Z) i/j -I-

0- = L 2-


Tương tự, ta nhận được

L2 D LỊ.

LỊ

Do đó,

=

L2.

Như vậy, tính duy nhất được

chứng minh.
Lấy

Y

Ễ

A,

con duy nhất

A — Y

ta có

L // A .

Bởi vì

L

O.

là tập affine chứa

=

A — Y

và

Y

Vậy

A — Y

tùy ý, cho nên

L

=

là không gian

A — A.

Từ Dịnh lv 2.1 ta có thể định nghĩa được chiều của một tập affine.
Định nghĩa 2.4. Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều của
không gian con song song với Ĩ 1Ó.
Chú ý. Ta quy ước
Giả sử

L

DIRNỰÌ

= — 1.

là một không gian con trong

PHẦN BÙ TRỰC GIAO

của

L

được xác định như sau

L

L

= {X £

E" :

X

JL y,Vy € í/},

trong đó

X
Khi đó, tập

J_

y

X, y

> = 0.

L 1 cũng là một không gian con, và
dimL + dimL±

Định nghĩa 2.5. Tập affine

PHẲNG.

N —

= n,

(L±)±

=

L.

1 chiều trong M re được gọi là một

SIÊU

Định lý 2.2. Giả sử S S ẽ 1,0 7¿06 IR". Khi đó, tập
H = {x eRn :< x,b>= ß}

là một siêu phẳng trong K n . Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng
cách này (theo nghĩa: đồng nhất các siêu phẳng có

B

và

SS

được nhân với cùng một

số).
Chứng minh.
Trước hết ta chú ý: các không gian con
_L

B} (B Ỷ
H =

=

{x

72—1 chiều là các tập có dạng { X

0); các siêu phang là các dịch chuyển của chúng. Như vậy,

e Rn : X ± b} + a =

{y e

£ Kn :

M" :<

y - a,b >=

{x

0} =

+ a :< x,b
{y e

R B :<

>= 0}
y, b > = ß }.

X


Định lý 2.3. Giả sử

B

M

là

N-

X

M =

ma trận,

{x e

Rn

B

G R m . Khi đó, tập hợp

:

(2.1)

Bx = b}

là affine trong E.". Hơn nữa, mọi tập affine đều có thể biểu diễn dưới dạng (2.1).
Chú ý. Nếu A
Nếu

— IR", ta lấy B là ma trận không cấp M X 77, và B — 0.
A = 0, ta lấy D là ma trận không cấp R R I X N và B Ỷ 0.

Hệ quả 2.1. Mọi tập affine
2.4.2

A

trong R" là giao của một số hữu hạn các siêu phẳng.

Bao affine

A C

Định nghĩa 2.6. Giao của tất cả các tập affine chứa tập

được gọi là

bao

affine (affine hull) của A. và ký hiệu là ữffA.
Nhận xét 2.2.

AFF A
X

là tập affine nhỏ nhất chứa

A.

T Ổ H Ợ P A F F I N E của các điểm
m
X Ị , . . . , X € M , nếu 3A 1? ..., A m € M, Aj = 1 sao cho X = 2 ^ ^ I I i=l
¿=1
Nhận xét 2.3. A F F A trùng với tập tất cả các tố hợp affine các điểm của Ả
Định nghĩa 2.7. Điểm

G M" được gọi là

m

n

M

X

777

°'ĩ í A —
Định nghĩa 2.8. Tập

m

^ m m ’ X ị £ A . Aj = 1}.
¿=1
+ 1 điểm b í ) , b ị , . . . . b m được gọi là đ ộ c
{^l x l + ' ■ ' +

affine (affine indepentdent),
Nhận xét 2.4. ò(>,

BỈ,, B

M

x

nếu aff{b , bi,..., b } là 771 chiều.
0

m

độc lập affine khi và chỉ khi

B Ị — ¿>0,... , B

ò() độc lập tuyến tính.
Nhận xét 2.5. Từ Nhận xét 2.4 suy ra:
a)

B 0 , B 1,. .., B

M

độc lập affine, nếu

tọa độ trọng tâm (barycentric coordinates)

Định nghĩa 2.9. Ánh xạ
mọi

T :

Mn

X , y € M'\ A 6 M,

lập

—>

của

X.

R m được gọi là

A F F I N E , nếu với

M

—


T(( 1 - A)x + Ay) = (1 - A)Tx + ATy.
Nhận xét 2.6. Nếu ánh xạ T : R n —> M m là affine, là tập affine trong M" thì

TA

là tập

m

affine trong R .

Như vậy, a f f ( TA ) = T ( a f f A ) .
Định lý 2.4. Giả sử {¿> 0,

BI, ■ ■ ■ , B }

và

M

{ B ' 0 , B \,..., B ' m } là các tập

độc lập affine trong R n . Khi đó, tồn tại ánh xạ affine 1 — 1
Tbi = bị

Nếu

M — N

thì

T

T :

—>

R"

R” sao cho

(ỉ =

duy nhất.

Chứng minh.
Ta có thể quy về trường hợp

M — N,

bởi vì nếu cần thiết ta sẽ mở rộng các tập

độc lập affine đã cho. Khi đó, theo lý thuyết đại số tuyến tính, tồn tại duy nhất ánh xạ
tuyến tính 1 — 1
n

của lR lên cơ sở
Dặt

TX

=

TỊ

CƠ SỞ BỈ — BQ ... ,B

từ M n lên IR” biến

B[ — B'0,, B'

T\X + A,

trong đó

Ì

— B0

— B[Y

N

A

N

=

B'()

—

TỊB0,

ta nhận được

T

là ánh xạ

affine cần tìm.
Hệ quả 2.2. Giả sử

MỊ, M2 c

Khi đó, tồn tại ánh xạ affine
Định lý 2.5. Ánh xạ

T

T

1R M là hai tập affine,

DIM,ML — DIMM2.

là ánh xạ 1 — 1 từ IR n lên K” sao cho

: R rt —>■ E m là affine khi và

chỉ khi

T M 1 = M2.

TX— TỊX+ A,

trong
đó

TỊ

là ánh xạ tuyến tính,

A

6 Mm.

Chứng minh.
a) Nến

T

là affine, thì ta lấy

A — TO

và

TYX — TX —
T Y là ánh

nhận được
affine với

TỊO

Vậy

T

TX — T X

X)x + X y)

là affine.

xạ

= 0. Vậv Ti là ánh xạ tuvến tính.

b) NgiĩỢc lại, nếu

T((l —

A

X

+

A

với

= (1 — A ) T \ X

TY

là tuyến tính, thì

+ X T\IJ + u

= (1 —

X ) T X + X Ty.


K +

Định nghĩa 2.10. Bao lồi của

ĐƠN

là

B I ,..., B
Định

lý

HÌNH

K-CHIỀU

2.6.

Giả

B(F,BỊ,... ,B .

là

Khi đó,

N

Định nghĩa 2.11.

S

sử

B O , B Ị ,..., B K

(K-SIMPLEX).

được gọi

Các điểm

B0,

ĐỈNH (VERTEX) của đơn hình.

được gọi là các

N

1 điểm độc lập affine

đơn

hình

n-chiều

Rn

trong

với

các

đỉnh

INTS Ỷ $■

CHIỀU CỦA TẬP LỒI A

là chiều của

UF F A.

Chú ý. Bởi vì một đơn hình là một tập lồi, cho nên có thể xét chiều của các đơn hình
theo Định nghĩa 2.11.
Định lý 2.7. Giả sử
hình trong

A

c R” là tập lồi. Khi đó,

DỈMA

là cực đại của chiều các đơn

A.

Chứng minh.
Nếu

C

c

A,

thì

COC

A.

c

Vì thế, cực đại của số chiều các đơn hình trong

Ả

là số

R R I lớn Iihất sao cho Ả chứa một tập M + 1 điểm độc lập affine, chẳng hạn
1 BỊ 5 • • • 5 BM } •
Đặt M — a f f ị b ị ) . b ị , , b m } . Khi đó, d i m M — m và M c a f f A .
Mặt khác, A c M , bởi vì nếu 3 B 6 A \ M thì tập M + 2 phần tử { B 0 ,
{^0

B I , ..., B ,
M

Suy l'a

A

Dẫn đến
Do đó

c

0} c

M

c

A

lập

affine, và do đó mâu thuẫn với tính cực đại của TO.

AFFA.

AF F A

DIM A

độc

=

M.

= TO.

2.5 Nón lồi
2.5.1

Nón
Giả sử

X

là không gian tuyến tính.

Định nghĩa 2.12. Tập

K

c

X

được gọi là
Ax G

/í được gọi là nón có đỉnh tại
2.5.2

Nón lồi

X0,

K,

nếu

K

NÓN
V.X e

có đỉnh tại ơ, nếu

K,

VA > 0.

— Xo là nón có đĩnh tại

O.


Định nghĩa 2.13. Nón

K

có đỉnh tại

O

được gọi là

N Ó N L Ồ I , nếu K

là một tập

lồi, có Iighĩa là

XX + /TY

€

K,VX:Y

€

K . Y A,/í > 0.

Ví dụ 2.1. Các tập sau đây trong R” :
{(<^ 1,...

,£ n ) €

IR re

: > 0, I =

1,...

,77,}

(orthant

không âm);
e

{(Cl* - • - » £n)

:

ÍI

1,..., n} (orthant

> 0, ¿ =

dương)

là các nón lồi có đỉnh tại ỡ. Dó là các nón lồi quan trọng trong R n .
Mệnh đề 2.2. Giả sử
kỳ. Khi đó, n

K

A

K

A

I)

(a G

là các nón lồi có đỉnh tại x 0 với

là nón lồi có đĩnh tại

I

là tập chỉ số bất

XO-

aeK

Chứng minh.
Suy ra từ Định nghĩa 2.13.

Ví dụ 2.2.

= EN , B A

X

là một nón lồi bởi vì

K

E

(A E

Kn

K = { x € R n :< x , b a > <
= fì K A , trong dó
a€/

K

= {x € M" :<

A

/). Khi đó,

0, Va €

X,B

1}

>< 0}

A

là nón lồi.
Định lý 2.8. Tập

K C X

là một nón lồi có đỉnh tại

X + y

€

K, \x G K,

Vx,

O

khi và chỉ khi

y £ K,v

A > 0.

Chứng minh.
i)

Giả sử

K

là Ĩ 1ÓĨ 1 lồi. Khi đó, do

K

là tập lồi, ta có
1

z= ~{x + y) e K.
Do

K

là nón có đĩnh tại 0, ta lại có

=

2z

e

0 ta có

XX

6

K,

ta có (1 —

\)X

G

K, XY

X + y
ii) Ngược lại, với Vx 6
Với 0 < À < 1,

K.YX >

X, Y

€

K

K.
vậy

K

là một I 1ÓI 1 có đỉnh tại
€

K

và (1 —

O.

X)X + XY


G

K.

Chú ý với A = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 —

có đỉnh tại

X)X + XY

K.

6

Vậy

K

là nón lồi

O.

Hệ quả 2.3. Tập

K

X

c

là nón lồi khi và chỉ khi

K,

dương của các phần tử của

K

X\., X

tức là nếu

M

chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính
G

K , AI, \

M

> 0 thì

m

Y.

Kxi

€

K.

A

Hệ quả 2.4. Giả sử
dương của

A.

là tập bất kỳ trong

Khi dó,

K

X, K

là tập chứa tất cả các tố hợp tuyến tính

là nón lồi Iihỏ nhất chứa

A.

Chứng minh.

K
Ta có

là nón lồi có đỉnh tại o, bởi vì

K D A.

K

đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng.

Hơn nữa, mọi nón lồi chứa

A

thì phải chứa

Định nghĩa 2.14. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại
một nón lồi và được gọi là

O)

K.
chứa tập

A

và điềm

NÓN LỒI SINH BỞI TẬP A,

O

là

ký hiệu là

KA.
Định nghĩa 2.15. Giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập
là /;ao

tuyến TÍNH

Mệnh đề 2.3. a)
b) Nếu

A

KA

K

=

C O

của tập
A

A,

ký hiệu là

A

được gọi

HNA.

\

là tập lồi thì

KA

IJ

XA {X

ç

X X \Z, \

^ 0,2 €

•

Ằ>0

2.5.3

Định lý Carathéodory

Giả sử

X

là không gian hữu hạn chiều:

Định lý 2.9. Giả sử

A

c M n khác 0 và

X

K4

= R”.
là nón lồi sinh bởi tập

A.

Khi đó,

mỗi

điểm X Ỷ 0 thuộc K A có thể biểu diễn dưới dạng
X
t r o n g đ ó A j > 0,
Nói

Xị

€

A (i =

=

Ai^i “h • • • "I“

1,...,

riêng, r < n.

Định lý 2.10. (Định lý Carathéodory)

r),

\ X \
R

các điểm

R

Xi,. .., xr

đ ộ c l ậ p tu y ế n t í n h .


Giả sử

A

c M”. Khi đó, mỗi điểm của tập

CO A

là tổ hợp lồi không quá

N

+ 1 điểm

khác nhau của A.
Chứng minh.
Xét tập hợp

{(l,x)

: X £

coB

= {1} X

coA.

D.

Khi đó,

B = {1} X A =

A}

c R X

R".

Ta có

Giả sử

KSS

là nón lồi sinh bởi

Theo Dịnli lv 2.9, nếu

{l,x)


coB

COD c KB.

thì tồn tại r điểm (1,

X i ),...,

(1,

xr) G B

COA

đóng, tức là

và

r số Ai > 0,..., A r > 0 với r < n + 1, sao cho
(1,2;) = Al (1,
)
••• + \ R ( Ì , X R ) .
I A ji C j " 1“ • • • +

Xrxr

=

X ^ I
Định lý 2.11. Giả sử tập

^ Ai + • • • + A r = 1
A c M n đóng, bị chặn. Khi đó,
coA — CÕA.

Sau đây ta đưa ra vài loại nón được sử dụng nhiều trong giải tích lồi và tối

2.6 Nón pháp tuyến
Giả sử

X

liên tục trên

là không gian lồi địa phương,

X*

X.

Định nghĩa 2.16. Vectơ

X*

€

X*

PHÁP TUYẾN
X £ A,

được gọi là

< X*, X — X

>< 0

Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi

PHÁP TUYẾN
Như vậy,

là không gian các phiếm hàm tuyến tính

của

A

tại

X,

A

ký hiệu là

của tập lồi

(Vx € A).

tại

X

€

A

được gọi là

N(X\A).

NÓN

A

tại


N ( x \ A ) = {x* €
Nhận xét

X* :< x*,x —

A

2.7. Nón pháp tuyến của tập lồi

tại

X ><

0,Var €

X

6

A

A}.

là lồi đóng.

2.7 Nón lùi xa
Bâv giờ

X

giả sử

Định nghĩa 2.17. Giả sử

là không gian tuyến tính.

A C X

lồi, khác 0.

Ta

nói tập

A LÙI XA

theo phương

D Ỷ

0, nếu

A + \D

c

A

(VA > 0), hay

(VA >

X + Xd e A
Nhận xét 2.8. Tập

A

D

lùi xa theo phương

Iiếu

A

thẳng xuất phát từ các điểm của

A

và theo phương

Định nghĩa 2.18. Tập các vectơ

D

€

X

(2.2)

o.yx e A).
chứa

tất

cả các Iiửađường

D.

thỏa mãn (2.2)

và vcíctơ

D

= 0

được

gọi

là

của

nón lùi xa (recession cone)

Định lý 2.12. Giả sử tập

A

c

X

A,

ký hiệu là 0 + Ấ.
A

lồi, khác 0. Khi đó, 0 +

là nón lồi chứa điểm

o,

đồng thời,
0+A = {d. e X

:

Ả

+

d

c

A).

(2.3)

Chứng minh.

i) Trước hết chứng minh (2.3).
Lấy
G

D

A

e

0+A.

(Vx G

Khi đó,

X + XD

£

A

(VA > 0,Vx €

A).

Với A = 1, ta có

X

+

A ), tức là
A + d

c

A.

Suy ra
1
Ngưực lại, lấy

Á
=>

(1

-Ị- 2 D =

X + MD

€

(Á
€

X

+

A c {d e X : A + d c A}.

thỏa mãn

-Ị- (i) -Ị-

D

A

+

D

c

A.

c -<4 —|— cỉ cz ^4.

A (VX E A,

Vm-Iiguyôn dương).

(2.4)

D

Do

A

đoạn thẳng

nối

X , X + D , X + 2d,.. . nằm

các điểm

trong

A.

Vì

vậy,
X + Xd G A

(VA >0)

=^íle 0 + Ẩ.
Suy ra
{d e X : A + d

c

A)

c 0+A

(2.5)

Từ (2.4), (2.5) ta suy ra (2.3).
ii) Chứng minh 0 + Ấ là Ĩ 1ÓĨ 1 lồi.
Bởi vì phép nhân với số dương không làm thay đổi phương, cho nên
Lấy D Ị , ri 2

€ 0 + A, 0 < A

(1 - A)di+ X d 2

<

(1 - A)(di +

+ A =

c (1 Suy ra (1 —
Do đó, 0
Vậy 0 +

+

X)DỊ + XD2

A

A

1. Do

A

X)A + XA = Ả

lồi.

là nón lồi.

Ví dụ 2.3. X = K 2 .
a)

c 1 = {{x,y) : X > 0,y > -}.
X

{(X,Y) : X > 0,Y

+

Khi đó 0 Ci =
b)
Khi đó

c)

c2 = {{x,y) : y > X2}.

0 C
+

2

— {{x,y) :X

c3 = {(x,y)

Kh i đ ó 0 + C 3 =

d)

> ()}.

c4 =

:

X2

+ y2 <

= 0,y > 0}.

1}.

{(x,y) : X — y — 0} —
{( x , y ) : X > 0 , y

Khi dó 0 + Ơ4 = ơ 4 .

>

{( 0, 0) } .

0} u {(0,0)}.

là một nón.

lồi nên ta có

A) + \{d2

G 0 + v4.

0+ A

+ A).


2.8 Phần trong tương đối
P H Ầ N T R O N G T Ư Ơ N G Đ Ố I ( R E L AT I V E

Định nghĩa 2.19.

INTERIOR)
là

của tập

A

c K n là phần trong của

A

trong

AF F A.

ký hiệu

RIA.

Các điểm thuộc
tập

RIA

được gọi là

ĐIỂM TRONG TƯƠNG ĐỐI

của

A.

Nhận xét 2.9.

i n t A — { x € M” : 3e > 0, X + e B
r i A — { x € a f f A : 3 e > 0,
affA
c
B

c

A}\
(x
Ẩ}.

đó

Định

nghĩa2.20. Tập

A \ RIA

được gọi là

mở tương đối (relatively open),

A

eB)

n

là hình cầu đơn vị đóng trong R n .

trong

A.
Tập

+

Định lý 2.13. Già sử

A

được gọilà

là tập lồi trong R n ;.x 6
(1 —

X)X + XY

BIÊN TƯƠNG

RIA,Y

G

RIA

G

nếu

A.

ĐỐI

của

riA — A.

Khi đó,

(0 < A < 1).

Chứng minh.
Giả sử
2 —1

T :

A

là tập lồi TO-chiều trong R'\ Theo Hệ quả 2.2, tồn tại ánh xạ affine

K n —> M n sao cho

L {x [ x I ) . . .
Không gian con

L

) x m , X m+1

T

1X u ' )
A

Lấy À G [0,1), ta sẽ chỉ ra tồn tại
(1 —

B

AFFA

x m+1

lên không gian COI 1

•••

0}

xn

L

•

có thể đồng nhất với R m . Vì vậy, để chứng minh định

cần chứng minh cho trường hợp

trong đó

ánh xạ

là n-chiều. Khi đó,

€ >

RIA

=

lý ta chỉ

INTA.

0 sao cho

X)X

+

XY

+

EB

c

A,

là hình cầu đơn vị đóng trong M'\

Thật vậy, bởi vì

Y

G

A,

cho nên với mọi

€> 0, Y E A + EB.

Do

X

INTA,
e >

0 đủ

nhỏ,

ta có

G
với


(1 —

\)X

+A Y + E . B

—
—

EB)

(1 —

X)[x

+ € ( 1 + A )( l

1

B]

+

XA = A.

Giả sử A là tập lồi trong IR". Khi đó,

A

+ A(Ẩ +

A)

c (1 - A ) A +

Định lý 2.14. Giả sử

X)X

EB

+

Hệ quả 2.5.

c(1 —

RIA

lồi.

là tập lồi trong K n . Khi đó,
aff (Ã)

=

af f A.

Chứng minh.
Hiển nhiên
Mặt khác,

AFF(A) D AFFA.

A

c

(iff A

=

aff A.

Vì vậy, a f f ( A ) = a f f A .
Định lý 2.15. Giả sử

A

là tập lồi, khác rỗng trong IR'\ Khi đó,

RI A Ỷ $

và

a f f {ri A) = a f f A.
Hệ quả 2.6. Giả sử

A

là tập lồi trong IR". Khi đó,

a f f (ri A ) = a f f (A).
Hệ quả 2.7. Giả sử

A

là tập lồi trong M”. Khi đó,

dim A — dim (ri A) — dim A.
Nói riêng, nếu A Ỷ 0 thì R I A Ỷ 0Định lý 2.16. Giả sử A là tập lồi trong K n . Khi dó,
riA

=

A\ riA

=

riA.

(2.6)

Chứng minh.

Giả sử
€

A.

DIMA

Khi đó,

=

M < N.

AFFA

là

Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như

không gian

con và ta có thể đồng nhất

. Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian ta nhận được (2.6).

AFFA

O

với

Hệ quả 2.8. Giả sử

AỊ, A2

là các tập lồi trong E". Khi đó,
A\

= Ả ‘2 <í=>

rỉ Ai

=

riA2-

2.9 Tập lồi đa diện
Một tập lồi đa diện trong R” là một tập được biểu diễn bằng giao của hữu hạn các
Iiửa không gian đóng, nghĩa là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình có
dạng
<
Một tập lồi

Z }
Q

K

ŨỊ,X >< BỊ, I

=

1,..., m; U Ị

€ M"; òj € M.

được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một hệ hữu hạn các vectơ

{Z ,.
L

..,

sao cho

K

Q
=

^T J Z J : T J
j=i

{(XỊ,X2)

Ví dụ 2.4. a) Tập

ẽ M2 :

2X\

+

>

0

với

X2 —

1 < 0;

mọi

—X\

J

= 1,. .., ợ|.

+ 3x2 — 3 < 0} là

một
tập lồi đa diện trong R 2 .
b) Tập nghiệm của hệ phương trình:

X\
<

7 < 0

x2

+

— x3 — 1 <0

5 < 0
Xi H" 2xi — Xỵ +

2xl — x2 + x3 —

là một tập lồi đa diện trong R 3 .

K là đa diện khi và chỉ khi K hữu hạn sinh.
Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi

Định lý 2.17. Tập lồi

2.10

2.10.1

Hàm lồi

Giả sử

X

là không gian lồi địa phương,

Định nghĩa 2.21.

EPIF.

: ữ Ru {±oc}.

TRÊN DÒ THỊ (EPIGRAPH)

của hàm /, ký hiệu là

được định nghĩa như sail

EPIF —
Định

D C X, F

nghĩa

DOMAIN)

2.22.

{(x,r) 6

MIỀN

của hàm /, ký hiệu là

D

HỮU

XR:

F(X)

HIỆU

< r}.

(EFFECTIVE

D O M F , được định nghĩa như sau


f(x)

domf = {x £ D :

D O M Ị 7^ 0 và F ( X ) >

— oc

Định nghĩa 2.24. Ilàm / được gọi là
nếu

EPIF

là tập lồi trong

( C O N C AV E O N D ) ,
Nhận xét 2.10. Nếu / lồi thì

trên X, trong đó

X*

(VX

D ).

G

LỒI TRÊN D (CONVEX ON D),
X R. Hàm / được gọi là

nếu —/ là hàm lồi trên

DOMF

F(X)

Ví dụ 2.5. Hàm affine

X

=<

+oo}.

CHÍNH THƯỜNG (PROPER),

Định nghĩa 2.23. Hàm / được gọi là
nếu

<

LÕM TRÊN D

D.

lồi.

X*,X > +A,(X*

€

X*,A

€ K) là hàm lồi

là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

Ví dụ 2.6. H À M C H Ỉ
lồi A c X là hàm lồi

( IN DI C ATO R FU N C T I ON )

X.
Ổ(.|Ấ) của tập

\ 0 nếu X € A ,
ỗ{.\A)=\
]
+OC nếu X ặ A .
X*

Ví dụ 2.7. Giả sử
lồi

A

c

X*

là không gian liên hợp của

-s(.|v4) của tập

là hàm lồi
s(.|j4) = sup <
X*

D

Định lý 2.18. Giả sử
Khi đó, / lồi trên

F{XX

X. HÀM TỰA

D

6A

là tập lồi trong không gian

X,

hàm / :

D —>

(—

00,

+oc].

khi và chỉ khi

+ (1 - A ) Y

<

AF ( X )

+

Định lý 2.19. Giả sử / là hàm lồi trên

X,

F(X) < Ụ,}

<

và

Hệ quả 2.9. Giả sử

X*,X > .

F

{X : F(X)
A

là hàm lồi trên

(1 - A ) F ( Y ) (VA G [0,1 ],Vx,ỉ/ €
//• € [— 00, + 00]. Khi đó, các

FI}

D).
tập mức { X :

lồi.

X, X

A

€ R (Va €

/),/

là tập chỉ số bất kỳ. Khi

đó, tập
A =

{x

£ X fa(x) <

Xa,a € 1}

là tập lồi.
Định nghĩa 2.25. Hàm / xác định trên

X

được gọi là

THUẦN NHẤT

DƯƠNG (POSI TIVELY HOMOGENEOUS)I
(0, +oc),

F(XX)

=A

F(X).

nếu Vx Ễ ỊV A e