Khoá luận tốt nghiệp dạy học khái niệm toán học phần vectơ ở lớp 10 THPT theo định hướng phát triển năng lực của học sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

ĐẶNG T H Ị PHƯ Ợ NG

DẠY HỌC KHAI NIẸM TOAN HỌC
PHẦN “VECTƠ” Ở LỚP 10 THPT THEO
ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG Lực CỦA
HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI, 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

ĐẶNG T H Ị PHƯ Ợ NG

DẠY HỌC KHAI NIẸM TOAN HỌC


• #••

PHÀN “VECTƠ” Ở LỚP 10 THPT THEO

ĐỊNH HƯỚNG
TRIỀN
CỦA

Khóa PHÁT
luận tốt nghiệp
đại học NĂNG Lực
Trường
ĐHSP Hà
HỌC SINH
KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

••••

Chuyên ngành: Phưong pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS. Nguyễn Văn Hà

HÀ NỘI, 2015
LỜI CÁM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng vói sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Nguyễn Văn
Hà, giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 khóa luận của em đến nay đã hoàn
thành. Trong quá trình thực hiện khóa luận, ngoài sự cố gắng của bản thân, em còn nhận được sự động
viên, hướng dân, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Hà và những ỷ kiến đủng góp của thầy cô
trong tố phương pháp.
Qua đây, em xỉn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giảo trong khoa Toán, các thầy cô giảo
trong tố Phương pháp đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suôt thời gian em làm khóa luận. Đặc biệt, em
xin chân thành cám ơn thầy giảo Nguyễn Văn Hà - Người đã trực tiếp hướng dân, chỉ bảo em trong
suốt quá trình em học tập cũng như trong thời gian em thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Dù bản thân em đã rất cố gang trong việc thực hiện khỏa luận, song do đây là lân đâu tiên làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học, hon nữa do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân còn
hạn chế nên em không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự đóng góp ỷ kiến của
các thầy cô và các bạn đê khóa luận em được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cám ơn!


Hà Nội, thảng 5 năm 2015 Sinh viên
Đặng Thị Phượng
Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của em trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu, cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo - Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà.
Trong thời gian em làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục lục tham
khảo.
Em xin cam đoan: Khóa luận “Dạy học khái niệm Toán học phần “Vectơ” ở lóp 10 THPT theo
định hướng phát triển năng lực của học sinh” là kết quả nghiên cún của riêng em và không trùng với kết
quả của bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, Tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Đặng Thị Phượng

DANH MỤC KÍ HIỆU VIẾT TẤT
THPT

:

Trung học phổ thông

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh
MỤC LỤC


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

MỞ ĐÀU
1. Lí do chọn đề tài
Tiếp tục đẩy mạnh toàn diện công cuộc đổi mới, thực hiện công nghiệp hóa,
hiện đại hóa gắn với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu
rộng hơn đế đến năm 2020 nước ta trở thành một nước công nghiệp theo hướng
hiện đại đặt ra cho giáo dục, đào tạo nước ta những yêu cầu, nhiệm vụ thách thức
mới. Một trong những điểm nổi bật của việc đối mới chương trình giáo dục phố
thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát
triển năng lực cho học sinh. Điều này đòi hỏi phải có định hướng phát triển, có tầm
nhìn chiến lược, ôn định lâu dài cùng nhũng phương pháp, hình thức, tồ chức, quản
lí giáo dục và đào tạo cho phù họp.
Để thực hiện nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đối mới. Cùng
với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục

và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố
quan trọng. Bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống
xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành
công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát
triển.
Vectơ là một khái niệm nền tảng của Toán học và có nhiều ứng dụng trong
vật lí. Tuy nhiên, vectơ là một khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh. Lần đầu
tiên, học sinh tiếp xúc với định hướng trong hình học. Còn sau đó, vectơ được ứng
dụng rộng rãi trong các chương trình.

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cún là: “Dạy học khải niệm
Toán học phân “Vectơ” ở lớp 10 THPT theo định hướng phát trỉến năng ỉực của
học sinh. ”


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

2. Mục đích nghiên cứu
• Nhằm định hướng phát triển năng lực của học sinh đối với việc học tập
nội dung khái niệm “Vectơ” trong mặt phắng.
• Xây dựng kế hoạch dạy học các khái niệm Toán học trong chủ đề “Vectơ”
ở lớp 10 THPT theo định hướng phát triển năng lực của học sinh góp phần nâng
cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cún về lí luận:
- Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lưc cho học sinh.
- Dạy học khái niệm Toán học và nội dung dạy học khái niệm “Vectơ” ở lóp

10 THPT.
• Thiết kế và xây dựng kế hoạch dạy học các khái niệm Toán học phần
“Vectơ” ở lớp 10 THPT.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các khái niệm Toán học phần “Vectơ” ở lóp 10 THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lí luận các tài liệu về năng lực của học sinh, về phương pháp
dạy học khái niệm môn toán.
• Tống kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp
dạy học này.
• Nghiên cún nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán phần vectơ Hình học 10.
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn gồm
hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Chương 2: ứng dụng dạy học khái niệm “Vectơ” lớp 10
THPT theo định hướng phát triên năng lực của học
sinh.
NỘI DUNG Chương 1: Cơ SỞ LÝ
LUẬN VÀ THỤC TIỄN 1.1. Định hướng phát triến năng lực của
học sinh
1.1.1

Nguồn gốc của năng lực.

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và

nguồn gốc của năng lực. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan
điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn.
• Một là: Những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu
cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ.
• Hai là: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ
khi sinh ra đã có sẵn những tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương
ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát tri en đươc. Xã
hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế
hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội.
• Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động.
Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác
động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích úng với
các thành tựu của các thế hệ trước đế lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra các kết
quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tượng có bản chất,
nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với
nhau để tạo ra các năng lực.
1.1.2

Các khái niệm.

a) Năng lực.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Theo tâm lí học: Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá
nhân phù hợp với yêu cầu đặc trung của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo
cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư
chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng vai trò quan trọng. Năng lực của con người
không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, tập luyện hình
thành.
Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức họp và thực hiện
thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thế (OECD, 2002).
Năng lực là các khả năng và kỹ năng nhận thức vốn có ở cá nhân hay có thể
học được ... đế giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống. Năng lực cũng hàm
chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ, ỷ chí và trách nhiệm xã hội để có
thể sử dụng một cách thành công và có trách nhiệm các giải pháp...trong những
tình huống thay đối (PGS.TS.Nguyễn Công Khanh).
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ấn trong một cá thể,
một thứ phi vật thế. Song nó thể hiện qua hành động và đánh giá được nó qua kết
quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,
cao hơn so với trình độ trung bình của nhũng người khác cùng tiến hành hoạt động
đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Người ta thường phân biệt ba
•

trình độ năng lực:
Năng lực là tống hòa các kỹ năng, kỹ xảo.

•

Tài năng là một tồ họp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết
quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khố của những thành
tựu đạt được của xã hội loài người.

• Thiên tài là một tô hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những
thành tựu sáng tạo mà có ỷ nghĩa lịch sử.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất định của
con người. Năng lực này chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu đặt ra.
b) Khải niệm năng lực Toán học.
Theo V.A.Kratetxki thì khái niệm năng lực Toán học sẽ được giải thích trên
hai bình diện.
• Năng lực nghiên cứu Toán học: Như là các năng lực sáng tạo (khoa học),
các năng lực hoạt động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách
quan và quý giá.
• Năng lực học tập Toán học: Như là các năng lực học tập giáo trình phố
thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
tương ứng.
Như vậy, năng lực học toán là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động Toán học và tạo điều
kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học tương đối
nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Bộ óc của con người có năng lực nghiên cứu Toán học thể hiện ở thiên
hướng tách tù’ môi trường xung quanh những kích thích các loại quan hệ không
gian, quan hệ số lượng, quan hệ logic và làm việc có hiệu quả với các kích thích
thuộc các loại đó (với số và hình, đại lượng biến thiên và hàm số, cấu trúc và thuật
toán cùng với ngôn ngữ hình thức hóa).
Khuynh hướng Toán học trí tuệ đặc trưng cho những người có năng lực Toán

học là năng lực thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của các quan hệ
Toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó qua con mắt Toán học.
Theo Kônmôgôrốp thì trong thành phần của năng lực Toán học có:

S Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
được con đường giải các phương trình không theo quy tắc chuấn, năng lực tính
toán.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

S Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học.
S Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng
đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kỹ năng vận dụng đúng đắn quy nạp Toán
học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán
học.
Theo V.A.Krutetxki thì cấu trúc của năng lực Toán học bao gồm những thành
phần sau:

S về mặt thu nhận thông tin: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán
học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

S về mặt chế biến thông tin, đó là:
Năng lực tư duy logic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan hệ
không gian, các kí hiệu, năng lực suy nghĩ với các kí hiệu Toán học.
Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các
phép toán của Toán học. Năng lực rút ngắn quá trình suy luận Toán học và hệ
thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút

gọn.
Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động Toán học.
Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính họp lí
của lời giải.
Năng lực thay đối nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy
thuận chuyến qua tư duy nghịch.

S về mặt lưu trữ các thông tin, đó là trí nhớ Toán học tức là trí nhớ khái quát
về các quan hệ Toán học, về các đặc điểm điển hình, các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc xem xét các bài toán ấy.

S về thành phần tống họp chung, đó là khuynh hướng Toán học của trí tuệ.
Tuy nhiên, cần chú ý rằng tốc độ tư duy, năng lực tính toán, trí nhớ về các công
thức,... không nhất thiết phải có mặt trong các thành phần của năng lực Toán học.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

c) Năng lực của học sịnh phô thông.
Năng lực của học sinh là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kỹ
năng, thái độ ... phù hợp với lứa tuổi và vận hành (kết nối) chúng một cách họp lỷ
vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập, giải quyết hiệu quả những vấn đề đặt
ra cho chính các em trong cuộc sống.
Năng lực của học sinh là một cấu trúc động (trìu tượng), có tính mở, đa thành
tố, đa tầng bậc, hàm chứa trong nó không chỉ là kiến thức, kĩ năng,... mà còn là
niềm tin, giá trị, trách nhiệm xã hội... thê hiện ở tính sẵn sàng hành động của các
em trong môi trường học tập phổ thông và những thực tế đang thay đổi của xã hội.
(PGS.TS.Nguyễn Công Khanh).

d) Phương pháp dạy học định hướng phát trỉến năng lực cho học
sinh.
Chương trình giáo dục định hướng phát triên năng lực (định hướng phát triển
năng lực) nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ
những năm 90 của thế kỉ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế.
Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người
học.
Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đâu ra của việc dạy
học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng
năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho
con người năng lực giải quyết các tình huống của

CUỘC sống và nghề nghiệp. Chương trình này nhằm nhấn mạnh vai trò của người
học với tư cách chủ thế của quá trình nhận thức.
1.1.3. Đặc trung của phương pháp dạy học định hu ớng phát triên năng
lực của học sinh.
Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định
hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

“sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy học
chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiến “đầu ra”, tức là kết quả học
tập của học sinh.
Sau đây là bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định
hướng nội dung và chương trình định hướng phát triển năng lực:

Chương trình định hướng

Chương trình định hướng

nội dung

phát triển năng lực

Mục tiêu

Mục tiêu dạy học được mô Kêt quả học tập cân đạt được

giáo dục

tả không chi tiết và không

mô tả chi tiết và có thể quan

nhất thiết phải quan sát,

sát, đánh giá được, thể hiện

đánh giá được.

được mức độ tiến bộ của học
sinh một cách liên tục.

Nội dung

Việc lựa chọn nội dung dựa Lựa chọn những nội dung

giáo dục

vào các khoa học chuyên nhằm đạt được kết quả đầu
môn, không gắn với các tình ra đã quy định, gắn với các
huống thực tiễn. Nội dung tình huống thực tiễn. Chương
được quy định chi tiết trong trình chỉ quy định những nội
chương

dung chính,


Khóa luận tốt nghiệp đại học
trình.
Phương pháp Giáo viên là người truyên
dạy học

Trường ĐHSP Hà

không quy định chi tiêt.
Giáo viên chủ yêu là người

thụ tri thức, là trung tâm của tố chức, hỗ trợ học sinh tự
quá trình dạy học. Học sinh lực và tích cực lĩnh hội tri
tiếp thu không chủ động

thức. Chú trọng phát triển

những tri thức được quy

khả năng giải quyết vấn đề,

định sẵn.

khả năng giao tiếp.
Chú trọng sử dụng các quan
điểm, phương pháp và kỹ
thuật dạy học tích cực, các
phương pháp dạy học thí
nghiệm, thực hành.

Hình thức dạy Chủ yêu dạy học lý thuyêt
học

trên lóp học.

Tô chức hình thức học tập đa
dạng, chú ý các hoạt động xã
hội, ngoại khóa, nghiên cứu
khoa học, trải nghiệm sáng
tạo, đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin và
truyền thông dạy và học.

Đánh giá kết

Tiêu chí đánh giá được xây

Tiêu chí đánh giá dựa vào

quả học tập

dựng chủ yếu dựa trên sự

năng lực đầu ra, có tính đến

cùa học sinh

ghi nhớ và tái hiện nội dung sự tiến bộ trong quá trình học
đã học.

tập, chú trọng khả năng vận
dụng trong các tình huống
thực tiễn.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Kết luận: Việc chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp
cận năng lực của người học, hướng tới mục tiêu phát triển toàn diện năng lực học
sinh là một việc làm cấp thiết. Bởi chương trình giáo dục định hướng phát triển
năng lực đã tạo điều kiện quản lỷ chất lượng theo kết quả đầu ra đã quy định, nhấn
mạnh năng lực vận dụng tri thức của học sinh, thực hiện mục tiêu phát triển toàn
diện các phấm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những
tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình
huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Có thể nói, việc dạy học theo hướng tiếp cận
năng lực người học được xem là chìa khóa để đối mới giáo dục. Đây là yếu tố quan
trọng, hướng tới một nền giáo dục tiên tiến, đáp ứng yêu cầu đào tạo nguồn nhân

lực có chất lượng, đủ sức cạnh tranh và hội nhập quốc tế.
1.2 Dạy học khái niệm toán học
1.2.1

Đại cuong về định nghĩa khái niệm

a) Khái niêm.
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc trung bản
chất của lóp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng.
Như vậy có hai loại khái niệm:
-

Khái niệm về lóp đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Hình
chóp”, “Hình chóp đều”,............
+ Hình chóp: “Trong mặt phăng (P) cho đa giác AiA 2A3...An và điểm s không
thuộc mặt phắng (P). Hình tạo bởi n miền tam giác SA|A 2A3...An gọi là hình chóp
SA|A2A3...An”.
+ Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là
một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

-

Khái niệm về quan hệ đối tượng: Chắng hạn như khái niệm:
“Phương trình tương đương”,...
+ Phương trình tương đương: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tương
đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

• Nội hàm và ngoại diên của khải niệm.
Ngoại diên của khái niệm: Tập họp các đối tượng hoặc lóp đối tượng phản
ánh trong định nghĩa khái niệm.
Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối tượng
tương đương hoặc quan hệ đối tượng.
Ví dụ 1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chừ nhật có hai cạnh kề bằng
nhau”.
Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập họp tất cả các hình vuông,
nội hàm của khái niệm trên là “hai cạnh kề bằng nhau”.
Giữ nội hàm và ngoại diên có một mối quan hệ mang tính quy luật, nội hàm
càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Thật vậy nếu ta
mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chắng hạn bổ sung thêm đặc
điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận
thực sự của lóp các hình bình hành.
• Định nghĩa khải niệm.
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lóp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra
nội hàm của khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới (biêu thị
(Những) từ chỉ miên

khải niệm mới)

đối tượng đã biết

Tân từ (diên tả khác
biệt về chủng)

(loại)
Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh bên liên tiếp
bằng nhau”.
Trong định nghĩa trên, từ mới là “hình vuông”; loại hay miền đối tượng là
“hình chữ nhật”, sự khác biệt về chủng là “hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của
khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ đế xác định khái niệm


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

đó. Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trung của cùng một khái niệm, tức là có thế
định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, hình vuông
ngoài định nghĩa nêu trong ví dụ trên, còn có the định nghĩa theo một cách khác
như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”.
Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó
hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: Những
thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính
bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì
được gọi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét.
• Khái niệm không định nghĩa.
Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết.
Ví dụ để định nghĩa khái niệm hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật, đế định
nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành, để định nghĩa hình bình
hành ta cần định nghĩa tứ giác, ... Tuy nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô
hạn, tức là phải có khái niệm được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những
khái niệm nguyên thủy. Chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt

phẳng là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học.
Ở trường phố thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được
định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thế được định nghĩa
trong Toán học.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phố thông, cần mô tả
giải thích thông qua những ví dụ cụ thể đế học sinh hình dung được những khái
niệm này, hiểu được chúng một cách trục giác.
1.2.2

Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm.
a) Vi trí day hoc khải niêm.
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở

trường phố thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vũng chắc cho


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

học sinh một hệ thống khái niệm. Việc hình thành một hệ thống khái niệm Toán
học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề hình thành khả năng vận
dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ,
đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng
đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học.
b) Yêu cầu của day hoc khải niêm.
Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước
có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái
niệm.

Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
Biết vận dụng khái niệm trong nhũng tình huống cụ thế trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn.
Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
nhũng khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
1.2.3

Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở phổ thông
a ) Đinh nghĩa theo phương pháp loai — chủng.
- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình thức định

nghĩa nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chủng. (Vạch rõ nội dung của khái
niệm, nêu rõ dấu hiệu đặc trưng của đối tượng được phản ánh vào trong khái niệm).
- Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc
trưng của chủng.
-

Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Trong đó: Hình vuông: Là khái niệm được định nghĩa.

Hình chữ nhật: Là khái niệm loại.
Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chủng.
b ) Đinh nghĩa bằng quy ước.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối

tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết.
-

Ví dụ: a° = 1 (a * 0)

c ) Đinh nghĩa bằng phương pháp tiền đề.
- Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề là hình thức định nghĩa
gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề.
-

Ví dụ:

AABC = AA’B’C’nếu: A=A\ B=B',C = C',

AB = A

B , AC = A c , BC = B c .
d ) Đinh nghĩa bã mỉ mó tả:
- Nội dung: Định nghĩa bằng mô tả là phương pháp định nghĩa nêu cách tạo
ra đối tượng hoặc mô tả những đối tượng ít nhiều gần giống nó.
- Ví dụ: Định nghĩa “điểm”: Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho ta hình
ảnh về điểm.
1.2.4

Các quy tắc định nghĩa khái niệm.

a) Quy tắc 1: Đinh nghĩa phải tương xứng.
Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa và
khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tương xúng là định nghĩa mà phạm vi của khái

niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa.
Ví dụ:
-

sổ vô tỉ là số thập phân vô hạn.
Trong đó: So vô tỉ là khái niệm được định nghĩa.

Số thập phân vô hạn là khái niệm định nghĩa.
-ỳ Phạm vi của khái niệm được định nghĩa nhỏ hơn khái niệm định nghĩa.
Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
-

Đãng thức là hai biếu thức băng nhau, nối vói nhau bởi dấu “ =
Trong đó: Đẳng thức là khái niệm được định nghĩa.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Hai biêu thức băng nhau được nối với nhau bởi dấu “ = ” là

khái niệm định nghĩa.
-> Phạm vi của khái niệm được định nghĩa lớn hơn khái niệm định nghĩa.
Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
- Phương trình là đăng thức chứa ít nhât một chữ và không phải hang đẳng
thức.
Trong đó: Phươtĩg trình là khái niệm được định nghĩa.
Đăng thức chứa ít nhất một chữ và không phải hăng đẳng thức là

khái niệm định nghĩa.
Phạm vi của khái niệm được định nghĩa vừa rộng, vừa hẹp hon khái niệm định
nghĩa. Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
b) Quy tắc 2: Đinh nghĩa không đươc vòng quanh.
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa khái niệm mới phải dựa
vào khái niệm đã biết, đã học.

Ví dụ: Sổ vô tỷ là sổ thực không hữu tỷ.
Trong đó: So vô tỷ là khái niệm được định nghĩa.

So thực là khái niệm định nghĩa chưa biết.
So hữu tỷ là khái niệm định nghĩa đã biết.
-> Vậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc 2.
c) Quy tắc 3: Đinh nghĩa phải tối thiêu.
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa
không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được nhũng thuộc tính còn lại.

Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phăng có các cạnh đôi diện song song và
bang nhau.
-> Định nghĩa trên đã vi phạm quy tắc 3, vì tính chất tứ giác “có các cạnh

đoi diện song song ” đã bao gồm tính chất “tứ giác phăng ” và có các cạnh đối
diện “bằng nhau


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

d) Quy tắc 4: Đinh nghĩa không dùng lôi phủ đinh nêu loai không đươc phân chia

thành hai tâu hov triêt đê (tức là khải niêm loai không bao gom hai khải niêm
mâu thuãn).
Ngơ cù ra: Định nghĩa phải có trị, nhưng không được đa trị.
Định nghĩa đưa ra không được chưa đựng mâu thuẫn hoặc không
mâu thuẫn với các định nghĩa khác.
1.2.5

Những con đường tiếp cận khái niệm.
Con đường tiếp cận khái niệm được hiêu là quá trình hoạt động và tư duy

dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả,
nhờ trục giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc
khái niệm đó hay không.
Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm. Đó là:
•

Con đường quy nạp.

•

Con đườn suy diễn.

• Con đường kiến thiết.
a) Tiếp cân khái niêm theo con đường quy nap.
-

Nội dung: Xuất phát từ các trường họp riêng lẻ, mô hình, hình vẽ, vật thật, ... Giáo
viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, ... Tìm ra dấu
hiệu đặc trưng của khái niệm và thể hiện ra các trường họp cụ thế đó, tù' đó đi đến

định nghĩa tường minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm.
- Quá trình’. Gồm 3 bước.
+ Bước 1: Giáo viên đưa ra các ví dụ cụ thể để học học sinh thấy được sự tồn
tại hay tác dụng của một loạt đối tượng.
+ Bước 2: Dan dắt học sinh phân tích, so sánh đế nêu bật các đặc điểm chung
của các đối tượng đang được xem xét.
+ Bước 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu các đặc điểm cá nhân bằng
cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của đối tượng.
- Ưu - Nhược điểm:
Ưu điểm: Rèn luyện được thao tác tư duy, phân tích, so sánh, tổng họp.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Phát huy được tính tích cực, chủ động, của học sinh.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng’.
Khi định hình được một số đối tượng thuộc phạm vi của khái niệm cần hình
thành.
Chưa phát hiện ra được khái niệm loại là điếm xuất phát cho con đường suy
diễn.
b) Tiếy cản khải niêm theo con đường suy diên.
- Nội dùng'. Có một số khái niệm được hình thành theo con đường suy
diễn, đi ngay vào định nghĩa khái niệm mới như một trường họp riêng của một khái
niệm nào đó mà học sinh đã được học.
- Quá trình: Gồm 3 bước.
+ Bước 1: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm
của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.

+ Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định
nghĩa nó nhò' một khái niệm tống quát hóa hơn cùng với nhũng đặc điểm để hạn
chế một bộ phận trong khái niệm tồng quát đó.
+ Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản đế minh họa cho khái niệm vừa được
định nghĩa.
- Ưu - nhược điềm:
Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh tự
học nhũng khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe những báo
cáo khoa học trên lình vực Toán học.
Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng
lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa và khái quát hóa.
- Điều kiện sử dụng:


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Khi có thê gợi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điêm xuất phát
và một đặc điểm có thể bố sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một
khái niệm khác hẹp hơn.
c) Tiêp cân khái niêm theo con đường kiến thiết
- Nội dung'. Con đường này mang cả nhũng yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Yeu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ nhũng yêu cầu để xây dựng một hay
nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cấu hình thành. Yeu tố quy nạp thế hiện ở
chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng nhũng đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc
điểm tổng quát đặc trung cho khái niệm cần định nghĩa.
- Quá trình: Gồm 3 bước
+ Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần
được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định

xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn.
+ Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới
đặc điêm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
+ bước 3: Phát biểu định nghĩa .
- Ưu - nhược điểm'.
Ưu điêm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự' giác, tích cực của học
sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng’.
Học sinh chưa được định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái
niệm, do đó con đường quy nạp không thích họp.
Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích họp với khái
niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
1.2.6

Hoạt động củng co khái niệm.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa
khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường
được thực hiện bằng các hoạt động:
• Nhận dạng và thế hiện khái niệm.
• Hoạt động ngôn ngữ.
• Khái quát hóa, đặc biệt hóa, và hệ thống hóa nhũng khái niệm đã học.
a) Nhân dang và thê hiên khải niêm.

Nhận dạng và thế hiện khải niệm là hai dạng hoạt động theo chiều hướng
trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái
niệm. Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa
mãn định nghĩa đó hay không. Thế hiện một

khái niệm là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó.
Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thế hiện một khái niệm cần lưu ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn nhũng đối
tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó.

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét
thì cần đưa ra cả những trường họp đặc biệt của khái niệm đó. Việc đưa ra những
trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang nhũng đặc tính nổi bật nhung
không phải là thuộc tính bản chất đối với khái niệm đang xét vừa giúp học sinh
hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm lại vừa rèn luyện cho các em khả năng
trìu tượng hóa thể hiện ở chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất khỏi những
đặc điểm không bản chất.

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm đang
xem xét, trong trường họp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản ví dụ
thường được xây dựng sao cho chỉ trù’ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các
thuộc tính thành phần khác đều được thỏa mãn.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Thứ tư, trường họp tính chất đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai

điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này và hướng dẫn học sinh vận dụng thuật giải để
nhận dạng khái niệm đó.
b) Hoat đông ngôn ngừ.
Cho học sinh thực hiện nhũng hoạt động ngôn ngữ dưới đây sẽ vừa có tác
dụng củng cố khái niệm lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh:
Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đối cách phát
biếu, diễn đạt định nghĩa dưới nhũng dạng ngôn ngữ khác nhau.
Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa
một cách tường minh hay ẩn tàng.
c) Khải quát hỏa, đăc biêt hóa và hê thống hóa.
Khái quát hóa tức là mở rộng khái niệm.
Đặc biệt hóa, ví dụ như xét hình bình hành đặc biệt với một góc vuông đế
được hình chữ nhật hoặc có hai cạnh liên tiếp bằng nhau đế được một hình thoi.
Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã
học, nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái
niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng - loại giữa hai khái niệm.
Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm đế giải quyết những vấn đề nảy sinh
trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà
còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm.
1.2.7

Dạy học phân chia khái niệm
Khi ta định nghĩa một khái niệm, thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác

định. Ngoại diên của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái
niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nam vững
những khái niệm Toán học cũng như nhũng khái niệm thuộc bất kì một môn học
nào.

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Một khái niệm có ngoại diên là A được phân chia thành các khái niệm có
ngoại diên tương úng A|, A2, ...,An có nghĩa là các điều kiện sau thỏa mãn:
i) A ị ^ 0 với i = ì ; 2 ; ; n
ii) Ai n Aj = 0 với i ^ j
iii) UAi=A

i=i


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà

Các quy tắc phân chia khái niệm: A —» Aj, i = 1; 2; ... ; n+ Phân chia phải
không giao nhau: AI n AJ = 0 với i ^ j

TL

-

r

1
(m%

Phản ví dụ

Ví dụ

+ Phân chia khái niệm phải thích hợp, phải triệt để: |J A =A
i=l
số tụ’ nhiên
Sô r Họp số nguyên tố
Phản ví dụ

1ỉ1

Số tự nhiên

S5 {0; 1} Họp số nguyên tố
Ví du

+ Phân chia phải liên tục: Số thực
Số

Số vô Số hữu Số hữu tỷ tỷ tỷ không
nguyên nguyên

Phản ví dụ
Ví dụ

Số vô tỷ Số hữu tỷ

í
Số hữu Số hữu tỷ tỷ không
nguyên nguyên