Giải đề thi LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC

Luyện thi Đại học

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(Trong các kỳ thi Đại Học Toàn Quốc )
-----------–˜&™—-----------A- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
1) (ĐHB-02) sin 2 3 x - cos 2 4 x = sin 2 5 x - cos 2 6 x
Gợi ý: TXĐ: D = 
Dùng công thức hạ bậc:
1 - cos6x 1 + cos8x 1 - cos10x 1 + cos12x
(1) Û
=
Û cos6x + cos8x = cos10x + cos12x
2
2
2
2
écosx = 0
Û 2cos7x.cosx = 2cos11x.cosx Û 2cosx ( cos11x - cos7x ) = 0 Û ê
ëcos11x = cos7x
4
4
sin x + cos x 1
1
2) (Dự bị 02)
= cot2 x 5sin2 x
2
8sin2 x
ì pü
Gợi ý: TXĐ: D =  \ ík ý

î 2þ

1
Dùng kết quả sin 4 x + cos 4 x = 1 - sin 2 2 x
2
2
1
1 - sin 2 x cos2 x
1
2
(1) Û
=
Û 8 - 4sin 2 2 x = 20cos2 x - 5
5sin2 x
2sin2 x 8sin2 x
2
Û 4 (1 - cos 2 x ) + 20cos2 x - 13 = 0 Û -4cos 2 2 x + 20cos2 x - 9 = 0

(2 - sin 2 x)sin3x
3) (Dự bị 02) tan x + 1 =
cos 4 x
4

ìp
ü
Gợi ý: TXĐ: D =  \ í + kp ý
î2

þ

Sử dụng công thức nhân ba: sin3x = 3sinx - 4sin 3 x
sin 4 x
(2 - sin 2 x)sin3 x
(1) Û
+
1
=
Û sin 4 x + cos 4 x = (2 - sin 2 x)sin3 x
4
4
cos x
cos x
4
4
Û sin x + cos x = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x) Û sin 4 x + (1 - sin 2 x) 2 = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x)
x
4) (Dự bị 02) tanx + cosx - cos 2 x = sinx(1 + tanxtan )
2
ìp
ü
Gợi ý: TXĐ: D =  \ í + kp ; p + k 2p ý
î2

þ

x
sin
sin
x
2

(1) Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + sinx.
.
cosx cos x
2
x
sin
x
x
sin
x
2
.
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + 2sin .cos .
2
2 cosx cos x
2
x
2sin 2 .sinx
(1 - cosx)sinx
2
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx +
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx +
cosx
cosx
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
sinx.cosx + (1 - cosx)sinx
tanx + cosx - cos2 x =

cosx

Luyn thi i hc

ộcosx = 0 (loại)
tanx + cosx - cos2 x = tanx cosx - cos2 x = 0 ờ
ởcosx = 1
1
5) (D b 02)
= sinx
8cos 2 x
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

ỡsinx 0
ỡsinx 0
ỡsinx 0
ù
(1) ớ 1


ớ
ớ
2
2
2

2
= sin 2 x
ợ8sin x.cos x = 1 ợ8sin x(1 - sin x) = 1
ợù 8cos2 x
ùỡsinx 0
ớ
4
2
ợù8sin x - 8sin x + 1 = 0 ( Phương trình vô nghiệm )
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim.
cos2 x
1
6) (HA-03) cot x - 1 =
+ sin 2 x - sin2 x
1 + tanx
2
ỡ p p
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ; - + kp ý
ợ 2

4

ỵ

cos2 x.cosx
1
+ sin 2 x - sin2 x
sinx + cosx
2

cosx - sinx ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) .cosx
1

=
+ sin 2 x - sin2 x
sinx
sinx + cosx
2
cosx - sinx
1
cosx - sinx
1

= ( cosx - sinx ) .cosx + sin 2 x - sin2 x
= 1 - sinx.cosx - sin2 x
sinx
2
sinx
2
cosx - sinx
2

= 1 - sin 2 x cosx - sinx = (cosx - sinx ) sinx
sinx
(cosx - sinx )ởộ(cosx - sinx )sinx - 1ỷự = 0

(1) cot x - 1 =

7) (D b 03) 3 - tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
ỡ p p

ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ; - + kp ý
ợ 2

4

ỵ

sinx (1 + 2cosx )
sinx + 2sinxcosx
= 0 3 (1 + 2cosx ) - tanx
=0
cosx
cosx
ộ1 + 2cosx = 0
(1 + 2cosx ) ( 3 - tan 2 x ) = 0 ờ
2
ở3 - tan x = 0

(1) ( 3 + 6cosx ) - tanx.

8) (D b 03) cos2 x + cosx(2tan 2 x - 1) = 2
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

ộ ổ 1

ử ự
ổ 2
ử
(1) cos2 x + cosx ờ 2 ỗ
- 1ữ - 1ỳ = 2 cos2 x + cosx ỗ
- 3ữ = 2
2
2
ố cos x
ứ
ở ố cos x ứ ỷ
2
2cos 2 x - 1 +
- 3cosx = 2 2cos3 x - 3cos 2 x - 3cosx + 2 = 0
cosx

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
2
9) (H B-03) cotx - tanx + 4sin2 x =
sin2 x
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ý

Luyn thi i hc

ợ 2ỵ

2
2
ổ cos x sinx ử
ỗ
ữ + 4sin2 x =
sin2 x
sin2 x
ố sinx cos x ứ
2
2
cos x - sin x
2
2cos 2 x
2

+ 4sin2 x =

+ 4sin2 x =
sinx.cos x
sin2 x
sin2 x
sin2 x
2
2
2cos 2 x + 4sin 2 x = 2 cos 2 x + 2 (1 - cos 2 x ) - 2 = 0

(1) ( cotx - tanx ) + 4sin2 x =

10) (D b 03) 3cos4 x - 8cos6 x + 2cos 2 x + 3 = 0
Gi ý: TX: D =

(1) 3 (1 + cos4 x ) + 2cos 2 x 1 - 4cos 4 x = 0 6cos 2 2 x + 2cos 2 x 1 - 2cos 2 x 1 + 2cos 2 x = 0

(

)

(

)(

)

6cos 2 2 x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) cos2x = 0 2cos2x ộở3cos2x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) ựỷ = 0
ộcos2x = 0
ộcos2x = 0
ờ
ờ
2
2
2
2
2
ởờ3cos2x - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0
ởờ3 ( 2cos x - 1) - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0
x p
(2 - 3)cosx - 2sin 2 ( - )
2 4 =1
11) (D b 03)
2cosx - 1
p

ỡ
x
ạ
+ k 2p
ùù
3
Gi ý: K: 2cosx - 1 ạ 0 ớ
ù x ạ - p + k 2p
ùợ
3
ộ
p ửự
ổ
(1) (2 - 3)cosx - ờ1 - cos ỗ x - ữ ỳ = 2cosx - 1 - 3cosx + sinx = 0
2 ứỷ
ố
ở
tan x = 3 x =

p
+ kp
3

i chiu iu kin ta cú nghim ca phng trỡnh l: x =

4p
+ k 2p
3

x

ổx pử
12) (HD-03) sin 2 ỗ - ữ tan 2 x - cos 2 = 0
2
ố2 4ứ
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
ợ2

(1)

ỵ

1ộ
sin 2 x
p ửự 2 1
ổ
1
cos
x
tan
x
1
cos
x
0
1
sin
x
.

+
=

- (1 + cosx ) = 0
)
(
)
(
ỗ
ữ
2 ờở
2 ứ ỳỷ
2
cos 2 x
ố

(1 - sinx ) .

(1 - cosx ) (1 + cosx ) - 1 + cosx = 0 1 + cosx ộ (1 - cosx ) - 1ự = 0
(
)
(
)ờ
ỳ
(1 - sinx ) (1 + sinx )
ở (1 - sinx ) ỷ

ộ1 + cosx = 0
ộcosx = -1
ộcosx = -1

ờ
ờ (1 - cosx )
ờ
ờ
-1 = 0
ở1 - cosx = 1 - sinx
ở tan x = 1
ởờ (1 - sinx )
cos 2 x(cosx - 1)
13) (D b 03)
= 2(1 + sinx)
sinx + cosx
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
ỡ p
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ- + k 2p ý
ợ 4

(1)

Luyn thi i hc

ỵ

(1 - sinx ) (1 + sinx ) (cosx - 1) - 2(1 + sinx) = 0 (1 + sinx) ộ (1 - sinx ) (cosx - 1) - 2ự = 0
ờ
ở

sinx + cosx

sinx + cosx

ỳ
ỷ

ộ1 + sinx = 0
ộsinx = -1
ờ
ờ
ở(1 - sinx ) (cosx - 1) = 2 ( sinx + cosx )
ở -1 + cosx + sinx - sinxcosx = 2 ( sinx + cosx )
ộsinx = -1
ờ
ở( sinx + cosx ) - sinxcosx + 1 = 0 (Phương trình đối xứng)
2cos4 x
14) (D b 03) cotx = tanx +
sin2 x
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ý
ợ 2ỵ

cosx sinx 2cos4 x
2cos4 x

=
sin 2 x
sinx cosx sin 2 x

cos2 x - sin 2 x 2cos4 x
cos2x
2cos4 x
2cos2x 2cos4 x

=

=

=
sinx.cosx
sin 2 x
sinx.cosx sin 2 x
sin2x
sin 2 x
2
2cos4 x = cos2x ( 2cos 2x - 1) = cos2x

(1) cotx - tanx =

ộcos2x = 1 (Thỏa đk)
2cos 2x - cos2x - 1 = 0 ờ
ờcos2x = - 1 (Thỏa đk)
2
ở
2
15) (HB-04) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan x
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý

2

ợ2

(1) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)

ỵ

sin 2 x
sin 2 x

=
5sin
x
2
3(1
sin
x
)
cos 2 x
(1 - sinx)(1 + sinx)

sin 2 x
( 5sinx - 2 ) (1 + sinx ) = 3sin 2 x
(1 + sinx)
16) (HD-04) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2 x - sinx
Gi ý: TX: D =
(1) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx - sinx
5sinx - 2 = 3

(2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sinx(2cosx - 1)
(2cosx - 1) [ (2sinx + cosx) - sinx ] = 0
ộ 2cosx - 1 = 0
(2cosx - 1)(sinx + cosx) = 0 ờ
ởsinx + cosx = 0
17) (HA-05) cos 2 3xcos2 x - cos 2 x = 0
Gi ý: TX: D =
1 + cos6x
1 + cos2 x
(1)
.cos2 x = 0 cos6x.cos2 x - 1 = 0
2
2
1
( cos8x + cos4x ) - 1 = 0 cos8x + cos4x - 2 = 0
2

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc

ộcos4x = 1
ờ
2cos 4x - 1 + cos4x - 2 = 0 2cos 4x + cos4x - 3 = 0
ờcos4x = - 3 (loại)
2
ở

18) (HB-05) 1 + sinx + cosx + sin2 x + cos2 x = 0
Gi ý: TX: D =
(1) (1 + sin2 x ) + ( sinx + cosx ) + cos2 x = 0
2

2

( sinx + cosx ) + ( sinx + cosx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) = 0
2

( sinx + cosx ) ởộ( sinx + cosx ) + 1 + ( cosx - sinx ) ỷự = 0
ộsinx + cosx = 0
( sinx + cosx ) ( 2cosx + 1) = 0 ờ
ở 2cosx + 1 = 0
p
p 3
19) (HD-05) cos4 x + sin 4 x + cos( x - )sin(3x - ) - = 0
4
4 2
Gi ý: TX: D =
3
p
p
ổ 1
ử
(1) ỗ1 - sin 2 2x ữ + sin (3 x - )cos( x - ) - = 0
4
4 2
ố 2
ứ

ự
pử
ổ 1
ử 1ộ ổ
ỗ1 - sin 2 2x ữ + ờsin ỗ 4x - ữ + sin2x ỳ = 0
2ứ
ố 2
ứ 2ở ố
ỷ
1
1
1
1
ổ 1
ử 1
ỗ1 - sin 2 2x ữ - cos4x + sin2x = 0 1 - sin 2 2x - (1 - 2sin 2 2x ) + sin2x = 0
2
2
2
2
ố 2
ứ 2
p
20) (D b 05) 2 2cos3 ( x - ) - 3cosx - sinx = 0
4
Gi ý: TX: D =
3

p ự

ộ
(1) ờ 2cos( x - ) ỳ - 3cosx - sinx = 0
4 ỷ
ở
( sinx + cosx ) - 3cosx - sinx = 0 ( Phương trình đẳng cấp bậc 3)
3

21) (D b 05) 4sin 2
Gi ý: TX: D =

3p
x
- 3cos2 x = 1 + 2cos 2 ( x - )
2
4

ộ
3p ử ự
ổ
(1) 2 (1 - cosx ) - 3cos2 x = 1 + ờ1 + cos ỗ 2x ữ
2 ứ ỳỷ
ố
ở
- 3cos2 x = 2cosx - sin2 x sin2 x - 3cos2 x = 2cosx
1
3
pử
pử
ổ
ổ

ổp
ử
sin2 x cos2 x = cosx sin ỗ 2x - ữ = cosx sin ỗ 2x - ữ = sin ỗ - x ữ
2
2
6ứ
6ứ
ố
ố
ố2
ứ
22) (D b 04) sin4 xsin7 x = cos3xcos6 x
Gi ý: TX: D =
1
1
(1) ( cos11x - cos3x ) = ( cos9x - cos3x )
2
2
cos11x - cos3x = cos9x - cos3x cos11x = cos9x
23) (D b 04) 1 - sinx + 1 - cosx = 1
Gi ý: TX: D =
(1) (1 - sinx ) + 2 1 - sinx . 1 - cosx + (1 - cosx ) = 1


Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc

2 (1 - sinx ) (1 - cosx ) = ( sinx + cosx ) - 1 (*)
t t = sinx + cosx ị - 2 Ê t Ê 2

ỡ1 Ê t Ê 2
ù
t2 -1
= t -1 ớ ổ
Lỳc ú: (*)tt: 2 1 - t t2 -1 ử
2
2
4
1
t
ữ = ( t - 1)
ù ỗ
2 ứ
ợ ố
ỡ1 Ê t Ê 2
ù
ỡù1 Ê t Ê 2
ù
ột = 1
ớ

ớ 2
2
2
ờ
ợù4 - 4t - 2(t - 1) = t - 2t + 1 ù3t + 2t - 5 = 0 ờt = - 5 (loại)

ùợ
3
ở

pử
ổ
t = 1: sinx + cosx = 1 2sin ỗ x + ữ = 1
4ứ
ố
cos2 x - 1
p
24) (D b 05) tan( + x) - 3tan 2 x =
2
cos 2 x
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ý
ợ 2ỵ

-2sin 2 x
- cot x - 3tan 2 x = -2tan 2 x
cos 2 x
1
p
- cot x = tan 2 x = tan 2 x tan 3 x = -1 tanx = -1 x = - + kp
tanx
4
2
2
3
25) (D b 05) sinxcos2 x + cos x(tan x - 1) + 2sin x = 0

ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
(1) - cot x - 3tan 2 x =

ợ2

ỵ

sin 2 x - cos 2 x
+ 2sin 3 x = 0
cos 2 x
sinx + sin 2 x - cos 2 x = 0 sinx + sin 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0

(1) sinx (1 - 2sin 2 x ) + cos 2 x.

ộsinx = -1
2sin x + sinx - 1 = 0 ờ
ờsinx = 1
2
ở
3p
sinx
26) (D b 05) tan( - x) +
=2
2
1 + cosx
ỡ1 + cosx ạ 0
sinx ạ 0 x ạ kp
Gi ý: K: ớ

ợsinx ạ 0
sinx
cosx
sinx
(1) cot x +
=2
+
=2
1 + cosx
sinx 1 + cosx
cosx (1 + cosx ) + sin 2 x = 2sinx (1 + cosx )
2

1
2
27) (D b 05) sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0
Gi ý: TX: D =
(1) 2sin x.cos x + ( 2cos 2 x - 1) + 3sin x - cos x - 2 = 0
1 + cosx = 2sinx (1 + cosx ) 2sinx = 1 sinx =

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
2sin x.cos x + 2cos 2 x + 3sin x - cos x - 3 = 0

Luyn thi i hc

2cos 2 x + ( 2sin x - 1) cos x + 3sin x - 3 = 0 (*)
D = ( 2sin x - 1) - 8 ( 3sin x - 3) = 4sin 2 x - 20sin x + 25 = ( 2sin x - 5 )

2

2

ộ
1 - 2sin x + ( 2sin x - 5 )
= -1
ờcos x =
4
ờ
(*)
1 - 2sin x - ( 2sin x - 5 )
ờ
= 1 - sin x
ờởcos x =
4
2(cos 6 x + sin 6 x) - sinxcosx
28) (HA-06)
=0
2 - 2sinx
p
ỡ
ạ
+ k 2p
x
ùù
4
Gi ý: K: 2 - 2sinx ạ 0 ớ
ù x ạ 3p + k 2p
ùợ

4
6
6
(1) 2(cos x + sin x) - sinxcosx = 0 2 (1 - 3sin 2 xcos2 x ) - sinxcosx = 0
3
1
ổ 3
ử 1
2 ỗ1 - sin 2 2 x ữ - sin 2 x = 0 2 - sin 2 2 x - sin 2 x = 0
2
2
ố 4
ứ 2
ộsin 2 x = 1
2
3sin 2 x + sin 2 x - 4 = 0 ờ
ờsin 2 x = - 4 (loại)
3
ở
p
Ta có: sin 2 x = 1 x = + kp .
4
5p
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x =
+ kp
4
2+3 2
29) (D b 06) cos3 xcos3 x - sin3 xsin 3 x =
8
Gi ý: Dựng cụng thc nhõn ba

3cosx + cos3x
3sinx - sin3x 2 + 3 2
(1) cos3 x
- sin3 x
=
4
4
8
2+3 2
cos3 x ( 3cosx + cos3x ) - sin3 x ( 3sinx - sin3x ) =
2
2+3 2
( cos 2 3 x + sin 2 3 x ) + 3 ( cosxcos3x - sinxsin3 x ) =
2
p
ộ
x = + kp
ờ
2+3 2
3 2
2
8
1 + 3cos2x =
3cos2x =
cos2x =
ờ
2
2
2
ờ x = - p + kp

8
ởờ
pử
ổ
30) (D b 06 2sin ỗ 2 x - ữ + 4sinx + 1 = 0
6ứ
ố
Gi ý: TX: D =
ổ 3
ử
p
pử
1
ổ
(1) 2 ỗ sin2 xcos - cos2 xsin ữ + 4sinx + 1 = 0 2 ỗ
sin2 x - cos2 x ữ + 4sinx + 1 = 0
6
6ứ
2
ố
ố 2
ứ
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc

3sin2 x - cos2 x + 4sinx + 1 = 0 2 3sinxcosx + (1 - cos2 x ) + 4sinx = 0

2 3sinxcosx + 2sin 2 x + 4sinx = 0 2sinx

(

)

3cosx + sinx + 2 = 0

ộsinx = 0
ộsinx = 0
ờ
ờ
ở 3cosx + sinx + 2 = 0
ở 3cosx + sinx = -2
31) (HD-06) cos3 x + cos2 x - cosx - 1 = 0
Gi ý: TX: D =
(1) ( cos3 x - cosx ) - (1 - cos2 x ) = 0 2sin 2 x sin x - 2sin 2 x = 0
ộsin x = 0
2sin x ( sin 2 x - sin x ) = 0 ờ
ởsin 2 x = sin x
32) (D b 06) cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1
Gi ý: TX: D =
(1) cos3 x + sin 3 x = 1 - 2sin 2 x ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2x
( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2 x - sin 2 x
( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx )
( cosx + sinx ) ộở(1 - cosxsinx ) - ( cosx - sinx ) ựỷ = 0
ộcosx + sinx = 0
ờ
ở1 - cosxsinx + sinx - cosx = 0 (Phương trình phản xứng)
33) (D b 06) 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2 x + 6cosx = 0

Gi ý: TX: D =
(1) 4sin 2 x ( sinx + 1) + 6cosx ( sinx + 1) = 0 ( sinx + 1) ( 4sin 2 x + 6cosx ) = 0

ộsinx = -1
( sinx + 1) ộở 4 (1 - cos 2 x ) + 6cosx ựỷ = 0 ờ
2
ở -4cos x + 6cosx + 4 = 0
x
(HB-06) cotx + sinx(1 + tanx.tan ) = 4
2
ỡ
ùsinx ạ 0
ù
p
Gi ý: K: ớcos x ạ 0 sin2x ạ 0 x ạ k
2
ù
x
ùcos ạ 0
2
ợ
x
sin
cos x
sinx
2 =4
+ sinx + sinx
(1)
.
sinx

cos x cos x
2
x
sinx.2sin 2
cos x
2 = 4 cot x + sinx + sinx. (1 - cos x ) = 4

+ sinx +
sinx
cos x
cos x
sinx - sinx cos x
cot x + sinx +
= 4 cot x + sinx + tan x - sinx = 4 cot x + tan x = 4
cos x
2
1

= 4 sin2x =
sin2x
2

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc
x
xử

ổ
xử
ổ
cos x.cos +sinx.sin ữ
sin ữ
ỗ
ỗ
x
sinx
2
2ứ
2 = sinx ố
.
Hoc: Bin i sinx(1 + tanx.tan ) = sinx ỗ1 +
ữ
x
x
2
ỗ cos x cos ữ
cos x.cos
2ứ
2
ố
xử
ổ
x
cos ỗ x - ữ
cos
sinx
2ứ

ố
2
= sinx
= sinx
=
x
x cos x
cos x.cos
cos x.cos
2
2
2
2
34) (D b 06) (2sin x - 1) tan 2 x + 3(2cos 2 x - 1) = 0
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

ộcos2x = 0
(1) -cos2x.tan 2 2 x + 3cos2x = 0 cos2x ( - tan 2 2 x + 3) = 0 ờ 2
ở tan 2 x = 3
35) (D b 06) cos2 x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
Gi ý: TX: D =
(1) cos 2 x - sin 2 x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0

(

)

(cosx - sinx)(cosx + sinx) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
(cosx - sinx) [ (cosx + sinx) - (1 + 2cosx)] = 0 (cosx - sinx) ( sinx - cosx - 1) = 0
ộcosx = sinx
ờ
ởsinx - cosx = 1
2

x
xử
ổ
36) (HD-07) ỗ sin + cos ữ + 3cosx = 2
2
2ứ
ố
Gi ý: TX: D =
x
x
x
x
(1) sin 2 + 2sin .cos + cos 2 + 3cosx = 2 1 + sin x + 3cosx = 2
2
2
2
2
1
3
1
pử 1

ổ
sin x + 3cosx = 1 sin x +
cosx = sin ỗ x + ữ =
2
2
2
3ứ 2
ố
2
37) (HB-07) 2sin 2 x + sin7 x - 1 = sinx
Gi ý: TX: D =
(1) sin7 x - sinx - (1 - 2sin 2 2 x ) = 0
2cos 4 xsin3x - cos 4 x = 0 cos 4 x ( 2sin3x - 1) = 0
ộcos 4 x = 0
ờ
ở 2sin3x - 1 = 0
38) (HA-07) (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2 x
Gi ý: TX: D =
(1) cosx + sin 2 xcosx + sinx + cos2 xsinx - (1 + sin 2 x ) = 0
( sinx + cosx ) + sinxcosx ( sinx + cosx ) - ( sinx + cosx ) = 0
2

( sinx + cosx ) ộở1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) ựỷ = 0
ộsinx + cosx = 0
ờ
ở1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) = 0 (Phương trình đối xứng)
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

1
1
39) (D b 07) sin2 x + sinx = 2cot2 x .
2sinx sin2 x

Luyn thi i hc

3x
ổ 5x p ử
ổx pử
- ữ - cosỗ - ữ = 2 cos
2
ố 2 4ứ
ố2 4ứ
Gi ý: TX: D =

40) (D b 07) sinỗ

ộ p ổ x p ửự
3x
ổ 5x p ử
(1) sin ỗ - ữ - sin ờ - ỗ - ữ ỳ = 2 cos
2
ố 2 4ứ
ở 2 ố 2 4 ứỷ
3x
ổ 5x p ử
ổ 3p x ử
ổ 5x p ử
ổ x 3p

sin ỗ - ữ - sin ỗ
- ữ = 2 cos sin ỗ - ữ + sin ỗ 2
ố 2 4ứ
ố 4 2ứ
ố 2 4ứ
ố2 4
pử
pử
3x
3x
ổ 3x p ử
ổ
ổ
2sin ỗ - ữ cos ỗ x + ữ - 2 cos = 0 -2cos cos ỗ x + ữ 4ứ
2
2
4ứ
ố 2 2ứ
ố
ố

3x
ử
ữ - 2 cos = 0
2
ứ
3x
2 cos = 0
2

3x
ộ
cos = 0
ờ
2
ự
3x ộ
pử
ổ
- cos ờ 2cos ỗ x + ữ + 2 ỳ = 0 ờ
2 ở
4ứ
ố
ờ 2cos ổ x + p ử + 2 = 0
ỷ
ỗ
ữ
ờở
4ứ
ố
ổ
ố

41) (D b 07) 2 2 sinỗ x -

pử
ữ cos x = 1
12 ứ

42) (D b 07) 2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x )

Gi ý: TX: D =

(1) 2cos2 x + 2
3cos2 x + 2

(
(


3 cos x

)

(

2

(

)

(

)

3 cos x .sin x + sin2 x + cos2 x = 3(sin x + 3 cos x )

)

3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x )

+2

(

3 cos x + sin x

)

3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x )

)

2

= 3(sin x + 3 cos x )

(sin x + 3 cos x )(sin x + 3 cos x - 3) = 0
ộsin x + 3 cos x = 0
ờ
2
2
2
ởờsin x + 3 cos x = 3 (Vô nghiệm do: 1 + 3 = 4 < 3 )
sin 2 x cos 2 x
43) (D b 07)
+
= tanx - cot x
cos x
sin x
ỡ pỹ

Gi ý: TX: D = \ ớk ý
ợ 2ỵ

sin 2 x sin x + cos 2 x cos x cos 2 x - sin 2 x
(1)
=
cos x sin x
sin x cos x
ộ x = k 2p
cos x
cos 2 x

=
cos 2 x = cos x ờ
ờ x = k 2p
cos x sin x cos x sin x
3
ở
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
2p
2p
+ k 2p ; x = + k 2p
3
3
44) (D b 07) (1 - tan x ) (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x
x=

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?

Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý
ợ2

Luyn thi i hc

ỵ

cos x - sin x
cos x + sin x
2
(1)
( sin x + cos x ) =
cos x
cos x
( sin x + cos x ) ởộ( cos x - sin x ) ( sin x + cos x ) - 1ỷự = 0
ộsin x + cos x = 0 (Thỏa đk)
( sin x + cos x ) ( cos x - 1) = 0 ờ
(Thỏa đk)
ởcos x - 1 = 0
1
1
ổ 7p
ử
45) (HA-08)
+
= 4sin ỗ
- xữ

3p ử
sinx
ổ
ố 4
ứ
sin ỗ x ữ
2 ứ
ố
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ý
ợ 2ỵ
p
1
1
ổ
ử

+
= 4sin ỗ 2p - - x ữ
sinx cosx
4
ố
ứ
1
1
pử
1
1
1
ổ

+
= -4sin ỗ x + ữ
+
= -4.
( sin x + cosx )
sinx cosx
4ứ
sinx cosx
2
ố
sin x + cosx

+ 2 2 ( sin x + cosx ) = 0 ( sin x + cosx ) 1 + 2 2 sin x.cosx = 0
sin x.cosx
ộ tan x = -1
ộsin x + cosx = 0
ờ
ờ

ờsin 2 x = - 2
+
=
x
x
1
2
2
sin
.cos

0
ở
ờở
2
3
3
2
46) (HB-08) sin x - 3cos x = sinxcos x - 3sin 2 xcosx
Gi ý: TX: D =
(1) sin 3 x + 3sin 2 xcosx - 3cos3 x + sinxcos 2 x = 0

(

(

(

)

) (

sin 2 x sinx + 3cosx - cos 2 x

(

)

)

(

)

)

3cosx + sinx = 0 sinx + 3cosx ( sin 2 x - cos 2 x ) = 0

ộsinx + 3cosx = 0
ộ tan x = - 3
ờ 2

ờ
2
ờởsin x - cos x = 0
ởcos2x = 0
47) (HD-08) 2sinx (1 + cos2 x ) + sin2 x = 1 + 2cosx
Gi ý: TX: D =
(1) 2sinx.2cos 2 x + 2sinxcosx - (1 + 2cosx ) = 0 2sinxcosx ( 2cosx + 1) - (1 + 2cosx ) = 0

1
ộ
cosx = ộ 2cosx + 1 = 0
ờ
( 2cosx + 1) ( 2sinxcosx - 1) = 0 ờ

2
ờ
ở 2sinxcosx - 1 = 0
ởsin2 x = 1
2

48) (D b 08) tan x = cot x + 4cos 2 x
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = \ ớk ý
ợ 2ỵ

sin x cos x
sin 2 x - cos 2 x
2
(1)
= 4cos 2 x
= 4cos 2 2 x
cos x sin x
cos x sin x
-2cos 2 x
ổ 1
ử

= 4cos 2 2 x 2cos 2 x ỗ
+ 2cos 2 x ữ = 0
sin 2 x
ố sin 2 x
ứ

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
Luyn thi i hc
ộcos 2 x = 0
(Thỏa đk)

ộcos 2 x = 0
ờ 1
ờ
ờ
+ 2cos 2 x = 0
ở 2sin 2 x cos 2 x = -1 (Thỏa đk)
ở sin 2 x
pử
pử
2
ổ
ổ
49) (D b 08) sin ỗ 2 x - ữ = sin ỗ x - ữ +
4ứ
4ứ 2
ố
ố
Gi ý: TX: D =
pử
pử
ổ
ổ
(1) 2 sin ỗ 2 x - ữ = 2 sin ỗ x - ữ + 1 sin 2 x - cos 2 x = sin x - cos x + 1
4ứ
4ứ
ố
ố

( cos x - sin x ) - cos 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0 ( cos x - sin x ) - ( cos 2 x - sin 2 x ) - ( cos x - sin x ) = 0
2

( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) = 0
2

( cos x - sin x ) ộở1 - ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) ựỷ = 0
ộ tan x = 1
ộcos x - sin x = 0
ờ
(cos x - sin x )(1 - 2cos x ) = 0 ờ

ờcos x = 1
ở1 - 2cos x = 0
2
ở
pử
pử 1
ổ
ổ
50) (D b 08) 2sin ỗ x + ữ - sin ỗ 2 x - ữ =
3ứ
6ứ 2
ố
ố
Gi ý: TX: D =
pử
pử 1
pử
pử
p
ổ

ổ
ổ
ổ
(1) 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ 2 x - ữ + 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ 2 x - ữ + sin
3ứ
6ứ 2
3ứ
6ứ
6
ố
ố
ố
ố

ộp ổ
pử
pử
pử
p ửự
ổ
ổ
ổ
2sin ỗ x + ữ = 2sin x.cos ỗ x - ữ 2sin ỗ x + ữ = 2sin x.sin ờ - ỗ x - ữ ỳ
3ứ
6ứ
3ứ
6 ứỷ
ố
ố
ố

ở2 ố
ộ
p ửự
pử
ổ 2p
ử
ổ
ổ
= 2sin x.sin ỗ
- x ữ = 2sin x.sin ờp - ỗ x + ữ ỳ = 2sin x.sin ỗ x + ữ
3 ứỷ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố
ở
x
51) (D b 08) 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 4sin x cos 2
2
4
4
52) (D b 08) 4(sin x + cos x) + cos 4 x + sin 2 x = 0
Gi ý: TX: D =
ổ 1
ử
(1) 4 ỗ1 - sin 2 2 x ữ + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0 4 - 2sin 2 2 x + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0
ố 2
ứ
ộsin 2 x = -1

2
ờ
-4sin 2 x + sin 2 x + 5 = 0
ờsin 2 x = 5 (Loại)
4
ở
53) (HA-2009)

(1 - 2sin x ) cos x =
(1 + 2sin x ) (1 - sinx )

3

p
ỡ
ù x ạ 6 + k 2p
ù
ỡ1 + 2sin x ạ 0
5p
ù
ớx ạ
+ k 2p
Gi ý: K: ớ
6
ợ1 - sin x ạ 0
ù
ù x ạ kp
ù
ợ
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?

Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
(1) (1 - 2sin x ) cos x = 3 (1 + 2sin x ) (1 - sin x )

Luyn thi i hc

cos x - 2sin x cos x = 3 (1 - sin x + 2sin x - 2sin 2 x ) cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + 1 - 2sin 2 x )

cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + cos 2 x ) 3 sin x - cos x = - sin 2 x - 3 cos 2 x


3
1
1
3
pử
pử
ổ
ổ
sin x - cos x = - sin 2 x cos 2 x sin ỗ x - ữ = - sin ỗ 2 x + ữ
2
2
2
2
6ứ
3ứ
ố
ố

pử
pử
ổ
ổ
sin ỗ x - ữ = sin ỗ -2 x - ữ
6ứ
3ứ
ố
ố
54) (HB-2009) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)
Gi ý: TX: D =
(1) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)
( sin x - 2sin 3 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
sin x (1 - 2sin 2 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
( sin x cos 2 x + cos x sin 2 x ) + 3 cos3 x = 2cos 4 x sin 3 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
1
3
pử
pử
ổ
ổ
ổp
ử
sin 3 x +
cos3 x = cos 4 x sin ỗ 3 x + ữ = cos 4 x sin ỗ 3 x + ữ = sin ỗ - 4 x ữ
2
2
3ứ
3ứ
ố

ố
ố2
ứ
55) (HD-2009) 3 cos5 x - 2sin 3x cos 2 x - sin x = 0
Gi ý: TX: D =
(1) 3 cos5 x - ( sin 5 x + sin x ) - sin x = 0 3 cos5 x - sin 5 x = 2sin x
3
1
ổp
ử

cos5 x - sin 5 x = sin x sin ỗ - 5 x ữ = sin x
2
2
ố3
ứ
p
(1 + sinx + cos2 x ) sin ổỗ x + ửữ 1
4ứ
ố
56) (H A- 2010)
=
cosx
1 + tanx
2
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = \ ớ + kp ý

ợ2

ỵ

pử
ổ
(1) (1 + sinx + cos2 x ) 2sin ỗ x + ữ = cosx (1 + tanx )
4ứ
ố
sinx + cosx
(1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = cosx
(1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = sinx + cosx
cosx
( sinx + cosx ) ởộ(1 + sinx + cos2 x ) - 1ỷự = 0 ( sinx + cosx ) ( sinx + cos2 x ) = 0
ộ
ờ tan x = -1 (Thỏa)
ộ tan x = -1
ộsinx + cosx = 0
ờ
ờ
ờ
ờsinx = 1 (Loại)
2
ởsinx + cos2 x = 0
ở -2sin x + sinx + 1 = 0
ờ
1
ờsinx = - (Thỏa)
2
ở

57) (H B- 2010) ( sin2x + cos2 x ) cosx + 2cos2 x - sinx = 0
Gi ý: TX: D =
(1) sin2xcosx + cos2 xcosx + 2cos2 x - sinx = 0
( 2sin 2 xcosx - sinx ) + ( cos2 xcosx + 2cos2 x ) = 0
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
Û sin x ( sin 2 x - 1) + cos2 x ( cosx + 2 ) = 0

Luyện thi Đại học

Û - sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) = 0
2

Û ( cosx - sinx ) éë sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) ùû = 0

Û ( cosx - sinx ) ( - sin xcosx + sin 2 x + cos 2 x + 2cosx + sin xcosx + 2sin x ) = 0

é tan x = 1
écosx - sinx = 0
Û ( cosx - sinx ) éë1 + ( cosx + sinx ) ùû = 0 Û ê
Ûê
pö
æ
ëcosx + sinx = -1 êê 2 sin ç x + ÷ = -1
4ø
è
ë
58)( ĐH D-2010) sin2x - cos2 x + 3sinx - cosx - 1 = 0

Gợi ý: TXĐ: D = 
2sinxcosx - cosx + ( 2sin 2 x - 1) + 3sinx - 1 = 0 Û cosx ( 2sinx - 1) + sinx ( 2sinx - 1) + 4sinx - 2 = 0

é 2sinx - 1 = 0
Û ( 2sinx - 1) ( cosx + sinx + 2 ) = 0 Û ê
ëcosx + sinx + 2 = 0 (V« nghiÖm)
B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG:
1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2p ) của:
cos3x + sin3x ö
æ
5 ç sinx +
÷ = cos2 x + 3 .
1 + 2sin2 x ø
è
2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng :
cos3x - 4cos2 x + 3cosx - 4 = 0 .

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”