Lời giải đề thi DDH số 18

ĐẠI HỌC DÂN LẬP NGOẠI NGỮ – TIN HỌC TPHCM
Câu I:
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
= − + + = − − − −
2 3 2
( 1) ( 4) 6 9 4y x x x x x
 TXĐ: D = R
= − − −
= −

= ⇔

= −

= − −
= ⇔ = − ⇒ = −
2
' 3 12 9
1
' 0
3
'' 6 12
" 0 2 2
y x x
x
y
x
y x
y x y
Điểm uốn :( -2, -2)
 BBT:

 Đồ thò :
2) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
+ + = + +
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m
⇔ − + + = − + +
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương
trình :
= − + +
2
( 1) ( 4)y m m
- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .
 Biện luận:
− + + < − ⇔ + > ⇔ >
2 2
( 1) ( 4) 4 ( 3) 0 0m m m m m
: 1 nghiệm
− + + < − ⇔ = ∨ = −
2
( 1) ( 4) 4 0 3m m m m
: 2 nghiệm
− < − + + < ⇔ − < <
2
4 ( 1) ( 4) 0 4 0m m m
: 3 nghiệm
− + + = ⇔ = − ∨ = −
2
( 1) ( 4) 0 1 4m m m m

: 2 nghiệm
− + + > ⇔ < −
2
( 1) ( 4) 0 4m m m
:1 nghiệm
Câu II:
1. Giải phương trình:
+ − = − + −
2
( 3)(1 ) 5 2 7x x x x
Phương trình
2 2
2 3 5 2 7x x x x
⇔ + − = + −
Đặt:
= + −
2
t 2 7x x
0
≥
Khi đó phương trình trở thành:
+ = ⇔ − + =
⇔ = ∨ =
2 2
4 5 5 4 0
1 4
t t t t
t t
Do đó :



+ − = + − =

⇔

+ − =

+ − = 

2 2
2
2
2 7 1 2 8 0
2 23 0
2 7 4
x x x x
x x
x x
⇔ = ∨ = − ∨ = − ±
2 4 1 2 26x x x
2. Giải hệ phương trình :

+ + =


− + =


2 2
2 2

2 2 5
3 3
x xy y
x xy y
Vì x = 0 không là nghiệm nên đặt y = kx.
Khi đó hệ trở thành:





2 2
2 2
x (1 + 2k + 2k ) (1)
x (3 - k + k ) (2)
(1) chia (2) ta được :
+ +
=
− +
2
2
1 2 2 5
3 3
k k
k k
⇔ + − = ⇔ = ∨ = −
2
11 12 0 1 12k k k k
 Thế k = 1 vào (2) ta được:
= ⇒ =


= ⇔

= − ⇒ = −

2
1 1
1
1 1
x y
x
x y

 Thế k = -12 vào (2) ta được :

= ⇒ = −
= ⇔

= − ⇒ =


2
53 12 53
53
53 12 53
x y
x
x y
Tóm lại hệ có 4 nghiệm:
(1, 1), (-1, -1),

−
( 53, 12 53)
,
−
( 53,12 53)
Câu III:
1. Tính
−
=
+ + +
∫
1
3 2
0
1
1
x
I dx
x x x
Ta có:
− − + − +
= =
+ + + + + + +
2
3 2 2 2
1 1 1 ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
x x x x x x x
   

⇒ = − = + − + =
 ÷
 
+ +
   
∫
1
1
2
2
0
0
1 1 1
ln 1 ln( 1) ln 2
1 1 2 2
x
I dx x x
x x
2. Tính
π
2
= −
∫
(1 cos ) sin .
0
n
J x x dx
Đặt:
= − ⇒ =
1 cos sint x dt xdx

Đổi cận:
= ⇒ =
0 0x t
π
= ⇒ =
2
1x t
+
⇒ = = =
∫
+ +
1
1
1
1
1 1
0
0
n
t
n
J t dt
n n
Câu IV:
1. Giải phương trình:
− =
3 3
sin cos cos2x x x
Phương trình
⇔ − + = −

2 2
(sin cos )(1 sin cos ) cos sinx x x x x x
(sin cos )(1 sin cos sin cos ) 0
sinx - cosx = 0 (1)
1 + sinxcosx + sinx + cosx = 0 (2)
x x x x x x⇔ − + + + =

⇔


 (1)
π
⇔ = ⇔ = + π
1
4
tgx x k
 Giải (2) bằng cách đặt
π
 
= + = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
t x x x
Điều kiện:
≤ 2t
Khi đó phương trình (2) trở thành:
−
+ + =

⇔ + + = ⇔ = −
2
2
1
1 0
2
2 1 0 1
t
t
t t t
Do đó :
π
 
+ = −
 ÷
 
2 sin 1
4
x
π
 
⇔ + = −
 ÷
 
π

= − + π

⇔


= π + π

2
sin
4 2
2
2
2
x
x k
x k
Tóm lại phương trình có nghiệm:
π π
= + π∨ = − + π∨ = π + π (κ∈ )
¢2 2
4 2
x k x k x k
2. Có bao nhiêu cách xếp lòch thi đấu:
 Số cách chọn 3 kỳ thủ đội A:
3
C
5
 Số cách chọn 3 kỳ thủ đội B:
3
C
5
 Số cách xếp 3 cặp thi đấu là:
P
3
Vậy số cách xếp lòch thi đấu là:

3 3
C + C .P
3
5 5
= 600 (cách)
Câu V:
(S):
+ + − − − + =
2 2 2
x 2 2 4 2 0y z x y z
(D:
− + + =


− + + + =

2 3 0
2 2 3 0
x y z
x y z
1. Tính khoảng cách tâm I của (S) đến (D):
(S) có tâm I(1, 1, 2), bán kính R = 2.
(D) có vectơ chỉ phương
=
r
(2,2,1)a
Gọi
α
( )
là mặt phẳng qua I và vuông góc với (D):

α
⇒ − + − + − =
⇔ + + − =
( ) : 2( 1) 2( 1) ( 2) 0
2 2 6 0
x y z
x y z
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (D).

=

− + + =


 
⇒ − + + + = ⇔ =
 
 
+ + − =


= −


 
⇒ −
 ÷
 
⇒ = =
5

3
2 2 3 0
5
: 2 2 3 0
3
2 2 6 0
2
3
5 5 2
, ,
3 3 3
( ,( )) 8
x
x y z
H x y z y
x y z
z
H
d I D IH
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa (D) và tiếp xúc (S).
 Mặt phẳng
β
( )
chứa (D) nên phương trình có dạng:
− + + + − + + + =
⇔ − + − + + + + =
( 2 2 3) ( 2 2 3) 0
( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) 3 3 0
m x y z n x y z
m n x n m y m n z m n

(m và n không đồng thời bằng 0)
 Mặt phẳng
β
( )
tiếp xúc (S):
β
⇔ =
+
⇔ =
+
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ = ⇔ = ∨ =
2 2
2 2
2 2 2
( , )
6 6
2
9 9
( )
2 0 0 0
d I R
m n
m n
m n m n
m n m n
mn m n
Suy ra có 2 đáp số:
β

( )
:
− + + =
2 2 3 0x y z

hay
β
( )
:
− + + + =
2 2 3 0x y z
.