Lời giải đề thi ĐH số 16

ĐẠI HỌC DÂN LẬP VĂN LANG –Khối A,B,D,V
Câu I:
a.Khảo sát hàm số :
2
4 8
2
+ +
=
+
x x
y
x
(C)
• TXĐ:
\{ 2}= −D R
•
2
2
4
'
( 2)
+
=
+
x x
y
x

0
' 0
4

=

= ⇔

= −

x
y
x
• Tiệm cận đứng: x = -2 vì
2
4
lim
2
→−
= ∞
+
x
x
• Chia tử cho mẫu:
4
2
2
= + +
+
y x
x

⇒
Tiệm cận xiên: y= x + 2 vì

4
lim 0
2
→∞
=
+
x
x
• BBT:

• Đồ thò:
( C )
( C 1 )
( I )
X
Y
( I I I )
- 4
O
4
2
( C 1 )
- 2
- 4
b.Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số :
2
1
4 8
2
+ +

=
+
x x
y
x

1
( )C
Ta có :
1
nếu x > -2
-y nếu x < -2
y
y

=


Do đó đồ thò
1
( )C
suy từ (C) như sau:
- Nếu x > -2 thì
1
( ) ( )≡C C
- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được
1
( )C
c. Xác đònh tập hợp những điểm mà không có đồ thò nào trong họ
( )

m
C
ï đi
qua:

2 2
4 8
2
+ + +
=
+
x x m
y
x

( )
m
C
Gọi
2 2
0 0
0 0 0
0
4 8
( , ) ( ),
2
+ + +
∉ ∀ ⇔ =
+
m

x x m
M x y C m y
x
vô nghiệm với mọi m
0
2⇔ = −x
hoặc
2 2
0 0 0 0
( 2) 4 8= + − − −m y x x x
vô nghiệm theo m.

2
0 0 0 0
2
0 0 0 0
2
0 0
0 0
0
2
0 0
0 0
0
( 2) 4 8 0
( 2) 4 8
x +4x +8
y < (nếu x >-2)
x +2
x +4x +8

y > (nếu x <-2)
x +2
y x x x
y x x x
⇔ + − − − <
⇔ + < + +



⇔





M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2
M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2
∉

⇔

∉

Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt
phẳng toạ độ Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên
(C).
Câu II:
Tính :
3
2

4cos
I =
1 sin
0
π
∫
+
x
dx
x
Ta có:
3 2
4cos 4cos (1 sin )
1 sin 1 sin
−
=
+ +
x x x
x x
= 4 cosx (1-sinx)
= 4 cosx –2 sin2x
Suy ra:
2
(4sin cos 2 )
0
π
= +I x x
= 2
Câu III:
Có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất:

1) 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam:
Trường hợp 1: Số cách chọn 2 nữ và 3 nam:
2 3
10 10
×C C
Trường hợp 2: Số cách chọn 3 nữ và 2 nam:
3 2
10 10
×C C
Suy ra số cách chọn 3 nữ và 2 nam là:2.
3 2
10 10
×C C
=10.800 (cách)
2) 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam:
Số cách chọn không phân biệt nam, nữ:
5
20
C
Số cách chọn toàn nam hoặc toàn nữ:
5
10
C
Suy ra số cách chọn có ít nhất 1 nam hoặc 1 nữ là:
5 5
20 10
2−C C
=15.000 (cách)
Câu IV:
1. Cho

.9 4( 1).3 1
α α α
+ − + >
x x
a) Giải bất phương trình khi
2
α
=
.
Đặt
x
t =3
. Điều kiện: t > 0
Khi đó bất phương trình trở thành :
2
. 4( -1). 1
α α α
+ + >t t
(*)
Khi
2
α
=
: (*) trở thành:
2
2 4 2 1+ + >t t
luôn đúng
0
∀ >
t

.
Nghóa là nghiệm của bất phương trình là
∈ ¡x
.
b) Tìm
α
để bất phương trình đúng
∀
x
.
Ta có : (*)
2
4 1
f (t)
4 1
α
+
⇔ > =
+ +
t
t t
Ta lại có :
2
2 2
4 2
f ' (t) 0
( 4 1)
− −
= <
+ +

t t
t t
,
0
∀ >
t
=> y = f(t) là hàm giảm trên
(0, )+∞
Do vậy bất phương trình đúng
∀x
.

f (0)
1
α
α
⇔ ≥
⇔ ≥
2. Giải hệ phương trình :
sinx - 7cosy = 0 (1)
5siny - cosx - 6 = 0 (2)



Vì
cos 1≤x
và
sin 1≤y
nên :
5sin cos 6 0− − ≤y x

Do vậy (2)
cos 1
sin 1
= −

⇔

=

x
y

x = π + k2π
(k,m )
π
y = + m2π
2


⇔ ∈



¢
Dễ dàng thấy x và y ở trên thoả (1).
Do vậy nghiệm của hệ là:
x = π + k2π
(k,m )
π
y = + m2π

2


⇔ ∈



¢
3. Cho cos2x + cos2y = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của
2 2
= +A tg x tg y
Vì cos2x + cos2y = 1 nên
0 cos 2 ,cos 2 1≤ ≤x y
Ta có:

2
1 cos 2 1 cos 2
1 cos 2 1 cos 2
6 6 2
2 2
2 cos 2 cos 2 3
cos 2 cos 2
2
2
− −
= +
+ +
= − + ≥ − + =
+ +
+

 
+
 ÷
 
x y
A
x y
x y
x y
Mặt khác: Khi
1
cos 2 cos 2
2
= =x y
thì
2
3
=A
Do đó
2
3
=MinA
Câu Va:
a.
ABMN
V

Ta có :
( , )
By AB

By B Ax
By Ax
⊥

⇒ ⊥

⊥


Vậy :

1
.
3
1 . 1
.
3 2 6
ABMN ABM
V NB S
a x
y axy
=
= =
A
a
y
y
d
x
x

B
M
N
b. Giá trò lớn nhất của
ABMN
V
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
• ABM có BM
• NBM có d
a x
d a x y
y BM

•∆ = +

⇒ − = +

•∆ = +


Ta có:
2 2 2 2
2d a x y xy− = + ≥
Vậy:

2 2
2 2
1 1 ( ) 1

. ( )
6 6 2 12
ABMN
d a
V axy a a d a
−
= ≤ = −
Nên
ABMN
V
lớn nhất là:
2 2
1
( )
12
a d a−
khi
2 2
( )
2
d a
x y
−
= =
Câu Vb:
a. Phng trình đường tròn (C) đường kính OM.
=> Tâm là trung điểm
3
1,
4

E
 
 ÷
 
của OM và R=
5
2 4
OM
=
=> Phương trình đường tròn
2 2
3 5
2
( 1)
4 4
x y
   
− + − =
 ÷  ÷
   
b. Cách 1:
Gọi k là hệ số góc của (D) => phương trình (D) là
3
( 2)
2
y k x= − +
• (D) cắt nửa trục dương Ox tại A
-3
2
2

A , 0
k
k
 
+
 ÷
⇒
 ÷
 ÷
 
• (D) cắt nửa trục dương Oy tại B
3
0, 2
2
B k
 
⇒ −
 ÷
 
Điều kiện:
3
2 0
2
k− >
và k < 0
⇔
k < 0
Ta có :