Đề thi HSG Toán 7, huyện Thái Thuỵ, tỉnh Thái Bình, 2007 2008

PHÒNG GIÁO DỤC
THÁI THỤY

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN : TOÁN 7
(Thời gian làm bài : 120 phút)

Bài 1. (2 điểm)
Không dùng máy tính, hãy tính :
2
3
 2
 2

 2
a) A = 6. − ÷+ 12. − ÷ + 18. − ÷ ;
 3
 3
 3
b) B = (18.124 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 + 7 + … + 5896).
Bài 2. (2 điểm)
Cho a, b, c là các hằng số. Hãy thu gọn các đơn thức sau và xác định bậc của chúng :
5
 1
3 4 2
a) M = − (a − 1)x y z  ;

 2

2
2 n −1
3
b) N = (ab xy z )(− b cx 4 z 7− n ) .
Bài 3. (2 điểm)
Tìm các số nguyên x để Q =

9
nhận các giá trị là số tự nhiên.
x−5

Bài 4. (2 điểm)
Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn điều kiện :
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
.
a
b
2c
d

a+ b b+ c c+ d d+ a
+
+
+
Hãy tính : P =
c+ d d+ a a+ b b+ c
Bài 5. (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức f(x) = ax 2 + bx + c (a, b, c là các số
nguyên) chia hết cho 2007 với mọi x nguyên thì các hệ số a, b, c đều chia hết cho 2007.
Bài 6 (8 điểm)
Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy. Trên tia đối
của tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và OF = OA.

1. Chứng minh AB = EF và AF // BE.
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF.
a) Chứng minh : OM = ON ;
b) So sánh ∆EON và ∆BOM ;
c) ∆MON là tam giác gì ? Vì sao ?
Học sinh : …………………………………………………………Số báo danh : …………
Trường THCS : ………………………………………………………………………………
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình

1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. (2 điểm)
2
3
2
 2
 2
 2
 2 
 2  2 
a) A = 6  − ÷+ 12  − ÷ + 18  − ÷ = 6  − ÷1 + 2  − ÷+ 3  − ÷ 
 3

 3
 3
 3  
 3   3  

 4 4
= − 4 1 − + ÷= − 4.1 = − 4 ;
 3 3
72
+ ...
1 4 4 +49.436.2
44 2 4 +43.5310.6)

4 4 43 : (11+44 +
44
4+45869)
43
b) B = (18.124
M

N

M = 18(124 + 436 + 5310) = 18.5870 ;
Tổng N có (5869 – 1) : 3 + 1 = 1957 số hạng nên N =
⇒ B= M:N =

(1 + 5869).1957 5870.1957
=
2
2

2.18.5870
36
=
1957.5870 1957

Bài 2. (2 điểm)

5

1
−1

a) M =  (a − 1)x 3 y 4 z 2  = − (a − 1) 5.x 5 y 20 z10
32
2

- Nếu a = 1 thì M = 0 ⇒ M không có bậc.
- Nếu a ≠ 1 thì bậc của M là 45.
b) N = (ab 2 xy 2 z n−1 )(− b3cx 4 z 7− n ) = − ab5c.x 5 y 2z 6

- Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 ⇒ N = 0 ⇒ N không có bậc.
- Nếu a, b, c ≠ 0 ⇒ Bậc của N bằng 13.
Bài 3. (2 điểm)
Q=

9
nhận các giá trị nguyên
x−5

⇔ 9 M( x − 5) ⇔
Q là số tự nhiên khi
Từ đó :

x − 5 ∈ { ± 1 ; ± 3 ; ± 9}
x−5 >0⇒

x − 5 ∈ { 1 ; 3 ; 9}.

x − 5 = 1 ⇒ x = 6 ⇒ x = 36 ;
x − 5 = 3 ⇒ x = 8 ⇒ x = 64 ;
x − 5 = 9 ⇒ x = 14 ⇒ x = 196 .

Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình

2


Thử lại, các giá trị trên đều thoả mãn.
Vậy Q nhận giá trị nguyên với x ∈ {36 ; 64 ; 196}
Bài 4. (2 điểm)
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
Ta có:
a

b
c
d
2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
− 1=
− 1=
− 1=
−1
⇔

a
b
c
d
a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a + b+ c+ d
=
=
=
⇔
(1)
a
b

c
d
− Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì từ (1) suy ra a = b = c = d.
Do đó : P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ;
− Nếu a + b + c + d = 0 ⇒ (a + b) = −(c + d) và (b + c) = −(a + d)
Do đó : P = −1 − 1 − 1 − 1 = −4.
Bài 5. (2 điểm)
Vì f(x) M2007 ∀x nên ta có: f(0) = c M2007, và :
f (1) = a + b + c M2007
f (1) + f (- 1) = 2(a + c) M2007
⇒



f (- 1) = a - b + c M2007 f (1) − f (- 1) = 2b M2007
a M2007 (do c M2007)
a + c M2007
⇒
(do 2 M2007) ⇒ 
b M2007
b M2007
Vậy a ⋮ 2007 , b ⋮ 2007, c ⋮ 2007.)
Bài 6 (8 điểm)
1. * Chứng minh AB = EF.
Xét ∆OAB và ∆OFE có:

OA = OF (giả thiết)
·
·
AOB
= FOE
= 900
OB = OE (giả thiết)
⇒ ∆OAB = ∆OFE (c.g.c).
Suy ra AB = EF.
* Chứng minh AF // BE.
·
·

∆OAF và ∆OBE cùng vuông cân tại O nên OBE
= OFA
= 450 .
Hai góc này ở vị trí so le trong nên AF // BE.
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình

3


2. a, b) Vì AB = EF (chứng minh trên) nên AB : 2 = EF : 2 hay BM = EN.
Xét ∆OMB và ∆ONE có:
OA = OF (giả thiết)

µ1= E
µ 1 (vì ∆OAB = ∆OFE)
B
BM = EN (chứng minh trên)
⇒ ∆OMB = ∆ONE (c.g.c).
Do đó OM = ON.
c) Vì OM = ON (chứng minh trên) nên ∆OMN cân tại O.
Chú ý: Điều kiện đề bài nêu ra chưa chặt che. Nếu OA = OB thì M, O, N thẳng
hàng, khi đó không tồn tại ∆OMN.

Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình

4