Tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Page 1


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC CỦA NHÓM
Báo cáo , Slide

Nguyễn Xuân Chiến, Bùi Tuấn Anh

Chỉnh sửa

Trần Mạnh Hà

Tìm tài liệu

Cả nhóm

Code Matlab

Nguyễn Mạnh Cường, Phan Đình Điệp

Làm video

Cả nhóm

Page 2

Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

I.

BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ?
Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, được đặt tên theo nhà toán học
người Pháp Joseph Fourier , là một biến đổi tích phân dùng để khai triển
một hàm số theo các hàm số sin cơ sở, có nghĩa là dưới dạng tổng hay một
tích phân của các hàm số sin được nhân với các hằng số khác nhau (hay còn
gọi là biên độ). Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau, chúng phụ
thuộc vào dạng của hàm được khai triển.
Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số
học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học,
quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các
ngành liên quan, biến đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi
tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số.
Ở đây chúng ta đang tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống
rời rạc trong miền tần số liên tục.

Hình 1 - Mối quan hệ giữa các phép biến đổi

Page 3


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

II.

CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN
HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ
LIỀN TỤC
Tổng quan biến đổi Foiurier chúng ta đang nghiên cứu là để chuyển biểu
diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần
số liên tục ω
1. Biến đổi Fourier thuận.
1.1. Định nghĩa
Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện
∞

∑

x(n) < ∞

n=−∞

[1]

thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau:
∞

X(e ) = ∑ x( n) e − jωn
jω

n=−∞

[2]

Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ejω), [2] là biểu
thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau :
FT [ x( n)] = X (e jωn )

hay :

FT
x (n) 
→ X (e jωn )

[3]
[4]

(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform).
1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả
mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n)
Page 4


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
thoả mãn điều kiện [1] thì chuỗi [2] sẽ hội tụ về hàm X(ejω), nên x(n) tồn
tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện
[1] thì chuỗi [2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(ejω) không tồn tại và x(n) không
có biến đổi Fourier.
Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :
Ex =

∞

∑

2

x ( n) < ∞

n =−∞

[5]

luôn thỏa mãn điều kiện [1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.
Ví dụ 1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau:
a.

u ( n)

b.

2 n u ( n)

c.

rectN (n)

Giải:
∞

∞

n =−∞

n=0

∑ u(n) = ∑1 = ∞

a.

Hàm u(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
∞

∑

b.

n =−∞

∞

2 u ( n) = ∑ 2 n = ∞
n

n =0

Hàm 2nu(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
∞

∑

c.

n =−∞

N −1

rect N (n) = ∑1 = N < ∞
n =0

Hàm rect N(n) thoả mãn [1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :

Page 5


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

FT [rect N (n)] =

∞

∑ rect (n).e

− jω n

=

N

n =−∞

N −1

∑ (e )

− jω n

n =0

1 − e − jω
=
1 − e − jω

N

[8]
Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier,
còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [1] của
nó hội tụ.
1.3 Các dạng biểu diễn của hàm X()
1.3.1 Dạng phần thực và phần ảo

X(e jω ) = X R (ω ) + j X I (ω )

[9]

Theo công thức Euler có :
∞

X(e ) = ∑ x(n) e
jω

− jω n

n =−∞

∞

= ∑ x(n) [ cos(n ω ) − j sin(n ω ) ]
n =−∞

[10]
jω

X R (ω ) = Re[X(e )] =
Hàm phần thực :

∞

∑ x(n).cos(nω )

n =−∞

[11]
jω

X I (ω ) = Im[X(e )] = −
Hàm phần ảo :

∞

∑ x(n).sin(nω )

n =−∞

[12]

1.3.2 Dạng mô đun và argumen

X(e jω ) = X(e jω ) .e jφ (ω )

Mô đun :

X(e jω ) =

X R2 (ω ) + X I2 (ω )

Page 6

[13]
[14]


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

 X (ω ) 
φ (ω ) = Arg  X(e jω )  = arctg  I

X
(

ω
)
 R


Argumen :

[15]

j

-

X(e ω)

được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối
xứng qua trục tung : X(ejω)=X(e- jω)

-

ϕ(ω)

được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng
qua gốc toạ độ : ϕ(ω) = - ϕ(-ω).

1.3.3Dạng độ lớn và pha

X(e jω ) = A(e jω ).e jθ (ω ) = A(e jω ) .e jφ (ω )

[16]

Hàm độ lớn A(ejω) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

A(e jω ) = X(e jω )

Arg[A(e jω )] + θ (ω ) = φ (ω )

Còn :

[18]

θ (ω ) = φ (ω ) − Arg[A(e jω )]

Hàm pha :
Với

[17]

Arg[A(e jω )]

phụ thuộc vào dấu của hàm

 0
jω
Arg[A(e )] = 
 π

[19]

A(e jω )

như sau :

Khi A(e jω ) ≥ 0
Khi A(e jω ) < 0

Một cách tổng quát, có thể viết :
jω

Arg[A(e )] =

π
2


 A( e jω )
 1− jω

 A( e )

Page 7



=



π
2

{



1− Sign A( e

jω )



}


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
Theo [19] , có thể biểu diễn hàm pha θ(ω) dưới dạng như sau :

θ (ω ) = φ (ω ) −

π
2

 A( e jω ) 
1− jω 
 A( e ) 

Ví dụ 2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và
argumen, độ lớn và pha của hàm tần số

X(e jω ) = cos(2ω ).e − jω

Giải:
Theo [11] có :

X(e jω ) = cos(2ω ).cos(ω ) − j cos(2ω ).sin(ω )

Hàm phần thực :
Hàm phần ảo :

X R (ω ) = cos(2ω ).cos(ω )
X I (ω ) = − cos(2ω ).sin(ω )

Môđun:

X(e jω ) = cos 2 (2ω ).cos 2 (ω ) + cos 2 (2ω ).cos 2 (ω ) = cos(2ω )

Argumen :
Hàm độ lớn :

 cos(2ω ).sin(ω ) 
φ (ω ) = − arctan 
 = −ω
cos(2
ω
).cos(
ω
)



A(e jω ) = cos(2ω )

θ (ω ) = − ω −
Hàm pha :

π
2

1− cos( 2ω ) 
 cos( 2ω ) 

Page 8


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
2. Biến đổi Fourier ngược
Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ejω). Để tìm
biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức
Fourier thuận [2] :
∞

X(e ) = ∑ x(n) e − jωn
jω

n =−∞

[20]

Nhân cả hai vế của [20] với ejωm rồi lấy tích phân trong khoảng

(-π , π ) , nhận được :
π

∫π X(e

jω

).e jωm dω =

−

π

∫e

Vì :

π

∞

−

n =−∞

∫π ∑ x(n).e

jω ( m − n )

−π

2π
dω = 
0

π

Nên :

− jω n

∫π X(e

jω

∞

π

n =−∞

−π

.e jωm dω =

∑ x ( n) ∫ e ω

khi m = n
khi m ≠ n

).e jω n dω = 2π .x (n)

−

Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :

1
x(n) =
2π

π

jω
jω n
X(
e
).
e
dω
∫

−π

[21]

Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :

IFT[X(e jω )] = x(n)

Hay :

[22]

IFT
X(e jω ) →
x ( n)

Page 9

[23]

j ( m−n )

dω


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform).
Biểu thức biến đổi Fourier thuận [20] và biểu thức biến đổi Fourier
ngược [21] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n).
Ví dụ 3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là

X(e jω ) = cos(ω ).e − j 2ω

Giải:

Ta có :

1

x ( n) =
2π

1
x ( n) =
2π

π

∫

−π

π

− j 2ω
jω n
cos(
ω
).
e
.
e
dω
∫

−π

(e jω + e − jω ) − j 2ω jωn
1

.e
.e dω =
2
4π

π

∫

−π

e j ( n −1)ω + e j ( n −3)ω  d ω

π
π 
1  1
1
j ( n −1) ω
j ( n −3) ω
x ( n) =
e
| +
e
|

4π  j (n − 3)
j (n − 3)
−π
−π 

1  e j ( n −1)π − e − j ( n −1)π e j ( n −3)π − e − j ( n −3)π 
x ( n) =
+


4π 
j ( n − 1)
j (n − 3)

1
[e j ( n −1)π − e − j ( n−1)π ]
1
[e j ( n −3)π − e − j ( n−3)π ]
x (n) =
.
+
.
2(n − 1)π
j2
2(n − 3)π
j2
x ( n) =

1 sin[( n − 1)π ] 1 sin[(n − 3)π ]
+
2 ( n − 1)π
2 (n − 3)π

Vì :

sin[(n − k )π ]  1
=
(n − k )π
0

khi n = k
khi n ≠ k

Page 10

⇒

sin[( n − k )π ]
= δ (n − k )
(n − k )π


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

1
1
x(n) = δ (n − 1) + δ (n − 2)
2
2

Nên :

X(e jω ) = X ( z )

z =e jω

Vì
, nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử
dụng bảng biến đổi z khi thay z = ejω , và để tìm biến đổi Fourier ngược,
ngoài cách tính trực tiếp tích phân [21], cũng có thể sử dụng các phương
pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.
3. Các tính chất của biến đổi Fourier
Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi
Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy
các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc
tính tần số của hệ xử lý số.
3.1 Tính chất tuyến tính
Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
tần số thành phần.
Nếu :

FT [ xi (n)] = X i (e jω )

∞

 ∞
Y (e ) = FT  y (n) = ∑ Ai .xi (n)  = ∑ Ai . X i (e jω )
i =∞

 i =∞
jω

Thì :

[24]

Trong đó các hệ số Ai là các hằng số.
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :
∞

 ∞
− jω n
Y (e ) = FT  ∑ Ai .xi (n)  = ∑ ∑ Ai .xi (n).e
= ∑ Ai ∑ xi (n).e − jω n
i
n =−∞
 i
 n =−∞ i
jω

Page 11


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
∞

∑ x (n).e

Vì

n =−∞

i

− jω n

= FT [ xi (n)] = X i (e jω )
, nên nhận được [24].

Ví dụ 4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số

1
1
x(n) = δ (n − 1) + δ ( n − 3)
2
2
Giải: Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :
∞

1
X (e ) = ∑ δ ( n − 1).e − jω n +
n =−∞ 2
jω

∞

1
1 − jω 1 − j 3ω
− jω n
δ
(
n
−

3).
e
=
e + e
∑
2
2
n =−∞ 2

(e jω + e − jω ) − j 2ω
X (e ) =
.e
= cos(ω ).e − j 2ω
2
jω

3.2 Tính chất trễ
Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(ejω) không thay
đổi, chỉ có hàm pha tần số ϕ(ω) bị dịch đi lượng kω.
Nếu :
Thì :

FT [ x (n)] = X (e jω ) = X(e jω ) .e jφ (ω )

FT [ x (n − k )] = e − jkω X(e jω ) = X(e jω ) .e j [φ (ω ) − kω ]

[25]

Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu.

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

Page 12


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

FT [ x(n − k )] =

∞

∑ x(n − k ).e

=e

− jω k

n =−∞

Ví dụ 5 : Hãy tìm :
Giải:

− jω n

∞

∑ x(n − k ).e

− jω ( n − k )

= e − jω k X(e jω )

n =−∞

X(e jω ) = FT [2− n rect (n)]
N

2− n rect (n) = 2− n u (n) − 2− n u (n − N )
N

Có

X (e jω ) = FT [2 − n u (n)] − FT [2 − N .2 − ( n − N ) u ( n − N )]

Nên :

Theo biểu thức [6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :

X(e jω ) =

1
1
− N − jω N
−
.2
e
− jω
− jω
1 − 0,5e

1 − 0,5e

1 − (0,5.e − jω ) N
X(e ) = FT [2 rect ( n)] =
1 − 0,5e − jω
jω

−n

N

Vậy :

[26]

3.3 Tính chất trễ của hàm tần số
e jω 0 n

Khi nhân dãy x(n) với
, trong đó ω0 là hằng số, thì hàm tần số X(ejω)
không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ω0 ,
theo chiều ngược với dấu của ω0.
Nếu :

FT [ x (n)] = X (e jω )
FT e jω0 n x (n)  = X (e j (ω −ω0 ) )

Thì :

[27]

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

FT e

jω0 n

x (n)  =

∞

∑ x(n).e

jω0 n

.e

− jω n

n =−∞

Page 13

=

∞

∑ x(n).e

n =−∞

− j (ω −ω0 ) n

= X(e j (ω −ω0 ) )


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Ví dụ 6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là
phổ tần số của tín hiệu điều biên

X(e jω ) = FT [ x (n)]

Y(n) = x( n).cos(ω0 n)

, hãy tìm

Giải:

e jω0n + e − jω0 n
cos(ω0 n) =
2

Có :

Do đó :

1


1

FT [ x( n).cos(ω0 n)] = FT  x(n).e jω0 n  + FT  x(n).e − jω0 n 
2

2

Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :

FT [ x (n).cos(ω0 n)] =

1
1
X(e j (ω −ω0 ) ) + X(e j (ω +ω0 ) )
2
2

[28]

3.4 Tính chất đối xứng
Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm
liên hợp phức.
Nếu :
Thì :

FT [ x(n)] = X (e jω ) = X(e jω ) .e jφ (ω )

FT [ x(−n) ] = X (e − jω ) = X * (e jω ) = X(e jω ) .e − jφ (ω )

[29]

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

FT [ x (−n) ] =

∞

∑ x(−n).e

− jω n

n =−∞

Page 14

=

∞

∑ x(−n).e

n =−∞

− j ( − ω ).( − n )

= X (e − jω )


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Vì x(-n) là dãy thực nên

X(e − jω ) = X * (e jω )

, do đó nhận được [29].

Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên
độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu.
Ví dụ 7 : Hãy tìm
Giải:

X (e jω ) = FT[ 2nu ( −n)]

Theo biểu thức [6] và tính chất biến đảo có :

FT [ 2n u ( − n)] =

1
1 − 0,5.e jω

3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy
Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành
phần.
Nếu :
Thì :

FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω )

và

FT [ x2 (n)] = X 2 (e jω )

Y (e jω ) = FT [ x1 (n) * x2 ( n) ] = X 1 (e jω ).X 2 (e jω )

[30]

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

 ∞

Y(e ) = FT [ x1 (n) * x2 (n) ] = ∑  ∑ x1 (k ).x2 (n − k ) .e − jω n
n =−∞  k =−∞

∞

jω

jω

Y(e ) =

∞

∞

∑ ∑ x (k ).x (n − k )e

n =−∞ k =−∞

1

2

− jω n

.e jω k .e − jω k

Hay :
jω

Y(e ) =

∞

∑

k =−∞

X 1 (k ).e

− jω k

∞

∑

n =−∞

x2 (n − k )e − jω ( n− k ) = X 1 (e jω ).X 2 (e jω )

Page 15


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Ví dụ 8 : Hãy tìm
Giải:

Sử dụng các biểu thức [6] , [7] với k = 1 , và [3] , tìm được :

FT [2− n u ( n)] =

X (e
Vậy :

X (e jω ) = FT[ 2− nu ( n) * δ (n − 1)]

jω

1
1 − 0,5e − jω

FT [δ (n − 1)] = e − jω

và

1
e − jω

− jω
) =
.e =
1 − 0,5e − jω
1 − 0,5e − jω

3.6 Hàm tần số của tích hai dãy
Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành
phần chia cho 2π.
Nếu :

Thì :

FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω )
π

1
FT [ x1 (n).x2 ( n) ] =
2π
FT [ x1 (n).x2 (n) ] =

Hay :

và

∫

FT [ x2 (n)] = X 2 (e jω )

X 1 (e jω ′ ).X 2 (e j (ω −ω ′) )d ω ′

−π

[31]

1
X 1 (e jω ) * X 2 (e jω )
2π

[32]

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

FT [ x1 (n).x2 (n) ] =

∞

∑ [ x (n).x (n)] .e

n =−∞

1

− jω n

2

Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó :

1

x1 (n) =
2π

π

∫π X (e

jω ′

1

−

Page 16

).e jω ′.n d ω ′


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
Thì :

 1
FT [ x1 (n).x2 (n) ] = ∑ 
n =−∞  2π

π

∞

1
FT [ x1 (n).x2 (n) ] =
2π
1
FT [ x1 (n).x2 (n) ] =
2π

π

∫

−π
π

∫

∫ X (e

jω '

1

).e

jω ' n

−π


d ω ' .x2 (n).e − jωn



[33]

∞

X 1 (e ). ∑  x2 (n).e − j (ω −ω ') n . d ω '
jω '

n =−∞

X 1 (e jω ′ ).X 2 (e j (ω −ω ′ ) ).d ω ′ = =

−π

1
X 1 (e jω ) * X 2 (e jω )
2π

3.7 Công thức Parseval
Công thức tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ
∞

E x = ∑ x (n) =
2

n =−∞

π

1

∫

2π −π

2

X(e jω ) d ω
[34]

Chứng minh: Viết lại biểu thức [33] dưới dạng :
∞

∑

n =−∞

x1 (n).x2 ( n).e


1
= ∑  x1 (n).
2π
n =−∞ 
∞

− jω n

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho

∞

1
x1 (n).x2 (n) =
∑
2π
n =−∞

π

e − jω .n

∞

, nhận được :

ω

x
(
n
).
e
∑
∫π 

−

n =−∞

Page 17

 − jωn
jω '
jω ' n
X
(
e
).
e
d
ω
'
 .e
∫−π 2


j 'n

1

π

.X 2 (e jω ' ). d ω '


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
∞

1
x
(
n
).
x
(
n
)
=
∑ 1 2
2π
n =−∞

Hay :

π

∫

X 1 (e − jω ' ).X 2 (e jω ' ). dω '

−π

Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [2.3-5], vế trái của biểu thức trên
chính là năng lượng
∞

Ex = ∑

n =−∞

Ex

của tín hiệu số x(n) :

1
x ( n) =
2π
2

∞

Ex = ∑

∫ X(e

− jω

−π

1
x (n) =
2π
2

n =−∞

Hay :

π

S x (ω ) = X(e jω )

Trong đó :

1
).X(e ).dω =
2π
jω

π

∫ X(e

jω

2

) dω

−π

π

∫π S (ω ).dω
x

−

[35]

2

[36]

S x (ω )

được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là
hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ
năng lượng
tần số.

S x (ω )

chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục

x ( n) = 2 − n u ( n)

Ví dụ 9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số
hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được.
Giải:

theo cả

Theo hàm thời gian có :
∞

∞

∞

E x = ∑ 2 u (n) = ∑ (2 ) = ∑ 4 − n =
n =−∞

−n

2

−n 2

n=0

n =0

1
4
=
(1 − 4−1 ) 3

Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :

Page 18


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
jω

X(e ) =

∞

∑ 2− n u (n).e− jωn =

n =−∞

X(e jω ) =
Vậy :

1
1
=
1 − 0,5e − jω 1 − 0,5 cos ω + j .0,5 sin ω

1
(1− 0,5 cos ω )2 + ( 0,5 sin ω )2

=

1
1,25 − cos ω

Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [38] :

1
Ex =
2π
Ex =

π

∫π

−

 (1, 25 + 1).tg ( ω )  π
1
1
2
2
.dω = .
arctg 
 |
1, 25 − cos ω
2π 1, 25 − 1
1, 25 − 1

 −π
2

  π
−π
arctg3. tg − tg
2
0,75π
  2
1

2

1
π
4

arctg(0) =
=
 =
0,75π
3
  0,75π

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. ( ở đây, nếu lấy
artg (0) = 0
Ex = 0
artg(0) = π
thì
, nên phải lấy
).

III.

THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a
Đề ra: Cho đầu vào x = [ 1 2 5 6 7 8 3 -1 3 -5] , n= -2:7 .
Tính FT hiển thị phổ pha, phổ biên độ, phần thực phần ảo qua
MatLab
Giải:
Code MATLAB
 Phần biến đổi Fourier thuận
n=-2:7;

x=[1 2 5 6 7 8 3 -1 3 -5];
Xw=ft(x,-2,7)

Page 19


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
syms w;
X=Tinh(Xw,w,-pi,pi,500);
k=0:500;
w=-pi:2*pi/500:pi;
magX=abs(X);
angX=angle(X);
realX=real(X);
imagX=imag(X);
subplot(2,2,1);
plot(w,magX);
grid;
title('Pho bien do');
xlabel('Tan so');
ylabel('Bien do');
subplot(2,2,3);
plot(w,angX);
grid;
title('Pho pha');
xlabel('Tan so');
ylabel('Pha');
subplot(2,2,2);
plot(w,realX);

grid;
title('Phan thuc');
xlabel('Tan so');
ylabel('Thuc');
subplot(2,2,4);
plot(w,imagX);
grid;
title('Phan ao');
xlabel('Tan so');
ylabel('Ao');

Kết quả:

Page 20


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Đề ra: Biến đổi Fourier ngược cho dãy sau
X(ω) = 3e-jω + 4e –j2ω – 3e –j4ω
Giải:
Code MALAB
syms w n;
Xw=3*exp(-i*w*(-1))+4*exp(-i*w*2)-3*exp(-i*w*4)
Xn=IFT(Xw,-10,10)
n=-10:10;
stem(n,Xn)

Kết quả:

Page 21


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục

Các hàm function sử dụng trong MatLab
 function FT

function [Xw] = ft(x,x1,x2)
syms w ;
Xw=0;
m=1;
for n=x1:1:x2
Xw=Xw + x(m)*exp(-1j*w*(n-1));
m=m+1;
end



function IFT

function [Xn] = IFT ( xw, n1,n2)
m=1;
Page 22


Tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục
syms w;

for n= n1:1:n2
Xn(m)=int(xw*exp(1i*w*n)/(2*pi) , w, -pi,pi);
m=m+1;
end


function chuyển từ tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc
function [X] = Tinh (x,w,x1,x2,N)
syms w;
m=1;
for n=x1:(x2-x1)/N:x2
X(m) =subs(x,w,n);
m=m+1;
end

Page 23