Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)
Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2 y 3  12 y 2  25 y  18   2 x  9 x  4

Bài 1: Giải hệ phương trình 
 3 x  1  3x 2 14 x  8  6  4 y  y 2


(1)
(2)

(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)
Bài giải

ne

t


1
 x 
♥ Điều kiện: 
(*)
3

2

6  4 y  y  0

u.

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

ilie

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  )

♦ 2 y 3  12 y 2  25 y  18   2 x  9 x  4  2  y  2   y  2  2

ta

3





3

x4  x4

(3)

[Tại sao ?]

ox

♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t 3  t trên  ta có:



 y  2
 y  2
x  4  y  2  x  4  
 
2
 y  2  x  4  x  4 y  y 2




w
w

Nên: 3  f  y  2  f

.b

f ' t   6t 2  1  0, t    f  t  đồng biến trên 

(4)

w

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

3x  1  6  x  3 x 2 14 x  8  0

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân
liên hợp.

5   3x  1  4   6  x 1  3x 2 14 x  5  0


3 x  5
3x 1  4



x5
  x  53 x  1  0
6  x 1

(Tách thành các biểu thức liên hợp)
(Nhân liên hợp)





3
1
  x  5 

 3 x  1  0  x  5

3x 1  4
6  x 1
 

 

0

♦ Với x  5  y  1 (thỏa điều kiện (*))
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   5;1 

www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)
Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số
+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)
+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)
Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

 x3  y 3  17 x  32 y  6 x 2  9 y 2  24
Bài 2: Giải hệ phương trình 

 y  2 x  4   x  9 2 y  x  9  x 2  9 y  1


(1)

ne

t

(2)

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

u.

Bài giải

ilie

 x  4
♥ Điều kiện: 
(*)
2 y  x  9  0

ta

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

ox

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  )

.b

♦ x 3  y 3  17 x  32 y  6 x 2  9 y 2  24  x 3  6 x 2  17 x 18  y 3  9 y 2  32 y  42
  x  2  5  x  2   y  2  5  y  2
3

3

[Tại sao ?]
(3)

w
w

♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 3  5t trên  ta có:
f ' t   3t 2  5  0, t    f  t  đồng biến trên 

3  f  x  2  f  y  3  x  2  y  3  y  x 1

w

Nên:

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

 x  3 x  4   x  9 x 11  x 2  9 x 10

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân
liên hợp.

5   x  3 x  4  3   x  9 x 11  4  x 2  2 x  35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)
  x  3.

x 5
x5
  x  9.
  x  5 x  7 (Nhân liên hợp)
x  4 3
x  11  4

 x3

x9
  x  5 

  x  7   0
 x4 3

x  11  4



www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

x5  0

  x3
x9


  x  7  0
 x  4  3
x  11  4

(6)

♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

 6 

x 3
x 4 3



x5
x9
x 9


0
2
2

x 11  4

[Tại sao ?]



1
1
1
1
2
  x  5
    x  9
 
 0 : phương trình VN
 x  4  3 2 
 x  11  4 2 
x

4

3
  
0

0

0

♦ Với x  5  y  6 (thỏa điều kiện (*))

ne

t

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

53  5 x  10  x  5 y  48 9  y  0
2) 
 2 x  y  6  x 2  2 x  66  2 x  y  11


ilie

 x3  y 3  3 x 2  6 x  3 y  4
1)  2
 x  y 2  6 x  y 10  y  5  4 x  y


u.

Giải các hệ phương trình

 x  3 x  y y 1  0

4) 
 4
 x  x 3  x 2 1  x  y 13 1



w

w
w

.b

ox

ta

 2012  3 x 4  x  6 y  2009 3  2 y  0

3) 
2 7 x  8 y  3 14 x 18 y  x 2  6 x 13


www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

 x  3  4 x  2  y 4  5  y
Bài 3: Giải hệ phương trình 
 2
 x  2 x  y  2  y 2  8 y  4  0


(1)
(2)

(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)
Bài giải
♥ Điều kiện: x  2 (*)
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
♦

x  3  4 x  2  y4  5  y



4

x  2   x  2  5  y  y 4  5

(3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t 4  5 trên nữa khoảng 0; .

Do

4

t4  5

 0, t  0;    f  t  đồng biến trên 0;

t

2t 3

ne

f liên tục trên 0; và f ' t   1 

x  2  0 và 4 y   x  y  2  y  0 nên
2

(4)

ilie

u.

3  f  4 x  2   f  y   4 x  2  y  x  y 4  2
♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

ta

y 0
2
4 y   y 4  y   y  y 7  2 y 4  y  4  0   7
 y  2 y4  y  4  0


(5)

ox

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

.b

Xét hàm số g  y   y 7  2 y 4  y  4 trên nữa khoảng 0; .

Nên:

w
w

Do g liên tục trên 0; và g' y   7 y 6  8 y 3  1  0, y   0;   g  y  đồng biến trên 0;

5  g  y   g 1  y  1

w

♣ Với y  0  x  2 [thỏa (*)]
♣ Với y  1  x  3 [thỏa (*)]
♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là  2; 0 và 3;1 

www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
 3
x 1
3
2

0
 x  3x  y  6 y  9 y  2  ln
y 1
 y  log  x  3  log y   x  1
3 
  2

Bài 4: Giải hệ phương trình: 

1 .
2
(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

 x 1
 y 1  0

x  3
♥ Điều kiện:  x  3  0  
y  0
y  0



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(3)

t

 x  13  3  x  12  ln  x  1   y  13  3  y  12  ln  x  1

ne

♦ 1 

u.

♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t 3  3t 2  ln t trên khoảng  0;  

ilie

1
f   t   3t 2  6t   0 t  0  f  t  đồng biến trên khoảng  0;  
t

Do x 1  0 và y  1  0 nên

(4)

.b

ox

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

ta

 3  f  x  1  f  y  1  x  1  y  1  y  x  2

(5)

w
w

 x  2  log 2  x  3  log3  x  2   x  1

w

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

5  log 2  x  3  log3  x  2  

x 1
x 1
 log 2  x  3  log3  x  2  
 0 6
x2
x2

♣ Xét hàm số g  x   log 2  x  3  log 3  x  2  
g x 

1
1
3



 0 x  3
 x  3 ln 2  x  2  ln 3  x  2 2

 g  x  đồng biến trên khoảng
Nên

x 1
trên khoảng  3;  
x2

 3;  

.

4
y 3
 6   g  x   g  5  x  5 

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3  

www.boxtailieu.net

[thỏa mãn (*)]


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp



3 x 2  3y 2  8   y  x  y 2  xy  x 2  6


Bài 5: Giải hệ phương trình:. 
 x  y  13 3y  14  x  1  5






1
2



(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải
 x  1
x 1  0


14
3
y

14

0

 y  3

 *

♥ Điều kiện: 

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
3

3

♦ 1   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1

(3)

t

♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t 3  3t , t  

ne

f   t   3t 2  3  0, t    f  t  đồng biến trên  .

f  x  1  f  y  1  x  1  y  1  x  2  y

(4)

ilie

 3 

u.

Do x  1  0 và y 1  0 nên

5 

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn



3x  8  x  1  5

ta

 2 x  11 

11
không là nghiệm của phương trình  5  nên
2

.b

Ta nhận thấy x 

ox

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 

w

w

3x  8  x  1 

Xét hàm số

w

g  x   3x  8  x  1 

g  x 

3
2 3x  8



5
 0.
2 x  11

 6

5
 8 11   11

, x   ;    ;  
2 x  11
3 2   2


1
2 x 1



10

 2 x  11

2



3 x  1  3x  8
2



10

 3x  8 x  1  2 x  11

2

 8 11   11

 0 x   ;  &  ;  
3 2   2


 8 11   11

 g  x  đồng biến trên các khoảng  ;  &  ;  
3 2   2

 8 11 

 8 11 

♣ Trên khoảng  ;  thì g  x  đồng biến, 3   ;  , g  3  0 nên
3 2 
3 2 

6 
 11



 4
g  x   g  3  x  3  y  5 [thoả mãn (*)]
 11



♣ Trên khoảng  ;   thì g  x  đồng biến, 8   ;   , g 8   0 nên
2

2


 4
y  10 [thoả mãn (*)]
6  g  x   g 8   x  8 

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10  

www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình
 4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0

1) 
4 x 2  y 2  2 3  4 x  7


 x3  y 3  3 y 2  4 y  x  2
2) 

 x  y  3 x  3 y 19  105  y 3  xy


w

w
w

.b

ox

ta

ilie

u.

ne

t

 4 x  2  2 y  4  6

3) 

2 2 x 13  2 x  1   2 y  3 y  2


www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

2 y 3  y  2 x 1 x  3 1 x
Bài 6: Giải hệ phương trình 

 9  4 y 2  2 x 2  6 y 2  7



(1)
(2)
(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)

Bài giải

 x  1

♥ Điều kiện:  3
(*)
  y  3
 2
2
♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  )

t

♦ 2 y 3  y  2 x 1 x  3 1 x  2 y 3  y  2 1 x  2 x 1 x  1 x

ne

 2 y 3  y  21 x 1 x  1 x

u.

♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t 3  t trên  ta có:

(3)

ilie

f ' t   6t 2  1  0, t    f đồng biến trên 

 y  0
 y 2  1  x

3  f  y   f  1 x   y  1 x  

(4)

ox

ta

Nên:

.b

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

w
w

4 x  5  2 x 2  6 x 1

(5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

w

 Phương trình (5) viết lại thành:

 2 x  3  2 4 x  5 11
2

Điều kiện
Đặt


3
4 x  5  2t  3 t   , ta được hệ phương trình:

2
 2 x  32  4t  5


 2t  32  4 x  5


(6)
(7)

 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:
4  x  t  3 x  t   4t  4 x   x  t  x  t  2  0

+ Khi x  t , thay vào (7) ta được:

4 x 2 12 x  9  4 x  5  x 2  4 x 1  0  x  2  3
So với điều kiện của x và t ta chọn x  2  3 . [không thỏa mãn (*)]
+ Khi x  t  2  0  t  2  x , thay
vào (7) ta được:
www.boxtailieu.net

[Tại sao ?]


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

1 2 x   4 x  5  x 2  2 x 1  0  x  1  2 (loại)
2

So với điều kiện của x và t ta chọn x  1  2 .
♦ Với x  1 2  y   4 2 . [thỏa mãn (*)]



 



♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là 1 2;  4 2 và 1 2; 4 2 

2 x 3  4 x 2  3x 1  2 x 3 2  y  3  2 y

Bài 7: Giải hệ phương trình 
 x  2  3 14  x 3  2 y +1



(1)
(2)

(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải

ne

t


 y  3
♥ Điều kiện: 
2

 x  2

u.

(*)

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v )

3
1
 3  22  y  3  2 y
2
x

x

ox

4
x

1  2  

 1   1 
1   1   3  2 y  3  2 y  3  2 y
 x   x 

.b

3

(3)

w
w



ta

♦ Do x  0 không thỏa hệ nên ta có:

ilie

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 3  t trên  ta có:

Nên:

w

f ' t   3t 2  1  0, t    f đồng biến trên 



1

3  f 1   f  3  2 y   1  3  2 y
 x
x
1

(4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn
x  2  3 15  x  1

(5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật
nhân liên hợp.

5 

x  2  3  2  3 15  x  0







1
1
 0
  x  7

2
 x  2  3

3
3
4  2 x  15  x  15 


 

0



 x7

www.boxtailieu.net




Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

♦ Với x  7  y 

111
98

[thỏa mãn (*)]

 111
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  là 7;

 98 

1 3x  4

2
 x  3 y  1  y  y +
x 1
Bài 8: Giải hệ phương trình 

 9 y  2  3 7 x  2 y  2  2 y  3

(1)
(2)

(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải

t

(*)

ne

 x  1

♥ Điều kiện: 
 y  2

9

1
y

1  y 2   3 y  x 1

1
x 1

 3 x 1

(3)

ta

♦ Ta có

ilie

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v )

u.

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

ox

1
♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 2   3t trên 0; ta có:
t

 2t 1t 1

f ' t  

.b

2

t2

 0, t  0;   f đồng biến trên 0;

w

w

3  f  y   f  x 1  y  x  1  x  y 2 1

Nên:

(4)

w

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

9 y 1  3 7 y 2  2 y  5  2 y  3

(5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y  2 y  3 và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ
thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng  y  2 y  3.h  x  0 hay  y 2  5 y  6.h  x  0

5 


9 y  2   y  2  3 7 y 2  2 y  5   y  1  0

y2 5 y  6
9y2  y 2



 y 1 y 2  5 y  6

 y 1   y 1 7 y  2 y  5   7 y  2 y  5 
2

3

2

3

2

2

0







1
y 1

  0
2
  y  5 y  6

2


 9 y  2  y  2
2
 y 1   y 1 3 7 y 2  2 y  5  3 7 y 2  2 y  5 

  
0



www.boxtailieu.net




Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

y  2
 y2  5 y  6  0  
 y  3
♦ Với y  2  x  3

[thỏa mãn (*)]

♦ Với y  3  x  8

[thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  là 3; 2 ; 8;3 
 x 2  y 2  y   2 x  1 y  2 


Bài 9: Giải hệ phương trình:. 
5
 3x  8  y 
x  y2


1
2

8

x  3

♥ Điều kiện:  y  0
 x  y  12  0



t

Bài giải

u.

ne

*

ilie

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y
2

♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn

ta

♦ 1   y  x  1  0  y  x  1

ox

3x  8  x  1 

5
2 x  11

(3)

5

.b

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 

w
w

3x  8  x  1 

Xét hàm số

w

f  x   3x  8  x  1 
f ' x  

5
 0.
2 x  11

6

5
 8 11   11

, x   ;    ;  
2 x  11
3 2   2


3
1
10
3 x  1  3x  8
10
 8 11   11






 0 x   ;  &  ;  
2
2
3
2
2
2 3 x  8 2 x  1  2 x  11




2  3 x  8  x  1  2 x  11

 8 11   11

 f  x  đồng biến trên các khoảng  ;  &  ;  
3
2
2

 

 8 11 

 8 11 

♣ Trên khoảng  ;  thì f  x  đồng biến, 3   ;  , f  3   0 nên

3 2 
3 2 

6 
 11



 4
f  x   f  3  x  3  y  4 [thoả mãn (*)]
 11



♣ Trên khoảng  ;   thì f  x  đồng biến, 8   ;   , f  8   0 nên
2

2


6 

 4
f  x   f  8  x  8  y  9 [thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10  

www.boxtailieu.net

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
n
 ax  b  p n a ' x  b '  qx  r

( x là ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' là các hằng số; paa '  0 ; n  2;3
Dạng thường gặp:  ax  b  p a ' x  b '  qx  r
2

t

1. Phương pháp giải

a ' x  b '  ay  b nếu pa '  0

+ Đặt

n

a ' x  b '   ay  b nếu pa '  0

u.

n

ilie

+ Đặt

ne

Đặt ẩn phụ:

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :

ox

ta

h( x)  Ay  Bx  C
(*)

h( y)   A ' B x  C '


.b

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y .

w
w

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.

w

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

2 x 15  32 x 2  32 x  20

(1)

Lời giải
 Điều kiện: 2 x 15  0  x 

15
2

 Phương trình (1) viết lại thành: 2 4 x  2  2 x  15  28
2

Đặt


1
2 x  15  4 y  2  y    , ta được hệ phương trình:

2

 4 y  22  2 x  15


 4 x  22  2 y  15


(2)
(3)

 Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:

www.boxtailieu.net


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

 4 y  4 x  44 y  4 x   2  x  y    x  y  1  8 x  y 1  0
+ Khi x  y , thay vào (3) ta được:

1
x 
2

2
 4 x  2  2 x 15  16 x 2 14 x 11  0  
11

x  

8

So với điều kiện của x và y ta chọn x 

1
.
2

9
+ Khi 1  8  x  y  1  0  y  x  , thay vào (3) ta được:
8

9
4

9  221
16

9  221
.
16

u.

So với điều kiện của x và y ta chọn x 

ne

t

2
 4 x  2  2 x  15  64 x 2  72 x  35  0  x 

ta

ilie

 1 9  221 
 
 Tập nghiệm của (1) là S  
 ;
 2

16



.b

ox

Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2  3 x  1  5  13 x

 Phương trình (1) viết lại thành:

2
 2 x  3   3x 1  x  4


3
3 x  1   2 y  3  y   , ta được hệ phương trình:

2

w

Đặt

Lời giải

1
3

w
w

 Điều kiện: 3 x  1  0  x  

(1)

 2 x  32  2 y  x  1


 2 y  32  3 x  1


(2)
(3)

 Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:
2 2 x  2 y  6 x  y   2 y  2 x   x  y  2 x  2 y  5  0

+ Khi x  y , thay vào (3) ta được:
4 x 2 12 x  9  3 x  1  4 x 2 15 x  8  0  x 

So với điều kiện của x và y ta chọn x 

15  97
.
8

www.boxtailieu.net

15  97
8


Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp

+ Khi 2 x  2 y  5  0  2 y  5  2 x , thay vào (3) ta được:

 2  2 x  3x 1  4 x 2 11x  3  0  x 
2

So với điều kiện của x và y ta chọn x 

11  73
8

11  73
.
8

11  73 15  97 
 Tập nghiệm của (1) là S  
;


 


8
8



3. Một số bài toán tự luyện

2) x 2  4 x  3  x  5

5) 9 x 2  12 x  2  3 x  8 7)

3)

2 x 1  x 2  3x 1  0

6) 9 x 2  6 x  5  3 x  5

ox

ta

4) 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10

u.

x  6  x2  4 x

ilie

1)

ne

t

Giải các phương trình

w

w
w

.b

---------------------------------Hết----------------------------------

www.boxtailieu.net