Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn
Quang Huy người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo để em hoàn thành khóa
luận này.
Em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong khoa Toán,
đặc biệt là các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học đã giúp đỡ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận.
Do thời gian có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận hoàn thiện
hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên
Đào Thị Mừng

2


Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Quang Huy. Khóa luận này không trùng với
kết quả của bất kỳ công trình nghiên cứu nào.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên
Đào Thị Mừng

3

Mục lục
Trang
Lời cảm ơn

2

Lời cam đoan

3

Mở đầu

5

Nội dung

7

Chương 1: Phân tích khái niệm hàm số

7

1.1. Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán

7

1.2. Những định nghĩa khác nhau về hàm

8

1.3. Phân tích định nghĩa hàm

11

Chương 2: Dạy học hàm số

21

2.1. Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình toán ở
phổ thông

21

2.2. Mục đích, yêu cầu dạy học

22

2.3. Hướng dẫn dạy học hàm số

23

2.3.1. Dạy học khái niệm hàm số

23

2.3.2. Dạy học khảo sát hàm số

38

2.3.3. Phát triển tư duy hàm

51

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60

4


Mở ĐầU
1 . Lý do chọn đề tài
Để đảm bảo việc giảng dạy có hiệu quả những nội dung môn toán ở nhà trường
phổ thông, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành
trang tri thức: kỹ năng, kỹ xảo cần thiết về phương pháp dạy học. Một trong những
nội dung tri thức đó là hàm số.
Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm. Theo nhà toán học Xô
Viết Khinsin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng
của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm,
không có khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của
tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm. Thật vậy, bản chất của sự
vật là vận động và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với
khái niệm hàm, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của
nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh lại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không
phải tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể

hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó. Chính vì vậy, khái niệm hàm là một
khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn Toán
ở nhà trường phổ thông, toàn bộ việc dạy học toán ở phổ thông đều xoay quanh khái
niệm này.
Nói riêng, đối với môn toán ở phổ thông trung học, hàm số xuyên suốt trong
các mạch chương trình và tạo nên sự gắn bó giữa các phân môn toán học với nhau.
Việc sử dụng khảo sát hàm số và các tính chất của hàm số như một công cụ để giải
bài tập toán trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả. Hơn nữa, lời giải một số bài
toán khi sử dụng công cụ hàm số thường ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu hơn.
Với mong muốn giúp cho bản thân cũng như các bạn sinh viên khoa toán hiểu
sâu hơn nội dung về hàm số, từ đó có thể dạy học tốt hơn phần kiến thức này. Em đã
chọn đề tài:

Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông

luận cho mình.

5

làm đề tài khóa


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc dạy học hàm số trong chương trình môn toán ở trường phổ
thông, từ đó nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học hàm số ở phổ thông.
+ Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa về dạy học hàm số.
+ Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học hàm số.
4. Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận.
+ Phương pháp quan sát - điều tra.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục khóa luận gồm hai
chương:
Chương 1. Nghiên cứu khái niệm hàm số.
1.1. Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán.
1.2. Những định nghĩa khác nhau về hàm.
1.3. Phân tích định nghĩa hàm.
Chương 2. Dạy học hàm số.
2.1. Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình toán ở phổ
thông.
2.2. Mục đích, yêu cầu dạy học.
2.3. Hướng dẫn dạy học hàm số.
2.3.1. Dạy học khái niệm hàm số.
2.3.2. Dạy học khảo sát hàm số.
2.3.3. Phát triển tư duy hàm.

6


Nội dung
Chương 1. NGHIÊN CứU khái niệm hàm số
1.1. sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán
Từ một 1000 năm trước công nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ
số thực nghiệm trong thiên văn và như vậy họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.
Khái niệm này đến đầu thế kỷ thứ XVII mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống
trong Toán học, nhờ các công trình của Phermat và Descartes.
Giữa thế kỷ thứ XVII nảy sinh nhu cầu về định nghĩa tổng quát hàm số do
đụng chạm đến bài toán về sự giao động của sợi dây. Danh từ hàm số (funotio) được

Leibnitze dùng lần đầu tiên vào khoảng năm 1694. Trong thế kỷ XVII khái niệm
hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường.
Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ
trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718 Johann Bernoulli định nghĩa:
Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại
lượng không đổi. Năm 1748 DAlembert cũng định nghĩa Hàm số là một biểu
thức giải tích. Trong thế kỷ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc
xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên cũng có những định nghĩa tổng quát hơn
nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755 Euler
định nghĩa: Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay
đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại
lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai.
Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích toán học đòi hỏi mở rộng khái
niệm hàm số, xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai
đại lượng. Năm 1837 Dirichler định nghĩa: y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị
của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được
thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng. Ông nêu ví dụ:

1:x hửừ
u tổ
y D(x)
0 :x voõtổ

7


Định nghĩa này được tất cả các nhà bác học thời bấy giờ chấp nhận. Về sau lý
thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa
khái niệm hàm số. Người ta dựa vào lý thuyết tập hợp để định nghĩa khái niệm hàm.
Như vậy là khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính xác

hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn.
1.2. Những định nghĩa khác nhau về hàm
1.2.1. Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên
Khuynh hướng này xuất hiện sớm hơn về mặt lịch sử nên còn được gọi là
khuynh hướng cổ điển. Nó lấy những ứng dụng cổ truyền của toán học, trong vật lý,
kỹ thuật làm cơ sở và dựa vào đại lượng biến thiên.
Trong khuôn khổ khuynh hướng này có hai dạng định nghĩa. Cả hai dạng đều
dựa vào sự tương ứng giữa những giá trị của một đại lượng biến thiên này với các giá
trị của những đại lượng biến thiên kia. Nhưng sự khác nhau là ở chỗ dạng thứ nhất
coi hàm chính là bản thân đại lượng biến thiên nói ban đầu, còn dạng thứ hai coi
hàm là một luật (hay quy tắc biểu thị sự tương ứng đó).
Ví dụ về dạng thứ nhất là định nghĩa: Đại lượng y được coi là hàm số của đại
lượng x, nếu với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nó) thì tương ứng
một giá trị xác định của y, x gọi là đối số (Đại số 10, sách bổ túc văn hóa, nhà xuất
bản giáo dục Hà Nội, trang 58) [7].
Để minh họa cho dạng thứ hai, có thể nêu ví dụ: Luật (quy tắc) theo đó các
giá trị của đại lượng biến thiên phụ thuộc tương ứng với các giá trị của những đại
lượng biến thiên độc lập gọi là hàm (Bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit) [7].
Đương nhiên những phát biểu như trên không thể xem là những định nghĩa
chặt chẽ của khái niệm hàm, bởi vì trong đó có từ đại lượng biến thiên mà việc
chính xác hóa nó có những khó khăn nhất định. Hơn nữa, trong định nghĩa dạng thứ
hai còn có thuật ngữ quy tắc hoặc luật mà nghĩa còn chưa được quy định rõ.
1.2.2. Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp
Khuynh hướng này không dùng đại lượng biến thiên mà lại dựa vào lý thuyết
tập hợp. Về mặt lịch sử, nó xuất hiện sau khuynh hướng nêu ở mục 1.2.1 nên còn
được gọi là khuynh hướng hiện đại. Khuynh hướng này dẫn tới mở rộng khái niệm

8

hàm vì nó nghiên cứu những sự tương ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những
đại lượng. Do đó, nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của
toán học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện trong thời gian gần đây.
Trong khuôn khổ của khuynh hướng này người ta phân biệt bốn dạng định
nghĩa: định nghĩa tình huống hàm, hàm như một quy tắc, hàm như một sự tương ứng
và hàm như một bộ ba tập hợp.
1.2.2.1. Định nghĩa tình huống hàm
Dạng thứ nhất không định nghĩa bản thân khái niệm hàm mà chỉ định nghĩa
tình huống hàm nghĩa là tình huống mà trong đó có thể nói rằng có một hàm số.
Chẳng hạn:
Giả sử M và F là hai tập hợp bất kỳ. Người ta nói rằng trên M được xác định
một hàm f nhận các giá trị trong F nếu với mỗi phần tử x M đặt tương ứng một và
chỉ một phần tử trong F. Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất kỳ thì thay từ
hàm người ta thường dùng từ ánh xạ và nói về ánh xạ của tập hợp M đến tập
hợp F (Kolmogorov và Fomin: Những yếu tố của lý thuyết hàm và giải tích hàm).
Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ của tập hợp A
vào tập hợp B và ký hiệu : A B nếu bằng cách nào đó đặt tương ứng mỗi phần
tử a A một phần tử xác định b B (Trần Văn Hạo 1968, trang 9) [7].
1.2.2.2. Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp
Dạng thứ hai xem hàm như một luật hay quy tắc tương ứng giữa các phần tử
của hai tập hợp, chẳng hạn:
X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho
tương ứng với mỗi phần tử x X một phần tử duy nhất y Y (Lê Đình Phi 1975,
trang 12) [7].
Trong những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng những khái niệm như
quy tắc hay luật. ý nghĩa của những từ này có thể được chính xác hóa nhờ khái
niệm thuật toán, nhưng một sự chính xác hóa như thế lại dẫn đến thu hẹp khái niệm
hàm.
1.2.2.3. Hàm như một sự tương ứng
Dạng thứ ba coi hàm như một sự tương ứng. Chẳng hạn:

9


Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sự tương ứng mà theo đó với
mỗi phần tử x của một tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập Y nào đó
(Klini: Nhập môn vào toán học) [7].
Những định nghĩa thuộc dạng này xuất phát từ khái niệm sự tương ứng là một
khái niệm chưa được định nghĩa nhưng có thể dễ dàng giải thích bằng trực giác (do
đó có thể dùng được với yêu cầu chính xác không cao lắm).
1.2.2.4. Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp
Các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để.
Vì vậy chúng chưa chỉ được đích danh hàm là gì (dạng thứ nhất) hoặc còn có những
thuật ngữ chưa rõ, chẳng hạn như quy tắc (dạng thứ hai), sự tương ứng (dạng
thứ ba).
Dạng thứ tư khắc phục được nhược điểm của ba dạng trên bằng cách đưa thêm
vào tập hợp những cặp để chính xác hóa khái niệm hàm. Dạng này có hai cách định
nghĩa: định nghĩa đầy đủ và định nghĩa rút gọn.
Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki định nghĩa:
Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp được gọi là một đồ thị.
Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định
của đồ thị G, ký hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G
được gọi là miền giá trị của G, ký hiệu là pr2G.
Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr1G A và pr2G B,
được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là
đích của sự tương ứng đó.
Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt
nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm
nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.
Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A,

B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr1F A và pr2F B được gọi là một hàm
nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F.
Về định nghĩa rút gọn, ta có thể trích dẫn ở Kolmogorov (1978, trang 28) [7]:

10


Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kỳ trong
tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước.
Như thế hàm theo định nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy
đủ, còn nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn.
Định nghĩa đầy đủ và định nghĩa rút gọn của khái niệm hàm theo lý thuyết tập
hợp cũng thường hay xâm nhập lẫn nhau. Chính Bourbaki nhiều khi cũng dùng khái
niệm hàm theo định nghĩa rút gọn, cụ thể là trong những phần khác của tập sách
cũng hay dùng từ hàm để chỉ đồ thị hàm. Mặt khác, xuất phát từ định nghĩa rút
gọn,sau khi đưa vào khái niệm miền xác định D(f) của hàm f (tập hợp tất cả các
phần tử thứ nhất của các cặp trong f) và khái niệm miền giá trị E(f) của hàm f (tập
hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong f) người ta có thể chuyển sang định
nghĩa đầy đủ, chẳng hạn bằng cách đưa vào những định nghĩa sau:
1. Nếu D(f) = A và E(f) = B thì người ta nói rằng f là ánh xạ A lên B.
2. Nếu D(f) = A và E(f) B thì người ta nói rằng f là ánh xạ A vào B và viết là
f: A B.
3. Nếu D(f) A và E(f) = B thì người ta nói rằng f là ánh xạ từ A lên B.
4. Nếu D(f) A và E(f) B thì người ta nói rằng f là ánh xạ từ A vào B (xem
Kolmogorov, trang 28) [7].
ở đây, định nghĩa hai thực chất trùng với định nghĩa đầy đủ về hàm của
Bourbaki.
Trong các định nghĩa hàm theo khuynh hướng hiện đại, thực ra chỉ có dạng thứ
tư là triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp. Vậy những định nghĩa dạng này (theo cách
đầy đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại, tức là khuynh

hướng lý thuyết tập hợp.
1.3. Phân tích định nghĩa hàm
1.3.1. Định nghĩa theo cách đầy đủ
Theo định nghĩa đầy đủ, khái niệm hàm có những đặc điểm sau đây:
Thứ nhất, một hàm được xác định bởi ba yếu tố: tập hợp những cặp nguồn và
đích. Thiếu một trong ba yếu tố đó thì hàm chưa được xác định. Vai trò của tập hợp
những cặp rõ ràng là không cần phải bàn cãi vì nó xác định quy tắc tương ứng. Tuy

11


nhiên nếu chỉ cho tập hợp những cặp, tức là ta chỉ biết sự tương ứng giữa những vật
riêng lẻ mà không biết rõ chúng là phần tử của hai tập hợp nào thì hàm vẫn chưa
được xác định. Chẳng hạn ta chưa thể coi sự tương ứng giữa các đối tượng riêng lẻ
sau đây có xác định một hàm hay không:
1 2
2 4
7 1
Nếu coi các số đó là các phần tử của tập hợp số thực R ,tức là nếu lấy nguồn và
đích đều là toàn bộ tập số thực R thì sự tương ứng đó không xác định một hàm,
nhưng nếu thay nguồn R bởi nguồn {1, 2, 7} và giữ nguyên đích là R thì ta lại được
một hàm. Ví dụ này nêu rõ vai trò của nguồn trong khái niệm hàm.
Để thấy rõ vai trò đích, ta xét ví dụ sau đây:
R* R*
x

và

R* R *
x

x

x

( R * ký hiệu cho tập hợp các số thực không âm).
Đó là hai hàm khác nhau mặc dầu chúng có cùng nguồn và cùng tập hợp
những cặp (chỉ có hai đích là khác nhau: R* và R ). Nếu đã biết khái niệm hàm toàn
ánh thì sẽ thấy hàm thứ nhất là một hàm toàn ánh còn hàm thứ hai không phải là
hàm toàn ánh.
Thứ hai, điều kiện ắt có và đủ để một bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đó F là tập
hợp những cặp sao cho pr1F A và pr2F B, là một hàm là:
p1: Với mọi a A đều tồn tại b B sao cho (a, b) F.
p2: Với mọi (a1, b1) F và mọi (a2, b2) F ta đều có: a1 = a2 b1 = b2.
(Có tác giả chỉ yêu cầu điều kiện p2 trong định nghĩa hàm,nhưng ở đây ta theo
chiều hướng chung là yêu cầu cả p1 lẫn p2).
Mỗi một trong hai điều kiện p1, p2 là ắt có nhưng chưa đủ để một bộ ba (F, A,
B) đã nói ở trên là một hàm. Hội của hai điều kiện đó mới là ắt có và đủ.

12


Các điều kiện p1 và p2 chia tất cả các bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đó F là tập
hợp những cặp sao cho pr1A và pr2B thành bốn lớp, trong đó lớp thứ tư là tập các
hàm từ A đến B.
p1

p2

1 Sai

Sai

2 Sai

Đúng

3 Đúng

Sai

4 Đúng

Đúng

Không phải là hàm từ A đến B
Hàm từ A đến B

1

2

A

B

A

3
A

B

4
B

A

B

Những điều kiện trên cùng cho ta thấy vai trò không đối xứng giữa nguồn và
đích. Người ta yêu cầu:
Với mọi a A đều tồn tại b B sao cho (a, b) F.

(p1)

Chứ không yêu cầu:
Với mọi b B đều tồn tại a A sao cho (a, b) F.

(p3)

Trong hai trường hợp a) và b) sau đây thì a) không xác định một hàm còn b) lại
xác định một hàm:

13


A

B

A

B

a)

b)

Mặt khác, người ta yêu cầu:
Với mọi (a1, b1) F và mọi (a2, b2) F ta đều có: a1 = a2 b1 = b2

(p2)

Chứ không yêu cầu:
Với mọi (a1, b1) F và mọi (a2, b2) F ta đều có: b1 = b2 a1 = a2

(p4)

Trong hai trường hợp c) và d) sau đây thì c) không xác định một hàm còn d) lại
xác định một hàm:
A

B

A

c)

B

d)

Những hàm thỏa mãn điều kiện p3 được gọi là hàm toàn ánh, thỏa mãn điều
kiện p4 được gọi là hàm đơn ánh, thỏa mãn cả hai điều kiện được gọi là hàm song
ánh.
Như vậy các điều kiện p3 và p4 chia tập hợp các hàm từ A đến B thành bốn lớp:
p3

p4

Dạng hàm

1

Sai

Sai

Hàm không toàn ánh và không đơn ánh

2

Sai

Đúng

Hàm đơn ánh không toàn ánh

3

Đúng

Sai

Hàm toàn ánh không đơn ánh

4

Đúng

Đúng

Hàm song ánh

14


1.3.2. Định nghĩa theo cách rút gọn
Định nghĩa hàm theo cách rút gọn không xét nguồn và đích. Khi ấy, một hàm
hoàn toàn được xác định bởi một tập hợp những cặp. Cần chú ý rằng điều kiện p1
không những phụ thuộc tập hợp những cặp mà còn phụ thuộc cả nguồn và đích, vì
vậy nó mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn. Trái lại, điều kiện p2 chỉ phụ thuộc tập
hợp những cặp vì vậy nó vẫn có ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn. Do đó, ta có định
nghĩa hàm theo cách rút gọn như mục 1.2.2.4 và từ định nghĩa này ta có:
Một tập hợp những cặp sẽ là một hàm khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện p2.
Tương tự như vậy, điều kiện p3 mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn trong khi
điều kiện p4 vẫn còn có ý nghĩa trong định nghĩa đó. Vì thế, theo định nghĩa rút gọn
không có khái niệm hàm toàn ánh nhưng vẫn có khái niệm hàm đơn ánh.
Nếu F là một hàm theo định nghĩa rút gọn thì (F, pr1F, pr2F) bao giờ cũng là

một hàm theo định nghĩa đầy đủ, thậm chí bao giờ cũng là hàm toàn ánh.
1.3.3. Hàm và những hình thức biểu diễn khác nhau
Ta có thể gặp những hàm được diễn tả bằng bảng, bằng lời lẽ hay bằng biểu
thức giải tích, bằng một hay nhiều biểu thức, dưới dạng tường minh hay ẩn tàng,
cũng có khi không biểu thị được bằng biểu thức giải tích. Nhưng dù là hàm được
cho bằng bất kỳ cách nào, dưới bất kỳ hình thức nào, dù là theo định nghĩa đầy đủ
hay rút gọn thì thông qua những dạng khác nhau này vẫn phải thấy được thực chất
của khái niệm hàm là một sự tương ứng được thiết lập giữa các phần tử của hai tập
hợp và thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
Trong lịch sử toán học đã có lúc người ta coi hàm là một đường, lại có khi coi
hàm là một biểu thức giải tích, nhưng thực ra đó chỉ là những dạng biểu diễn khác
nhau của hàm mà thôi. Ta không nên để cho học sinh lầm lẫn hàm với phương tiện
biểu diễn nó.
1.3.4. Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp dưới góc độ giảng dạy toán học
Một vấn đề đặt ra là nên dạy cho học sinh khái niệm hàm theo cách định nghĩa
nào. Trả lời câu hỏi đó không dễ. Không nên nghĩ một cách đơn giản rằng nên dạy
cho học sinh khái niệm hàm triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp chỉ với lý do là dạy
cái hiện đại nhất. Để có ý thức về sự lựa chọn cách định nghĩa khái niệm hàm, ta cần

15


đánh giá khuynh hướng hiện đại so với khuynh hướng cổ điển dưới góc độ giảng
dạy toán học.
Định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp có những ưu điểm rất cơ bản:
Thứ nhất, một định nghĩa như thế là tổng quát nhất. Ta nhìn nhận ưu điểm này
không phải chỉ đứng trên quan điểm khoa học toán học đơn thuần mà còn xét cả về
mặt giáo dục toán học nữa. Nếu theo quan điểm cổ điển dựa vào đại lượng biến
thiên thì khái niệm hàm làm sao bao gồm được những phép biến hình trong hình
học. Nhờ tính tổng quát cao của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp mà tính thống

nhất của giáo trình toán học ở trường phổ thông được tăng cường. Toàn bộ chương
trình toán học đều xoay quanh khái niệm trung tâm là khái niệm hàm và ta có thể
vận dụng khái niệm này để nghiên cứu những vấn đề rất khác nhau trong chương
trình. Cần chú ý rằng việc tăng cường tính thống nhất của toán học xóa bỏ ranh giới
giả tạo giữa các phân môn của nó là một trong những xu hướng của việc cải cách
môn toán ở nước ta cũng như trên thế giới.
Tính tổng quát của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp còn làm cho khái
niệm này bao gồm hàng loạt ví dụ hay gặp trong thực tế hàng ngày: học sinh tuổi
của học sinh đó, thành phố số dân...Nhờ đó khái niệm hàm có một phạm vi ứng
dụng rộng rãi và đồng thời ta cũng có một nguồn tài liệu phong phú để minh họa
cho khái niệm này.
Tính tổng quát cao của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp làm cho khái
niệm này bao gồm cả quan niệm hàm dựa vào đại lượng biến thiên như một trường
hợp đặc biệt, do đó nó thâu tóm được tất cả những ứng dụng cổ truyền của khái
niệm hàm dựa vào đại lượng biến thiên. Vì vậy khó mà đồng tình với một số ý kiến
cho rằng khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp là mất tính năng động. (Xem
Dorofeev 1978 trang 22, 23) [7]. Đánh giá một định nghĩa không phải chỉ căn cứ
vào những từ ngữ mà định nghĩa đó nói tới. Vấn đề quan trọng là định nghĩa đó làm
cho khái niệm tương ứng bao gồm được những đối tượng, hiện tượng nào. Nếu khái
niệm hàm theo lý thuyết tập hợp bao gồm cả quan niệm hàm dựa vào đại lượng biến
thiên như một trường hợp riêng thì bao nhiêu lời lẽ ca ngợi về trường hợp riêng này
(có tính năng động, là yếu tố cơ bản của tư duy hàm...) chẳng nhẽ lại không đúng

16


đối với trường hợp tổng quát hay sao? Điều nói về sự không phù hợp giữa định nghĩa
hình thức của hàm theo lý thuyết tập hợp với hình dung trực giác về hàm như đại
lượng biến thiên (Dorofeev, sách đã dẫn, trang21, 22) [7] cũng không xác đáng. Tại
sao lại không phù hợp? Chẳng nhẽ một trường hợp riêng lại không phù hợp với

trường hợp tổng quát hay sao? Đương nhiên, do tính trừu tượng của định nghĩa cho
nên giữa sự hiểu biết trực giác thông qua những tình huống cụ thể và việc nắm vững
định nghĩa có thể có khoảng cách nhất định. Nhưng chính Dorofeev cũng phải thừa
nhận rằng khoảng cách như thế không phải chỉ có trong trường hợp định nghĩa hiện
đại về hàm mà còn có ngay ở những định nghĩa cổ điển về hàm nữa.
Thứ hai, định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp là chặt chẽ nhất, rõ ràng nhất.
Trong định nghĩa này không chứa thuật ngữ đại lượng biểu thị một khái niệm rất
khó chính xác hóa (sự chính xác hóa khái niệm đại lượng dương vô hướng trong từ
điển bách khoa toán học của Liên Xô cũ đã cần tới một hệ gồm 10 tiên đề). Nếu
theo khuynh hướng lý thuyết tập hợp một cách triệt để (dạng định nghĩa thứ tư, mục
1.2.2.4) thì ta còn loại bỏ được nhiều thuật ngữ mơ hồ, không rõ nghĩa như quy
tắc, ứng ...
Dorofellv (sách đã dẫn trang 22) [7] cho rằng định nghĩa hàm theo lý thuyết
tập hợp cũng không chặt chẽ vì bản thân lý thuyết tập hợp ngây thơ cũng chứa đựng
nhiều nghịch lý. Tuy nhiên, ta không thể vì lý do đó mà cào bằng sự thiếu chặt chẽ
của lý thuyết tập hợp với sự thiếu chính xác của các định nghĩa khác. Rõ ràng là
toán học ở trường phổ thông đứng trên lập trường thừa nhận lý thuyết tập hợp ngây
thơ, và vì vậy không có lý do gì để công kích tính chặt chẽ của định nghĩa hàm theo
lý thuyết tập hợp.
Sự chặt chẽ, rõ ràng của định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp có ý nghĩa
không chỉ về mặt khoa học toán học mà còn cả về mặt giáo dục toán học nữa. Định
nghĩa đó đạt được yêu cầu chặt chẽ, loại bỏ hoặc hạn chế bớt số những khái niệm
chưa được chính xác hóa thì đứng về mặt nào đó cũng là giảm bớt những điều khó
hiểu đối với học sinh. Dorofellv (sách đã dẫn trang 22) [7] cho rằng định nghĩa hàm
theo lý thuyết tập hợp là nhằm giảm bớt số những khái niệm cơ bản không định
nghĩa, một mục đích hoàn toàn tự nhiên và dễ hiểu đối với khoa học toán học nhưng

17

lại không thể coi là mục đích đối với việc giảng dạy toán học, nhất là trong nhà
trường phổ thông. Theo ông thì việc lựa chọn một số khái niệm nào đó làm khái
niệm không định nghĩa với mục đích đơn giản hóa việc nghiên cứu chúng trong dạy
học có thể hiệu quả hơn là xu hướng cố gắng định nghĩa tất cả những gì không được
định nghĩa. Quan điểm không cần thiết phải cố gắng định nghĩa tất cả những gì có
thể định nghĩa trong nhà trường phổ thông của Dorofellv là hoàn toàn đúng đắn,
nhưng vận dụng quan điểm này để phê phán khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp
lại không thích hợp. Thật vậy, trong nhà trường phổ thông, việc xây dừng khái niệm
hàm theo lý thuyết tập hợp không phải nhằm giảm bớt số những khái niệm không
định nghĩa mà điều quan trọng là giảm bớt những khái niệm mơ hồ, thay bằng
những khái niệm khác rõ ràng hơn (rõ ràng hơn không nhất thiết là phải định nghĩa
mà có thể trên cơ sở hình dung trực giác). Chẳng hạn khái niệm tập hợp rõ ràng
hơn khái niệm đại lượng trong khuynh hướng cổ điển, khái niệm cặp (trong
định nghĩa triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp) rõ ràng hơn khái niệm quy tắc tương
ứng mặc dầu tập hợp và cặp ở nhà trường phổ thông cũng chỉ được mô tả chứ
không hề được định nghĩa như Dorofellv e ngại.
Về mặt nhược điểm thì phải thừa nhận rằng có sự không phù hợp giữa định
nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp với nhiều thuật ngữ thường dùng (Dorofellv, sách
đã dẫn, trang 23,24) [7]. Nếu như nghiêm ngặt tuân theo quan điểm tập hợp thì liên
quan tới khái niệm hàm, ta phải sử dụng hàng loạt những ký hiệu và thuật ngữ
không thông dụng, gây nên một sự thay đổi lớn trong ngôn ngữ toán học. Chẳng
hạn, ta sẽ phải dùng những thuật ngữ và ký hiệu sau đây:


(x, y) f, Hàm x,s in x / x , là hàm con đơn ánh của hàm
2 2

x, s in x / xR , x, x 2 / xR = x, 2 x / xR ...
Trái lại nhiều thuật ngữ và ký hiệu thông dụng lại trở thành quy ước, không tự
nhiên, không lôgic, không chính xác và có khi vô nghĩa nữa. Ví dụ như công thức
quen thuộc sin x ' = cos x trở thành không hoàn toàn chính xác. Thực vậy sin x là
giá trị của hàm sin = x,sin x / xR tại phần tử x R, tức là một số, còn dấu '

18


để chỉ phép lấy đạo hàm, không dùng được đối với những số. Cũng có thể hợp pháp
hóa những cách viết như trên bằng sự giải thích như sau: Trong thực tế thay cho ký
hiệu đầy đủ về hàm, người ta thường dùng ký hiệu vắn tắt là f(x). Tuy nhiên sự giải
thích này lại làm cho ký hiệu f(x) trở thành có hai nghĩa: Một mặt nó là giá trị của
hàm f ứng với giá trị x (nói chính xác), mặt khác nó lại là bản thân hàm f (nói một
cách không hoàn toàn chính xác). Đương nhiên đối với hàm số sin và hàm số cos thì
cũng có thể viết công thức trên dưới dạng hoàn toàn chính xác là sin ' = cos . Nhưng
đối với hàng loạt hàm số khác như

x, x / xR chẳng hạn thì làm sao có cách viết
2

vừa đơn giản vừa chính xác như thế được?
a

Ký hiệu lim f ( x) và f ( x ) dx cũng liên hệ với biểu thức f(x) hơn là với hàm f.
b
x a

Để định nghĩa giới hạn trong lý thuyết tập hợp, ta phải dùng một khái niệm đặc biệt
gọi là loc x a và kí hiệu là o(a) chứ không dùng chữ cụ thể để ký hiệu cho biến,

và giới hạn của hàm theo loc o(a) được ký hiệu là lim f . Nhưng rõ ràng là ký hiệu
X P

như thế liên hệ với khái niệm o(a) vượt ra khỏi chương trình phổ thông.
Nhược điểm về sự không phù hợp giữa định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp
với những thuật ngữ và ký hiệu thông dụng có thể khắc phục bằng cách chuyển
những thuật ngữ và ký hiệu không thông dụng sang những thuật ngữ và ký hiệu
thông dụng tương ứng nhờ những quy ước và dĩ nhiên phải chịu sự thiếu tự nhiên và
có khi cả sự thiếu chính xác của các quy ước đó.
Hiện nay, xu hướng chung là người ta nhất trí rằng nên dạy khái niệm hàm ở
trường phổ thông theo tinh thần của lý thuyết tập hợp. Sự sai khác ý kiến còn lại ở
chỗ: Nên tuân theo quan điểm tập hợp một cách triệt để (dựa vào định nghĩa dạng 4
ở mục 1.2.2.4) hay không triệt để (dựa vào các dạng định nghĩa 1, 2, 3 ở các mục
1.2.2.1 1.2.2.3), nên dạy định nghĩa hàm một cách tường minh hay không tường
minh. Sự sai khác này tùy thuộc yêu cầu và hoàn cảnh của mỗi nước. Có nơi, khái
niệm hàm được định nghĩa một cách tường minh và triệt để dựa vào lý thuyết tập
hợp. Theo Kolmogorov 1978 (trang 28) [7] thì vấn đề cơ bản trong việc dạy khái
niệm hàm ở phổ thông là hình thành ở học sinh những hiểu biết đúng đắn về nội
dung khái niệm đó theo tinh thần của lý thuyết tập hợp chứ không phải ở chỗ bắt

19


buộc phải phát biểu định nghĩa tương ứng một cách tường minh. Ông cho rằng học
sinh có thể dần dần lĩnh hội được nội dung cơ bản của khái niệm hàm nhờ những
phát biểu sau đây qua những bậc lớp khác nhau, coi như những định nghĩa không
tường minh của khái niệm đó:
1.

Nếu cho một

hàm f với miền xác định D thì với mỗi x D đều tương ứng một y = f(x)
hoàn toàn xác định.

2.

Một hàm với
miền xác định D được cho hoàn toàn bằng cách chỉ ra đối với mỗi x D
phần tử tương ứng y = f(x).

Từ 1 và 2 suy ra:
3.

Để

cho

một

hàm thì ắt có và đủ là cho tập hợp những cặp Mf = x, y / y f ( x) ứng
với nó. Tập hợp này có tính chất sau:
(F) Đối với x bất kỳ thì trong tập hợp Mf chứa không quá một cặp (x, y) với
phần tử ban đầu x cho trước.
Rõ ràng miền xác định D của hàm f không gì khác hơn là tập hợp tất cả các
phần tử thứ nhất của các cặp (x, y) Mf.
4.

Một tập hợp bất
kỳ M gồm những cặp với tính chất (F) xác định một hàm (xem
Kolmogorov, sách đã dẫn, trang 28) [7].

Sau khi những phát biểu (1) (4) đã được dần dần hình thành qua các lớp thì
việc định nghĩa tường minh khái niệm hàm, ngay cả theo cách triệt để dựa vào lý
thuyết tập hợp, cũng sẽ rất tự nhiên: Nếu một tập hợp bất kỳ Mf với tính chất (F) xác
định một hàm thì đơn giản hơn hết là coi bản thân tập hợp đó là một hàm. Tuy nhiên
một định nghĩa tường minh như vậy không nhất thiết phải đưa vào chương trình bắt
buộc đối với mọi học sinh.

20


Chương 2: DạY HọC HàM Số
2.1. Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình toán ở phổ thông
ở lớp 7 khái niệm hàm số được mô tả thông qua tương quan phụ thuộc giữa hai
đại lượng biến thiên và hai hàm số cụ thể y a x , y

a
(a
x

0).

Chương trình lớp 9 xét tiếp các hàm số bậc nhất y a x b (a
hai dạng y a x 2 (a

0), hàm số bậc

0), hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

Chương trình lớp 10 tổng kết về hàm số. Học sinh được nghiên cứu đầy đủ hơn
với các khái niệm: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số; đồng thời đưa ra các khái

niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số; hàm số chẵn, lẻ.
Chương trình lớp 11 học sinh học hàm số lượng giác (chương 1), hàm số với
đối số tự nhiên (chương 3).
Trong chương 1 (Đại số và Giải tích 11 kể cả sách nâng cao), sách giáo khoa
giới

thiệu

các

hàm

số

lượng

giác

của

biến

số

thực

y sin x , y cos x , y tan x , y cot x cùng với tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của nó.

Các hàm số y sin x , y tan x , y cot x cùng là những hàm số lẻ và hàm
số y cos x là hàm số chẵn.

Các hàm số y sin x , y cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 , các
hàm y tan x , y cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ .
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 không đề cập đến khái niệm hàm số tuần
hoàn tổng quát mà những hiểu biết tổng quát về hàm số tuần hoàn được cung cấp
cho học sinh trong bài đọc thêm. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao
đưa ra khái niệm hàm số tuần hoàn tổng quát:

21


Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có
số T

sao cho với mọi x D ta có
x T D, x T D và f ( x T ) f ( x)

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được
gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.
Trong chương 3, sách giáo khoa trình bày về khái niệm dãy số và nghiên cứu
hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân. Thực chất, dãy số chính là hàm số
với đối số tự nhiên.
Phần này được trình bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao.
Lớp 12 có chương2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit. Trước đây
những hàm này được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
NXBGD 2000. Nhưng theo chương trình đổi mới nội dung giáo dục, chương đạo
hàm được đưa vào từ lớp 11 nhằm phục vụ cho việc dạy học vật lý ở đầu lớp 12 và
dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit một cách đầy đủ theo các bước.
Nên các hàm số này đã được đưa vào chương trình lớp 12.
Sách giáo khoa Giải tích 12 kể cả sách nâng cao trình bày định nghĩa hàm số

lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Đối với hàm số ngược, SGK Giải tích 12 và SGK Giải tích 12 nâng cao không
trình bày mà chỉ nói tới phép toán ngược:
Phép toán lôgarit là phép toán ngược của phép lũy thừa.
2.2. Mục đích, yêu cầu dạy học
a. Nắm vững khái niệm hàm số, thấy được những dạng khác nhau muôn hình
muôn vẻ của khái niệm này trong tất cả các phân môn của toán học và qua các
chương mục khác nhau, từ đó thấy được vị trí trung tâm toàn bộ chương trình toán
phổ thông và tập luyện phương thức tư duy hàm.
b. Nắm vững phương pháp khảo sát hàm số, thoạt đầu bằng phương pháp sơ
cấp và về sau bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phương pháp đó để khảo
sát những hàm số cụ thể: hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm nghịch biến; hàm số mũ,
lôgarit, lượng giác và tiến tới rèn luyện được kỹ năng thành thạo về mặt này.

22


Thấy được những mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị và những ứng dụng
của việc khảo sát hàm số, đặc biệt là trong việc giải phương trình và các bài toán về
cực trị.
c. Phát triển ở học sinh năng lực tư duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu
cầu (a) và (b) trong toàn bộ chương trình môn toán.
Rèn luyện những thao tác tư duy, đặc biệt là trừu tượng hóa và khái quát hóa
trong việc hình thành khái niệm hàm số từ những ví dụ muôn hình muôn vẻ.
d. Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, trước hết là tập dượt xem xét
những sự vật và hiện tượng trong trạng thái động và trong những mối liên quan mật
thiết với nhau.
2.3. Hướng dẫn dạy học hàm số
2.3.1. Dạy học khái niệm hàm số
2.3.1.1. Hình thành những biểu tượng về hàm số ngay từ các lớp dưới lớp 7

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh đã được làm quen ngầm
với khái niệm tương ứng. Đó là những tương ứng đơn giản giữa các phần tử của
hai tập hợp như: tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số
đĩa, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng khi cho cố định số hạng còn lại...
Ví dụ: Một biểu thức y x 3 sẽ cho tương ứng mỗi số x với một số y duy nhất
nhận giá trị là x 3 . Như vậy, khi x bằng 2 thì giá trị tương ứng của y là 5.
Các em cũng được làm quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên.
Ví dụ: (sách giáo khoa Toán 2, trang 89): Viết số thích hợp vào ô trống:
Số hạng

32

Số hạng

8

Tổng

12

25
25

62

35
85

Từ lớp 4, sách giáo khoa bắt đầu giới thiệu về các biểu thức chứa chữ đơn giản,
các bài toán tìm x hay tìm giá trị của biểu thức với một hoặc hai biến.

Ví dụ: (sách giáo khoa Toán 4, trang 7): Tìm giá trị của biểu thức và điền vào
ô trống trong bảng sau:

23


a
6

5

7

10

6

Ví dụ: (sách giáo khoa Toán 4, trang 7): Một hình vuông có độ dài cạnh là a.
Gọi chu vi hình vuông là P. Ta có: P a 4 . Hãy tính chu vi hình vuông với: a =
3cm; a = 5dm; a = 8m.
Ta có: P a 4 sẽ cho tương ứng mỗi số a với một số P duy nhất nhận giá trị
là a 4 . Như vậy, khi a bằng 3cm thì giá trị tương ứng của P là 12cm2, khi a bằng
5dm thì giá trị tương ứng của P là 20dm2 và khi a bằng 8m thì giá trị tương ứng của
P là 32m2.
Như vậy, sách giáo khoa toán ở tiểu học bước đầu cho học sinh làm quen một
cách ngầm ẩn, với những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số như mối
quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của
hai tập hợp...nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số, làm
cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7.
2.3.1.2. Khái niệm hàm số trong SGK các lớp 7, 9, 10

2.3.1.2.1. ở lớp 7
ở lớp 7 có hẳn một chương về hàm số. Trước khi đưa ra định nghĩa và ký hiệu
về hàm số, sách đã khảo sát về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Việc giới thiệu
những tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có ý nghĩa cho việc chuẩn bị nghiên cứu
về hàm số. Các ví dụ, các bài toán thường xuất phát từ thực tế, từ những mối quan hệ
giữa các đại lượng trong vật lý mà học sinh đã học biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ
lệ nghịch có tác dụng giúp học sinh hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thực
tiễn. Hàm số có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ môn khoa học
khác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số.
Sách giáo khoa trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số bằng con đường quy
nạp, xuất phát từ những ví dụ cụ thể về hàm số, rút ra những thuộc tính bản chất của
khái niệm, sau đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm.

24


Mở đầu bài Hàm số sách giáo khoa nêu ra 3 ví dụ (sách giáo khoa trang
62,63):
Ví dụ 1: Nhiệt độ T (0C) tại các thời điểm t (giờ) trong cùng một ngày được
cho trong bảng sau:

t (giờ)

0

4

8

12

16

20

T (0C)

20

18

22

26

24

21

Ví dụ 2: Khối lượng m (g) của một thanh kim loại đồng chất có khối lượng
riêng là 7,8 g/cm3 tỉ lệ thuận với thể tích V (cm3) theo công thức: m 7,8 V . Tính
các giá trị tương ứng của m khi V = 1; 2; 3; 4.
Ví dụ 3: Thời gian t (h) của một vật chuyển động đều trên quãng đường 50 km
tỉ lệ nghịch với vận tốc v (km/h) của nó theo công thức: t

50
. Tính và lập bảng giá
v

trị tương ứng của t khi v = 5; 10; 25; 50.

Sách giáo khoa đưa ra nhận xét: Trong ví dụ 1 ta thấy:
Nhiệt độ T (0C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ)
Với mỗi giá thị của t ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T.
Ta nói T là hàm số của t.
Tương tự, trong các ví dụ 2 và ví dụ 3 ta nói m là hàm số của V, t là hàm số
của v.
Như vậy bản chất của việc lập bảng hay cho công thức đều là diễn tả sự tương
ứng giữa hai đại lượng (t và T, m và V, t và v). Với mỗi giá trị của đại lượng này thì
giá trị tương ứng của đại lượng kia là duy nhất. Bảng và công thức đều cho thấy mối
quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên, đều cho ta quy tắc thiết lập sự
tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp. Từ đây, học sinh có thể rút ra được
thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số là sự tương ứng giữa hai đại lượng và sự
thay đổi của đại lượng này phụ thuộc vào sự thay đổi của đại lượng kia. Từ đó, học
sinh sẽ tiếp cận với khái niệm hàm số một cách dễ dàng hơn.

25


Định nghĩa khái niệm hàm số sách giáo khoa trang 63:
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số
của x và x gọi là biến số.
Hàm số ở đây được trình bày theo quan điểm: coi hàm số như một khái niệm
toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Định nghĩa này
làm ẩn đi đặc trưng biến thiên của khái niệm hàm số, chỉ đề cập tới đặc trưng phụ
thuộc và tương ứng. ở đây chưa nhắc tới thuật ngữ biến thiên và đặc trưng biến
thiên của hàm số. Có lẽ để học sinh tiếp thu một cách tường minh đặc trưng này
ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một việc khó, nó đòi hỏi ở một
mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số.
Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như định nghĩa của

các nhà toán học thế kỷ XIX, chứ không dùng định nghĩa chặt chẽ nhờ lý thuyết tập
hợp như trước đây. Sách giáo khoa Đại số 7 NXBGD năm 2001 trình bày định
nghĩa về khái niệm hàm số theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một
quy tắc tương ứng giữa hai phần tử của hai tập hợp số.
Định nghĩa: (sách giáo khoa Đại số 7 NXBGD năm 2001, trang 73):
Giả sử X và Y là hai tập hợp số.
Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x X một
và chỉ một giá trị y Y, mà ta ký hiệu là y = f(x).
Người ta viết:

f: X Y
x y = f(x) (đọc là x tương ứng với f(x)).

Định nghĩa này chỉ đề cập đến đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến
thiên, đặc trưng phụ thuộc của hàm số. Một định nghĩa và ký hiệu về hàm số như
vậy là quá khó đối với học sinh lớp 7 và cũng không dùng gì trong suốt giáo trình
đại số ở trung học cơ sở.
Như vậy, cách định nghĩa về khái niệm hàm số trong sách giáo khoa Toán 7
hiện hành là đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh trung học cơ sở. Qua đó, học sinh dễ
dàng nắm được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số đó là sự tương ứng và
sự phụ thuộc.

26