Lý thuyết hàm giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN

Trong q trình nghiên cứu và hồn thành khóa luận này, em đã nhận
được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cơ giáo trong tổ giải
tích nói riêng và trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Em xin
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáo
T.S Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian
qua để em hồn thành khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà
em trình bày trong khóa luận này sẽ khơng tránh khỏi thiếu sót. Em kính
mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các
bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, thỏng 5 nm 2011
Sinh viờn
Lờ Th Thm

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

1


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN

Trong q trình nghiên cứu khóa luận “ Lý thuyết hàm giải tích” em có
sử dụng một số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận của mình. Danh
sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa
luận.
Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng nỗ lực của
bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng
cũng như các thầy cơ trong tổ giải tích. Đây là đề tài khơng trùng với đề tài
của các tác giả khác.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các bạn
sinh viên để khóa luận được hồn thin hn.

Sinh viờn
Lờ Th Thm

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

2


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 4
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................... 6
1.1 Số phức ...................................................................................................... 6
1.2 Một số khái niệm và định lý về giới hạn ................................................... 11
1.3 Hàm biến phức .......................................................................................... 13
CHƢƠNG 2. HÀM GIẢI TÍCH .................................................................. 20

2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức ........................................................... 20
2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann ...................................................................... 24
2.3 Hàm giải tích ............................................................................................. 32
2.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm .................................................................. 33
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍCH PHÂN
HÀM GIẢI TÍCH........................................................... 36
3.1 Tích phân hàm biến phức .......................................................................... 36
3.2 Định lý Cauchy về tích phân hàm giải tích
trên đường cong đóng .................................................................... 39
3.3 Một số định lý quan trọng của hàm giải tích ............................................ 44
CHƢƠNG 4. CHUỖI HÀM GIẢI TÍCH .................................................... 48
4.1 Một số định lý về chuỗi hàm giải tích ....................................................... 48
4.2 Phân tích một hàm giải tích thành chuỗi ................................................... 52
4.3 Một vài điểm đặc biệt của hàm giải tích ................................................... 60
KẾT LUẬN .................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 64

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một thành phần trọng yếu của tốn học. Đã có rất nhiều nhà
Toán học nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực này, đặc biệt là giải tích phức.

Tuy nhiên, đến giữa thế kỷ XIX nhờ các cơng trình của Cauchy, Riemann,
Weierstrass,..thì bộ môn hàm số biến số phức mới được xây dựng tương đối
hồn chỉnh và trở thành một bộ mơn độc lập.
Một trong những nội dung quan trọng của hàm số phức đó là các vấn đề
liên quan đến các hàm số giải tích. Nội dung của nó khơng những có giá trị lý
luận rất sâu sắc mà nó cịn ứng dụng một cách có hiệu quả trong việc giải
quyết hàng loạt vấn đề khó trong nội dung tốn học ( bài tốn phân phối số
ngun tố, tính các tích phân suy rộng…) cũng như giải quyết các vấn đề lớn
của thực tiễn ( các bài toán của lý thuyết đàn hồi, nước thấm, bài tốn nổ mìn
định hướng, các bài tốn của thủy khí động học…).
Chính vì những lý do trên, cùng với niềm u thích mơn giải tích và
được sự gợi ý, hướng dẫn tận tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng em đã
mạnh dạn chọn đề tài “ Lý thuyết hàm giải tích” làm đề tài khóa luận tốt
nghiệp cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp các kiến thức về hàm giải tích
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
g Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về sự liên tục, khả vi cũng như các tính

chất về tích phân và chuỗi hàm giải tích.
g Phạm vi : Nội dung kiến thức nằm trong phạm vi của giải tích phức.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyt hm gii tớch.

SV Lê Thị Thắm K33 C To¸n

4

Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích tài liệu có liên quan và tổng kết kinh nghiêm của bản thân.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 4 chương: Chương 1, em trình bày một số kiến thức cơ
bản về hàm số biến số phức, dãy và chuỗi hàm phức. Chương 2 là nội dung
về sự khả vi, liên tục của hàm giải tích. Chương 3, em trình bày về những tính
chất quan trọng về tích phân hàm giải tích. Chương 4 l nghiờn cu v chui
hm gii tớch.

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

5


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Số phức
1.1.1 Định nghĩa
Như ta đã biết trong tập hợp số thực phương trình bậc n (n 2) khơng
phải bao giờ cũng có nghiệm, ví dụ như phương trình x 2 1 0 . Vì vậy cần
phải đưa vào một loại số mới có bản chất tổng quát hơn. Tất nhiên khi đưa ra
loại số mới này, ta phải trang bị trên nó một số phép tốn mà phép tốn này
phải phù hợp với phép tốn đã có trên số thực. Có nhiều phương pháp để đưa

vào loại số mới này, ở đây ta đưa vào số i (đơn vị ảo) là nghiệm phương
trình x 2 1 0 , và ta xây dựng lên số mới đó là số phức.
Định nghĩa 1.1.1
Số phức là số có dạng z

x iy , trong đó x, y ¡ và i được gọi là đơn

vị ảo i 2 1 0
x : được gọi là phần thực của số phức z , kí hiệu Re z

y : được gọi là phần ảo của số phức z , kí hiệu là Im z
Xét mặt phẳng xOy , số phức z là một cặp có thứ tự x, y của các số
thực x, y .
Mặt phẳng xOy lúc đó sẽ được gọi là mặt phẳng phức, ký hiệu là £ .
Khi đó, trục hồnh gọi là trục thực và trục tung gọi là trục ảo.
Đặc biệt, nếu y 0 , khi đó số phức z

x i0 x là số thực.

x 0 , khi đó số phức z 0 iy iy là số thuần ảo.
Hai số phức z1

x1 iy1, z2

x2 iy2 , gi l bng nhau nu

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

x1

x2

y1

y2

6


Khóa luận tốt nghiệp
Cho s phc z

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

x iy , s phc cú dng x iy được gọi là số phức liên hợp

của số phức z . Kí hiệu z
Nghĩa là z = x iy = x iy
1.1.2 Các phép toán trên số phức
Trên tập số phức ta trang bị các phép toán như sau:
a , Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức z1

z

x1

x2

x2 iy2 là số phức

x1 iy1, z2

i y1

y2 , kí hiệu z

z1

z2

Từ định nghĩa, ta có các tính chất sau:
1, Kết hợp : z1

z2

2, Giao hoán : z1

z2

z3

z1

z2

z1

z2

z3

b , Phép nhân
Tích của hai số phức z1

z

x1x2

y1 y2

i x1 y2

x2 iy2 là một số phức

x1 iy1, z2

x2 y1 , kí hiệu z

z1z2

Các phép toán trừ và chia của số phức được đưa ra như là các phép toán
ngược của cộng và nhân.
Hiệu của 2 số phức z1 và z2 kí hiệu là z1

z2

z2 và thương của z1 và z2

0 kí hiệu là z1:z2 hoặc z1 /z 2 .Ta có :

z1 z2
z1 /z 2

x1 x2

i y1

y2

z1 z1 / z2 z2

x1 x2
x22

y1 y2
y22

i

x2 y1
x22

x1 y2
y22

1.1.3 Dạng lƣợng giác của số phức
Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức, ta trở li cỏch biu din hỡnh
hc ca nú.

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

7


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

uur
Gọi độ dài của Oz là r . Ta có r = x 2

y2 .

Đại lượng r được gọi là modul của

y

số phức z và là một số thực không âm.
uur
Hướng của Oz được xác định bởi
y

. Góc này được tạo thành bởi
uur
chiều dương của trục Ox và Oz với
góc

r
O

này được gọi là

z 0 . Góc

z

φ
x

x

acgumen của số phức z . Như vậy
về mặt hình học, số phức z được xác
định hoàn toàn bởi 2 đại lượng r và
phức z . Kí hiệu

. Chúng được gọi là tọa độ cực của số

r |z|
= argz

Chú ý : Modul của số phức được xác định duy nhất, còn acgumen được xác
định sai khác một bội của 2 .
Dựa vào hình vẽ ta có : x r cos
y

và z

x iy

r sin

r cos

irsin

r cos

isin

(1.1.1)

Đây chính là dạng lượng giác của số phức
Dựa vào dạng lượng giác ta có thể thực hiện phép tính nhân trong trường số
phức một cách đơn giản
Thật vậy

z1z2

r1 cos

1

r1r2 cos

isin
1

1

r2 cos

2

isin

2

1

isin
2

2

(1.1.2)

Đẳng thức (1.1.2) có thể suy rộng ra trường hợp nhân nhiều số phức với nhau
và ta có thể viết :

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp
z1.z2 ..zn

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Néi 2

z1 . z2 .. zn
n

arg z1..zn

arg zk
k 1

Trong trường hợp mọi thừa số đều bằng nhau, nghĩa là:

zk

thì ta có cơng thức Moivre như sau

z k 1,2,.., n

zn

r cos

n

isin

r n cos n

isin n

(1.1.3)

Dựa vào dạng lượng giác và công thức (1.1.3) ta có thể tính được các căn
thức của số phức.
Ta gọi căn bậc n của số phức z , kí hiệu
là một số phức bất kì
n

z

(1.1.4)
=0. Nếu z

r cos

n

cos n

isin

isin n

r cos

isin

argz
= n r và arg = =
n
n

nghĩa là:
Do đó

0 , ta đặt

isin

cos
thì

z , trong đó n là số tự nhiên,

thỏa mãn đẳng thức:

z

Nếu z 0 thì rõ ràng

n

=nz=

n

r ( cos

arg z
n

isin

arg z
)
n

Vì arg được xác định sai khác k2

nên

(1.1.5)
n

z có nhiều giá trị khác nhau.

Giả sử ta lấy n giá trị sau đây của arg:
arg z;arg z 2 ;..;arg z 2(n 1)
n

z = n r (cos

thì

n

z sẽ nhận n giá trị khác nhau

arg z k 2
arg z k 2
+isin
)

n
n

k

(1.1.6)

0, 1..n-1

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

Vì n giá trị trên đều có cùng modul (bằng

n

r ) nên chúng cùng nằm trên một

đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính là
2k
n

chúng sai khác một đại lượng

n

r . Ngồi ra, vì acgumen của

0,1,.., n 1 nên chúng tạo thành một

k

đa giác đều n cạnh.
Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị
Ta có i cos

i

nên

cos

z0
z1

cos
cos

Ví dụ 2
Ta có

isin

2

isin

4

2

k2
2

4

5
4

isin

i

isin

k2
2

4

k 0, 1

2
i 1

2

4
5
4

2
2

i 1

Tìm mọi giá trị của n 1 , n -số tự nhiên
n

1 cos

k2
n

isin

k2
n

k

0,1.., n 1

Như vậy có n giá trị của căn bậc n của 1, tạo thành các đỉnh của một đa giác
đều nội tiếp một đường trịn tâm O bán kính bằng 1. Một trong các đỉnh đó

nằm tại điểm z 1.
Ví dụ 3 Tìm mọi giá trị của 1 i 3
Ta có

1 i 3

Vậy zk
Nghĩa là z0

2 cos

2 cos

3 i
; z1
2

3

6

i sin

3

k2
2

3 i
2

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

isin

6

k2
2

k 0, 1

z0

10


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

1.2 Một số khái niệm và định lý về giới hạn
1.2.1 Lân cận
Định nghĩa 1.2.1 : Khoảng cách giữa hai điểm z1
định nghĩa là modul của hiệu z1
nghĩa là

d z1 , z2

z1

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử

z2

x2 , y2 được

x1, y1 ; z2

z2 ,
x1

x2

2

y1

y2

2

là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm

z £ thỏa mãn bất đẳng thức

d z, z0
lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm z0 £ , ký hiệu U z0 ,

là

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử

là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm

z £ thỏa mãn bất đẳng thức

0 d z, z0
lân cận thủng của điểm z0 £

là

Chú ý : Khái niệm lân cận thủng hay được sử dụng trong trường hợp ta muốn
loại chính điểm z0 ra khỏi tập đang xét.
1.2.2 Giới hạn
Định nghĩa 1.2.4 Điểm z0 £ ( hay thuộc £ ) được gọi là điểm giới hạn của
tập D

£ ( hay thuộc £ ) nếu trong bất kỳ lân cận thủng nào của z0 ta cũng

tìm được ít nhất một điểm của D
Định nghĩa 1.2.5 Dãy an

n 1,2,.. được gọi là ánh xạ của tập hợp các

số tự nhiên n 1,2,... vào mặt phẳng £ (hay £ ).
Điểm a £ (hay thuộc £ ) là điểm giới hạn của dãy an

n 1,2,.. nếu

trong mọi lân cận của a ta có thể tìm được vơ hạn phần tử của dãy đó.
Nếu a là điểm giới hạn duy nhất ca dóy ú thỡ ta núi rng dóy

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

n 1,2,.. hội tụ về a và ta viết lim an

an

n

a

1.2.3 Tập mở, tập đóng
Cho A là một tập tùy ý trong £ .
Ta gọi tập S z0 , r
Tập S ' z0 , r

z £ : z z0

z £ : z z0

r là hình cầu mở tâm z0 , bán kính r .

r là hình cầu đóng.

g Điểm z0 được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu mở

S z0 , r

A

g Điểm z0 được gọi là điểm ngồi của A nếu tồn tại hình cầu mở

S z0 , r

A

g Điểm z0 gọi là điểm biên của A nếu với mọi S z0 , r đều chứa những

điểm thuộc A và những điểm không thuộc A
g Điểm z0 gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận U của z0 chứa ít nhất một

điểm của A khác z0
g Điểm z0 gọi là điểm cô lập của A nếu tồn tại một lân cận U của z0 chứa

duy nhất một điểm z0

A

Trên cơ sở đó, ta có một số định nghĩa nhƣ sau :
- Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A . Hay
nói cách khác , nếu điểm z

A thì tồn tại một lân cận của z bao hàm trong

A

- Tập A được gọi là tập đóng nếu mọi điểm khơng thuộc A đều là điểm
ngồi của A hay nói cách khác, nếu z

A thì tồn tại một lân cận của z

không chứa điểm nào thuộc A
- Tập A được gọi là tập compak nếu mọi dãy trong A đều chứa một dãy con
hội tụ

SV Lª Thị Thắm K33 C Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

- Tập A được gọi là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở E1, E2 thỏa
mãn điều kiện

A

E1

E2 ; A

A

E1

E1
; A

E2
E2

- Nếu tập A là tập mở và liên thơng thì tập A được gọi là miền
1.3 Hàm biến phức
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử D

£ là một tập tùy ý cho trước.Một hàm biến phức trên D với

các giá trị phức là một ánh xạ :
f :D

£

Hàm phức như vậy được kí hiệu w

f z ;z D

Các ví dụ :
1. Ánh xạ z

f ( z )= az b xác định một hàm gọi là hàm nguyên

tuyến tính trên D
2. Ánh xạ z

f ( z )=

phân tuyến tính trên
bc ad

D =£

az b
;c
cz d

\{

d
;
c

0 xác định một hàm gọi là hàm
}

(sau này ta thường giả thiết

0)

Bằng cách viết w u iv; u R ew; v=Imw , hàm f có thể viết dưới dạng
f ( z ) u ( z ) iv( z )

Hai hàm u, v được gọi là hàm phần thực và phần ảo của f
u ( z ) Re f ( z ) (Re f )( z )

v( z) Im f z

Im f

z

1.3.2 Giới hạn của hàm số
Giả sử w
rằng hàm số w

f z là một hàm số xác định trên tập hợp D
f z có giới hạn l w 0

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

khi z

£ . Ta nói

z0 nếu hàm số

13

Khóa luận tốt nghiệp
w

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

f z thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây :

i1 , Nếu dãy zn bất kỳ zn

D hội tụ về z0 thì dãy w n

f zn

cũng hội

tụ về w 0

i2 , Với

0 bất kỳ, ta đều tìm được

cận thủng U ' z0 ,

0 sao cho nếu z thuộc vào lân

thì w U w 0 ,

Nói một cách cụ thể : Cho hàm số f z xác đinh trên D

£

£ . Số

được gọi là số hữu hạn của f z tại z0 nếu :

0,

>0: z D, z z0

Khi đó ta viết lim f z
z

, hoặc f z

z0

Định lý : Giả sử hàm

z0

f z

f z

u x, y

z

f z tại điểm z0 khi và chỉ khi lim u x, y
Điểm xa vô tận a

£

xác đinh trên D và

iv x, y

x0 iy0 là điểm giới hạn. Số hạng
x
y

z0

x0
y0

a ib là giới hạn của hàm số
a, lim v x, y
x
y

x0
y0

b.

{ } gọi là giới hạn của f ( z ) khi z

z0 nếu

với mọi R 0 , tồn tại lân cận U của z0 sao cho | f ( z ) | > R z U
1.3.3 Tính liên tục, liên tục đều
Cho hàm số f xác định trên tập tùy ý D
z0

£ với giá trị trong £ và

D là điểm tụ của D .

Hàm f gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn :
i , Nếu z0 là điểm cô lập của D hay nói cách khác tồn tại lân cận U

của z0 trong D sao cho U

0,

D

z0 nghĩa là :

>0: z D, z z0

f z

f z0

ii , Nếu z0 không là điểm cô lp ca D thỡ lim z
z

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

z0

ƒ z0

14


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

Ta thấy rằng điều kiện ii , tương đương với một trong hai điều kiện sau :

0,

i1 ,

một lân cận U của z0 sao cho :

f z

i2 , Nếu zn

f z0

z U

D

z0 thì

D , zn

lim f zn
n

z0

Viết f ( z ) u ( z ) iv( z ) , z D . Khi đó f liên tục tại z0

x0 iy0

D khi

và chỉ khi u, v liên tục tại ( x0 , y0 )
Hàm f được gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm z D.
Hàm f được gọi là liên tục đều trên D nếu

0,

; | z1

>0, z1, z2

| f ( z1 )

z2 |<

f z2 |<

Rõ ràng nếu f liên tục đều trên D thì cũng liên tục trên D
Ta có mệnh đề sau:
g Hàm w

f z liên tục trên tập mở (hay đóng) trong mặt phẳng £ khi và

chỉ khi tạo ảnh của tập mở (hay đóng) tùy ý chứa trong f D là mở (hay
đóng)
gGiả sử hàm f liên tục trên tập liên thơng E

£ . Khi đó f E là tập liên

thơng trong £
Ví dụ 1: Cho hàm số f z
đó trong hình trịn z
Giải: Ta có f z

1
1 z

. Xét sự liên tục và liên tục đều của hàm số

1
1

1 z

1
1 x iy

f z có các hàm thực là u

1 x iy
1 x

2

1 x
1 x

SV Lê Thị Thắm K33 C To¸n

2

y2

y2
;

v

y
1 x

2

y2

15

Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

là các hàm liên tục trên hình trịn đơn vị .
Nhưng f z khơng liên tục đều trên hình trịn đó. Thật vậy:

1
,r
2

Với

r
2

z z0

1
,
2

r
. Khi đó:
2

z 1 r , z0 1

r nhưng f z

1
r

f z0

2
r

f z không liên tục đều trên hình trịn z

1
r

1

1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trên nửa trục thực Re z 0 hàm số w arg z gián
đoạn
Giải: Hàm số w arg z là hàm số đơn trị và xác định
Giả sử z0

x0 là một điểm tùy ý thuộc nửa trục thực Re z 0 . Ta có

lim arg z

lim arg x iy

lim arctg

z

y
x

y
x

z0

0
x0

0
x0

lim arg z

lim arg x iy

lim arctg

z

y
x

y

x

z0

lim arg z
z

z 0.

z0

0
x0

lim arg z
z

z0

0
x0

y
x

y
x

hàm số gián đoạn trên nửa trục thực Re z 0

Định lý: ( Hàm số liên tục trên tập Compact)
Cho hàm w

f z liên tục trên tập Compact K

£ . Khi đó:

gf z liên tục đều trên K
gf z bị chặn trên K
gf K là tập Compact trong £
1.3.4 Đƣờng cong Jordan
g Một đường cong trong mặt phẳng phức là một ánh x

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp
: a, b

t

x t

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
Ê

Ă

a, b

iy t ;

t

a, b

trong ú x t , y t là các hàm thực liên tục trên đoạn a, b
g Đường cong gọi là đơn nếu mọi t1, t2

đều có

t2 . Nếu

t1

a, b ; t1 t2 ; t1, t2

a, b

b thì đường cong gọi là đóng (hay khép

a

kín).
gĐường cong gọi là trơn nếu các hàm x t và y t có đạo hàm liên tục

và x ' t

2

y' t

2

0

t

a, b

g Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu có hữu hạn số

a t0
sao cho

t

i

t ;t

t1 ... tn

b

ti 1, ti ; i 1,2,.., n là đường cong trơn. Hay nói cách

khác, đường cong liên tục tạo bởi hữu hạn các đường cong trơn được gọi là

trơn từng khúc.
g Đường cong khơng có điểm tự cắt tức là không tồn tại t1, t2

để x t1

iy t1

x t2

iy t2

và x t1

iy t1

x a

a, b

iy a gọi là đường

cong Jordan. Đường cong Jordan kín cịn gọi là chu tuyến.
gGiả sử

là một chu tuyến trong £ . Khi đó đường

thành hai miền. Một miền bị chặn (không chứa điểm

chia mặt phẳng £
) gọi là miền trong

và kí hiệu là D (hay D ). Và hiển nhiên ta có D
gNếu mọi chu tuyến

nằm trong miền D đều thỏa mãn D

miền D được gọi là miền đơn liên. Nếu tồn tại các chu tuyến

1

D thì

, 2 ,... sao cho

các miền D 1 , D 2 ,.. khơng bao hàm trong D thì D gọi là miền đa liên.
1.3.5 Dãy hàm và chuỗi hàm
gDãy hm

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

Xét dãy hàm biến số phức f1, f 2 ,..., f n ,...
cùng xác định trên tập tùy ý D

(1.3.1)

£.

Dãy hàm (1.3.1) được gọi là hội tụ tại z D nếu dãy số f n z

n 1

hội tụ.

Nếu dãy (1.3.1) hội tụ tại mọi z D thì ta nói nó hội tụ trên D . Trong trường
hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên D , ta đặt f z

n

£ và hàm f này được gọi là hàm giới hạn của dãy (1.3.1)

được hàm f : D
và ta viết f

lim f n z , z D ta

lim f n .
n

Nói cụ thể hơn, hàm f là hàm giới hạn của dãy hàm f n trên D nếu

0 z D N
Nếu

, z : fn z

chỉ phụ thuộc vào

0 N
fn z

f z

f z

sao cho

n N

và

z

D

thì ta nói dãy hàm f n hội tụ đều tới f trên D
g Chuỗi hàm

Giả sử f n là một dãy hàm trên D

f1

f 2 ..

£ , khi đó biểu thức hình thức

f n ...

fn

(1.3.2)

n 1

được gọi là chuỗi hàm trên D .
Với mỗi n 1 ta đặt Sn z

n

z D thì ta được dãy hàm Sn trên

fk z
k 1

D và Sn z được gọi là tổng riêng thứ của chuỗi.

Nếu dãy Sn hội tụ (hội tụ đều) thì ta nói chuỗi (1.3.2) là hội tụ (hội tụ đều).
Hàm f z

lim Sn z
n

z D gọi là tổng của chuỗi (1.3.2) và ta viết
f n hoặc f z

f
n 1

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

fn z , z D
n 1

18


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

Khi chuỗi (1.3.2) hội tụ thì đại lượng Rn z

f z

f k z gọi

Sn z
k n 1

là phần dư thứ n. Do đó nếu chuỗi (1.3.2) hội tụ (hội tụ đều) thì dãy Rn hội
tụ (hội tụ đều) tới khơng, nghĩa là chuỗi (1.3.2) hội tụ đều nếu với

0 tùy

ý, tồn tại số N

ta có

f z

chỉ phụ thuộc vào

sao cho với mọi n

N

Sn z

Nếu chuỗi có dạng

cn z n được gọi là chuỗi lũy thừa.
n 1

Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi nếu chuỗi hội tụ khi z
khi z

R và phân kỳ

R . Bán kính hội tụ được tính theo cơng thức :
R lim
n

cn
1

hoặc R lim
n
n c
cn 1
n

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

CHƢƠNG 2: HÀM GIẢI TÍCH
2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức
Giả sử hàm số w

f z

u x, y

một lân cận nào đó của điểm z0

iv x, y xác định và hữu hạn trong

x0 iy0 £ .

Ta có một số định nghĩa quan trọng sau đây:

Định nghĩa 2.1.1
Hàm số w

f z gọi là khả vi theo nghĩa thực (hay theo nghĩa ¡ 2 ) tại

điểm z0 nếu các hàm số u u x, y , v v x, y khả vi tại điểm x0 , y0
Vi phân của hàm số f z là biểu thức
df

du idv

(2.1.1)

Trong đó:

du
dv

u
dx
x
v
dx
x

u
dy
y
v
dy

y

u u v v
, , ,
lần lượt là các đạo hàm riêng của các hàm số thực u x, y và
x y x y

v x, y theo các biến số x và y .Thay các giá trị của du và dv vào biu thc
(2.1.1) ta cú:

u
dx
x

df
=

u
x

u
dy i
y
v
i
dx
x

v
dx

x
u
y

v
dy
y

(2.1.2)

v
i
dy
y

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

20


Khóa luận tốt nghiệp

Vỡ dx

dz dz
; dy
2

u
x

df
=

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

dz dz
nờn ng thc (2.1.2) cú th viết thành:
2i

v
x

i

f
dz
z

dz dz
2

u
y

i

v
y

dz dz
2i

(2.1.3)

f
dz
z

Trong đó ta đã đặt:

f
z

1
2

u
x

v
y

i
2

v
x

v

y
(2.1.4)

f
z

1
2

u
x

v
y

i
2

v
x

v
y

Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng, sự biểu diễn (2.1.3) là duy nhất, nghĩa là
nếu ta phân tích df dưới dạng
df

Adz

Bdz
f
f f
;
. Trong đó
là các biểu thức (2.1.4)
z
z z

f
;B
z

thì bắt buộc A
Thật vậy : Vì

dz
dz
nên df

Do đó

Adz

dx idy
dx idy

Bdz

( A B)dx i ( A B)dy

A B

f
x

u
x

i

v
x

i( A B)

f
y

u
y

i

v
y

SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n

21

Khóa luận tốt nghiệp

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2
f
;B
z

Từ đó ta tính được A

f
z

Định nghĩa 2.1.2
Cho hàm số w

f z xác đinh trên miền D ; z0

z D . Khi đó có số gia của hàm là :

sao cho z0

w

f z0

z

f z0

w
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phức
z

Nếu tồn tại và hữu hạn lim
z

0

của f tại z0 .Ký hiệu là f
Như vậy f

D . Cho số gia z

'

df
z0 .
dz

z0 hay

w
z

z0 = lim
z

'

0

Hàm f có đạo hàm phức tại z0 cũng được gọi là khả vi phức hay £

khả vi

tại z0 . Và khi đó
w

với

f

'

z0

z

z

z là vô cùng bé bậc cao hơn z khi z

Ta gọi dw

f

Ta có lim

f z

z

0

'

Do đó nếu f £

nghĩa là f

f z

lim
z

f z

0

z
z

f z

. z

khả vi tại z thì :

lim

z

f ' z0 dz là vi phân của hàm f z tại z0 .

z0 . z

z

0.

0

f z

z

f z

0

liên tục tại z .

Đạo hàm hàm phức có các cơng thức và quy tắc tính tương tự như hàm thực.
Định lý 2.1.1
Nếu f z v g z kh vi ti z0 thỡ

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

f z

g z ;f z g z ;

22


Khãa luËn tèt nghiÖp

f z g z

i1 ,

f

i2 ,

fg

i3 ,

'

'

'

f ' z0

z0

£ và

f z0 g ' z 0

f ' z0 g z 0
f z0 g ' z 0
g 2 z0

z0

i4 , Nếu w

,

g ' z0

f ' z0 g z 0

z0

f g

0 cũng khả vi phức tại z0 với mọi

g z0
g

Tr-êng Đại học S- phạm Hà Nội 2

f z kh vi phức tại z0 , còn g w khả vi phức tại w 0

f z0

thì hàm hợp g o f khả vi phức tại z0 và
gf

'

g ' f z0

z0

f ' z0

Ví dụ : a, Ta có z ' 1, theo cơng thức i2 và quy nạp theo n ta có :
zn

'

nz n

1

Từ đó, nếu

f z

a0 z n .. an

f' z

na0 z n

1

.. an

1

b, Cho hàm
f z
Khi đó f z
'

z2
;z
2z 1

1
2

2z 1 2z 2z2
2z 1

Như vậy f £ - khả vi tại z

2z2

2

2z

2z 1

1
2

c , Từ ví dụ b ta suy ra nếu f z
£

2

P z Q z là hàm hữu tỷ thì nó

khả vi tại mọi z mà nó xác định.

Nhận xét : Ta có thể thấy rằng khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả
vi thông thường của hm bin thc.

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp
Vớ d, hm f z

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

z tng ng nh ỏnh x của một hàm hai biến thực

x, y .Hàm này khả vi theo nghĩa thực. Tuy nhiên ta thấy điều

F : x, y a

kiện tồn tại các đạo hàm thực không bảo đảm tính khả vi phức.
Thật vậy : Có

f z

z
z

f z

z

z
z

z

z
z

Cho z

0 theo trục thực thì ta có giới hạn trên là 1

Khi

0 theo trục ảo thì giới hạn trên là -1

z

Như vậy biểu thức trên khơng có giới hạn khi z

0

Để hàm f khả vi phức , ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng
ta cần điều kiện Cauchy-Riemann.
2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann
Định lý 2.2.1
Để hàm f £
f ¡

2

khả vi tại z

x iy

D , điều kiện cần và đủ là

khả vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann sau được thỏa mãn tại z
u
x, y
x

v
x, y

y

u
x, y
y

;

v
x, y
x

(2.2.1)

Chứng minh
Điều kiện cần : Giả sử f £ - khả vi tại z

x iy

D.

Khi đó tồn tại giới hạn :

f' z

lim
z

f z

0

z
z

f z

; z= x+i y

Vì giới hạn này khơng phụ thuộc vào cách tiến đến 0 của z (có thể chọn z
tiến tới 0 theo hướng Ox hoặc hướng Oy ) nên nếu ta chọn z
f' z

lim
x

u x

x, y

iv x

0

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

x, y
x

u x, y

x , ta có:

iv x, y

24


Khóa luận tốt nghiệp
u x

lim
x

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Néi 2

x, y u x , y
x

0

i lim
x

v x

x, y

v x, y

0

x

Tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại x, y và
u
x, y
x

f' z

v
x, y
x

i

(2.2.2)

Tương tự bằng cách chọn z i y ta có :
f' z

u
x, y
y

i

v
x, y

y

(2.2.3)

So sánh (2.2.2) và (2.2.3) ta được :

u
x, y
x

v
x, y
y

u
x, y
y

;

v
x, y
x

Bây giờ ta còn phải chứng tỏ u x, y và v x, y khả vi tại x, y
Thật vậy : vì f £ - khả vi tại z nên
f

với

f z

z

f' z

f z

z

z

(2.2.4)

z là vô cùng bé bậc cao hơn z , tức là :
z
z

lim
z

0

Hơn nữa : f

0
u i v ; z= x +i y

Theo (2.2.2) và (2.2.4) ta có :

u
x

u i v
Ở đây lim
z

0

i

z

1

z

v
x

x i y

lim
z

0

z

2

z

1

z

i

2

z

0

Từ đó

SV Lê Thị Thắm K33 C Toán

25