vai trò của an gô rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở bậc trung học cơ sở tại lào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

VOLADETH Phoothone

VAI TRÒ CỦA AN-GÔ-RÍT TRONG DẠY HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ TẠI LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ VĂN PHÚC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

VOLADETH Phoothone

VAI TRÒ CỦA AN-GÔ-RÍT TRONG DẠY HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ TẠI LÀO

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
MÃ SỐ: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ VĂN PHÚC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Văn Phúc, giảng
viên khoa Toán - Tin của Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đã
nhận lời hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn TS. Vũ Như Thư Hương đã đặc biệt giúp đỡ
tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Khoa
Toán - Tin, Phòng khoa học công nghệ - sau đại học Trường Đại học sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời
gian học tập, nghiên cứu và làm luận văn này.
Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy, hướng dẫn giúp
đỡ lớp Cao học khoá 19 chuyên ngành “Lý luận và phương pháp dạy học môn
Toán”.
Xin chân thành cảm ơn các cấp lãnh đạo, giáo viên, công nhân viên trường trung
học cơ sở Donghen, huyện Aatsaphangthong, tỉnh Savannakhet, Cộng hòa Dân chủ
Nhân dân Lào, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khóa học và
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế, chắc chắn luận văn này có
nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng
nghiệp góp ý để luận văn được hoàn chỉnh và ứng dụng được trong thực tiễn.
Tác giả
VOLAĐETH PHOOTHONE

MỤC LỤC
MỞ DẦU .....................................................................................................................1
1.

Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát .....................................................1

2.

Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu ..........................................3

3.

Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................5

4.

Tổ chức luận văn ..................................................................................................6

Chương 1: TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU TRI THỨC
LUẬN VỀ CÁC ĐỐI TƯỢNG AN-GÔ-RIT, PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ...............................................................................................7
1.1 Khái niệm an-gô-rit ...............................................................................................7
1.1.1 Một số mô tả về An-gô-rit ..........................................................................7
1.1.2 Các đặc trưng của khái niệm an-gô-rít........................................................8
1.2 Khái niệm phương trình và hệ phương trình .........................................................9
1.2.1 Một số mô tả về phương trình.....................................................................9
1.2.2 Kỹ thuật giải phương trình ........................................................................12
1.2.3 Một số mô tả về hệ phương trình ..............................................................18
1.2.2 Kỹ thuật giải hệ phương trình ...................................................................18
1.3. Mối quan hệ giữa an-gô-rít và phương trình, hệ phương trình ..........................18

1.4 Kết luận ...............................................................................................................19
Chương 2 : NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM
AN-GÔ-RIT TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ................................................................................................................21
2.1 Vị trí của phần an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở
THCS tại Lào trong chương trình Toán THCS Lào .................................................22
2.2 Phân tích sách giáo khoa .....................................................................................23
2.2.1. Sách giáo khoa lớp 8 Lào (SGK8L) : ......................................................23
2.2.2. Sách giáo khoa lớp 9 Lào (SGK9L): .......................................................34
2.3 Kết luận chương 2 ...............................................................................................45
KẾT LUẬN ..............................................................................................................46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................47
PHỤ LỤC .................................................................................................................48


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THCS

Trung học cơ sở

SGK7L

Sách giáo khoa lớp 7, Lào

SGKL8

Sách giáo khoa lớp 8, Lào

SGKL9

Sách giáo khoa lớp 9, Lào


1

MỞ DẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Khái niệm của an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở
lớp 8 tại Lào có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và trong
thực tế. Ý nghĩa của an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở lớp
8 tại Lào được tìm thấy nhiều trong thực tiễn. Khi chưa được học phương trình và
hệ phương trình, các em học sinh (HS) cũng đã bắt gặp chúng đâu đó nhiều lần
trong cuộc sống. Phương trình và hệ phương trình tuy phát biểu rất đơn giản, có thể
xem một cách thuần túy như là phương trình và hệ phương trình gắn với
ax + b = c và ax + by = c

ax – by = c
đằng trước nhưng khi thực hiện các phép toán, học sinh gặp không ít khó khăn.
Hiện nay, Nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào (CHDCNDL) đang đặc biệt quan
tâm đến việc phát triển giáo dục. Trong chương trình môn toán bậc trung học cơ sở
(THCS), khái niệm của an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở
lớp 8 tại Lào đã được đưa vào giảng dạy ở lớp 7, 8, 9.... Đây là một nội dung hay
nhưng cũng khá khó đối với học sinh. Trước đây, học sinh chỉ biết một quy tắc của
an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở lớp 8 tại Lào, thì hiện
nay phép tính này cũng có thể thực hiện ngược lại phép an-gô-rit trong dạy học
phương trình và hệ phương trình luôn thực hiện được. Như vậy lúc này :
ax + by = c và ax + by =c
ax – by = c
được tìm thấy với hai nghĩa: ax + b= c, ax + by =c
ax – by = c
của phương pháp an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình và hệ
phương trình.
Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


2
Ví dụ 2x + 3 = 5 ⇒ x = 1 là phương trình
trong hệ phương trình

y = 2x – 3 (1)
y = - 4x – 1 (2)

- bước 1 : Trong hệ phương trình

y = 2x – 3 (1)
y = - 4x – 1 (2)

ta có y = 2x – 3 ⇒ 2x – y = 3 (1)
y = - 4x - 1 - 4x – y = 1 (2)
sau đó ta được :
2x – y = 3 (1)
- 4x – y = 1 (2)
Làm cho tích nhân của ẩn số ngược lại
- bước 2 : nhân hai vế phương trình hai với (-1) và hai vế phương trình một với
(1)
1 2x – y = 3 (1)
-1 - 4x – y = 1 (2)
ta có hệ phương trình mới
2x – y = 3 (1)
4x + y = - 1 (2)
- bước 3 : cộng hai vế của phương trình hai.
ta có
2x – y

= 3 (1)

+ 4x + y

= - 1 (2)

6x

=2

- bước 4 : Giải phương trình hai có một ẩn số để tìm x

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


3
ta có 6x = 2 ; ⇒ x =

2 1
1
= ⇒x =
6 3
3

- bước 5 : Thay giá trị x vừa tìm được trong phương trình (1) hay (2) vào
phương trình (1) hay (2) rồi giải phương trình để tìm y
ta có y = 2x – 3 (1)
1
3

y = 2( ) – 3

y=

2
2 − 9 −7
7
−3 =

=
⇒y −
3
3
3
3

bước 6 : Trả lời : Hệ phương trình này có hai nghiệm

x=

1
3

y =−

7
3

là hệ phương trình là số đối của phương trình và ẩn số “ x ” và “y” trong phép toán
phương trình là để tìm giá trị của phép trừ.
Chương trình đào tạo và sách giáo khoa của Lào đề cập đến nội dung này còn
khiêm tốn. Hơn nữa, sự mơ hồ trong cách hiểu về an-gô-rit trong dạy học phương
trình và hệ phương trính đã làm cho các em thật sự lúng túng nhất là khi vận dụng
vào giải bài tập.
Chúng tôi xin trình bày một số ví dụ:
VD1: Phần lớn học sin nghị ( x + 3 ) – ( 2x – 1) = 3 ( x – 4 ) và hiểu
x 3 = 15 không có nghĩa, không thấy dấu “ x ” có nghĩa là phương trinh
2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu xem đối tượng này được giảng dạy
như thế nào trong chương trình, đi tìm câu trả lời những câu hỏi sau :
-

Sự giống và khác nhau giữa hai bộ sách giáo khoa khi trình bày các khái niệm
an-gô-rit phương trình và hệ phương trình,

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


4
-

Khái niệm của an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình trong
dạy học được trình bày như thế nào trong hai chương trình toán ở Việt Nam và
Lào ? Có sự giống và khác nhau nào không ? Có những điều kiện và ràng buộc
của thể chế gắn liền với nó ?

-

Những sai lầm nào thường thấy ở học sinh hai nước khi học về an-gô-rit
phương trình và hệ phương trình ? Nguyên nhân ?

-

Những khó khăn của học sinh (HS) khi tiếp xúc với các khái niệm này ?
o Phương trình và hệ phương trình ax + b =c
ax + by = c

ax – by = c

theo cách hiểu của học sinh (HS) như thế nào?
-

Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến tổ chức toán học này ?

Do đó, thuyết nhân học trong didactic toán với những khái niệm như “chuyển hóa
sư phạm”, “mối quan hệ cá nhân”, “mối quan hệ thể chế”… sẽ là công cụ lý thuyết
mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình. Ngoài ra, chúng tôi cũng chọn lý
thuyết tình huống, hợp đồng didactic làm công cụ lý thuyết tham chiếu cho việc
nghiên cứu các tình huống dạy học về an-gô-rít trong giải phương trình và hệ
phương trình tại Lào.
Với mục đích trên, chúng tôi đi vào nghiên cứu sách giáo khoa Lào lớp 8, 9 và sách
lớp 8 Việt Nam, tài liệu hướng dẫn là sách giáo viên, một số tài liệu về lịch sử toán
và thực tế giảng dạy của an-gô-rit trong dạy học phương trình và hệ phương trình ở
trường trung học cơ sở hai nước. Sau đó, kiểm nghiệm giả thuyết bằng một thực
nghiệm được thực hiện ở các lớp 8, 9 ở Việt Nam và Lào.
Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu
các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Trong thể chế dạy học Toán THCS ở Lào, những khái niệm nào về phương
trình, hệ phương trình, an-gô-rít trong giải phương trình và hệ phương trình
nào được đưa vào giảng dạy ? Các khái niệm này mang nghĩa nào ?
Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


5
Q2: Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến các khái niệm của an-gô-rít trong

giải phương trình và hệ phương trình trong SGK được ưu tiên đưa ra trong
chương trình toán THCS Lào ? Với những ràng buộc của thể chế, tổ chức toán
học nào đã được hình thành trong dạy học an-gô-rít trong giải phương trình và
hệ phương trình ở THCS tại Lào ? Điều đó ảnh hưởng thế nào đến mối quan
hệ của cá nhân học sinh với các khái niệm của an-gô-rít để giải phương trình
và hệ phương trình? Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình
thành giữa giáo viên và học sinh qua quá trình dạy-học các khái niệm của angô-rít trong giải phương trình và hệ phương trình?
3. Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như
sau:

− Phân tích chương trình, sách giáo khoa lớp 8, 9 hiện hành của Lào để làm rõ
những tổ chức toán học cần giảng dạy và những ràng buộc của thể chế đối với
tri thức. Sau khi phân tích chương trình, sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng
chỉ ra các qui tắc hợp đồng nếu có và phát biểu giả thuyết nghiên cứu liên quan.

− Từ đó, chúng tôi sẽ đề nghị một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết
nghiên cứu này.
Để trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi chọn khung lí thuyết tham chiếu là
+ Didactic toán, cụ thể là một số khái niệm của thuyết nhân học
Với công cụ này chúng tôi biết khái niệm của an-gô-rit trong dạy học
phương trình và hệ phương trình được trình bày như thế nào trong chương trình.
Mối quan hệ của nó trong thể chế, các tổ chức toán học liên quan đến của an-gô-rit
trong dạy học phương trình và hệ phương trình.
+ Sai lầm và khái niệm chướng ngại
Công cụ này giúp chúng tôi giải thích, tìm hiểu nguyên nhân sai lầm, cách khắc
phục,…

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


6
4. Tổ chức luận văn

Mở đầu
Chương 1 : Tóm tắt kết quả một số nghiên cứu tri thức luận về khái niệm an-gôrit, phương trình và hệ phương trình
Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm an-gô-rit trong dạy
học phương trình và hệ phương trình.
Kết luận

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


7

Chương 1:
TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN
VỀ CÁC ĐỐI TƯỢNG AN-GÔ-RIT, PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

Ở chương này, chúng tôi tham khảo và trích dẫn từ kết quả nghiên cứu trong 2 luận
văn thạc sĩ sau đây :
- của tác giả Nguyễn Thùy Trang (2007)
- của tác giả Nguyễn Thanh Hải (2007)
1.1 Khái niệm an-gô-rit

1.1.1 Một số mô tả về An-gô-rit1
An-gô-rit là một trong những khái niệm cơ sở của toán học. Mặc dù ngày nay có
khoảng hơn 20 định nghĩa về thuật ngữ An-gô-rit

(2)

, thế nhưng trong suốt thời gian

dài của lịch sử phát triển toán học, khái niệm này vẫn thường được hiểu theo nghĩa
trực giác như sau :
An-gô-rít “là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các qui tắc nhằm xác định một dãy các
thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao
tác, ta đạt được mục tiêu định trước”. [32, tr.3]

Đây không phải là định nghĩa toán học của khái niệm an-gô-rít mà chỉ là một cách
phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này. Nói riêng, một hệ các qui tắc sẽ được
xem là an-gô-rít nếu như sau khi hướng dẫn hệđó cho một số người khác nhau thì
họ sẽ hành động giống nhau, mặc dù họ có thể không hiểu gì về bản chất và ý nghĩa
của vấn đề, tức không cần hiểu vì sao an-gô-rít lại được thiết kế như vậy. Chính

1

Về “Sự tiến triển của khái niệm algorit trong toán học”, tham khảo ở phần Phụ lục

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


8

điều này đã cho phép đưa an-gô-rít vào cho máy thực hiện một cách “máy móc”,
“tự động”, không cần có sự can thiệp của con người.
Ngoài ra, cách phát biểu trên còn chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác
hóa, chẳng hạn : qui tắc, thao tác (những thuật ngữ này cũng được hiểu theo nghĩa
trực giác).
Với cách hiểu trực giác đó, người ta phân biệt thành hai loại : An-gô-rit hiểu theo
nghĩa chặt và An-gô-rit hiểu theo nghĩa rộng.
• Theo nghĩa chặt

“An-gô-rít là một dãy sắp thứ tự các quy tắc cần thực hiện trên một số hữu hạn các dữ
liệu và đảm bảo rằng sau một số hữu hạn bước sẽ đạt được kết quả nào đó. Hơn nữa,
quy trình này độc lập với các dữ liệu.” [66]
• Theo nghĩa rộng

“An-gô-rít là một dãy hữu hạn các bước cần thực hiện theo một thứ tự nhất định để
giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó.” [66]
Như vậy, trong một an-gô-rít theo nghĩa rộng, dãy các bước cần thực hiện có thể
không mang đủ các đặc trưng đã nêu ở trên của an-gô-rít theo nghĩa chặt. Cụ thể là :
- Mỗi chỉ dẫn trong một bước có thể chưa mô tả một cách xác định hành động cần
thực hiện.
- Có thể có những bước không thực thi được.
- Kết quả thực hiện mỗi bước có thể không duy nhất (không đơn trị).
- Việc thực hiện hết một dãy hữu hạn các bước không đảm bảo chắc chắn đem lại kết
quả.

1.1.2 Các đặc trưng của khái niệm an-gô-rít
Dưới đây là 6 đặc trưng của một an-gô-rít hiểu theo nghĩa chặt :
• Tính kết thúc (tính dừng) : An-gô-rít bao giờ cũng phải dừng sau một số hữu hạn
bước thực hiện.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


9
• Tính xác định2 : Đòi hỏi ở mỗi bước của an-gô-rít, các thao tác phải hết sức rõ
ràng, không thể gây nên sự nhập nhằng, lẫn lộn, tùy tiện. Nói cách khác, trong cùng
một điều kiện, hai bộ xử lý (người hoặc máy) thực hiện cùng một bước của an-gô-rít
thì phải cho cùng một kết quả.
• Tính phổ dụng : An-gô-rít cho phép giải bất kỳ bài toán nào trong một lớp các bài
toán. Cụ thể là an-gô-rít có thể làm việc với các dữ liệu khác nhau trong một miền xác
định và luôn luôn dẫn đến kết quả cần tìm.
• Đại lượng vào : Một an-gô-rít có thể có hay không có đại lượng vào mà chúng ta
thường gọi là các dữ liệu vào.
• Đại lượng ra : Sau khi dùng an-gô-rít, tùy theo chức năng an-gô-rít đảm nhiệm mà
chúng ta có thể thu được một sốđại lượng ra xác định.
• Tính hiệu quả : Yêu cầu đầu tiên về tính hiệu quả của an-gô-rít là sựđúng đắn, cụ
thể : với dữ liệu vào cho trước, an-gô-rít hoạt động sau một số hữu hạn bước sẽ
dừng và cho kết quả mong muốn. Yêu cầu quan trọng thứ hai của tính hiệu quả là
tính hữu hiệu : trong số các an-gô-rít thực hiện cùng một chức năng, có thể chọn ra
an-gô-rít tốt nhất. Tiêu chuẩn tốt ởđây được hiểu là :

• An-gô-rít thực hiện nhanh, ít tốn thời gian.
• An-gô-rít dùng ít giấy hoặc ít thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.

1.2 Khái niệm phương trình và hệ phương trình
1.2.1 Một số mô tả về phương trình
Theo [38, tr.63 - 64], khái niệm “phương trình chứa (hay tham biến” được hiểu
thông qua việc chỉ ra các đặc trưng của phương trình nhiều biến như sau :

“Một phương trình nhiều biến có thểđược xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng hạn :

• Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó.

2

Nói chung, an-gô-rít hiểu theo nghĩa rộng cùng các khái niệm như kịch bản, cách dùng, chương trình hành

động, phương pháp v.v… thường vi phạm tính xác định.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


10
• Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng, ví dụ
như S = vt. Khi ấy, vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa mãn
phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng
đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động đều.
• Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định. Các phương trình 2x = 3 ; 1 24
0,4y = 2 ; t = 0,15 ; a = đều có cùng một dạng là ax = b. Vấn đề ở đây không hải là tìm những
bộ ba số thỏa mãn phương trình này. Trong khi ở hai trường hợp đầu, vai trò của các biến là
bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến
x. Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, còn các biến a, b dùng để biểu thị
dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay tham biến. Phương trình nhiều biến
nếu được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao gồm được tất cả các phương trình có cùng một
dạng. Dưới góc độ đó, phương trình nhiều biến được gọi là dạng phương trình hay phương
trình có chứa tham biến. [...]
Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn có chứa hai tham biến a và b. [...] ta cần

hiểu rằng đây là một phương trình có 3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là
biến cần biểu thị qua các biến còn lại, còn a và b là các biến chỉ dạng phương trình. Thực chất
của phương trình có tham biến là như vậy. Khi giải một phương trình chứa tham biến, các
tham biến được xem như đại diện cho những sốđã biết và ta phải biểu thị nghiệm qua các tham
biến đó.”

Ngoài ra, trong một số tài liệu khác, phương trình chứa còn được mô tả như sau :
“Phương trình f(x, a, b,...., c) = 0 với ẩn số x∈C

n

và các a, b, ..., c được gọi là phương trình

chứa . Khi có một hệ thống giá trị thừa nhận được của
cụ thể : f(x, α , β , ..., γ ) = 0 với ẩn số x∈C

n

(1)

, phương trình trở thành phương trình

và không chứa nữa, và tập nghiệm của nó hoàn

toàn xác định (có thể rỗng). Giải phương trình chứa là xác định tất cả các nghiệm của nó với
mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của .” [36, tr.94 - 95]

Các cách tiếp cận phương trình được tóm tắt trong bảng sau :

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


11

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


12
1.2.2 Kỹ thuật giải phương trình
Để có một tham chiếu cho nghiên cứu các kỹ thuật giải phương trình trong thể chế
dạy học toán, chúng tôi tiến hành tổng hợp các kỹ thuật giải phương trình từ một số
tài liệu:
• Bộ sách giáo khoa và sách giáo viên toán tiểu học và trung học cơ sở;
• Bài báo của Aude SAINFORD: Memoire sur une inconnue.
• Tài liệu “Hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi” của Nguyễn Trường Chấng.

τ1: “Thử-sai”
Thử lần lượt các giá trị cần tìm, cho đến khi đạt được đẳng thức đúng.
Công nghệ θ1: Khái niệm đẳng thức.
• Ví dụ: Điền số thích hợp vào ô trống: 3 +

= 5.

Thử lần lượt một số giá trị vào ô trống:
3 + 1 = 5 (không đúng);
3 + 2 = 5 (đúng). Vậy, giá trị cần tìm là 2 .

τ2: “Dò bảng phép toán”
Sử dụng bảng phép toán, đối chiếu xác định giá trị cần tìm để được đẳng thức đúng.
Công nghệ θ2: Bảng phép toán.
Ví dụ: Tìm x, biết 2 + x = 7.
Dò bảng cộng, ta thấy:

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


13
+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0
1

0
1

1
2

2
3

3
4

4
5

5
6

6
7

7

8

8
9

9
10

2
3

2
3

3
4

4
5

5
6

6
7

7
8

8

9

9 10 11
10 11 12

4

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

5
6

5
6

6
7

7
8

8
9

9 10 11 12 13 14
10 11 12 13 14 15

7
8

7
8

8
9

9 10 11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15 16 17

9

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 + 5 = 7 nên x = 5.

τ3: “Xét dấu hiệu hai vế”
Sử dụng các tính chất của phép toán để xác định giá trị cần tìm.
• Nếu trong phép toán cộng có số hạng bằng 0 thì số hạng còn lại bằng tổng.

• Nếu trong phép toán trừ có số trừ bằng 0 thì số bị trừ bằng hiệu.
• Nếu trong phép toán nhân có số thừa số bằng 1 thì thừa số còn lại bằng tích.
• Nếu trong phép toán chia có số chia bằng 1 thì số bị chia bằng thương.
• Trong phép toán cộng, nếu vế chứa số phải tìm có dạng tổng của hai số hạng,
trong đó có một số hạng bằng một số hạng ở vế còn lại thì số cần tìm bằng với
số hạng còn lại ở vế kia.
• Trong phép toán nhân, nếu vế chứa số phải tìm có dạng tích của hai thừa số,
trong đó có một thừa số bằng một thừa số ở vế còn lại thì số cần tìm bằng
thừa số còn lại ở vế kia.
Công nghệ θ3: Tính chất của phép toán
• Tính chất của số 0: số nào cộng với 0 (hoặc trừ đi 0) cũng bằng chính số đó.
• Tính chất của số 1: số nào nhân với 1 (hoặc chia cho 1) cũng bằng chính số
đó.
• Tính chất giao hoán của phép cộng: a + b = b + a.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


14
• Tính chất giao hoán của phép nhân: a × b = b × a.
Ví dụ:
Điền số thích hợp vào ô trống:
a) 32 +

= 32

b) 25 × 17 =

× 25

Ở câu a), có một số hạng bằng tổng nên số hạng còn lại bằng 0. Như vậy số cần
điền vào ô trống là 0: 32 + 0 = 32.
Ở câu b), hai vế đều có dạng một tích, trong đó vế phải có một thừa số bằng với
một thừa số ở vế trái nên hai thừa số còn lại ở hai vế bằng nhau. Do đó số cần điền
vào ô trống là 17, theo tính chất giao hoán của phép nhân:
25 × 17 = 17 × 25.

τ4: “Tính thành phần chưa biết”
• Nếu số chưa biết là một số hạng trong phép cộng, lấy tổng trừ đi số hạng đã
biết.
• Nếu số chưa biết là số bị trừ trong phép trừ, lấy hiệu cộng với số trừ.
• Nếu số chưa biết là số trừ trong phép trừ, lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
• Nếu số chưa biết là một thừa số trong phép nhân, lấy tích chia cho thừa số đã
biết.
• Nếu số chưa biết là số bị chia trong phép chia, lấy thương nhân với số chia.
Công nghệ θ4: Quy tắc tìm thành phần chưa biết:
• Trong một tổng, muốn tìm số hạng chưa biết, lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.
• Trong một hiệu, muốn tìm số bị trừ, lấy hiệu cộng với số trừ.
• Trong một hiệu, muốn tìm số trừ, lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
• Trong một tích, muốn tìm thừa số chưa biết, lấy tích chia cho thừa số đã biết.
• Trong một thương, muốn tìm số bị chia, lấy thương nhân với số chia.
• Trong một thương, muốn tìm số chia, lấy số bị chia chia cho thương.
Ví dụ: Tìm x, biết 10 – x = 4
Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone

15

10 − x = 4
x = 10 − 4
x=6

τ5: “Biến đổi đồng nhất”
Cùng thực hiện các biến đổi giống nhau trên cả hai vế cho đến khi vế chứa ẩn chỉ
chứa ẩn, vế còn lại là một số.
Công nghệ θ5: Tính chất của đẳng thức
• Cùng cộng (hoặc trừ) cả hai vế của một đẳng thức với một số thì được một
đẳng thức mới.
• Cùng nhân (hoặc chia) cả hai vế của một đẳng thức với một số khác 0 thì
được một đẳng thức mới.
Ví dụ: Giải phương trình 2x – 3 = 7
2x − 3 = 7
2x − 3 + 3 = 7 + 3
2x = 10
2x ÷ 2 = 10 ÷ 2
x=5
Hoặc có thể trình bày rút gọn như sau:
2x − 3 = 7
2x = 7 + 3
2x = 10
2 = 10 ÷ 2
x=5

τ6: “Thực hiện sơ đồ ngược”
Kỹ thuật này thường được tiến hành trên sơ đồ của phép toán. Xuất phát từ giá trị x
ban đầu, vẽ sơ đồ mô tả các phép toán của phương trình (bằng những mũi tên). Sau

đó xây dựng sơ đồ ngược lại và sử dụng các phép toán ngược với các phép toán ban
đầu để tìm giá trị chưa biết.
Công nghệ θ6: Các tính chất của phép toán ngược.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


16
Ví dụ. Giải phương trình 2x – 3 = 7.

×2
Xây dựng sơ đồ phép toán: x →

−3
→ 7 .

Ta có sơ đồ ngược lại: 5 ← 10 ← 7
:2
+3
Vậy x = 5.

τ7: “Công thức nghiệm”
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0), phương
b
trình có nghiệm duy nhất x = − .
a

Công nghệ θ7: công thức nghiệm của phương trình bậc nhất.
Ví dụ: Giải phương trình 2x – 6 = 0
Phương trình 2x – 6 = 0 có

τ8: “Biểu diễn hình

nghiệm là x =

6
= 3.
2

học”

• Giải phương trình ax + b

= 0: vẽ đường thẳng y = ax +

b rồi xác định hoành độ

giao điểm với trục hoành Ox,

đó là giá trị x cần tìm.
• Giải phương trình ax + b = ax + b′: vẽ hai đường thẳng y = ax + b và
y = a′x + b′ trên cùng một hệ trục toạ độ rồi xác định hoành độ giao điểm của
hai đường thẳng, đó là giá trị x cần tìm.

Công nghệ θ8: Sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc nhất và trục hoành và sự
tương giao giữa hai đường thẳng trong hệ trục toạ độ.
Ví dụ: Giải phương trình 3x – 1 = –x + 3

Vẽ hai đường thẳng y = 3x – 1 và y = –x + 3 trên cùng một hệ trục toạ độ:

Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ bằng 1 nên nghiệm của phương trình là x = 1.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


17

τ9: “Máy tính cầm tay”
Dùng Máy tính cầm tay có lập trình cơ bản, nhập phương trình rồi dùng lệnh
SOLVE để được nghiệm “gần đúng” (tuy nhiên với phương trình bậc nhất hệ số
hữu tỉ thì nghiệm tìm được thường là nghiệm đúng).
Công nghệ θ9: Chức năng tìm nghiệm gần đúng của máy tính cầm tay lập trình cơ
bản.
Ví dụ: Giải phương trình

2
x −3 = 2.
3

Sử dụng máy tính cầm tay có lập trình cơ bản (như Casio fx 570MS hoặc Casio fx
570ES), nhập vào màn hình dãy tính

2 a / b 3 × Alpha X − 3 Alpha = 2 .
Màn hình hiện

2

×X−3= 2
3

Ấn Shift SOLVE
Màn hình hiện

X?

Ấn Shift SOLVE lần nữa.
Màn hình hiện X =

15
2

Đó là nghiệm của phương trình.
Nhận xét các kỹ thuật giải phương trình
Trên đây là một số kỹ thuật giải phương trình bậc nhất một ẩn, với công nghệ giải
thích rất rõ ràng. Mỗi kỹ thuật có những ưu nhược điểm riêng, và phạm vi sử dụng
rất khác nhau, được chỉ ra trong bảng 1.2.

Bảng 1.2: Phạm vi sử dụng của các kỹ thuật giải phương trình

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


18
KỸ THUẬT

PHẠM VI SỬ DỤNG

τ1

Phương trình có các phép toán và các số tham gia đơn giản.

τ2

Phương trình có nguồn gốc là những phép toán có trong bảng
phép toán.
Phương trình mà các thành phần tham gia thể hiện tính chất

τ3

của phép toán, như có cộng, trừ với 0, nhân, chia với 1, hay
các số hạng ở 2 vế có tính chất giao hoán…

τ4

Phương trình có phạm vi các số bất kỳ, nhưng ẩn chỉ xuất hiện
một lần trong dãy phép tính.

τ5

Phương trình bất kỳ.

τ6

Phương trình mà ẩn chỉ xuất hiện 1 lần trong dãy phép tính.

τ7

Phương trình đã đưa về dạng cơ bản ax + b = 0.
Phương trình hệ số hữu tỉ và các số hạng tham gia không quá

τ8

“lẻ” – theo nghĩa giao điểm của hai đồ thị thể hiện được hoành
độ có thể “đọc được” một cách chính xác.
Nếu các hệ số tham gia trong phương trình là hệ số hữu tỉ thì

τ9

nghiệm tìm được là nghiệm đúng, nếu các hệ số trong phương
trình là số vô tỉ thì nghiệm tìm được thường chỉ là nghiệm gần
đúng.

Công nghệ giải thích cho mỗi kỹ thuật cũng rất khác nhau, và thể hiện sự tiến triển
khác nhau giữa công nghệ cho kỹ thuật này với công nghệ cho kỹ thuật kia.
1.2.3 Một số mô tả về hệ phương trình
1.2.2 Kỹ thuật giải hệ phương trình
1.3. Mối quan hệ giữa an-gô-rít và phương trình, hệ phương trình
An-gô-rít và phương trình cũng như hệ phương trình có mối quan hệ khá gắn bó
với nhau. Điều này được thể hiện qua một số điểm sau đây :
-

phương trình chứa chính là phương trình đại số có dạng tổng quát, nó đại diện cho

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


19
một lớp các phương trình (với hệ số là các sốđã cho). Đối với các phương trình
này, việc sử dụng một công thức nào đó để tìm nghiệm chính là giải và biện luận
một lớp phương trình theo một an-gô-rít nào đó. Ởđây, công thức tính nghiệm ấy
lại là một hình thức thể hiện của an-gô-rít. Những lập luận có tính mắc xích vừa
nêu đã minh chứng phần nào cho sự tồn tại của mối liên hệ giữa an-gô-rít và
phương trình và hệ phương trình.
-

giải phương trình chính là quá trình lập luận về số nghiệm của phương trình theo
giá trị nhận được của và hệ phương trình. Phần lớn các bài toán biện luận đều liên
quan chặt chẽ đến việc phân loại phương trình và theo các bước đã được chỉ ra để
theo tư duy logic, tư duy an-gô-rít cũng đóng vai trò rất quan trọng ở đây ; bởi lẽ
nó giúp cho việc giải phương trình chứa được thực hiện theo một trình tự xác định,
chặt chẽ và rõ ràng hơn. Thế mà tư duy an-gô-rít và khái niệm an-gô-rít lại liên hệ
mật thiết với nhau. Từ đây có thể suy ra sự gắn bó giữa an-gô-rít với phương trình
và hệ phương trình.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng vì vận dụng một an-gô-rít chính là thực hiện theo “khuôn

mẫu” sẵn có nên dễ dẫn đến sự thu hẹp tính tự do trong quá trình giải phương trình và
hệ phương trình. Hơn nữa, cách hiểu hình thức và máy móc của an-gô-rít giải còn có
nguy cơ che khuất nghĩa của quá trình biện luận.

1.4 Kết luận
Những nghiên cứu ở trên cho phép chúng tôi đưa ra một số kết luận sau :
• Về an-gô-rít

Theo cách hiểu trực giác, có hai loại an-gô-rít : an-gô-rít hiểu theo nghĩa chặt và angô-rít hiểu theo nghĩa rộng.
Với an-gô-rít hiểu theo nghĩa chặt, 6 đặc trưng của nó có thể kể ra là : tính kết thúc,
tính xác định, tính phổ dụng, đại lượng vào, đại lượng ra và tính hiệu quả.
• Về phương trình và hệ phương trình là một khái niệm paramathématique.

Trong phương trình chứa , được hiểu là biến chỉ dạng và được xét ở hai khía cạnh : là
số cố định và có độ tự do. Nói cách khác, khi giải một phương trình, người ta không
chỉ xem các đại diện cho những số đã biết mà còn phải biết biện luận các trường hợp
tùy theo sự thay đổi giá trị của nó.
Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone


20
• Về mối quan hệ giữa an-gô-rít và phương trình, hệ phương trình

Mối quan hệ này thể hiện qua hai quan điểm sau đây :
Quan điểm 1 :
–Cần

giải một lớp các phương trình cùng dạng → dùng để biểu diễn các hệ số.
– Quá

trình giải phụ thuộc vào các → xuất hiện các an-gô-rít.

Ngược lại :
– Các

phương trình cùng dạng có cách giải giống nhau → xuất hiện an-gô-rít.

– Đưa

vào các để phát biểu an-gô-rít.

Quan điểm 2 :Mối quan hệ giữa an-gô-rít và phương trình chứa thể hiện ở mối
quan hệ biện chứng giữa an-gô-rít, tư duy an-gô-rít và giải phương trình chứa .
Những kết quả ở chương 1 sẽ là cơ sở phương pháp luận cho việc nghiên cứu ở các
chương tiếp theo.

Vai trò của an-gô-rít trong dạy học phương trình và hệ phương trình ...

VOLADETH Phoothone