Bài giảng các phân phối xác suất thường gặp

Bài 3
Các phân phối xác suất
thường gặp


Phân phối siêu bội


Xét tập có N phần tử trong đó có M phần tử có
tính chất A. Từ tập đó lấy ra n phần tử.
Gọi X là số phần tử có tính chất A thì X có
phân phối siêu bội.



Kí hiệu:

X~H(N,M,n)


Phân phối siêu bội


Định nghĩa: phân phối siêu bội là phân phối của
biến ngẫu nhiên rời rạc X={0,1,2,3…n} với xác
suất tương ứng là:
CMk .C Nn−−kM
pk = P ( X = k ) =
C Nn



Ví dụ 1: Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn
có 5 bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3
bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua phải.
Lập bảng phân phối xác suất của X?


Phân phối siêu bội


Ta có: X~H(100,5,3)
P ( X = 0) =
P ( X = 2) =



3
C50C95

C

3
100

1
C52C95

C

3

100

= 0, 856
= 0, 006

P ( X = 1) =

C51C952

P ( X = 3) =

C53C950

C

3
100

C

3
100

Bảng ppxs:
X

0

1

2

3

P

0,856

0,138

0,006

0,000

= 0,138
= 0, 000


Phân phối siêu bội


Các số đặc trưng: X~H(N,M,n) thì

E ( X ) =np;


Với p =

M
;

N

q = 1− p

N −n
VarX = npq
N −1


Phân phối siêu bội





Ví dụ 2: Một rổ mận có 20 trái trong đó có 6 trái bị hư.
Lấy ngẫu nhiên 4 trái. Gọi X là số trái bị hư. Lập bảng
phân phối xác suất và tính EX, VarX bằng 2 cách?
Giải:
Ta có: X~H(20,6,4)
P ( X = 0) =

C60C144

P ( X = 2) =

C62C142

P ( X = 3) =

C64C140

C

4
20

C
C

4
20

4
20

= 0, 2066
= 0, 2817
= 0, 0031

P ( X = 1) =
P ( X = 3) =

C61C143
C

4
20

1

C63C14

C

4
20

= 0, 4508
= 0, 0578


Phân phối siêu bội
 Bảng phân phối xác suất:
X

0

1

2

3

4

P

0,2066

0,4508

0,2817

0,0578

0,0031

 Tính VarX
 Cách 1: dùng công thức:
VarX = npq

N −n
6 14 20 − 4
= 4. .
= 0, 7074
N −1
20 20 20 − 1

Cách 2: tính trực tiếp:

E ( X ) = 1.0, 4508 + 2.0, 2817 + 3.0, 0578 + 4.0, 0031 = 1, 2

( )

E X 2 = 12.0, 4508 + 22.0, 2817 + 32.0, 0578 + 42.0, 0031 = 2,1474

( )

V arX = E X

2

−  E ( X )  = 2,1474 − ( 1, 2 ) = 0, 7074
2

2


Phân phối nhị thức


Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa
3 điều kiện.





Các phép thử trong dãy độc lập nhau.
Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến một biến
cố A, tức là chỉ có 2 biến cố xuất hiện trong phép
thử.
Xác suất xuất hiện biến cố A trong mọi phép thử
của dãy là hằng số.

P ( A) = p

( )

P A = 1− p = q

Phân phối nhị thức


Công thức Bernoulli
Cho dãy n phép thử Bernoulli. Xác suất có k lần
xuất hiện biến cố A là:

pk = P ( X = k ) = C p q
k
n

CM: xem giáo trình.

k n− k


Phân phối nhị thức
Vd1: Một bà mẹ sinh 2 con với xác suất sinh con
trai là 0,51. Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh.
Lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng của
X?
 Vd2: Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm
với xác suất 1 phế phẩm là 1%.


a) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác suất có 2
phế phẩm?
b) Máy phải sản xuất ra bao nhiêu sản phẩm để xác suất

có ít nhất một phế phẩm nhỏ hơn 7%?


Phân phối nhị thức


Giải 1: Ta có: X~B(2;0,51)
P ( X = 0 ) = C ( 0, 51)

( 0, 49 ) = 0, 2401
P ( X = 1) = C ( 0, 51) ( 0, 49 ) = 0, 4998
P ( X = 2 ) = C ( 0, 51) ( 0, 49 ) = 0, 2601
0
2

1
2

2
2





0

2

1

1

2

0

Bảng ppxs:
X

0

1

2

P

0,2401

0,4998

0,2601

E(X)=n.p=2.0,51=1,02


Phân phối nhị thức
2a) Gọi X là số phế phẩm trong 10 sản phẩm sản
xuất ra. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm là

1%. Vậy X~B(10;0,01)

P ( X = 2) = C

2
10

( 0, 01) ( 0, 99 )
2

8

= 0, 0042

2b) Gọi n là số sản phẩm cần sản xuất. Gọi Y là số
phế phẩm trong n sản phẩm sản xuất ra.
Theo đề bài ta có: Y~B(n;0,01)
Gọi A là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong n
sản phẩm


Phân phối nhị thức
P ( A ) = P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − ( 0, 99 )

n

P ( A ) < 0, 07 ⇔ 1 − ( 0, 99 ) < 0, 07 ⇔ ( 0, 99 ) > 0, 93
n

⇔ n < log00,,93

= 7, 22
99

n


Phân phối nhị thức


Vd3: Cho bnn X có hàm mật độ:
4 x 3 ; x ∈ ( 0,1)
f ( x) = 
0 ; x ∉ ( 0,1)
Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có ít nhất 2 lần
bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5)

Giải:
Xác suất để bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5) là:
P ( A ) = P ( 0,25 < X < 0,5 ) =

0 ,5

0 ,5

∫ f ( x ) dx = ∫ 4 x dx = x
3

0 ,25

0 ,25

4

0 ,5
0 ,25

= 0,0586


Phân phối nhị thức
Gọi Y là số lần bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5)
trong 3 phép thử độc lập.
Theo bài ta có: Y~B(3;0,0586)
Gọi B là bc có 2 lần X nhận giá trị trong (0,25;0,5).
Vậy:

P ( B ) = P ( Y = 2 ) = C ( 0,0586 ) ( 1 − 0,0586 ) ≈ 0,0097
2
3

2

1


Phân phối nhị thức


Định nghĩa: Phân phối nhị thức là phân phối
của biến ngẫu nhiên rời rạc X={0,1,2,3…,n} có xác

suất tương ứng là:
pk = P ( X = k ) = Cnk p k q n−k ;



Kí hiệu: X~B(n,p)

( k = 0,1)


Phân phối nhị thức
Chú ý: khi n=1 ta gọi phân phối B(1,p) là phân
phối không-một. Kí hiệu A(p).
 Các số đặc trưng:


E ( X ) = np
VarX = npq
np − q ≤ mod X ≤ np + p


CM: xem giáo trình.


Phân phối nhị thức

a)
b)

c)

Ví dụ 4:Một nhà vườn trồng 5 cây lan quý. Xác
suất nở hoa của mỗi cây trong một năm là 0,8
Lập bảng ppxs của số cây lan nở hoa trong 1
năm?
Giá một cây lan nở hoa là 1,2 triệu đồng. Giả sử
nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi
năm nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao
nhiêu tiền.
Nếu muốn trung bình mỗi năm có 10 cây lan nở
hoa thì nhà vườn phải trồng mấy cây lan?


Phân phối nhị thức


Ví dụ 5: Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có
4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần có hoàn lại từ lô
hàng, mỗi lần 4 sản phẩm. Tính xác suất để
trong 3 lần có đúng 1 lần chọn có nhiều nhất 3
phế phẩm.


Phân phối Poisson


Bài toán dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X là số
lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm
ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t1;t2) thỏa các
điều kiện sau:





Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian
(t1;t2) không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện A trong
khoảng thời gian kế tiếp.
Số lần xuất hiện biến cố A trong một khoảng thời gian
bất kì tỉ lệ thuận với độ dài của khoảng đó.

Khi đó X được gọi có phân phối Poisson.
 Kí hiệu: X~P(λ) với λ=c(t2-t1)>0.


c: cường độ xuất hiện A.


Phân phối Poisson


Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá
trị từ 0, 1, 2, … gọi là có phân phối Poisson với
tham số λ nếu:
−λ

e λ
pk = P ( X = k ) =
k!


Các số đặc trưng:

EX = VarX = λ
λ − 1 ≤ ModX ≤ λ

k


Phân phối Poisson
Ví dụ 1: Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt
trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4.
Tính xác suất trong 1 giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.( bc B)
Giải:
Gọi X là số ống sợi bị đứt trong một giờ. Ta có: X~P(4)


43 −4
P ( A ) = P ( X = 3) = e
3!
40 −4
P ( B ) = P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − e = 1 − e −4
0!


Phân phối Poisson
Ví dụ 2: Trung bình một ngày (24h) có 12 chiếc tàu vào
cảng Cam Ranh. Chọn ngẫu nhiên 3 giờ trong một ngày.
Tính xác suất để 2 trong 3 giờ ấy có đúng một tàu vào

cảng.
Giải:
Gọi X là số tàu vào cảng trong một giờ. Ta có: X~P(0,5)
Xác suất để trong 1 giờ bất kì có đúng một tàu vào cảng là:


P ( A)

0, 5 )
(
=
1!

1

e −0,5 =

1
2 e

Gọi Y là số giờ có đúng 1 tàu vào cảng trong 3 giờ.
Ta có:


1 
Y ~ B  3;
÷
 2 e

Phân phối Poisson


Vậy xác suất để 2 trong 3 giờ có đúng một tàu
vào cảng là:
2

 1 
P ( C ) = P ( Y = 2) = C 
÷
2 3
2
3


1 
1 −
÷ ≈ 0,1742
 2 e


Phân phối Poisson
Ví dụ 3: Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300
cuộc gọi trong một giờ.
a) Tính xác suất để trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong
vòng 1 phút.
b) Tính xác suất để trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong
vòng 5 phút.
c) Tính xác suất để 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm
nhận được nhiều nhất 1 cuộc gọi.

Giải:
a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong một phút.
Ta có:
X~P(5)