Bài giảng toán cao cấp a3 chương 1 nguyễn quốc tiến

NGUYỄN QUỐC TIẾN

BÀI GIẢNG TOÁN
CAO CẤP A3

2

2

2

x
y
z



1
2
2
2
a
b c

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011
1


CHƯƠNG 1.
1.1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Hàm nhiều biến

1.1.1 Các định nghĩa
Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực ( x, y )  D  D, D  R với một và chỉ
một phần tử z  R thì ta nói f là hàm hai biến số trên D  D . Ký hiệu f : D  D  R hay
z  f ( x, y ) .
Ví dụ: Các hàm z  xy, t  x 2  y 2  1
Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u  f ( x, y, z ) . Chẳng
hạn u  1  x 2  y 2  z 2 , u  x  y 2  z , ...
Tập hợp các cặp ( x, y ) mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi
là miền xác định của hàm hai biến z  f ( x, y ) , ký hiệu là D( f ) .
Ví dụ:
Miền xác định của hàm z 

1
2

2

là x 2  y 2  4 . Vậy D( f ) gồm các điểm

1 x  y
nằm trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2.
Miền xác định của hàm z  sin( x  y) là R 2

1.1.2 Giới hạn của hàm hai biến
Số L được gọi là giới hạn của hàm z  f ( x, y ) khi điểm M ( x, y) tiến đến điểm
M 0 ( x0 , y0 ) nếu với mọi   0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được   0 sao cho khi

0  M 0 M   thì f ( x, y )  A   . Ký hiệu

lim f ( x, y)  A hay lim f ( x, y )  A

M M 0

x  x0
y  y0

Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau:
Cho hàm số f ( M )  f ( x, y ) xác định trong miền D chứa điểm M 0 ( x0 , y0 ) có thể
trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f ( x, y ) khi điểm M ( x, y ) dần tới điểm
M 0 ( x0 , y0 ) nếu với mọi dãy M n ( xn , yn ) thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim f ( xn , yn )  L .
n

Ký hiệu
Ví dụ: Tính

lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y)  L hay lim f ( M )  L
M M 0

f ( x, y ) với f ( x, y) 

2

xy
2

x  y2


Ta có f ( x, y ) 
lim

( xn , y n )  (0,0)

x
x2  y2

. y  y , ( x, y )  (0, 0) , do đó  ( xn , yn )  (0, 0) ta đều có

f ( xn , yn )  0 = 0.

Ví dụ: Chứng minh lim
x 0
y 0

xy
không tồn tại.
x  y2
2

Cho y  x ta có L  lim
x 0
y 0

x2
1
2x2
2

L

lim
 . Vậy
,
nhưng
cho
y

2
x
thì
2
2
2
2
x

0
x x
2

x  4x
5
y 0

khi ( x, y ) tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì f ( x, y ) có những giới hạn khác nhau.
xy
Do đó lim 2
không tồn tại.
x 0 x  y 2
y 0

1.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến.
Giả sử M 0 ( x0 , y0 )  D( f ) . Hàm z  f ( x, y ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu

lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) .

x  x0
y  y0

Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền
đó. Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số
Ví dụ: Hàm số f ( x, y)  x 2  y 2 liên tục tại mọi điểm của R 2

Hàm số

lim
x 0
y 0

1.2

 xy
, ( x, y )  (0, 0)

f ( x, y)   x 2  y 2
gián đoạn tại (0, 0) vì không tồn tại
1
, ( x, y)  (0, 0)


xy
x  y2
2

Đạo hàm riêng

1.2.1 Định nghĩa
Cho hàm z  f ( x, y ) . Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của
một biến số x. Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn
z
f ( x  x, y)  f ( x, y )
 lim

x

0
x
x

Ký hiệu z x' , f x' ,

z f
,
. Tương tự ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm
x x

z  f ( x, y ) theo biến y
Ví dụ:
3


Cho z  x 2  y . Ta có

z
z
 2 x,
 1.
x
y

Hàm số z  x y . Ta có

z
z
 x y ln x
 yx y -1 và
y
x

1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số z  f ( x, y ) . Các đạo hàm f x' , f y' là những đạo hàm riêng cấp một. Các
đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ký hiệu đạo
hàm riêng cấp hai như sau:
  f   2 f
 f x''2  x, y 
 
x  x  x 2

  f   2 f
 f yx''  x, y 
 
x  y  xy

  f   2 f
 f xy''  x, y 
 
y  x  yx

  f   2 f
 f y''2  x, y 
 
y  y  y 2

Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M 0 ( x0 , y0 ) hàm số z  f ( x, y ) có các đạo
hàm riêng f xy'' , f yx'' và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M 0 thì f xy'' ,  f yx'' tại M 0 .
Ví dụ: z  e xy ;

1.3

2 z

2 z
 e xy  xye xy 
xy
yx

Vi phân toàn phần

1.3.1 Định nghĩa
Nếu hàm số z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm ( x0 , y0 ) và các đạo
f f
hàm riêng
,
liên tục tại ( x0 , y0 ) thì ta có
x y

z  f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 )x 
( x0 , y0 )y  0(  )
x
y

Trong đó

x  x  x0 , y  y  y0 ,   (x)2  (y )2   ,
z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) được gọi là số gia toàn phần của z. Hàm 0(  ) là vô cùng bé cấp cao
hơn  khi   0 . Ta cũng nói hàm z khả vi tại điểm ( x0 , y0 ) .

4


Khi z  f ( x, y ) khả vi tại ( x0 , y0 ) ta gọi phần tuyến tính
f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 )y là vi phân toàn phần của z  f ( x, y ) tại ( x0 , y0 ) và ký hiệu là
x
y
dz ( x0 , y0 ) . Vậy:
dz ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 ) y .
x
y

hay

df ( x, y ) 

f
f
( x, y)dx 
( x, y )dy
x
y

Ví dụ:
Xét hàm z  x y ta có: dz 

z
z
dx  dy  yx y 1dx  x y ln x dy
x
y

1.3.2 Vi phân cấp hai
Vi phân cấp hai của hàm z  f ( x, y ) là vi phân toàn phần của df ( x, y ) tức là d (df ) và
được kí hiệu là d 2 z hay d 2 f . Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức:
d 2 f ( x, y ) 

2 f 2
2 f
2 f 2
dx

2
dxdy

dy
x 2
xy
y 2

1.3.3 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
Xét hàm z  f ( x, y ) khả vi tại ( x0 , y0 ) . Khi x và y đủ bé ta có công thức gần

đúng sau:

z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 )x 
( x0 , y0 )y
x
y

hoặc

f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 ) y
x
y

Ví dụ: Tính gần đúng giá trị 1, 023,01 .
Xét hàm z  x y , x  1, y  3, x  0, 02, y  0, 01 . Khi đó: 1, 023,01  1  0,06  1, 06 .

1.3.4 Đạo hàm hàm hợp
Cho z  f (u , v) với u  u ( x, y), v  v( x, y ) thì các đạo hàm riêng được tính như sau:

z z u z v



x u x v x
Tương tự
5


z z u z v


y u y v y
Ví dụ:
Với z  eu

2

 v2

, u  a cos x, v  a sin x thì:

dz z du z dv


dx u dx v dx
 eu

2

 v2

 2aeu

1.4

2

2u (a sin x)  eu
v

2

2

 v2

2v(a cos x)

(v cos x  u sin x)

Cực trị của hàm hai biến

1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu
M 0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm cực đại của z  f ( x, y ) nếu tại mọi điểm M ( x, y) trong

lân cận của M0 ta đều có f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) . Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm
z  f ( x, y ) đạt cực đại tại M 0 ( x0 , y0 ) .
Nếu thay chữ “đại” bởi chữ “tiểu” và bất đẳng thức f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) thay bởi
f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) thì M 0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm cực tiểu của z  f ( x, y )
Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là cực trị.
Ví dụ: Cho hàm z  x 2  ( y  1)2  2 . Ta có z (0,1)  2 và z ( x, y )  2  z (0,1), ( x, y ) .Vậy
(0,1) là điểm cực tiểu của hàm z . Giá trị cực tiểu thu được là 2. Điểm (2,3) chẳng phải là
điểm cực trị của hàm z vì trong lân cận của nó có các điểm khác mà giá trị tại chúng có thể

lớn hơn, có thể nhỏ hơn giá trị của z tại (2,3) .?

1.4.2 Cách tìm điểm cực trị của hàm hai biến
Người ta chứng minh được rằng nếu hàm z  f ( x, y ) đạt cực trị tại M 0 ( x0 , y0 ) thì tại
f f
,
đó hoặc không tồn tại hai đạo hàm riêng hoặc các đạo hàm riêng
đều bằng 0. Các
x y
f
f
điểm ( xo , yo ) mà
( xo , yo )  ( xo , yo )  0 là điểm dừng.
x
y
Như vậy để tìm cực trị của hàm hai biến trước hết ta tìm các điểm ( xo , yo ) mà tại đó
không tồn tại hai đạo hàm riêng và các điểm dừng.
Giả sử M 0 ( x0 , y0 ) là một điểm dừng của z  f ( x, y ) và tại M0 hàm z có các đạo hàm
riêng

2 z
2 z
2 z
(
x
,
y
)

A

,
(
x
,
y
)

B
,
( x0 , y0 )  C . Khi đó:
0
0
0
0
x 2
xy
y 2

Nếu B 2  AC  0 thì hàm đạt cực trị tại M0 (đạt cực tiểu nếu A  0 , đạt cực đại nếu
A  0 ).

6


Nếu B 2  AC  0 thì hàm không có cực trị tại M0.
Nếu B 2  AC  0 thì chưa có kết luận.
Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số f ( x, y)  x3  y 3  6 xy .
Ta có f x'  3 x 2  6 y, f y'  3 y 2  6 x ( x, y ) hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng.
Các điểm dừng là nghiệm của

3 x 2  6 y  0  y  12 x 2

.
 2
1 2
3 y  6 x  0  x  2 y
Giải hệ ta được hai điểm dừng M 0 (0; 0) và M 1 (2; 2)
Xét điểm M 0 (0; 0) :
Ta có: A  f xx'' (0; 0)  6 x M  0 , B  f xy'' (0; 0)  6 , C  f yy'' (0; 0)  6 y M  0 .
0

0

B 2  AC  36  0 nên tại M0 không phải là cực trị.
Xét điểm M 1 (2; 2) :
Ta có: A  f xx'' (2, 2)  6 x M  12 , B  f xy'' (2, 2)  6 , C  f yy'' (2, 2)  6 y M  12 .
1

1

B 2  AC  108  0 . Mà A  12  0 . Do đó (2, 2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị
cực tiểu là f (2, 2)  8  8  24  8

1.4.3 Cực trị có điều kiện
Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị của hàm z  f ( x, y ) với ràng buộc
 ( x, y )  0 . Điều này khác với tìm cực trị tự do của hàm z  f ( x, y ) trên toàn tập xác định
thỏa điều kiện  ( x, y )  0 .
Từ điều kiện  ( x, y )  0 nếu suy ra được y  y( x) thì hàm z  f ( x, y)  f ( x, y ( x)) là
hàm số một biến. Ta tìm cực trị hàm một biến. Trong trường hợp việc rút y  y( x) phức tạp
ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo các bước sau:

Bước 1. Lập hàm Lagrange: L( x, y,  )  f ( x, y)   ( x, y) với  gọi là nhân tử số
Lagrange.
Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
 L'x ( x, y,  )  0
 '
 Ly ( x, y,  )  0
 '
 L ( x, y,  )  0

Bước 3. Xét dấu d 2 L  L''xx dx 2  2 L''xy dxdy  L''yy dy 2 tại từng điểm dừng ( x0 , y0 , 0 ) . Nếu
d 2 L ( x0 , y0 , 0 )  0 thì zmax  f ( x0 , y0 ) . Nếu d 2 L ( x0 , y0 , 0 )  0 thì zmin  f ( x0 , y0 ) .

7


BÀI TẬP CHƯƠNG I
Câu 1. Miền xác định của hàm số
1  x2
1  sin xy
a) z 
b) z 
2
2
1 x  y
4  x2  y2

1  x2
2  sin x

d) z  ln

c) z 

e) z  e1sin xy

f) z 

Câu 2. Miền giá trị của hàm số
a) z  cos(1  xy )
b) w  xy sin z
Câu 2. Tính các giới hạn
xy  1
a)
lim
( x , y ) (0;0) x  1
d) lim
x 2
y 2

g)

b)

lim

e

x2  x  2 y

lim

e)

x2  3 y 2
x2 y2

lim
( x , y ) (0;0)

x y

h)

( x , y )(1;1)

x2  y2  1 1
2

x y

2

x4  y 4
x2 y

lim
( x , y ) (0;0)

Câu 3. Cho hàm số f ( x, y) 

5  x2  y2

1
8 x  y

c) w  x 2  2 x  4  y 2

( x , y )(1;0)

x 2  2 xy  y 2
x y

xy

2

x y

2

c)

lim
( x , y )(2;1)

f)

e

e y sin(1/ 2 x )

( x , y )( ;1)
1/ 2 x

i) lim ( x 2  y 2 ) sin
x 0
y 0

 x3  y 3
,  x, y   1, 1

c) f ( x, y )   2  x  y 
tại 1, 1
 a , x, y  1, 1
   

Câu 5. Tính các đạo hàm riêng cấp một

d) z  x3  3x y

e) z  ln x



2

1
x y

. Định nghĩa f (0, 0) để hàm số liên tuc trên R 2

 x3  y 3
,  x, y    0, 0 

b) f ( x, y)   x  y
tại  0, 0 
 a ,  x, y    0, 0 


b) z  e x



1

lim

Câu 4. Tìm a để các hàm số liên tục
 cos2 xy  1
,  x, y    0, 0 

a) f ( x, y)   x 2 y
trên R 2
 a ,  x, y    0,0 


a) z  x3  ln y 3  3 xy

x2  y 2

 yx

x2  y2

 ln x



c) z  x 2 sin
f) z  x 2tg

8

x
y

x
y


Câu 6. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a) z  e x sin y  x3  2 y

c) z  x  y

b) z  x 2  y 2

d) z  sin(2 x  3 y )
Câu 7. Tính

b) z  x3  y3  ln  xy 

c) z  cot g  x  y 

z
x
với z = eucosv, u = xy, v =
y
y

Câu 8. Cho z  e x

2

 y2

, x  a cos t , y  a sin t . Tính

Câu 9. Cho z  ln x  y , y  sin x . Tính

z
t

z
x

Câu 10. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) z  x 4  8 x 2  y 2  5

b) z  x 2  y 2  2 x  1

c) z  x 2  y 2

d) z  xy  3x  2 y

b) z  x 2  y 2

c) z  4( x  y )  x 2  y 2

9