Luận văn thạc sĩ đánh giá quyền chọn trong toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá
trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng
em trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19,
chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi
cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý
giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011
Học viên

Đặng Thị Kiêm Hồng


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6

1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
16

17

26
26
27
28
29

1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

34
37
38

2


2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
42

2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu

52
2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
56
58

2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3