Ứng dụng các nguyên lí cơ học đề giải các bài tập động lực học

1
mở đầu
i. Lý DO CHọN Đề TàI:
Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng và
sự tơng tác của các vật thể trong không gian, theo thời gian. Đặc biệt cơ học lý
thuyết đáp ứng yêu cầu hiểu biết và tính toán xác định các hiện tợng chuyển
động gặp trong thực tế.
Đối với khối xây dựng, kỹ thuật nó là cơ sở cho hàng loạt những môn kỹ
thuật hiện đại nh: Sức bền vật liệu, Cơ học công trình, Đàn hồi, Nguyên lý
máy, Động lực máy bay . . .
Đối với sinh viên s phạm, một mặt nó giúp cho sinh viên hiểu thêm về
phần cơ học đại cơng nhằm phục vụ tốt cho việc giảng dạy phần cơ học ở trờng THPT, mặt khác nó còn làm cơ sở giúp cho sinh viên học tiếp các môn
vật lý lý thuyết nh: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lợng tử . . .
Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập Cơ học lý thuyết
là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp hiểu sâu về lý thuyết đồng
thời nâng cao t duy và kỹ năng học tập.
Với tính chất quan trọng của bộ môn cùng với lòng yêu thích nó, tôi càng
muốn đi sâu nghiên cứu kỹ hơn bộ môn này. Đợc sự hớng dẫn của cô giáo Lê
Thị Thai, tôi mạnh dạn tập nghiên cứu đề tài: ứng dụng các nguyên lý cơ
học để giải các bài tập động lực học.
Chuyển động của vật rắn thật phong phú và đa dạng. Khi giải các bài
toán cơ học về chuyển động, ta vẫn thờng lúng túng giữa việc lựa chọn kiến
thức nào? phơng pháp nào? Thực ra, một bài toán có thể có nhiều cách giải
khác nhau, mỗi phơng pháp có những đặc điểm riêng, có những u nhợc
điểm khác nhau. Có thể nhợc điểm của phơng pháp này lại đợc khắc phục
bằng u điểm của phơng pháp kia. ở cơ học đại cơng, chúng ta giải quyết hệ
thống bài tập về chuyển động của cơ hệ chủ yếu bằng hai phơng pháp: Phơng
pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn. Thực hiện đề tài này, một lần nữa
chúng tôi khắc sâu thêm một phơng pháp mới: Phơng pháp áp dụng giải tích
toán học để giải các bài toán động lực học.
II. Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung các nguyên lý cơ học cơ bản: Nguyên lý di chuyển
khả dĩ, Nguyên lý Đalămbe, Nguyên lý Đalămbe Lagrăng.


2
- áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài
toán cơ học. Phân loại đợc các bài toán và đề xuất tiến trình giải các bài toán
bằng cách áp dụng các nguyên lý đó.
III. Đối tợng nghiên cứu:
- Cơ sở của cơ học giải tích và nội dung các nguyên lý.
- Các bài toán về cơ học chuyển động của chất điểm, cơ hệ.
- Các giáo trình, tài liệu tham khảo về cơ học lý thuyết, chuyển động cơ học
IV. Giả thiết khoa học
Việc áp dụng các nguyên lý vào giải quyết bài toán cơ học góp phần
khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hứng thú học tập của sinh
viên.
Các bài tập vận dụng sẽ sát với cơ sở lý thuyết, tập trung làm rõ hơn
những khái niệm trừu tợng, khó hiểu trong lý thuyết đã xây dựng. Cung cấp
cho sinh viên một phơng pháp khoa học tự giải quyết bài toán cơ học có hiệu
quả, giúp họ tự tin, nâng cao chất lợng tự học.
V. phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu các khái niệm cơ sở của cơ học giải
tích, cơ sở lý thuyết của các nguyên lý cơ học.
- Phơng pháp thực nghiệm: tiến hành thu thập bài tập, tìm hiểu các dấu
hiệu để phân loại, đề xuất tiến trình giải.
VI. phạm vi ứng dụng :
Đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên s phạm, cử
nhân khoa học, giáo viên vật lý THPT trong quá trình học tập và công tác.
VII. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba phần chính:

Phần mở đầu
Phần nội dung
A. Những cơ sơ của cơ học giải tích.
B. Các nguyên lý cơ học cơ bản và ứng dụng.
Chơng I: Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Chơng II: Nguyên lý Đalămbe.
Chơng III: Nguyên lý Đalămbe Lagrăng.
Trong mỗi chơng có ba mục:


3
I Cơ sở lý thuyết
II. Bài tập ứng dụng
III Phân loại bài toán và phơng pháp áp dụng cùng nguyên lý
Phần kết luận.
Luận văn này đợc hoàn thành với sự hớng dẫn, chỉ bào tận tình của
cô giáo Lê Thị Thai và sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo trong khoa
Vật lý - Trờng Đại học Vinh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn
sâu sắc đến các thầy cô.
Vì bản thân là sinh viên lần đầu tiên làm công tác nghiên cứu, cha có
nhiều kinh nghiệm trong việc trình bày một vấn đề khoa học. Do vậy, luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sự góp ý chỉ bảo của
các thầy cô và các bạn đọc.


4

A.

Phần nội dung

Những cơ sở của cơ học giải tích

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy
luật chuyển động cơ học của vật thể dới tác dụng của lực hay nó thiết lập mối
quan hệ giữa chuyển động và lực là nguyên nhân gây nên chuyển động.
Cơ học giải tích là phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giải
quyết vấn đề lập phơng trình vi phân của chuyển động các loại cơ hệ khác
nhau và tìm cách cầu phơng các phơng trình ấy.
Các khái niệm cơ bản
1.1 Cơ hệ không tự do: là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động
ngoài lực tác động ra, vị trí và vận tốc của chúng bị ràng buộc bởi một số điều
kiện hình học và động học cho trớc.
Liên kết: là những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất
điểm của cơ hệ trong không gian. (Những điều kiện ràng buộc cơ hệ về mặt
hình học và động học).
Phơng trình liên kết: là các phơng trình và bất phơng trình biểu thị
về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất điểm
thuộc cơ hệ. Chúng có dạng sau:
f ( t , x1 , y1 , z1 , , x N , y N , z N , x 1 , y 1 , z 1 , , x N , y N , z N ) 0 (1)
=1, s ; s là số phơng trình liên kết; N: Số chất điểm của cơ hệ.
Phân loại liên kết: dựa vào các phơng trình liên kết ngời ta phân loại
các liên kết nh sau:
+ Liên kết giữ và không giữ: nếu các điều kiện ràng buộc đợc miêu tả
bằng phơng trình thì liên kết đợc gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía. Còn
nếu liên kết đợc mô tả bằng những bất phơng trình thì đợc gọi là liên kết
không giữ hay liên kết một phía.
+ Liên kết dừng và không dừng: nếu trong phơng trình liên kết không
chứa rõ biến thời gian thì liên kết gọi là dừng, trờng hợp ngợc lại là liên kết
không dừng.

5
+ Liên kết hôlônôm và không hôlônôm: nếu trong phơng trình liên kết
không chứa các yếu tố vận tốc hoặc có chứa các yếu tố vận tốc nhng nhờ các
phép tính tích phân đa đợc về dạng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết
ấy đợc gọi là liên kết hôlônôm. Nếu trong phơng trình liên kết có chứa các
yếu tố vận tốc nhng không thể loại trừ chúng bằng các phép tính tích phân thì
liên kiết đợc gọi là không hôlônôm.
Cơ hệ với liên kết hôlônôm thì đợc gọi là cơ hệ hôlônôm và ngợc lại cơ
hệ với liên kết không hôlônôm thì đợc gọi là cơ hệ không hôlônôm.
1.2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ
1.2.1. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ: là tập hợp các di chuyển vô cùng bé
của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận phù hợp với
các liên kết tại vị trí đang xét.
Khái niệm di chuyển khả dĩ chỉ có ý nghĩa về mặt hình học, không có
quan hệ với các lực tác dụng lên cơ hệ, nghĩa là khi cơ hệ thực hiện di chuyển
khả dĩ, hệ lực tác dụng lên cơ hệ không biến đổi và thời gian t đợc xem nh là
một thông số. Ngoài ra khái niệm di chuyển khả dĩ gắn liền với một vị trí xác
định nào đó của cơ hệ. Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất điểm là

r (x, y , z ) (với r là vectơ định vị của chất điểm) để phân biệt đợc với di
chuyển thật dr (dx,dy,dz). Di chuyển thực là một trong những di chuyển khả
dĩ.
Xét cơ hệ gồm N chất điểm: Điều kiện để {rk }
chuyển khả dĩ của cơ hệ hôlônôm là

f

r r

k

=0

( k =1, N ) là một di

( 2)

k

hoặc trong dạng:

f

( x x
k

k

+

f
f
y k + z k ) = 0
y k
z k

(3)

1.2.2 Số bậc tự do của cơ hệ:

Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến
tính của cơ hệ, nghĩa là bằng số biến phân độc lập của các toạ độ.
Ký hiệu số bậc tự do của hệ là k: k= 3N-s. (4)
Với N : Số chất điểm thuộc cơ hệ;

s: Số phơng trình liên kết.


6
1.2.3. Toạ độ suy rộng
Tập hợp các thông số đủ để xác định đợc vị trí của cơ hệ trong một số hệ
qui chiếu xác định đợc gọi là các toạ độ suy rộng của cơ hệ.
Các toạ độ suy rộng đợc ký hiệu là: q1, q2, . . ., qm. Nó có thể là các toạ độ
Đề các của các chất điểm thuộc cơ hệ, có thể là góc quay, toạ độ cong . . .
Các toạ độ Đề các của các chất điểm của cơ hệ có thể biểu diễn qua các
toạ độ suy rộng:
xk=xk(t, q1, q2, ....qm);
yk=yk(t, q1, q2, ....qm)

(5)

zk=zk(t, q1, q2, ....qm).
hoặc viết ở dạng rút gọn: rk = rk (t , q1 , q2 , ...qm )
- Toạ độ suy rộng đủ: là tập hợp các toạ độ suy rộng độc lập với nhau.
- Toạ độ suy rộng thừa: là tập hợp các toạ độ suy rộng lớn hơn số toạ độ
suy rộng đủ. Giữa các toạ độ suy rộng thừa có mối ràng buộc với nhau.
Đối với cơ hệ hôlônôm có bậc tự do của nó bằng số toạ độ suy rộng đủ.
1.2.4. Lực suy rộng:
a. Công khả dĩ của lực: (công của lực trong di chuyển khả dĩ).

{ }

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ rk , theo công thức tính công nguyên tố
biểu thức của công khả dĩ sẽ là:
N

N

A( F ) = F . r = ( F
k

k =1

k

k

k =1

kx

.xk + Fky .yk + Fkz .zk ) (6)

Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ q1, q2, ....., qn . Ta có
n

xk =
i =1

xk

qi
qi

n

; yk =

Thay vào công thức (1.6) ta có:

i =1

yk
qi
qi

n

; zk =
i =1

zk
qi
qi


7

A( F

k

N n

xk
y k
z k
) =
Fkx q + Fky q + Fkz q
k =1 i =1
i
i
i

n N

xk
yk
z k
=
F
+
F
+
F
kx
ky
kz

qi
qi

qi
i =1 k =1

N



k =1



trong đó: Qi = Fkx

n



q
=
i Qiqi
i =1


x k
y k
z
+ Fky
+ Fkz k
qi
qi

qi

N
rk

= Fk q
i
k =1





q
=
i




(7 )

(8)

đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng qi.

[ A]
Lực suy rộng là đại lợng vô hớng, có thứ nguyên [Q ] = [q ]
Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ độ
suy rộng tơng ứng chẳng hạn nếu toạ độ suy rộng là góc thì lực suy rộng là

ngẫu lực, nếu toạ độ suy rộng là độ dài thì lực suy rộng là lực thông thờng...
b.Các phơng pháp tính lực suy rộng
Phơng pháp I: Suy ra từ định nghĩa, muốn vậy cần tìm hình chiếu các lực
trên các trục toạ độ Đề các và biểu thức các toạ độ Đề các của các điểm đặt
của các lực theo toạ độ suy rộng, sau đó thay vào công thức (8).
Phơng pháp II: Tính công khả dĩ của các lực trong toạ độ Đề các, biểu
diễn các toạ độ Đề các theo toạ độ suy rộng. Tính các biến phân của toạ độ Đề
các theo các biến phân của toạ độ suy rộng sau đó thay vào biểu thức công
khả dĩ. Các đại lợng đứng trớc các biến phân của các toạ độ suy rộng trong
các biểu thức công khả dĩ chính là các lực suy rộng.
Phơng pháp III: Trong trờng hợp toạ độ suy rộng đủ, các biến phân của
các toạ độ suy rộng đủ là độc lập với nhau. Dựa vào tính chất đó ta tính từng
lực suy rộng riêng rẽ nhờ việc chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt. Ví dụ: để tính
lực suy rộng Qi ứng với lực suy rộng qi, ta chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt nh
sau: q1=0, q2=0,...., qi-1=0, qi0, qi+1=0,....,qn=0. Tức là để tính lực suy
rộng Qi ứng với toạ độ suy rộng q i ta chỉ cho toạ độ suy rộng q ibiến thiên một
lợng qi còn các toạ độ suy rộng khác đợc giữ không đổi. Tính công khả dĩ

( )

của các lực trong di chuyển khả dĩ đặc biệt đã chọn, ký hiệu là: Aqi Fk


8

Rõ ràng ta có:

( )

Aq ( Fk )

=
Q
q
Suy
ra:
Q
=
i
i
i

A
F
q k
i

i

qi

Các phơng pháp thứ II và thứ III thờng đợc sử dụng. Đặc biệt đối với quy
chiếu nhiều bậc tự do, phơng pháp thứ 3 rất thuận tiện, khi các toạ độ suy rộng
đợc chọn là đủ.
Khi các lực đều có thế và hàm thế năng U đợc biểu diễn qua các toạ độ
suy rộng: U[xk(q1,. . ., qn); yk(q1,. . ., qn); zk(q1,. . ., qn)] = U(q1, q2,. . . ,qn)
thì lực suy rộng đợc tính theo công thức: Qi =

U
qi

(i = 1, n)

1.2.5. Liên kết lý tởng:
a.
Phân loại lực tác dụng lên cơ hệ không tự do. Các lực tác dụng
lên cơ hệ không tự do đợc phân thành hai loại: lực liên kết và lực hoạt động.
Các lực liên kết thể hiện tác dụng về mặt động lực của các liên kết cơ hệ.
Các lực tác dụng lên cơ hệ không phải là các lực liên kết thì gọi là lực hoạt
động.
b.
Liên kết lý tởng: Liên kết đợc gọi là lý tởng nếu tổng công của tất
cả các lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ đều bằng không.

A

k

(R ) =R .r
k

k

k

=0


9
B. Các nguyên lý cơ học cơ bản
Chơng I: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

I. Cơ sở lý thuyết.
Đối với cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tởng, điều kiện cần
và đủ để cơ hệ cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của tất
cả các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét
đều triệt tiêu.

A( F

k

N

) =
Fk .rk =0

(1.1)

k=
1

Với Fk là lực hoạt động (hay hợp lực) tác dụng lên điểm Mk
rk là di chuyển khả dĩ của chất điểm.

(1.1) còn đợc gọi là phơng trình công khả dĩ.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử cơ hệ ở trạng thái cân bằng tại vị trí
đang xét. Ta cần chứng minh Fk phải thoả mãn

A( F

k

) =0

Thật vậy: khi cơ hệ cần bằng thì mọi chất điểm M k của nó nằm yên, lực
hoạt động và lực liên kết đặt lên chất điểm phải cân bằng nhau, nghĩa là
Fk + R k = 0

Với bất kỳ một di chuyển rk nào của Mk ta đều có: ( Fk + R k ) rk = 0 .
Đối với toàn bộ cơ hệ ta sẽ có:

N

(F
k =1

k

Do cơ hệ chịu liên kết lý tởng nên ta có:

N

Điều kiện đủ: Bây giờ ta giả sử
k

N

k =1

k =1

Rk rk = 0 Vậy
k =1

A( F

N

+ R k ) rk = 0 Fk rk + Rk . rk = 0

Fk

N

F . r
k =1

k

k

=0

thoả mãn điều kiện

) = 0 , ta sẽ chứng minh cơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng . Thực

vậy giả sử ngợc lại cơ hệ không nằm ở trạng thái cân bằng, nh thế có ít nhất
một chất điểm M k bắt đầu chuyển động dới tác dụng của lực hoạt động Fk

10
và lực liên kết Rk , theo phơng cùng với hợp lực tác dụng vào chất điểm Mk
là

k = Fk + Rk

Do liên kết của cơ hệ là dừng nên phơng di chuyển thực của cơ hệ trùng
với một trong các phơng di chuyển khả dĩ , nên ta chọn di chuyển khả dĩcủa
chất điểm Mk trùng với di chuyển thực của nó.
Vì vậy:

k . rk = ( Fk + Rk ). rk = Fk . rk + Rk . rk > 0

Đối với toàn bộ cơ hệ
kết lý tởng

R

k

F . r
k

. rk = 0 suy ra:

k

+ Rk . rk > 0 nhng cơ hệ chịu liên

F r

k

k

>0 điều này trái với giả thiết.

Vậy không có chất điểm nào thuộc cơ hệ chuyển động từ vị trí cân bằng. Nên
cơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng.

ý nghĩa: ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều
kiện cân bằng của mọi cơ hệ dới dạng tổng quát, trong khi đó các phơng pháp
tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ. Để áp dụng
nguyên lý này ta chỉ cần xét đến lực hoạt động, cho nên ngay từ đầu đã tránh
đợc không phải xét đến các phản lực liên kết cha biết khi chúng là liên kết lý
tởng.
Điều kiện cân bằng của cơ hệ hôlônôm trong toạ độ suy rộng đủ : giả sử
hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí của nó đợc xác định bằng n toạ độ suy rộng
đủ q1,q2,,q3, . . ., qn. . Từ biểu thức công khả dĩ của các lực hoạt động trong hệ
toạ độ suy rộng đủ:

N

N

n

k =1

k =1

i =1

A( Fk ) = Fk rk = Qi qi , với Qi là lực suy rộng của

các lực của các lực hoạt động tơng ứng với toạ độ suy rộng qi .
Điều kiện cân bằng của hệ, theo nguyên lý di chuyển khả dĩ là:

n

Q q
i =1

i

i

=0

Vì cơ hệ là hôlônôm và các gia số q1,q2, . . .,qn hoàn toàn là độc lập
với nhau (do các toạ độ suy rộng là đủ) nên điều kiện để đẳng thức trên thực
hiện đợc là: Qi=0 , với i= 1, n .


11
Ta có thể phát biểu định lý:
Định lý: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng
và lý tởng cân bằng tại một ví trí nào đó là tất cả các lực suy rộng của các lực
hoạt động ứng với toạ độ suy rộng đủ, tính với vị trí đang xét, phải đồng thời
triệt tiêu.
Trong trờng hợp các lực hoạt động là những lực có thế và hàm thế năng có

dạng: U = U(q1,q2,......,.qn). Từ công thức

Qi =

(

U
i = 1, n
qi

) , ta có định lý sau:

Định lý : Điều kiện cần và đủ để cơ hệ bảo toàn với liên kết hôlônôm,
giữ,dừng, và lý tởng cân bằng tại một vị trí nào đó là hàm thế năng đạt cực trị
tại vị trí đó.
II. Bài tập ứng dụng

A

Bài 1.1: Cho một cơ cấu tay quay
thanh truyền nh hình vẽ. Bỏ qua ma sát,
tìm sự liên hệ giữa P và ngẫu lực M, để
hệ cân bằng ở vị trí tơng ứng với góc
quay của OA nh hình vẽ.

r


s

l






O

M

I

Bài giải:

B

P

Hình 1.1

Xét cơ hệ với toàn bộ cơ cấu tay quay, thanh truyền. Liên kết của cơ hệ
là liên kết lý tởng. Cơ hệ có một bậc tự do.
Chọn toạ độ suy rộng đủ q = ứng với góc định vị tay quay OA.
Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm lực P và ngẫu lực M.
Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ trong đó tay quay OA quay góc , tơng
ứng với con chạy B di chuyển đoạn s ta có: AP=Ps ,

AM= -M

Dấu ở đây có nghĩa: Nếu chọn chiều dơng là chiều tăng của s thì chiều
tăng của ngợc chiều với chiều tăng của s.
Cần tìm sự liên hệ của và s theo phơng pháp toạ độ:
Ta có : s =OB = r cos + l cos => s = - (r sin + lsin)


12
Mà AI = OA sin =AB sin <=> r sin = lsin => r cos = lcos
=

r cos
l 2 r 2 sin 2



Suy ra

s = - r sin (1+

r cos
l 2 r 2 sin 2

)

Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ tại vị trí đang xét để hệ cân bằng :

AF = A p + AM = 0

=>

r cos
M Pr Sin 1 +


l 2 r 2 sin 2


Vậy điều kiện để cơ hệ cân bằng là: M = Pr sin (1 +

r cos
l 2 r 2 sin 2


=0



)

Bài 1.2: Hãy tìm trọng lợng P1 và P2 của hai tải trọng trên các mặt
nghiêng với những góc và so với
phơng nằm ngang, đợc giữ cân bằng
nhờ tải trọng P. Biết rằng tải trọng P 1và
P2 buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi
từ tải trọng P1 luồn qua ròng rọc 01 đặt
lên trục nằm ngang, rồi luồn vào ròng
rọc động mang tải trọng P, sau đó luồn
qua ròng rọc 02 cùng nằm trên trục của

ròng rọc 01 và cuối cùng buộc vào tải
trọng P2. Bỏ qua ma sát, khối lợng của
ròng rọc và dây cáp .

O

O1
x1

A

A

xC


B

O2

x2



P1

C

P

Hình1.2

Bài giải:
Khảo sát cơ hệ gồm dây nối,ròng rọc và ba vật A,B,C. Cơ hệ chịu liên
kết hôlônôm,giữ, dừng và lý tởng.
Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có hai bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng đủ q 1=
x1, q2= x2. Chúng xác định vị trí các vật A,B trên mặt phẳng nghiêng. Với hệ
toạ độ 0x1x2 nh hình vẽ, chiều dơng hớng xuống dới.
Các lực hoạt động gồm P1 , P2 , P . Trớc hết chúng ta cần tìm các lực suy
rộng tác dụng lên cơ hệ.
Vì dây không giãn nên chiều dài của dây không đổi : x1+x2 +2xc = const


13
1
2

Suy ra: x1 + x2 + 2xc = 0 hay xc= - (x1+x2)
1

Để tìm Qx 1 ta cho hệ di chuyển khả dĩ x1 0 ; x2=0 = > xc = - 2 x1.
Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ trên là :
Ax ( Fk ) =P1sinx1+Qxc

=>

1

=> Qx1 =

A

x1

( Fk )

x1

= P1 sin

Q
2

Ax ( Fk ) =(P1sin- )x1
1

Q
2
1
2

Tơng tự tìm Qx2 ta cho hệ di chuyển khả dĩ x1 = 0, x2 0, xc = x2
Ax ( Fk ) =P2sinx2+Qxc
2

=> Qx 2 =

A

x2

x2

( Fk )

= P2 sin

=>

Q
2

Ax ( Fk ) =(P2sin- )x2
2

Q
2

Q

P1 =

Qx = 0
2 sin

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ 1
suy ra
Qx 2 = 0
P2 = Q

2 sin


Bài 1.3: Dùng tời kéo vật A lên dốc với góc nghiêng so với phơng
ngang, vật A có trọng lợng P, hệ số ma sát trợt giữa vật A và và mặt phẳng
nghiêng là f. Tác dụng lên tời một ngẫu lực phát động có mômen M. Bán kính
trục tời là R. Tìm điều kiện để kéo đợc vật lên từ trạng thái nghỉ (hình vẽ). Bỏ
qua ma sát ổ trục kéo và trọng lợng dây.
Bài giải:
Khảo sát cơ hệ gồm ròng rọc và
A. Cơ hệ đang xét có một bậc tự do
chịu liên kết lý tởng. Chọn toạ độ

R


N

suy rộng đủ q= là góc quay của tời.
Ta có thể coi lực ma sát trợt của
mặt dốc tác dụng lên vật A là lực
hoạt động cùng với trọng lực và ngẫu lực M.


P


Fms

Hình 1.3

M


14
Để tìm điều kiện cân bằng chúng ta xét các khả năng xảy ra. Vật A sắp
trợt xuống và vật A sắp trợt lên.
Giả sử vật A sắp trợt lên, lực ma sát hớng xuống dới.
Cho hệ di chuyển khả dĩ ứng với tời quay một góc thuận chiều kim
đồng hồ, khi đó vật A sẽ di chuyển lên dọc mặt phẳng nghiêng một đoạn
s = R
Ta có công nguyên tố của các lực hoạt động


A
(
F
k ) = M . P sin s Fms s = (M RP sin P.R cos )
Lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng là:
Q = M P(Sin + f cos)R.
Khi vật A sắp sửa trợt lên nhng vẫn còn ở trạng thái cân bằng Q = 0
Suy ra M = PR(Sin + fcos)
Để vật không trợt lên ta cần có M PR(sin+ fcos)
* Xét trờng hợp vật A sắp trợt xuống, khi đó lực ma sát sẽ hớng lên. Tơng
tự nh trên ta có công nguyên tố của các lực hoạt động:


A
(
F

k ) = M P sin s + Fmss = (M PR sin + fPR cos )
Lực suy rộng: Q =

A( F k )


= M ( P sin fP cos )

Khi vật sắp trợt xuống nhng vẫn còn cân bằng ta có :

Q = M P(sin f cos ) R = 0 M = PR(sin f cos )
Để vật không trợt xuống M PR (sin f cos )
Nh vậy để vật A cân bằng không trợt lên và cũng không trợt xuống thì
điều kiện sau phải thoả mãn: PR(sin f cos ) M PR (sin + f cos )
Nếu một trong hai điều kiện đó bị phá vỡ thì A sẽ không còn cân bằng
tức là bị kéo lên hay trợt xuống.


15
Bài 1.4: Cho cơ hệ đợc biểu diễn trên hình vẽ. Dây mềm mảnh, nhẹ và
không giãn đợc buộc vào vật A,

N
A
x
vòng qua ròng rọc cố định C, ròng
E Q
C
rọc động D và ròng rọc cố định E,
cuối cùng buộc vào vật nặng B. Tại

Fms P
trục ròng rọc động D có treo vật K
B
có trọng lợng Q. Cho biết hai vật
y
P
A,B có cùng trọng lợng P. Xác định
P theo Q và xác định hệ số ma sát
K
trợt giữa vật A và mặt phẳng ngang
Hình 1.4

để hệ cân bằng.

Q

Bài giải :

Khảo sát cơ hệ gồm dây nối, ròng rọc và các vật A, K, B. Cơ hệ chịu liên
kết hôlônôm giữ, dừng và lý tởng. Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có hai bậc tự do.
Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ q 1=x, q2=y biểu diễn nh hình vẽ. Chiều dơng
của x hớng sang phải, còn của y hớng xuống dới.
Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ đang xét: Fms , Q, P, P .
Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ x, y 0 . Tổng công khả dĩ của các lực
hoạt động A( Fk ) = -Fmsx + Py + Qy1. Với y1 là di chuyển khả dĩ của
vật nặng K.
Ta sẽ có y1 =
Suy ra

y x

2

A( F ) = fP x + P y + Q(
k

= fP x + P y

y x
)
2

Q
Q
Q
Q
y + x = ( fP + ) x + ( P ) y
2
2
2
2

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ tổng công khả dĩ A( Fk ) =0
Q

Q

fP + 2 = 0
P =
2
Vì x và y là độc lập nhau nên: Q

hay
P = 0
f = 1

2


16

Bài 1.5: Dầm tổ hợp AD nằm trên ba gối tựa gồm có hai dầm nối khớp
nhau tại C. Ngời ta tác dụng lên dầm những lực thẳng đứng trọng tải 2 tấn, 6
tấn, và 3 tấn, kích thớc nêu trên hình vẽ. Hãy xác định phản lực của gối tựa A,
B và D .

Bài giải :
Khảo sát cơ hệ là dầm đã cho. Ta chú ý rằng hệ đã cho nằm yên một cách
không vững chắc và không có bậc tự do. Nh thế để giải bài toán này ta sẽ đa
6T=
nó về một dạng khác tơng đơng mà ở
3T=
2T=
đó có thể sử dụng nguyên lý di chuyển
khả dĩ.
C
Q
P B
M
A

D

Đầu tiên ta tìm phản lực ở gối tựa
A : N A . Phá vỡ liên kết tại A xem nh ở

a

a

đó chỉ có một lực N A giữ cho hệ cân
bằng hớng thẳng đứng lên trên (Hình
1.6a).
Cơ hệ có một bậc tự do, cân bằng
dới tác dụng của các lực hoạt động

P 1 , P 2 , P3 , N A . Chọn toạ độ suy rộng

2a

2a

Hình 1.5


P2


P1
C

M

P B


P3

D

Q
A

đủ đủ q= xA, là di chuyển của điểm A
đối với điểm C.
Để hệ cân bằng ta phải có tổng
công khả dĩ của các lực hoạt động bằng
không.

a

a

NA


P2


P1
A

Cho A một di chuyển khả dĩ
A


P3

C
P

M


P2


P1

x A 0 ta có

a)

C
M

Q
NB

B
P

b)


P3
D

Q
c)

Hình 1.6

ND


17

A

Khi đó

xA

( Fk ) = N Ax A P1xM P2x P P3xq

1
P
= N Ax A P1 x A = ( N A 1 )x A
2
2

Lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng xA : Qx =

Ax ( Fk )
P
= NA 1
x A
2

A

A

Từ điều kiện cân bằng của hệ : Qx = 0 ta suy ra N A =
A

Tìm phản lực tại B:

P1
=1T
2

N B phá vỡ liên kết tại B xem nh chỉ có một lực tác

dụng N B giữ cho hệ cân bằng, hớng thẳng đứng lên trên. Tơng tự nh trờng hợp
trên cơ hệ có một bậc tự do cân bằng dới tác dụng của các lực hoạt động
P1 , P2 , P3 và N B . (Hình 1.6b)

Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ là xB là di chuyển của B đối với điểm C
Cho B một di chuyển khả dĩ x B 0 suy ra
5

xP = xB ;
4

x A = 0;

3
xM = x B ;
2

1
xQ = xB ;
2

xD = 0.

Tổng công khả dĩ:

A

xB

( Fk ) = N BxB P1xM P2x p P3xQ
3
5
1
xB P2 xB P3 xB
4
4
2
3

5
1
= ( N B P1 P2 P3 )xB
4
4
2
= N BxB P1

Lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng xB :
Qx B =

A

xB

x B

( Fk )

=NB

3
5
1
P1 P2 P3
4
4
2

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ : Qx = 0 suy ra :

B

NB =

3
5
1
3
5
1
P1 + P2 + P3 = ( 2 + 6 + 3)T
2
4
2
2
4
2

N B = 10,5T


18
Tìm phản lực tại D: N D , tơng tự phá vỡ liên kết tại D xem nh chỉ có một
lực tác dụng N D giữ cho hệ cân bằng, lực hớng thẳng đứng lên trên. Ta thấy
cơ hệ có một bậc tự do, cân bằng dới tác dụng của lực hoạt động P1 , P2 , P3 và
N D . (Hình 1.6c)

Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ là xD là di chuyển của D đối với B.
Cho D một di chuyển khả dĩ
1

1
1
xD 0; x A = xB = 0; xM = xD , x p = xD ; xq = xD
4
4
2

Ta có tổng công khả dĩ:

A

xD

( Fk ) = N DxD + P1xM + P2xD P3xQ
= (ND +

1
1
1
P1 + P2 P3 )x D
4
4
2

Lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng xD:
QxD =

A

xD

= ND +

xD

1
1
1
P1 + P2 P3
4
4
2

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ QxD =
1
2

1
4

1
2

1
4

1
4

Ax ( Fk )

=0
xD
D

1
2

1
2

Suy ra N D = P1 P2 + P3 = ( 2 6 + 3)T = T
1
Vậy N D = T
2

Lu ý : Có thể tìm ND bằng cách sau :
Phản lực tại A là NA, tại B là NB và tại D là ND .
Suy ra: N A + N B + N D + P1 + P2 + P3 = 0
Chiếu phơng trình này lên phơng vuông góc với AB:
NA+NB+NDP1P2P3=0
Nên ND =P1+P2+P3-NA-NB =(2+3+6-10,5-1)T =-0,5T


19
Bài 1.6: Trên hình vẽ (1.7) ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang.
Tay quay OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách
giữa hai trục O và C là d. ở vị trí đang xét OA tạo với phơng thẳng đứng một
góc quay . Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần

lắc chịu tác dụng của lực ngang F tại B hớng từ trái sang phải. Bỏ qua ma sát
và trọng lợng bản thân của các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu và ở
vị trí đó tìm phản lực tại trục quay C.
Bài giải :
F

Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào
ngang. Cơ hệ đang xét có một bậc tự do chịu liên
kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tởng. Chọn hệ toạ độ
suy rộng đủ q= là góc quay của tay quay OA. Các

B

VA
Vk

O



Vt

A

M



lực hoạt động gồm F và ngẫu lực có mômen M.
Trớc tiên ta tìm lực suy rộng ứng với toạ độ suy

rộng . Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ 0 ngợc
chiều kim đồng hồ. Khi đó cần lắc quay quanh C

l

1


C

Hình 1.7

một góc .
Ta cần tìm mối liên hệ giữa và
Gọi V A là vận tốc tuyệt đối của A , Vt

là vận tốc tơng đối do A chạy trên

CB , Vk là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C.
Khi đó V A = Vt + Vk . Các véc tơ vận tốc đợc biểu diễn trên hình vẽ
Với VA = o.OA ; o : vận tốc quay của OA ; Vk = CB.CA , CB : vận
tốc góc của CB.
Ta có VK = VA cos( )
=> CB = o.

nên CB.CA = o.OA.cos(-)

a
OA
.cos(-) = . l cos( ) ; với l1: chiều dài của CA

CA
1

Công khả dĩ của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ :


a

A( Fk ) = M - F.a.cos. = M - Fl cos . l . cos(-)
1


20
a

= [M - F.l.cos.cos(-). l ]

F

1

B

Vậy lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng :

A ( Fk )

Q =

O

a
= M Fl cos . cos( ).
l1



M

A

Để cơ hệ cân bằng ta có Q = 0. Vậy điều kiện cân
bằng của cơ hệ M = Fl cos( ) cos .

YC

a
l1



C

XC

Tìm phản lực tại trục quay C: phá vỡ liên kết

Hình 1.8

tại C và thay thế nó bằng hai phản lực X C và YC , biểu diễn trên hình vẽ. Khi
này cơ hệ có 3 bậc tự do. Chọn các toạ độ suy rộng đủ q1 = , q2 = , q3 = s với
s là toạ độ của một điểm bất kỳ của khâu BC đối với điểm A (xét điểm C). Nh
vậy q 3 = AC = s .
Các lực hoạt động sẽ là: F , X C , YC và mômen có ngẫu lực M.
Việc đi tìm các phản lực tại C: X c và Yc sẽ chuyển sang việc tìm điều kiện cân
bằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng: tức là Qq = 0
i

Với việc Q = 0 , ta sẽ tìm đợc mối liên hệ giữa ngẫu lực M và lực F để
cơ cấu cân bằng đã thiết lập ở trên. Còn Q = 0 và Qs = 0 chúng ta sẽ sử dụng
để tìm Xc và Yc.
Trớc hết cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ: = s = 0 và 0
Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động:

A (F ) = M


k

A

( X c ). + M A (Yc ) + M A ( F ) = Yc .l1 sin + l1 cos X c (l l1 ) F cos

= [ Yc .l sin l cos . X c + (l l1 ) F cos ]

Lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng là:
Q = Yc l1 sin + l1 cos X c (l l1 ) F cos

Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ : = = 0 , s 0
Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động :


21

A ( F
s

k

) = X c sin s Yc cos s F sin s
= ( X c sin +Yc cos + F sin )s.

Lực suy rộng: Qs = X c sin Yc cos F sin
Q = 0
Qs = 0

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ:
Ta sẽ có:

l1 sin Yc + l1 cos X c (l l1 ) F cos = 0

( X c sin + Yc cos + F sin ) = 0

Giải hệ phơng trình trên ta đợc :

l

2

X c = F ( l cos 1)

1

Y = F l sin . cos
c

l1


Nh vậy Yc sẽ ngợc chiều biểu diễn; còn Xc sẽ cùng chiều biểu diễn nếu:
l
cos 2 1 > 0 hay l1 < l cos 2
l1

Bài 1.7: Ba thanh có cùng trọng lợng Q đợc nối với nhau bằng các bản


lề và tại đầu tự do của thanh thứ ba đặt lực F nằm ngang nhờ đó giữ cho cả hệ
nằm trong mặt phẳng đứng và cân bằng. Khi đó các thanh lập với đờng thẳng
đứng những góc tơng ứng 1 , 2, 3 , xác định những góc đó nếu F=Q.
Bài giải:
Khảo sát cơ hệ gồm 3 thanh
cùng trọng lợng Q. Cơ hệ gồm các
vật rắn liên kết với nhau bằng các
bản lề không ma sát, cho nên cơ hệ
chịu liên kết lý tởng.
Lấy tâm O làm gốc toạ độ,
chiều các trục Ox, Oy đợc biểu
diễn trên hình vẽ. Dễ dàng nhận

thấy cơ hệ có ba bậc tự do, do vậy

x

O
Q
2

1

A

Q

2

B
3

y

Hình 1.9

ta Chọn các toạ độ suy rộng đủ q1=1, q2=2, q3=3.

Q

C F
Q
2

22
Trọng lợng của mỗi thanh có thể phân ra làm hai thành phần đặt vào hai
đầu mút của nó. Khi đó ta có hệ lực biểu diễn nh trên hìnhvẽ. Các lực hoạt
động gồm có: Q , Q,
2

Q,

Q và
F
2

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ 1 0, 2 0, 3 0. Khi đó A di chuyển
khả dĩ xA, yA; B di chuyển khả dĩ xB, yB; C di chuyển khả dĩ xC, yC.
Tổng công nguyên tố của các lực hoạt động:

y
Q
y C + Fx c = Q(y A + y B + C + x C )
2
2

Cơ hệ cân bằng tổng công khả dĩ A( Fk ) = 0 suy ra:

A( F

k

) =Qy A + Qy B +

y A + y B +

y C
+ x C = 0 (*)
2

Đặt OA = a, AB = b, BC = c, cần biểu diễn các toạ độ của A, B, C thông
qua các góc 1, 2, 3 :
yA = acos1 ;

yB= acos1+ bcos2

yC = ccos3 + acos1 + bcos2;

xC = asin1+ bsin2+ csin3.

Từ đây ta có thể suy ra đợc các di chuyển khả dĩ:
yA = - asin1. 1; yB = -asin11 - bsin 22
yC = -csin33 - bsin22- asin11;
xC = acos11 + bcos22+ ccos33
Thay các giá trị này vào (*) ta suy ra :
a( cos1-

3
5
1
sin1)1+b(cos 2- sin2)2+c(cos3- sin3)3=0
2

2
2

Vì 1 , 2,3 là độc lập với nhau nên


23

Suy ra:

cos1-

5
sin1=0
2

cos2-

3
sin2=0
2

cos3-

1
sin3=0
2

<=>

1=21048 , 2=33040 ,

tg1=

2
5

tg2=

2
3

tg3=

1
2

3=63026

.

III. Phân loại bài toán và phơng pháp áp dụng nguyên lý di chuyển
khả dĩ :
Nguyên lý di chuyển khả dĩ cho ta một phơng pháp tổng quát để nghiên
cứu sự cân bằng của các cơ hệ bất kỳ. Phơng pháp này có u điểm nổi bật là
loại trừ việc khảo sát các phản lực liên kết (nếu là liên kết lý tởng) mà chỉ chú
ý đến các lực hoạt động. Nếu cần xác định phản lực nào, ta giải phóng liên kết
tơng ứng, thay vào phản lực cần tìm và coi phản lực này nh lực hoạt động.
Trong một số trờng hợp lực ma sát có sinh công ví dụ nh lực ma sát trợt, ngẫu
lực ma sát. . . Ta vẫn sử dụng nguyên lý này bằng cách coi lực ma sát này là

lực hoạt động.
Từ việc giải một số bài toán cụ thể ở II ta có thể phân loại đợc bài toán áp
dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ thành 3 dạng cơ bản:
Loại 1: Bài toán tìm liên hệ giữa các lực hoạt động để hệ cân bằng.
Loại 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng.
Loại 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ.
Từ đây ta có thể rút ra đợc tiến trình giải các bài toán bằng phơng pháp
áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:
Bớc 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do của nó.
Kiểm tra điều kiện liên kết lý tởng của hệ.
Bớc 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ.
Đặt các lực hoạt động lên cơ hệ.


24
Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên
kết và thay thế phản lực cần tìm - coi nó nh một lực hoạt động.
Bớc 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di
chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự
chọn phù hợp với bậc tự do.
Viết biểu thức tính công khả dĩ. Từ điều kiện cân bằng ta tìm đợc các giá
trị cần xác định. Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán đợc áp dụng là
các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau.


25
Chơng II : Nguyên lý Đalămbe
I. Cơ sở lý thuyết
Những phơng pháp giải các bài toán động lực mà chúng ta áp dụng trớc
đây đều dựa trên các phơng trình suy trực tiếp từ các định luật Niutơn hoặc từ

các định lý tổng quát là hệ quả của các định luật đó. Nhng nó cha phải là con
đờng duy nhất, ta còn có thể thiết lập các phơng trình chuyển động hay các
điều kiện cân bằng của cơ hệ dựa trên những cơ sở khác nữa là các nguyên lý
cơ học để thay cho các định luật Niutơn.
ở phần trớc chúng ta đã đợc nghiên cứu về sử dụng nguyên lý di chuyển
khả dĩ. Dới đây ta sẽ đi sâu và tìm hiểu nguyên lý Đalămbe ứng dụng nó
vào giải các bài toán cơ học - một phơng pháp rất hiệu quả, đa bài toán động
vào bài toán tĩnh.
1. Nguyên lý Đalămbe
1.1. Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm:
Tại một thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất
điểm cân bằng nhau:

qt

F+F =0

(2.1)

Chú ý: Đối với trờng hợp chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất
điểm bao gồm cả phản lực liên kết R . Khi đó (2.1) trở thành:
qt

F + R+ F = 0

(2.1) '

1.2.Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ:
Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M1,., MN dới tác dụng của hệ lực

( F1 , F2 ,......, FN ) chuyển động gia tốc (a1 , a 2 , , a N )
Xét chất điểm Mk có khối lợng mk, chịu tác dụng của các lực Fk
chuyển động với gia tốc a k . Lực quán tính của chất điểm ấy : Fk qt = mk ak
Theo nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm : ( F , F qt ) = 0
k
k
Do vậy nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ đợc phát biểu nh sau :