SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI TOÁN

CCH S DNG IU KIN Cể NGHIM CA
PHNG TRèNH BC HAI GII TON
Cao Quốc Cờng ( GV. THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Các kiến về phơng trình bậc hai là những nội dung kiến thức cơ bản trong chơng trình
toán lớp 9. Trong bài viết này tôi muốn trình bày với các bạn cách vận dụng điều kiện có
nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số dạng toán.
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài 1: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 2 x 2 + 2 xy + 2 x + y 2 + z 2 + y = 2 yz (1)
Chứng minh rằng : 1 y 2 z 1 .
Lời giải: Viết đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x ta có:
2 x 2 + 2 ( y + 1) x + ( y 2 2 yz + z 2 + y ) = 0 (2)
Ta có / = y 2 + 2 2 yz 2 z 2 + 1 . Vì x, y, z thỏa mãn đẳng thức (1) nên PT(2) có nghiệm
phải có / 0 y 2 2 2 yz + 2 z 2 1 0 ( y 2 z ) 1
2

y 2 z 1 1 y 2 z 1 ( ĐPCM).

Dạng 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên.
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: x 2 + 5 y 2 + 2 y 4 xy 3 = 0 (1).
Lời giải: Viết lại đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x.
x 2 4 xy + ( 5 y 2 + 2 y 3) = 0 (2). Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức (1)
thì PT(2) phải có nghiệm / 0 ( y + 1) 2 4 3 y 1 . Vì y Z nên ta có:
y { 3; 2; 1;0;1} . Lần lợt thay các giá trị của y vào PT(2) ta đợc:
* Với y = - 3 x =- 6 (Thỏa mãn).
* Với y = - 2 x = 4 3 (Loại vì x Z ).
* Với y = - 1 x = 0; x = - 4 ( Thỏa mãn).
* Với y = 0 x = 3 (Loại vì x Z ).
* Với y = 1 x = 2 (Thỏa mãn).
Vậy có bốn cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức (1) là
( x; y ) = ( 6; 3) ; ( 4; 1) ; ( 0; 1) ; ( 2;1) .
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .

Bài 3: Cho biểu thức

P=

Lời giải: ĐKXĐ: x R .

x2 8x + 7
. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của P.
x2 + 1

2
Giả sử k là một giá trị của biểu thức P ta có: k = x 28 x + 7 (k 1) x 2 + 8 x + (k 7) = 0 (1)

x +1

( Là phơng trình bậc hai ẩn x).
TH1: k 1 = 0 k = 1 x =

3
(*)
4

TH2: k 1 0 k 1 PT(1) có nghiệm khi

/ 0 k 2 8k 9 0 ( k + 1) ( k 9 ) 0 1 k 9 (**).

Kết hợp (*) và (**) ta có: Min k = -1; Max k = 9.
Vậy GTNN của P là Min P = -1 đạt đợc khi ( x 2 ) 2 = 0 x = 2 .
1

2

GTLN của P là Max P = 9 đạt đợc khi x + 1 ữ = 0 x = 1 .


2

2
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn đẳng thức: x + y + 6 x = 3 y + 2 xy 7
2

2

(1)

Sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: Viết biểu thức (1) về dạng phơng trình ẩn x tham số y ta có:
x 2 + 2 ( 3 y ) x + ( y 2 3 y + 7 ) = 0 (2)
Giả sử tồn tại cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức (1) thì PT(2) phải có nghiệm
2
2
2
. Vậy GTLN của y là Max y = thay y = vào (1) ta
3
3
3

7
2

7
tìm đợc x =
. Vậy cặp số (x; y) cần tìm là ; ữ .
3
3 3
/ 0 3 y + 2 0 y

Dạng 4 : Tìm giá trị nguyên của biểu thức.

x +1
. Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
x x +1
Lời giải: ĐKXĐ : x 0 ; Đặt a = x ; a 0 . Giả sử tồn tại giá trị của x để P nhận giá trị
a +1
nguyên thì phơng trình P = 2
( ẩn a tham số P) có nghiệm.
a a +1
Pa 2 ( P + 1) a + ( P 1) = 0 (*) Vì P > 0 nên PT(*) luôn là phơng trình bậc hai ẩn a PT(*)

Bài 5: Cho biểu thức P =

có nghiệm 0 3P 2 + 6 P + 1 0 1 2 3 P 1 + 2 3 .
3

3

Vì P > 0; P Z P { 1; 2}
Với P = 1 ta tính đợc x = 0 hoặc x = 4.
Với P = 2 ta tính đợc x = 1 hoặc x =

1
.
4

Vậy x 0; ;1; 4 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
1
4



Dạng 5 : Giải hệ phơng trình.
3

y + 2 = ( 3 x ) (1)

2 z y ) ( y + 2 ) = 9 + 4 y (2)
Bài 6: Giải hệ phơng trình: (
x 2 + z 2 = 4 x (3)


z 0(4)


Lời giải: Từ PT(2) ta có : y 2 + 2 y ( 3 z ) + 9 4 z = 0 (*) phơng trình (*) là phơng trình bậc
z 2
(I) .
z 0

hai ẩn y có nghiệm khi và chỉ khi ' = z 2 2 z 0

Mặt khác từ PT(3) ta có : x 2 4 x + z 2 = 0 (**) PT (**) là phơng trình bậc hai ẩn x có

z = 0

nghiệm khi và chỉ khi / = 4 z 2 0 2 z 2 (II) . Kết hợp (I); (II) và (4) ta có
z = 2
*Với z = 0 thay vào HPT ban đầu ta có:

2


y + 2 = ( 3 x) 3
2
( a ) y + 6 y + 9 = 0
y + 2 = ( 3 x) 3

x=0
2

y
+
6
y
+
9
=
0

3
x ( x 4) = 0
y + 2 = ( 3 x)

( b ) y 2 + 6 y + 9 = 0

x=4


Hệ phơng trình (a) vô nghiệm.
Hệ PT (b) có nghiệm (x; y) = (4; -3) kết hợp với z = 0 ta có: (x; y; z) = (4; - 3; 0)
*Với z = 2 thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có:
y + 2 = ( 3 x) 3
2
y + 2 y +1 = 0
x2 4 x + 4 = 0


Hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (2; - 1) kết hợp với z =2 ta có (x; y; z) = ( 2; - 1; 2).
Vây hệ PT có nghiệm là: (x; y; z) = (4; - 3; 0) ; (2; - 1; 2)
Bài tập áp dụng
2

Bài1: Cho đẳng thức x 2 x + 3 y 2 y = 3xy . Chứng minh rằng: y 5 ữ 28 .


3

9

2

x
Tìm GTLN (nếu có) của P.
x 2 x + 2010
Bài 3: Chứng minh rằng nếu phơng trình : 2x 2 + ( x + a ) 2 + ( x + b ) 2 = c

Bài 2: Cho biểu thức: P =

2

có nghiệm thì 4c 2 3 ( a 2 + b 2 ) ab .
Bài 4: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức:
GTLN.
Bài 5: Cho biểu thức: A =

x 2 yx 2 y + 8 x + 7 = 0 . Sao cho y đạt

x2 + 2
Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
x2 + 2x + 3

.................................................................................................

3