góc giữa 2 mặt phẳng p1

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Phương pháp giải:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+) Xác định giao tuyến ∆ = ( P ) ∩ (Q )
+) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
a = ( R) ∩ ( P)
+) Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: 
⇒ ( ( P );(Q ) ) = ( a; b )
b = ( R ) ∩ (Q )
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy. Hình chiếu

(

)

vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA. Biết SD; ABCD = 600 . Tính góc giữa

a) (SCD) và (ABCD).
b) (MBC) và (ABCD), với M là trung điểm của SA.
Đ/s: a ) tan φ =

30
30
; b) tan φ =

6
14

Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a; AD =
5a/2. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AB với BH = 2AH. Biết

( SC; ABCD ) = 45 . Tính góc giữa
0

a) (SCD) và (ABCD).
b) (IBC) và (ABCD), với I thuộc đoạn SA sao cho SI = 2IA.
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, I là điểm trên đoạn BC sao cho CI =
2BI. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với HA + 2 HI = 0 , biết

( SB; ABC ) = 60 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (NAB) và (ABC) với N là trung điểm của SI.
0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2, đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

a) (SBC) và (ABC).
b) (SAB) và (SBC).
c)* (SBC) và (SCD).
Đ/s:

a) 450

b) 600

c) cosα =

6
3

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, ∆DBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD = a 7 .
Tính góc giữa (ABC) và (DBC).
Đ/s: 300
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và
SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Đ/s: a) ( ( SAC ), ( SBC ) ) = 600

b) cos(( SEF ), ( SBC )) =

3
.
10

Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và

SA = a 2. Tính góc giữa

a) (SCD) và (ABCD).
b) (SBD) và (ABCD).
c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC.
Lời giải:

CD ⊥ SA
a) Ta có: 
⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒
CD ⊥ AD
tan SDA =

(( ABCD ) , ( SCD )) = ( SD, SA) = SDA

SA
1
1
=
⇒ ( ( ABCD ) , ( SCD ) ) = SDA = arctan
SD
2
2

b) (SBD) và (ABCD).
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( ( ABCD ) , ( SBD ) ) = ( SO, AC ) = AOS do AOS < 90o
Ta có: 
 BD ⊥ SA

(

tan AOS =

)

SA
= 2 ⇒ ( ( ABCD ) , ( SBD ) ) = AOS = arctan 2
OA

c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC.
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Gọi J là trung điểm của CD
 DI ⊥ JA
⇒ DI ⊥ ( SJA) ⇒ ( ( ABCD ) , ( SDJ ) ) = ( SJ , JA) = SJA
Ta có: 
 DI ⊥ SA

tan SJA =

SA
=
JA

SA
AD + DJ

2

2

=

1
3

⇒ ( ( ABCD ) , ( SDJ ) ) = SJA = arctan

1
3

Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 2 , I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với IH + 2 AH = 0 và SH = 2a. Tính góc giữa
a) BC và SA.
b) (SBC) và (ABC).
c) (SAB) và (ABC).
Lời giải:
a) Tính góc giữa BC và SA
Dựng hình thoi ABCD ⇒ BC / / AD ∈ ( SAD ) ⇒ ( BC ; SA) = SAD
Do 2 AH + IH = 0 ⇒ AH =

1
a 6
5a 6
AI =
⇒ SA = SH 2 + AH 2 =
3

6
6

Xét: ∆ v AHD : HD = AD 2 + AH 2 = a

13
37
⇒ SD = SH 2 + HD 2 = a
6
6

Nhận xét: SA2 + AD 2 = SD 2 ⇒ ∆SAD ⊥ { A} ⇒ SAD = 90o
Vậy ( BC ; SA ) = 90o

b) Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABC )
Ta có: ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC
Nhận xét: ∆SBC cân tại S ⇒ SI ⊥ BC ,
Mà AI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAI )
Suy ra:

( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ( SI ; AI ) = SIA

Tính được: AI =

a 6
a 6
a 42
; HI =
⇒ SI =
2

3
3

SI 2 + IA2 − SA2
1
Xét: ∆SAI : cos SIA =
=
⇒ SIA = 67,8o
2SI .IA
7
Suy ra:

( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = 67,8

o

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) Tính góc giữa ( SAB ) và ( ABC )
Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB
Từ H dựng HK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SKH
1
a 2
a 146
Ta dễ dàng tính được: HK = BI =

; SK = SH 2 + HK 2 =
3
6
6

SK 2 + KH 2 − SH 2
1
Xét: ∆SHK :cos SKH =
=
⇒ SKH = 83,3o
2SK .KH
73
Suy ra:

( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SKH = 83, 3

o

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!