góc giữa 2 mặt phẳng p2

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Phương pháp giải:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+) Xác định giao tuyến ∆ = ( P ) ∩ (Q )
+) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
a = ( R) ∩ ( P)
+) Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: 
⇒ ( ( P );(Q ) ) = ( a; b )
b = ( R ) ∩ (Q )
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 3a. SA vuông góc
với đáy (ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính góc giữa

a) (SAC) và (SCD).

b) (SAB) và (SBC).

c) (SBC) và (SCD).

Hướng dẫn:

a) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ⇒ sin EHD
b) Kẻ AM ⊥ SB; MN / / BC ⇒ AMN = 900
c) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ; F = DE ∩ BC ⇒ DHF
1

1
1

 DH : DH 2 = SD 2 + DC 2

Để tính DHF ⇒  DF

BC
 HF : cos C =
⇒ HF 2 = CH 2 + CF 2 − 2CH .CF .cos C.....
SC


Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD
1
= 3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB. Biết góc
2
0
giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 . Tính góc giữa
a) SD và (ABCD).

b) (SAB) và (SAC).

Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200. Gọi H là
trung điểm của OA. Biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc
giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính góc giữa

a) (SBC) và (ABCD).

b) (SAC) và (SCD).

Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI).
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC là tam
giác đều.
Trong ∆ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H
là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ∆ABC đều.
Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH. Để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với
SH.
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC, (1)
Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒
SA ⊥ BC, (2).
Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*)
Tương tự, ta cũng có
 AB ⊥ CH
 AB ⊥ CH
⇒
⇒ AB ⊥ ( SCH )

 SC ⊥ ( SAB ) ⊃ AB  AB ⊥ CH

Hay AB ⊥ SH, (**).
Từ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC).
( ABC ) ∩ ( SAJ ) = AJ
Mà 
⇒ ( ( SAJ ),( SCI ) ) = ( AJ , CI )
( ABC ) ∩ ( SCI ) = CI
Do ∆ABC đều nên CHJ = 900 − HCJ = 900 − 300 = 600

Vậy ( ( SAJ ),( SCI ) ) = ( AJ , CI ) = CHJ = 600

Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn giải:
Giả sử hình chóp tam giác đều là SABC. Do đặc tính của hình
chóp tam giác đều tất cả cạnh bên bằng nhau, tất cả cạnh đáy
bằng nhau. Từ đó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác đều
cạnh 3a.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC). Theo tính
chất đường xiên và hình chiếu, vì SA = SB = SC nên HA =
HB = HC ⇒ H là trọng tâm của ∆ABC.
a) S.ABC là chóp tam giác đều nên các cạnh bên nghiêng đều
với đáy, ta chỉ cần tính góc giữa SA và (ABC).
A ∈ (ABC) nên hình chiếu của A xuống (ABC) là chính nó. Do
SH ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu của S xuống (ABC). Khi đó,
HA là hình chiếu của SA lên (ABC).
Suy ra, ( SA,( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH = α
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của
3a. 3
2

∆ABC đều cạnh 3a nên AI =
⇒ AH = AI = a 3
2
3
AH a 3
3
Từ đó ta được cosα =
=
=
⇒ α = 300
SA
2a
2
Vậy ( SA,( ABC ) ) = 300

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD).
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC.
 BC ⊥ SH
Mà 
⇒ BC ⊥ ( SAH ) .
 BC ⊥ AH
( SAH ) ∩ ( ABC ) = AI
Lại có 

⇒ ( ( SBC ),( ABC ) ) = ( SI , AI ) = β
( SAH ) ∩ ( SBC ) = SI
2

2
2
2
 SH = SA − AH = 4a − a 3 = a
Theo câu a, 
 HI = 1 AI = a 3

3
2
2 3
SH
a
2 3
Khi đó, tan β =
=
=
⇒ β = arctan 

3
IH a 3
 3 
2
2 3
Vậy góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp là β = arctan 
 .
 3 

(

)

Ví dụ 6. [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA = a 3 và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa
các mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC).
b) (SBD) và (ABD).
c) (SAB) và (SCD).
Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có AO =

1
a 2
AC =
2
2

Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB.
 AB ⊥ SA
( SAD) ∩ ( SAB ) = SA
Ta có 
⇒ AB ⊥ ( SAD ). Mặt khác, 
⇒ ( ( SAB ),( ABC ) ) = ( SA, AD ) = SAD = 900
AB
⊥
AD
(

SAD
)
∩
(
ABC
)
=
AD


b) (SBD) ∩ (ABD) = BD.
 AB ⊥ AC
( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO
Ta có 
⇒ BD ⊥ ( SAC ). Mặt khác, 
⇒ ( ( SBD ),( ABD ) ) = ( SO, AO ) = SOA
 AB ⊥ SA
( SAC ) ∩ ( ABD) = AO
SA a 3
Xét tam giác vuông SOA ta có: tanSOA =
=
= 6 ⇒ ( ( SBD ),( ABD) ) = arctan 6
AO a 2
2
c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD. Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

( SAD) ∩ ( SAB ) = SA
Do 
⇒ ( ( SAB ),( SCD) ) = ( SA, SD ) = ASD
( SAD) ∩ ( SCD ) = SD
AD
a
1
Xét tam giác vuông SAD: tan ASD =
=
=
⇒ ASD = 300 ⇒ ( ( SAB ),( SCD ) ) = 300
SA a 3
3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4a; AD = 4a 3 . Tam giác
SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Tính góc giữa

a) DI và SA.

b) (SAI) và (ABCD).

c) SC và (ABCD).

d) DI và (SAB).

e)* SC và (SDI).

Bài 2. [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc
giữa (SBC) và (SCD) bằng 600

Đ/s: SA = a.
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB =
Chứng minh rằng:
a) ASC = 900.

a 3
a 6
, dựng SO ⊥ (ABCD) và SO =
.
3
3

b) (SAB) ⊥ (SAD).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!