Bài giảng bài cực trị hàm số giải tích 12

Bài giảng toán lớp 12


1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x 0  D
a) x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và
f(x) < f(x0) với mọi x  (a;b) \{x0}.
• Ta nói hàm số đạt cực đại tại x0
• f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số ,ta viết yCĐ hoặc fCĐ


1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x 0  D

b) x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và
f(x) > f(x0) với mọi x  (a;b) \{x0}.
đạt cực tiểu tại x0
• Ta nói hàm số
• f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ,ta viết yCT hoặc fCT
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại xo, ta gọi là hàm số đạt
cực trị tại xo. f(xo) gọi là giá trị cực trị của hàm số.


2. Điều kiện cần để có cực trị:
Định lý 1:
Nếu f có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì f’(xo) =0
Chứng minh: (xem SGK)

Chú ý : Đảo lại của định lí là sai


Ví dụ 1:
Hàm số y = x3 tăng trên R . Có y’=3x2, .y’=0 <=> x=0.
Hàm số y=x3 có đồ thị:
y
4

2

x
−6

−4

−2

2

4

6

8

−2

Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x=0 nhưng không có cực

trị tại x=0.


Ví dụ 2: b) Hàm số y 

3

x 2 .(5  x) có đồ thị:
y
6

4

2

3

x 2 (5  x)
x
−6

−4

−2

2

4

6

8

Hàm số đạt cực đại tại x=2 ,cực tiểu tại x=0.
Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x=0
Như vậy: Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại
đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định


3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: (điều kiện đủ 1)
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0
và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và ( x0;b). Khi đó:
a) Nếu f’(x) >0; x(a; x0) và f’(x) <0; x(x0;b) thì hàm
số đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f’(x) <0; x(a; x0) và f’(x) >0; x(x0;b) thì hàm
số đạt cực tiểu tại x0.


Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
1) Tìm y’

\ 0

2) Tìm các điểm xi (i=1, 2,...) tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.
4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
1) Tìm f’(x)

\ 0

2) Tìm các nghiệm xi (i=1, 2,...) của phương trình f’(x)=0.
3) Tìm f”(x) và tính f”(xi).
* Nếu f’’(xi) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi.
* Nếu f’’(xi) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.


BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Tìm cực trị của hàm số.
1 3
1)y  x  2x 2  3x  1
3

4
2)y  x   3
x

3)y  x 4  2x 2  3

x 2  2x  3
4)y 
x 1

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số.
1)f (x)  x  sin 2x  2

2)f (x)  3  2cos x  cos 2x


x 2  mx  1
Bài 3: Cho hàm số: y 
. Tìm m để
xm
1) Hàm số đạt CT tại x=2.

2) Hàm số đạt CĐ tại x=2.
Bài 4: Cho hàm số:y  x 3  3x 2  3(m2  1)x  3m2  1. Tìm m để

1) Hàm số có 1 CĐ và 1 CT.
2) Hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các cực trị của đồ thị hàm số
cách đều gốc tọa độ.