Bài giảng bài giới hạn của hàm số giải tích 11 (4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN

BÀI 2 :

GIỚI HẠN HÀM SỐ
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
Gv: Trần Xuân Thiện
Trường THPT Nguyễn Huệ

Thái Nguyên, ngày 12 tháng 01 năm 2013


Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Các ví dụ


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa

x 4
Hoạt động 1: Cho hàm số f  x  
x2
2

và hai dãy số:

2n  3
9  4n
''
x 
; xn 
n
2n
'
n

?1: Tính lim xn’ và lim xn”.

?2: Tính f(x’n), f(x”n)

Rút gọn biểu thức f(x)

?3: Tính lim f(xn’) và lim f(xn”)


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

?

Với dãy số (xn) bất kì, xn ≠ 2 và
lim xn = 2
thì lim f(xn) = ?


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Như vậy với dãy số bất kì (xn), xn ≠ 2 và xn 2, ta
luôn có f(xn)  4.

(Với tính chất thể hiện trong hoạt động 1, ta nói hàm
số f ( x)  x  4 có giới hạn là 4 khi x dần tới 2)
2

x2


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Dưới đây, thay cho các khoảng (a; b), (a; +),
(-; b), hoặc (-; +) ta viết chung là khoảng K.
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y = f(x) xác
định trên K hoặc trên K\{xo}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi
x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn  K\{xo}
và xnx0, ta có f(xn) L.

Kí hiệu: lim f  x   L hay f(x) L khi x  x0
x x0


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2
2x  2x
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) =
x 1

CMR: lim f ( x)  2
x 1
Giải. Hàm số đã cho xác định trên \ 1
-Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa
mãn xn≠ 1 và xn 1 khi n +
Ta có:
2
2x x 1
2 xn  2 xn
lim f ( xn )  lim
 lim
xn  1

Do đó lim f ( x)  2
x 1

n



n

x n 1

  lim2 x

n

2

(Lưu ý rằng, mặc dù f(x) không xác
định tại x = 1, nhưng hàm số lại có giới
hạn là 2 khi x  1).

Tính giới hạn
hàm số bằng
định nghĩa:
-Lấy dãy số (xn)
bất kì, xn ≠ x0 ,
xnx0.
-Tính lim f(xn)


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

NHẬN XÉT:
lim x  x0 ; lim c  c

x  x0

x  x0

lim x n  x0n ; lim cx n  c.x0n với c là hằng số.
x x
x x
0

0

Đ2 GII HAN CUA HAM Sễ

2.nh lý gii hn hu hn:
nh lớ 1:

a) Giaỷsửỷlim f x L vaứlim g x M khi ủoự
*
*
*
*

x x0

x x0

lim f x g x

LM

lim f x g x

LM

lim f x .g x

L .M

x x0
x x0

x x0

lim

x x0

f x

g x



L
M

Neỏu M 0

f x 0

b) Neỏ
u
thỡ L 0 vaứlim f x L
x x0
f x L
xlim
x0

( Du ca f(x) c xột trờn khong ang
tỡm gii hn, vi x x0 )

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) 
2 x
2

Bài Giải:
Theo định lí 12 ta có
2

x  1)
x  1 lim(
x 3
lim f ( x)  lim

x 3
x 3 2 x
lim 2 x
x 3

lim x.lim x  lim1 3.3  1 5 3
x 3
x 3
 x 3
 x 3 x 3


lim 2.lim x

lim 2. lim x
3
2 3
x 3
x 3
lim x 2  lim1

x 3

x 3

.Tìm

lim f ( x)
x 3


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

x  x2
Ví dụ 3: Tính lim
x 1
x 1
Bài giải
Vì (x - 1)0 khi x1, nên ta chưa thể áp dụng
định lí 1 nêu trên .
2
Nhưng với x  1 ta có x  x  2  ( x  1)( x  2)  x  2
2

Do đó :

x 1

x 1

x2  x  2
( x  1)( x  2)
lim
 lim
 lim( x  2)  3
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 4 : Tính các giới hạn sau :

x 3
1
1
1
x 3
 lim
 lim



a) lim 2
x 3  x  3  x  5 
x 3 x  5
x 3 x  2x  15
35 8

x2 1
b) lim 2
x 1 x  3x  2

(x  1)(x  1)
x 1
 lim
 lim
 2
x 1  x  1 x  2 
x 1 x  2

x 3 2
 lim
c) lim
xx
11
x 1
x 1





x 3 2



x 3 2

 x  1  x  3  2 
xx 11

11
11
lim
lim
 lim
 lim

11
xx
 xx 11  xx 33  22 xx11  xx3322  4 4


§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1.Củng cố và dặn dò:
-Qua bài học cần nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn
của hàm số tại một điểm.
-Định lý giới hạn hữu hạn của hàm số
- Đọc trước phần tiếp theo của bài.

2.Bài tập về nhà: 1,2,3 (SGK)
x 3
1/ lim 2
x 3 x  2x  15
x3  1 1
3 / lim
x 0
x2  x

2 x 2
2 / lim 2
x 7
x  49
x 3  x 2  2x  8
4 / lim
x 2
x 2  3x  2