Bài giảng bài phương trình mặt phẳng hình học 12

TRƢỜNG THPT HIỆP HOÀ SỐ 3
TỔ TOÁN - TIN

Bài 2
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


ÔN TẬP KIẾN THỨC
CŨ

1.BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« híng cña hai vect¬

a   a1; a2 ; a3  , b  (b1; b2 ; b3 )  a.b  a1b1  a2b2  a3b3

a  b  a.b  0
2. Để chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mp (P) ta
chứng minh d vuông góc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau nằm
trong (P).

3. ĐÞnh thøc cÊp 2

Ta co D 

a1

a2

b1

b2

 a1b2  a2b1


Bài 2
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Tiết 29


Một số hình ảnh thực tế


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

n

()

n0

đƣợc gọi là
vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng () nếu giá
của
vuông góc với mặt phẳng ()
Vectơ

n


n

()
Chú ý :
Nếu

n

là vectơ pháp tuyến của () thì k n cũng là vectơ pháp tuyến của ()

k 0


a) Bài tốn:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và hai vectơ không cùng phương
a  (a1; a2 ; a3 ); b  (b1; b2 ; b3 ), có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ).
Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ
n  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 ) làm vectơ pháp tuyến.


Trong Oxyz cho : a  (a1; a2 ; a3 ); b  (b1; b2 ;b3 ),
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ).
Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ
n  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 ) làm VTPT

r
b

r
a



Giải :

r
n

Tacó : a.n  a1 (a2b3  a3b2 )  a2 (a3b1  a1b3 )  a3 (a1b2  a2b1 )
= a1a2b3  a1a3b2  a2a3b1  a2a1b3  a3a1b2  a3a2b1  0
Tương tự, b .n  0

.c


b) Định nghĩa:

 Cho véctơ a =(a1 ; a2 ; a3 ); b =(b1 ; b2 ; b3 ). Tích có hướng của hai vectơ avà b
kí hiệu là n  a  b hoặc n = a, b  được xác đònh bởi biểu thức sau:
 a2 a3 a3 a1 a1 a2
n  a, b   
;
;
 b2 b3 b3 b1 b1 b2


  a2 b3  a3 b2 ;a3 b1  a1b3 ;a1b2  a2 b1 


V ectơ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  

Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1),
C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ của một vtpt của mp(ABC)
B



Giải :
A B  2 ;1;  2  , 

Ta có:

A C   12 ; 6 ; 0  


A

C

 1  2 2 2 2 1 


 n  AB ,AC   
;
;

0  12 12 6 
6 0

Vậy vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là n  1; 2 ; 2 

II- PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG

Bài toán1:
Trong không gian Oxyz cho mp (  ) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )

và nhận vectơ n  ( A ; B ;C ) làm vtpt. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp (  ) là :
A (x - x 0 )  B( y  y 0 )  C ( z  z 0 )  0


Giaûi :

n
M


Ta coù M 0M  (x  x 0 ; y  y 0 ; z  z 0 )
M  ( )  M 0 M  ( )  n  M 0 M  n .M 0M  0

 A (x  x 0 )  B ( y  y 0 )  c (z  z 0 )  0

M0


Bài toán 2 : Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm
M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( với A2 +B2 +C2  0)
là một mặt phẳng nhận vectơ n  (A ; B ;C ) làm vectơ pháp tuyến.

Giải

Lấy điểm M0 (x0 ;y0 ;z 0 )saochoAx 0 + By 0 +Cz 0 + D=0
Gọi ( )là mp đi qua điểm M0 và nhận n=(A;B;C) làm VTPT.
Tacó :
M  ( )  A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0
 Ax  By  Cz  ( Ax0  By0  Cz0 )  0
 Ax  By  Cz  D  0, với D  ( Ax0  By0  Cz0 )
Từ đó, ta có định nghĩa sau


1- Định nghĩa
Phƣơng trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C
khơng đồng thời bằng 0, đƣợc gọi là phƣơng trình tổng qt
của mặt phẳng.
Nhận xét
a)Nếu mặt phẳng ( ) có PTTQ là Ax + By +Cz + D = 0
thì nó có một VTPT là n = (A; B; C)
b) PT mặt phẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận vectơ n = (A; B; C)  0 làm VTPT
có pt là:

A(x  x 0 )  B( y  y 0 )  C(z  z 0 )  0 .


2

Hãy tìm một VTPT của mp (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 ?

n  (2;  1;  3)
Ví dụ : Viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; -3) và nhân vectơ

n  (1 ; 2 ;  2)

làm vectơ pháp tuyến

x  2 y  2z  9  0


Cỏc trng hp riờng

Cho maởt phaỳng ( ) coự PTTQ laứ Ax + By +Cz + D = 0


z

a. Trường hợp

D=0



O
x

Ax + By + Cz = 0
(  ) đi qua gốc tọa độ

y

b. Nếu 1 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0
z
A=0

O
y



i

By + Cz + D = 0

x

z

() song song hoặc chứa trục Ox

z

B=0



E

O
J

C=0


y

k

x

O
Ax + Cz + D = 0

() song song hoặc chứa trục Oy

x

y
Ax + By + D = 0

() song song hoặc chứa trục Oz


c. Nếu 2 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0
z
C0

-

B0

D
C




O

O

y

x

Cz + D = 0
() song song hoaëc truøng vôù i mp (Oxy)
z

x

By + D = 0

A0


O



D

A

D
B

y

() song song hoaëc truøng vôù i mp (Oxz)

B=C=0

-

z

A=C=0

A= B=0

y

Ax + D = 0
x
() song song hoaëc truøng vôù i mp (Oyz)


Vị trí của mặt so với các yếu tố cúa hệ toạ
Dạng phơng trỡnh
độ

Ax + By + Cz = 0

i qua gốc toạ độ O

Ax + By + D = 0

Song song với trục Oz hoặc chứa trục Oz

Ax + Cz + D = 0

Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy

By + Cz + D = 0

Song song với trục Ox hoặc chứa trục Ox

Ax + D = 0

Song song với mp Oyz hoặc trùng với mp
Oyz

By + D = 0

Song song với mp Oxz hoặc trùng với mp
Oxz
Song song với mp Oxyhoặc trùng với mp


d)Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0, ta có

() cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0),
B( 0; b; 0), C( 0; 0; c). Ta gọi pt
của () là pt theo đoạn chắn.

z
C

c

O
a

Minh hoa

y

b

A
x

B

x y z
( ) :    1
a b c


Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4).

Hãy viết phƣơng trình mp (MNP) ?
Giải

Theo pt của mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt của mp (MNP) là:
x y z
   1  6 x  4 y  3z 12  0
2 3 4


Củng cố
Các kiến thức trọng tâm:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
- Tích có hƣớng của hai vectơ

- Phƣơng trình tổng quat của mặt phẳng
- Các trƣờng hợp riêng của phƣơng trình mặt phẳng, hình vẽ


Ví dụ:
Lập phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) biết M(1;1;1),
N(4;3;2), P(5;2;1)


Bài tập về nhà
- Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 SGK trang 80
- Ôn tập lại kiến thức đã học và đọc phần III