Đề kiểm tra 1 tiết môn toán lớp 12 phần giải tích chương 1 đề 72

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 1 NĂM 2010-2011
MÔN: TOÁN (GIẢI TÍCH) – LỚP 12

ĐỀ

Sở GD&ĐT Đăk Lăk
Thời gian:…

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả số thực m sao cho phương trình
4
2
x − 2 x + 3m − 5 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
Câu 2 ( 3,0 điểm)
Cho hàm số y =

−2 x
có đồ thị (H) .
x−2

1/ Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (H).
2/ Tìm k để đường thẳng d có phương trình y = kx − 2k − 2 cắt đồ thị (H) tại hai
điểm A, B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm)
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 3a ( 3,0 điểm).
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − 4 x − 1 với

x ∈ [ 1;10] .

3
2
2/ Tìm tất cả số thực m để hàm số y = x − ( m + 1) x + 3mx + 1 có điểm cực đại,
điểm cực tiểu. Xác định m sao cho điểm I(0;1) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số.

2. Theo chương trình Nâng cao


Câu 3b ( 3,0 điểm).
x2 + x
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
vuông góc với tiệm
x −1

cận xiên của đồ thị.
2/ Tìm tất cả số thực m để bất phương trình x + 2 ≤ m x − 1 + m vô nghiệm.
--------------------------- HẾT -------------------------

Họ và tên học sinh:…………….............…………………………….. Số BD: ………..


ĐÁP ÁN
Bài
Bài 1:
( 4,0
điểm)

Đáp án

Điểm

1/(2,5điểm)
TXĐ : D = R
lim y = +∞ .
x →±∞

0,25
0,25

y ' = −4 x 3 + 4 x
 x = 0 → y (0) = 3
y ' = 0 ⇔  x = 1 → y (1) = 4
 x = −1 → y (−1) = 4

BBT:
x

−∞
+∞

y’
y

-1

0,5
0,25

0

4
−∞

1
4

3

0,25

−∞

Hàm số đồng biến trong hai khoảng ( −∞; −1) , (0;1) và nghịch biến
trong hai khoảng ( 1; +∞ ) , (−1;0) . Hàm số đạt cực đại tại
x = 1 ; x = -1 và giá trị cực đại bằng 4. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 0 và giá trị cực tiểu bằng 3.
Điểm đặc biệt ( − 3;0 ) , ( 3;0 ) . Đồ thị nhận trục tung làm trục đối
xứng.
Đồ thị

0,25
0,25

0,5


y
4

y =3m-2
3

O

-1

1

x

2/(1,5 điểm) Phương trình tương đương với
− x 4 + 2 x 2 + 3 = 3m − 2

0,5

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi chỉ khi đường thẳng
y = 3m-2 cắt đồ thị tại bốn điểm phân biệt
hay 3 < 3m − 2 < 4

0,5

⇔

Bài 2:
( 3,0điểm
)

5

3

0,5

1/(1,5 điểm)

lim y = −∞; lim− y = +∞ →

x → 2+

x→2

đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận

đứng.

lim y = −2; lim y = −2 → đường

x →+∞

x →−∞

0,5

thẳng y = -2 là đường tiệm cận

ngang.
Do đó I(2;-2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

0,5

0,5

2/(1,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm hai đường
−2 x
= kx − 2k − 2( x ≠ 2)
x−2
⇔ kx 2 − 4kx + 4 + 4k = 0(1)

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm A, B phân biệt khi chỉ khi
(1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2.

0,25
0,25


Hay

k ≠ 0
⇔k <0

 ∆ ' = −4 k > 0

A( x1; kx1 − 2k − 2), B( x2; kx2 − 2k − 2) → AB 2 = ( x2 − x1 ) ( 1 + k 2 )

0,25

2

áp dụng định lí Vi-et và bất đẳng thức Cô - si có
( x2 − x1 )

2

( 1+ k )
2

2
= ( x2 + x1 ) − 4 x2 x1  ( 1 + k 2 ) =



Nên GTNN AB bằng

4 2

16 ( 1 + k 2 )

( khi k = -1)

−k

≥ 32

0,25
0,25
0,25

Bài 3a:
(3,0
điểm)

1/ (1,5 điểm)
f ( x) = x − 4 x − 1

liên tục trên

x ∈ [ 1;10]

2
x −1 − 2
=
( x ≠ 1)
x −1
x −1
f '( x ) = 0 ⇔ x = 5
f (1) = 1; f (10) = −2; f (5) = −3
max f ( x) = 1; min f ( x) = −3
f '( x ) = 1 −

x∈[ 1;10]

x∈[ 1;10]

2/(1,5 điểm) y = x − ( m + 1) x + 3mx + 1
2
TXĐ: D=R ; y ' = 3x − 2 ( m + 1) x + 3m
3

0,25
0,5

0,25

2

∆ ' = m2 − 7m + 1

Hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi chỉ khi phương trình
y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
hay

0,5


7+3 5
m >
2
∆' > 0 ⇔ 

7−3 5
m <

2

I(0;1) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số khi x1 + x2 = 2 xI = 0 → m = −1
Đảo lại khi m = -1 thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
A(-1;3) ,B(1;-1) nên I là trung điểm đoạn thẳng AB

0,25
0,25

0,5
0,25
0,25


Bài 3b:
(3,0
điểm)

x2 + x
2
= x+ 2+
x −1
x −1
lim  y − ( x + 2 )  = 0 → đường thẳng y

1/ (1,5 điểm)

y=

x →±∞

= x+2 là tiệm cận xiên của

đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và vuông góc với
tiệm cận xiên có dạng y = -x +m.
Ta có

2

x + 2 + x −1 = −x + m
 x = 0; m = 0

⇔

2
 x = 2; m = 8
1 −
= −1
2
 ( x − 1)

0,5
0,25
0,5

Vậy có hai tiếp tuyến y = -x ; y = -x +8.
0,25
2/(1,5 điểm)
x + 2 ≤ m x −1 + m ⇔ m ≥

Đặt

f ( x) =

f '( x ) =

x+2

( x ≥ 1)
x −1 +1

x + 2 x −1 − 4

(

)

2

x −1 +1 2 x −1

x+2
x −1 +1

0,25
0,25

( x > 1)

f '( x ) = 0 ⇔ x 2 − 12 x + 20 = 0(1 < x < 4) ⇔ x = 2

x

1

0,25
0,25

2

+∞

y’
y

-

0

+

+∞

0,25

3
2
từ bảng biến thiên của hàm số suy ra bất phương trình vô
nghiệm khi m < 2.

Ghi chú :
-Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm bài làm.

0,25