Đề kiểm tra 1 tiết môn toán lớp 12 phần giải tích chương 1 đề 83

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 1 NĂM 2011-2012
MÔN: TOÁN (GIẢI TÍCH) – LỚP 12

ĐỀ

Trường THPT Xuân Thọ
Thời gian:…

Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số

y=

2x +1
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình đường thẳng d có hệ số góc bằng k, biết d đi qua điểm A(−1;7) .
Tìm các giá trị của k để d là tiếp tuyến của (C).
Câu 2 : (2,5 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 2 trên đoạn [−1;3] .
2) Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình 5 − x − 1 + x = m có nghiệm.
Câu 3 : (1,5 điểm) Xác định tham số m để hàm số y = x3 − 4 x 2 + 2mx + 1 đạt cực tiểu tại
x = 2.
--------------HẾT -------------


CÂU
Câu 1
(6,0
điểm)

ĐÁP ÁN
ĐÁP ÁN
1. (4,0 điểm)
a) Tập xác định :
b) Sự biến thiên :

ĐIỂM

D = R \ { 2}

• Chiều biến thiên :

5
< 0, ∀x ∈ D.
( x − 2) 2
trên mỗi khoảng (−∞; 2)

0,50

y'= −

Hàm số nghịch biến

và

(2; +∞)

• Cực trị : Hàm số không có cực trị
y = −∞; lim y = +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng
• Tiệm cận : xlim

→2
x →2
lim y = 2; lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang
x →−∞
x →+∞
−

+

1,00

0,50

• Bảng biến thiên :
1,00
c) Đồ thị :
Cắt trục tung tại điểm

1

 0; − ÷
2


Cắt trục hoành tại điểm
 1 
 − ;0 ÷
 2 

1,00

2. (1,0 điểm)


PT đường thẳng d đi qua A(−1;7) có hệ số góc k là : y = k ( x + 1) + 7
Tìm k :
Giả sử d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = x0
Khi đó d có hệ số góc

x0 = 2

−5
( x0 − 2) 2

2 x0 + 1
= k ( x0 + 1) + 7 ⇔ (2 x0 + 1)( x0 − 2) = −5( x0 + 1) + 7( x0 − 2) 2
x0 − 2

Mặt khác :
(Do

k = y '( x0 ) =

0,50

0,50
0,50

không là nghiệm )

 k = −5
 x0 = 1
⇔ x − 6 x0 + 5 = 0 ⇔ 
⇔
k = 5
x
=
5
 0
9

2
0

Cách 2 (tìm k) :
Ta có d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d tiếp xúc (C)
 2x + 1
 x − 2 = k ( x + 1) + 7
⇔
− 5 2 = k
 ( x − 2)

(1)
(2)

có nghiệm

Thế (2) vào (1) , ta được :
Với
Với

Câu 2
(2,5
điểm)

0,50
x = 1
x2 − 6 x + 5 = 0 ⇔ 
x = 5

x = 1 ⇒ k = −5
5
x =5⇒ k = −
9

y ' = −3 x + 6 x;
2

x = 0
y'= 0 ⇔ 
x = 2
y (−1) = 6; y (0) = 2; y (2) = 6; y (3) = 2
max y = 6; min y = 2

Trên đoạn [ −1;3]

[ −1;3]

0,50
0,50

1. (1,5 điểm)
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn

Kết luận :

0,50

[ −1;3]

[−1;3]

0,25
0,25
0,50
0,25
0,25

2. (1,0 điểm)


Xét hàm số f ( x) = 5 − x − 1 + x
TXĐ : D = [ −1;5]
Bài toán trở thành tìm m để phương trình
thuộc đoạn [−1;5]

0,25
f ( x) = m

có nghiệm

0,25

⇔ min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x)
[ −1;5]

Ta có :

Câu 3
(1,5
điểm)

[ −1;5]

f '( x ) = −

1
1
−
< 0, ∀x ∈ (−1;5)
2 5 − x 2 1+ x
biến trên khoảng (−1;5)

Hàm số nghịch
f ( x ) = f (−1) = 6; min f ( x) = f (5) = − 6
Suy ra : max
[ −1;5]
[ −1;5]
Vậy : − 6 ≤ m ≤ 6
Ta có : y ' = 3x 2 − 8 x + 2m
Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì y '(2) = 0 , suy ra

Với

m=2

Mà

y '(2) = 0

Vậy

m=2

thì

y = x 3 − 4 x 2 + 4 x + 1, y ' = 3 x 2 − 8 x + 4

và

y ''(2) = 4 > 0

và

0,25
0,25
m=2

y '' = 6 x − 8

nên hàm số đạt cực tiểu tại

là giá trị cần tìm.

x=2

0,25
0,50
0,25
0,25
0,25