Đề kiểm tra 1 tiết môn toán lớp 12 phần giải tích chương 1 đề 110

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 1 NĂM 2010-2011
MÔN: TOÁN (GIẢI TÍCH) – LỚP 12 (NC)

ĐỀ

Trường THPT Trần Suyền
Thời gian:…

Câu 1/ Cho hàm số y = x3 + (m + 1) x 2 − (m + 2) x − 1 (c)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c) khi m=1.
b) Chứng minh hàm số (c) luôn có một cực đại và một cực tiểu.
c) Tìm k để phương trình x 3 − 3 x = k có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2/ Cho hàm số

y=

x +1
(c) và
x −1

y = mx +1 (d).

a) CMR: Điểm I( 1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị ( c).
b) Tìm m để (d) cắt (c) cùng thuộc một nhánh của đồ thị.
------ Hết -------


Câu
1a

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải
Cho hàm số y = x3 + (m + 1) x 2 − (m + 2) x − 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
Khi m=1, hàm số trở thành: y = x 3 − 3 x − 1
1. TXĐ: D= ¡
2. Khảo sát sự biến thiên:
a. Chiều biến thiên:
•
y’=3x2-3
•
y’=0  3x2-3=0  x = ±1
b. Cực trị:
•
Điểm cực tiểu: xct=1; yct=-3
•
Điểm cực đại: xcđ=-1; ycđ =1
c. Giới hạn:
lim ( x 3 − 3 x − 1)= -∞
•
x →−∞

Điểm

lim ( x3 − 3 x − 1)= +∞

•

x →+∞

d. Bảng biến thiên:

x
y’

−∞

-1
+

0

1
-

+

0

+

+∞

1

y

−∞

-3

3.Đồ thị:
Ta có:


3 − 13
 x1 =
2
x 3 −3 x −1 = 0 ⇔

3 + 13
x2 =

2

⇒ Đồ

thị cắt trục hoành tại hai điểm: (

3 − 13
2

;0) và (

3 + 13
2

;0)


y (0) = −1 ⇒ Đồ thị cắt trục tung tại điểm: (0;-1)

Đồ thị (C):
4

3

f (x) = x3-3⋅x-1
2

1

-6

-4

-2

1

-1

2

4

6

-1

-2

-3

-4

1b

Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(m − 1) x − (m + 2)
Vì ∆ ' = (m − 1)2 + 3(m + 2) = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ¡ nên phương trình
y ' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số (Cm) luôn có một
cực đại và một cực tiểu với mọi giá trị m.

1c

Số nghiệm phương trình x 3 − 3 x = k bằng số nghiệm phương trình
x 3 − 3 x − 1 = k − 1 , tức bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
y=k-1.
Phương trình đã cho có 3 nghiệm
Khi -3Vậy k∈ ( -2; 2 )

2a

-uurÁp dụng công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

 x = X + x0

 y = Y + y0

- CM Hàm số :
2b

Y=

2
X

theo hệ IXY là hàm lẻ.

Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (c ).
x +1
= mx + 1
x −1
⇔ mx 2 − mx − 2 = 0(*)( x ≠ 1)

để (d) cắt (c) cùng thuộc một nhánh của đồ thị, thì pt(*) có hai nghiệm
thỏa:


 x1 < x2 < 1
1 < x < x

1
2

Ta có hệ:

m ≠ 0
m ≠ 0

 2

⇔ m < −8 .
 ∆ > 0 ⇔ m + 8m > 0
af(1)>0
m(m − m − 2) > 0

