LUẬN VĂN THẠC SĨ DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Dương Văn Tú (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Văn Tú

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Văn Tú

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong
luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Tơi trân trọng dành những dịng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tơi về mặt
nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn này.
Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
 PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức về
Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt tình của cơ,
chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu.
 PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga, TS.
Vũ Như Thư Hương.
Mỗi thầy cơ đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tơi về những nội dung cịn mới mẻ
của chun ngành Didactic Tốn. Từ đó, thầy cơ đã truyền cho chúng tôi niềm đam mê,
hứng thú đối với chuyên ngành này.
 GS. Annie Bessot, GS. Claude Comiti về những góp ý quý báu cho luận văn.
Và tôi cũng chân thành cảm ơn:
 UBND tỉnh Bình Phước, Sở GD&ĐT tỉnh Bình Phước, Ban Giám Hiệu trường
CĐSP Bình Phước đã tạo điều kiện giúp tơi được tham gia khóa học.
 Phịng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.
 Các bạn trong lớp cao học - Didactic tốn khóa 24 về những chia sẻ, động viên để
hồn thành luận văn.
Cuối cùng, tơi xin dành những lời cảm ơn, những sự trìu mến nhất đến gia đình tơi, đặc
biệt là vợ tơi Nguyễn Thị Miền và con gái tơi Dương Nguyễn Thảo My. Chính gia đình
tơi đã mang tới niềm vui, niềm hạnh phúc để tơi quyết tâm hồn thành khóa học.
Dương Văn Tú

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
SGK:

Sách giáo khoa.

THPT:

Trung học phổ thông.

THCS:

Trung học cơ sở.

CĐSP:

Cao đẳng Sư phạm.

ĐHSP:

Đại học Sư phạm.

KNV:

Kiểu nhiệm vụ.

TCTH:

Tổ chức tốn học.

CTTCĐ:

Chương trình tốn cao đẳng.

GTVTPLT:

Giáo trình phép tính vi phân và tích phân
hàm một biến số phần lý thuyết.

GTVTPBT:

Giáo trình phép tính vi phân và tích phân
hàm một biến số phần bài tập.

SV:

Sinh viên.

Tr:

Trang.

CNTT:

Cơng nghệ thông tin.

HS:

Học sinh.

GV:

Giáo viên.


DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1. Bảng các tổng tương ứng ............................................................................... 15
Bảng 1.2. Bảng giá trị vận tốc ........................................................................................ 18
Bảng 1.3. Bảng tóm tắt các KNV ................................................................................... 35
Bảng 1.4. Bảng tóm tắt các KNV ................................................................................... 47
Bảng 2.1. Bảng giá trị vận tốc (km/h) ............................................................................ 54
Bảng 2.2. Bảng giá trị vận tốc (m/s)............................................................................... 54
Bảng 2.3. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 1 ..................................................... 66
Bảng 2.4. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 2 ..................................................... 71
Bảng 2.5. Bảng so sánh kết quả thực nghiệm câu 1 và câu 2 .......................................... 76
Bảng 2.5. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 3 ..................................................... 77


DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang

Hình 1.1. Quy trình mơ hình hóa tốn học ..................................................................... 11
Hình 1.2. S = {(x ; y)  a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} ............................................................... 12
Hình 1.3. Diện tích A của các miền đa giác ................................................................... 13
Hình 1.4. S = {(x; y)  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2} .................................................................. 14

Hình 1.5.1. Chia miền S................................................................................................. 14
Hình 1.5.2. Hình chữ nhật chứa S .................................................................................. 14
Hình 1.5.3. Hình chữ nhật trong S ................................................................................. 14
Hình 1.6. Xấp xỉ miền S với tám hình chữ nhật ............................................................. 15
Hình 1.7. Xấp xỉ miền phẳng S tổng qt ...................................................................... 16
Hình 1.8. Hàm diện tích g(x) ......................................................................................... 21
Hình 1.9. Đồ thị hàm y = f(t) ......................................................................................... 22
Hình 1.10. Hình minh họa tính g(1), g(2), g(3) .............................................................. 23
Hình 1.11. Hình minh họa tính g(4), g(5) ....................................................................... 23
Hình 1.12. Đồ thị hàm g(x) ............................................................................................ 23
Hình 1.13. Hình minh họa g(x+h) – g(x) ........................................................................ 24
Hình 1.14. Miền cần tính diện tích ................................................................................. 31
Hình 1.15. Các miền tam giác ........................................................................................ 32
Hình 1.16. Chia miền cần tính diện tích ......................................................................... 39
Hình 2.1. Miền phẳng D ................................................................................................ 55
Hình 2.2. Hình bậc thang xấp xỉ miền D ........................................................................ 56
Hình 2.3. Đồ thị hàm y = f(t) trên [0; 5] ......................................................................... 57
Hình 2.4. Hình phác họa đồ thị hàm y = g(x) của nhóm 1 .............................................. 75


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.................................................... 1
1.2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu liên quan đến đề tài ............................ 2
1.3. Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu ..................................................................... 5
2. Khung lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu ............................................. 5
3. Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu .................................................... 6
3.1. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 6
3.2. Lợi ích của nghiên cứu ...................................................................................... 6
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 6
5. Cấu trúc của luận văn............................................................................................ 7
CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC
TỐN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ................................... 8
1.1. Khái niệm tích phân trong một giáo trình của Mỹ .............................................. 8
1.1.1. Tiếp cận khái tích phân bằng bài tốn tính diện tích .................................. 11
1.1.2. Định nghĩa tích phân xác định .................................................................. 18
1.1.4. Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm ................................................ 19
1.1.5. Các tổ chức toán học ................................................................................. 27
1.1.6. Một số kết quả về phân tích giáo trình Mỹ ................................................ 34
1.2. Khái niệm tích phân trong chương trình, giáo trình Việt Nam ......................... 35
1.2.1. Khái niệm tích phân trong chương trình vi tích phân hàm một biến .......... 35


1.2.2. Khái niệm tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến ............... 36
1.2.3. Các tổ chức toán học ................................................................................. 43
1.2.4. Một số kết quả về phân tích chương trình, giáo trình Việt Nam................. 47
1.3. So sánh việc dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình của Mỹ
và Việt Nam .................................................................................................... 48
1.3.1. Về dạy học định nghĩa tích phân ............................................................... 48
1.3.2. Về dạy học mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm. ........... 48
1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 49

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 51
2.1. Mục tiêu của thực nghiệm ............................................................................... 51
2.2. Các lựa chọn cố định cho các tình huống của thực nghiệm .............................. 51
2.3. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................... 52
2.4. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 55
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................ 55
2.4.2. Phân tích câu 1.......................................................................................... 56
2.4.3. Phân tích câu 2.......................................................................................... 59
2.4.4. Phân tích câu 3.......................................................................................... 62
2.5. Phân tích hậu nghiệm ...................................................................................... 64
2.5.1. Phân tích câu 1.......................................................................................... 65
2.5.2. Phân tích câu 2.......................................................................................... 69
2.5.3. Phân tích câu 3.......................................................................................... 74
2.6. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 79
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 81
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu của mình bằng hai định nghĩa tích phân khác nhau
ở hai bậc học: Trung học phổ thông (THPT) và Cao đẳng Sư phạm (CĐSP).
Dưới đây là định nghĩa trong một quyển sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12 hiện
hành bậc THPT:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

(Định nghĩa tích phân ở lớp 12 sách giáo khoa ban cơ bản của tác giả Trần văn
Hạo (2009))

Một định nghĩa khác được trình bày trong một giáo trình Giải tích (Giáo trình
phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số của tác giả Nguyễn Mạnh Quý,
Nguyễn Xuân Liêm (2006)). Giáo trình này được sử dụng trong đào tạo giáo viên ở
Trường CĐSP Bình Phước.
Cho f là hàm số xác định trên [a; b].
Hãy chia tùy ý [a; b] thành n phần bằng các điểm chia x0 = ab, và gọi đây là một phép phân hoạch [a; b]. Lập tổng (gọi là tổng tích phân)
𝜎 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑖 ) ∆𝑥𝑖 , với i tùy ý trên [xi-1; xi], ∆𝑥𝑖 = xi – xi-1
Ta gọi độ dài lớn nhất của các đoạn ∆𝑥𝑖 , i =1, 2, …, n là đường kính của phép
phân hoạch kí hiệu là .
Định nghĩa.
Nếu giới hạn
𝐼 = lim 𝜎
→0


2
tồn tại, không phụ thuộc vào cách chia [a; b] và cách chọn điểm i thì ta gọi đó là
tích phân xác định hoặc tích phân Riemann của hàm số y = f(x) trên [a; b] và kí
hiệu

𝑏

𝐼 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑖 ) ∆𝑥𝑖 .
→0

Khi đó ta nói f khả tích trên [a; b], a và b được gọi là các cận dưới và cận trên của
tích phân.

Định nghĩa ở cấp THPT chính là cơng thức Newton – Leibniz, còn định nghĩa ở
Trường CĐSP bằng giới hạn của (tổng Riemann)1.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát như sau:
Sự không nối khớp của các định nghĩa tích phân ở cấp THPT và cấp CĐSP tạo
thuận lợi và khó khăn gì cho sinh viên khi gặp định nghĩa tích phân mới ở Trường
CĐSP?
Ở cơ sở đào tạo của chúng tôi (Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước), sinh
viên các ngành Sư phạm Toán và Sư phạm Lý đều học nội dung Phép tính vi phân và
tích phân hàm một biến. Vì vậy, các sinh viên của hai ngành sư phạm này là những
chủ thể của quá trình học tập được nghiên cứu trong luận văn.
Với những ghi nhận ban đầu đã nêu ở trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI
NIỆM TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM” để thực hiện nghiên
cứu cho luận văn thạc sỹ của mình.
1.2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu liên quan đến đề tài
Về đối tượng tri thức tích phân, trong nước, chúng tơi tóm tắt dưới đây một số
cơng trình nghiên cứu liên quan đến luận văn của mình.
 Luận văn thạc sỹ của Trần Lương Công Khanh (2002) “Nghiên cứu didactic về
những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân”.
Tác giả đã tóm tắt lịch sử xuất hiện khái niệm tích phân và cho thấy tiến trình đưa
tới xuất hiện khái niệm tích phân (tích phân Cauchy2, Riemann3) và một số tích phân
khác phát triển sau hai khái niệm tích phân trên.

Theo từ điển tốn học thơng dụng (trang 520), cho hàm số thực f xác định trên [a; b] của R. Cho một
phân hoạch (xi : 0 ≤ i ≤ n+1) của [a; b] với x0 = a và xn+1 = b và n+1 số thực (ti: 0 ≤ i ≤ n) sao cho ti [xi;
xi+1]. Số thực S = ∑𝑛𝑖=0(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )𝑓(𝑡𝑖 ) được gọi là một tổng Riemann.
1


3

Tác giả cũng đã nghiên cứu về sự chuyển đổi didactic khái niệm tích phân trong
sách giáo khoa giải tích 12 (SGK) ở các giai đoạn: “trước cải cách” (được sử dụng ở
phía nam từ 1975 đến 1990 (do SGK này đưa vào dạy học định nghĩa tích phân bằng
giới hạn của tổng Riemann).
Như vậy định nghĩa tích phân bằng tổng Riemann đã từng được giảng dạy ở bậc
THPT Việt Nam (Miền Nam Việt Nam) thời kỳ 1975 - 1990
 Bài báo của Lê Thị Hoài Châu (2004)“ Khai thác lịch sử tốn trong dạy học
tích phân xác định” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 2(36)/2004, ĐHSP tp
Hồ Chí Minh.
Trên cơ sở là cách giải quyết bài toán cầu phương của Ibn Quarra, Fermat và
Pascal, tác giả đã đề nghị một cách tiếp cận (dạy học) khái niệm tích phân. Theo cách
đó, giáo viên sẽ tổ chức cho học sinh THPT khám phá ra công thức Newton – leibniz.
Tác giả đã đề nghị các bước phân hoạch, lập tổng và tìm giới hạn của tổng được
học sinh thực hiện để giải quyết bài toán cầu phương. Trọng tâm mà tác giả nhắm tới
là học sinh THPT hiểu nghĩa của khái niệm tích phân và mối liên hệ giữa nó với khái
niệm đạo hàm.
Kết quả của bài báo về dạy học khái niệm tích phân sẽ giúp ích cho chúng tôi
trong nghiên cứu việc dạy học khái niệm này ở Trường CĐSP.
 Bài báo của Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “Phép tính tích phân
và vi phân trong lịch sử” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 4(38)/2004, ĐHSP
tp Hồ Chí Minh
Các tác giả đã trình bày tiến trình xuất hiện khái niệm tích phân trong lịch sử. Cụ

thể, các tác giả đã nghiên cứu về các bài toán gắn liền, phương pháp giải quyết đã
được sử dụng qua từng thời kỳ làm nảy sinh, phát triển khái niệm tích phân. Bài viết
cũng nêu lên mối liên hệ giữa tích phân và vi phân trong lịch sử. Chúng tôi nhắc lại
một số kết quả quan trọng của bài viết mà chúng có thể giúp ích cho nghiên cứu về sau
của chúng tơi.
Theo [8, tr.18], tích phân Cauchy được Cauchy xây dựng năm 1823. [8, tr. 13] tích phân này là giới
hạn của tổng S = (x1-x0)f(x0) + (x2-x1)f(x1) +…+(X-xn-1)f(xn-1) khi Max |xi+1-xi| 0,i = 0,1,…,n-1.
3
Theo [8, tr. 18], tích phân được Riemann xây dựng năm 1854. [8, tr. 15] tích phân này là giới hạn
của tổng S = (x1-x0)f(x1*)+(x2-x1)f(x2*)+…+(b-xn-1)f(xn*) với xi* tùy ý trên [xi-1; xi] khi
Max |xi+1-xi| 0, i = 0,1,…, n-1.
2


4

Phép tính tích phân được ra đời từ các bài tốn (cầu phương, cầu tích, cầu
trường)4 và cuội nguồn của nó đã có từ thời Hy Lạp cổ đại.
Từ thời Hy Lạp cổ đại, các nhà toán học đã sử dụng phương pháp “vét kiệt” để
giải quyết bài toán cầu phương. Trong phương pháp vét kiệt, tư tưởng “chia nhỏ, tính
tổng và cho phép chuyển qua giới hạn” đã được hình thành.
Phát triển phương pháp vét kiệt, Ibn Quarra, Fermat và Pascal đã chia nhỏ hình
thang cong D = {(x; y) | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b} thành các hình chữ nhật, lập tổng diện
tích các hình chữ nhật, chuyển qua giới hạn để tính diện tích của nó.
Năm 1669, Newton đã tìm ra mối liên hệ giữa bài toán cầu phương và nguyên
hàm, theo các kí hiệu hiện đại là S’(x) = f(x). Độc lập với Newton, Leibniz
(1646 – 1716 đã chứng minh được công thức dy = y.
Năm 1823, Cauchy (1789 – 1857) là người đầu tiên đưa ra một định nghĩa chính
xác về tích phân. Tư tưởng tích phân của ơng là “Phân hoạch, lập tổng và chuyển qua
giới hạn”.

Riemann (1826 – 1866) đã xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát hơn tích
phân của Cauchy. Tích phân mà Riemann xây dựng nhằm khai triển một cách chính
xác các hàm số có vơ hạn điểm gián đoạn thành chuỗi Fourier.
 Trong đề tài cấp bộ của Lê Văn Tiến (2012) “Dạy học Giải tích ở trường trung
học phổ thơng – nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, các kết quả chúng tôi quan
tâm là: các đặc trưng khoa học luận khái niệm tích phân; các hoạt động (do tác giả đề
xuất tổ chức) nhằm giúp học sinh THPT khám phá ra khái niệm tích phân như là cơng
cụ để giải quyết bài tốn tính diện tích hình thang cong.
Nhận xét chung
Qua tổng hợp các cơng trình nghiên cứu như trên, chúng tơi thấy có một số điểm
cơ bản sau
- Đối với vấn đề khoa học luận lịch sử khái niệm tích phân, các tác giả đã nghiên
cứu khá rõ ràng.

Theo Từ điển tốn học thơng dụng (trang 70), cầu phương là phép tính diện tích một hình, chẳng
hạn như diện tích diện tích giới hạn bởi một đường cong kín (đường trịn, Elip,…), hay của hình thang
cong a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) với f là hàm số xác định trên [a; b]. Tương tự, khái niệm “cầu tích”, “cầu
trường” gắn liền với vấn đề thể tích và độ dài cung.
4


5

- Đối với việc dạy học khái niệm tích phân, các tác giả chỉ nghiên cứu ở cấp
THPT.
- Đối với việc tiếp cận khái niệm tích phân, các tác giả Lê Thị Hoài Châu, Lê
Văn Tiến đều nhấn mạnh tới việc cần thiết phải tổ chức cho học sinh THPT khám phá
ra khái niệm tích phân (hiểu được nghĩa của khái niệm tích phân). Để tiếp cận khái
niệm tích phân, các tác giả đều có ý chung là cần tổ chức tình huống để học sinh trải
qua tiến trình phân hoạch, lập tổng và tính giới hạn đối với bài tốn tính diện tích hình

thang cong.
1.3. Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu
Qua tổng hợp các cơng trình nghiên cứu như trên, chúng tôi nhận thấy rằng ở
Việt Nam chưa có cơng trình nghiên cứu nào về dạy học khái niệm tích phân của hàm
một biến thực bằng giới hạn của một tổng Riemann cho sinh viên các ngành Sư phạm
Toán, Lý ở Trường CĐSP. Cụ thể là nghiên cứu các vấn đề sau.
 Định nghĩa tích phân xác định bằng giới hạn của một tổng Riemann được đưa
vào như thế nào trong chương trình đào tạo giáo viên Toán, Lý ở Trường CĐSP? Đâu
là mối liên hệ giữa định nghĩa này và công thức Newton – Leibniz?
 Định nghĩa tích phân bằng cơng thức Newton – Leibniz ở Trường trung học
phổ thơng tạo thuận lợi và khó khăn gì cho sinh viên khi gặp định nghĩa tích phân là
giới hạn của một tổng Riemann ở Trường CĐSP?
2. Khung lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu
trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong
didactic toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức didactic) và lý thuyết tình
huống.
Với cơng cụ của thuyết nhân học, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi để có
thể thực hiện nghiên cứu của mình như sau:
CH1: Trong dạy học Toán ở Trường CĐSP, đâu là mối quan hệ thể chế với khái
niệm tích phân? Đặc biệt: định nghĩa tích phân được giới thiệu như thế nào? Mối quan
hệ giữa định nghĩa tích phân và cơng thức Newton – Leibniz được trình bày ra sao?
Xoay quanh định nghĩa tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và cơng thức
Newton – Leibniz có những kiểu nhiệm vụ nào?


6

CH2: Ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá
nhân như thế nào trong thể chế dạy học Toán ở Trường CĐSP? Cụ thể, sinh viên hiểu

ý nghĩa của khái niệm tích phân thơng qua định nghĩa như thế nào? Sinh viên có thực
sự nhận ra mối quan hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz?
3. Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Hiểu được thực tế dạy học khái niệm tích phân xác định thơng qua học phần
Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số ở Trường CĐSP Bình Phước.
3.2. Lợi ích của nghiên cứu
 Về phương diện học tập - nghiên cứu toán học: đề tài nghiên cứu việc dạy học
một nội dung giải tích trong chương trình tốn cao cấp bắt buộc của sinh viên ngành
sư phạm Tốn và Lý.
 Về phương diện lợi ích sư phạm cho giáo viên: đề tài chỉ ra một trường hợp về
sự khác nhau giữa tri thức bác học và tri thức được dạy ở trường THPT. Ở cấp Trung
học cơ sở (THCS), khái niệm tích phân chưa đưa vào dạy học, nhưng việc hiểu khái
niệm này giúp giáo viên hiểu được nguồn gốc của cơng thức tính diện tích hình trịn.
Đối với vấn đề tính diện tích, ý tưởng chia nhỏ, tính tổng để xấp xỉ diện tích thì giáo
viên THCS hồn tồn có thể tổ chức cho học sinh của mình thực hiện.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay cụ thể là tìm được câu trả lời cho các câu
hỏi CH1, CH2 chúng tôi sử dụng các phương pháp sau
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Một nghiên cứu so sánh (chương trình, giáo trình “giải tích” dành cho sinh viên
Việt Nam ở các Trường CĐSP và một giáo trình “Calculus” của Mỹ về khái niệm tích
phân). Mục đích của nghiên cứu so sánh là làm rõ hơn những đặc trưng của mối quan
hệ thể chế với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Tốn ở Trường CĐSP.
Về khái niệm tích phân ở trường CĐSP, chúng tôi chú trọng vào đối tượng
nghiên cứu của mình là định nghĩa tích phân và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân
và cơng thức Newton - Leibniz. Hiển nhiên, nhờ lý thuyết nhân học, để nghiên cứu các
nội dung toán học như định nghĩa và mối liên hệ với công thức vừa xét, chúng tôi cần
phân tích các tổ chức tốn học (TCTH) liên quan trực tiếp đến định nghĩa và mối liên

7

hệ này. Khi đã làm được những vệc như trên cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi
CH1 và một phần của câu hỏi CH2.
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích
phân lên các cá nhân là các sinh viên ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP. Cụ thể, chúng
tôi xây dựng bộ câu hỏi và tiến hành thực nghiệm trên các sinh viên các ngành Toán,
Lý ở Trường CĐSP. Nội dung của bộ câu hỏi thực nghiệm xoay quanh ý nghĩa của
khái niệm tích phân thơng qua định nghĩa tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa tích
phân và cơng thức Newton – Leibniz. Kết quả của thực nghiệm cùng với kết quả của
nghiên cứu lý luận cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2. Nghiên cứu thực tiễn sẽ
được thực hiện chủ yếu với các cơng cụ của lí thuyết tình huống.
 Nghiên cứu của chúng tơi được tóm tắt trong sơ đồ sau

Ngiên cứu khái niệm tích phân
trong một giáo trình của Mỹ

Ngiên cứu khái niệm tích phân trong
chương trình, giáo trình dành cho
sinh viên CĐSP Việt Nam

So sánh việc đưa vào dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình Mỹ và
trong chương trình, giáo trình bậc CĐSP Việt Nam

Làm rõ đặc trưng về mối quan hệ thể chế, với khái niệm tích phân trong
thể chế dạy học Tốn ở trường CĐSP ở Việt Nam

Xây dựng thực nghiệm để thấy rõ ảnh hưởng của mối quan hệ thể

chế lên các cá nhân là sinh viên ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 5 phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và phần
phụ lục.


8

CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TỐN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Mục tiêu chính của chương là làm rõ những đặc trưng về mối quan hệ thể chế
với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Tốn ở trường CĐSP ở Vệt Nam (chúng
tơi kí hiệu thể chế này là ICĐSP). Để làm được điều đó, chúng tơi sẽ thực hiện như sau
 Thứ nhất, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong một
giáo trình Mỹ. Việc nghiên cứu q trình dạy học khái niệm tích phân trong một giáo
trình Mỹ nhằm mục đích giúp chúng tơi nhìn rõ hơn đặc trưng mối quan hệ thể chế với
khái niệm tích phân trong ICĐSP.
 Thứ hai, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong bộ
chương trình, giáo trình Việt Nam được đang được sử dụng trong ICĐSP.
 Một nghiên cứu so sánh về dạy học khái niệm tích phân của một giáo trình Mỹ
và bộ chương trình, giáo trình Việt Nam. Việc làm đó với mục đích làm rõ những đặc
trưng, sự lựa chọn của ICĐSP với khái niệm tích phân.
Khi đạt được các mục tiêu trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH1. Đây là
mục tiêu chính của chương, do đó chúng tơi đặt tên chương 1 là “khái niệm tích phân
trong thể chế dạy học Toán ở Trường Cao đẳng Sư phạm”.
Mặt khác, khi đạt được mục tiêu trên sẽ định hướng chúng tôi nghiên cứu ảnh
hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá nhân là sinh viên
CĐSP. Điều này cho phép chúng tơi tìm câu trả lời một phần của câu hỏi CH2.
Trong chương này, chúng tơi sẽ chia làm bốn phần chính là khái niệm tích phân

trong giáo trình Mỹ, khái niệm tích phân trong chương trình và giáo trình Việt Nam,
so sánh khái niệm tích phân trong giáo trình của Mỹ và Việt Nam, kết luận chương 1.
1.1. Khái niệm tích phân trong một giáo trình của Mỹ
Trong mục này, chúng tơi sẽ nghiên cứu các vấn đề: quan điểm sư phạm của
tác giả, tiến trình đưa vào dạy học khái niệm tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa
tích phân và cơng thức Newton – Leibniz, các tổ chức tốn học xoay quanh khái niệm
tích phân (chủ yếu là định nghĩa và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân với công
thức Newton - Leibniz).


9

 Tên đầy đủ của giáo trình: “Calculus (2008): Early Transcendentals, 7th edition”
của tác giả James Stewart, nhà xuất bản Cengage Learning United States, giáo trình
này được dùng cho sinh viên ngành Khoa học Tự nhiên những năm đầu Cao đẳng Đại học. Chúng tôi sẽ gọi đây là Giáo trình Mỹ.
 Quan điểm sư phạm của tác giả: Phần mở đầu của giáo trình, đầu tiên tác giả trích
nhận định của George Polya về tầm quan trọng cũng như ý nghĩa của việc tổ chức cho
người học khám phá lại tri thức
Một khám phá vĩ đại giải quyết một bài toán vĩ đại, tuy nhiên bản chất của sự
khám phá thể hiện khi ta giải quyết được bất kì bài tốn nào. Bài tốn của bạn có
thể khiêm tốn, nhưng nếu nó thách thức sự tị mị của bạn và mang đến năng lực
khám phá cho bạn, và nếu bạn giải quyết bài tốn đó bằng những cách thức của
riêng bạn, bạn có thể trải nghiệm cảm giác căng thẳng và thưởng thức niềm vui
chiến thắng của sự khám phá.
[20, tr. xi]

Tiếp đến tác giả trích nhận định về vấn đề dạy học của Mark Van Doren: “Nghệ
thuật dạy học là nghệ thuật của sự giúp đỡ khám phá”. Với giáo trình này, tác giả
muốn giúp đỡ sinh viên trong việc khám phá giải tích. Hơn nữa, tác giả muốn chia sẻ
một vài trải nghiệm tuyệt vời của vài phát minh vĩ đại trong lịch sử.

Tôi đã cố gắng viết một cuốn sách để giúp đỡ các sinh viên trong việc khám phá
giải tích cả về sức mạnh thực hành lẫn sự ngạc nhiên thú vị của chúng. […]
Newton chắc chắn đã hiểu rõ trải nghiệm của sự chiến thắng khi ông ta làm nên
một phát minh vĩ đại. Tôi muốn sinh viên chia sẻ một vài trong những điều tuyệt
vời đó. [20, tr. xi]

Tác giả xem việc hiểu khái niệm là một điểm nhấn quan trọng và nhận định đó là
mục đích đầu tiên của việc nghiên cứu giải tích. Để hiểu một khái niệm, tác giả tập
trung vào việc trình bày nó trên cả ba khía cạnh hình, số và đại số.
Tập trung trong việc hiểu khái niệm.
Tôi đã cố gắng thực hiện mục tiêu này thông qua Quy tắc của Ba điều: “Các chủ
đề sẽ được trình bày theo khía cạnh hình học, số và đại số.” Sự trực quan hóa,
thực nghiệm số và đồ thị, và một số cách tiếp cận khác đã cơ bản làm thay đổi
cách chúng ta rút ra khái niệm. [20, tr. xi]


10

 Quan điểm của tác giả về mơ hình tốn học: Theo tác giả một mơ hình tốn học
là một mơ tả mang tính tốn học một hiện tượng thực tế. Mục đích của mơ hình là hiểu
hiện tượng và có lẽ là làm nên những dự đốn về biểu hiện của hiện tượng trong tương
lai.
Một mơ hình tốn học là một sự mơ tả tốn học (thường là bằng phương tiện của
một hàm số hay một phương trình) của một hiện tượng thực tế […]. Mục đích của
mơ hình là hiểu hiện tượng và có thể thực hiện những dự đốn về hành vi trong
tương lai. [20, tr.23]

Sau đó tác giả đưa ra quy trình mơ hình hóa tốn học.
Hình 1.1. Minh họa quy trình của mơ hình hóa tốn học. Nhận được một vấn đề
thực tế […]

Hình 1.1. Quy trình mơ hình hóa tốn học
[…]. Nếu dự đốn không đối chiếu tốt với thực tế, chúng ta cần cải thiện mơ hình
của chúng ta hoặc xây dựng một mơ hình mới hay bắt đầu lại quy trình.
[20, tr. 23]

Tác giả cũng nhận định một mơ hình tốn học khơng chính xác hồn tồn mà nó chỉ là
một sự lý tưởng hóa, tuy nhiên nó có thể cung cấp câu trả lời có giá trị cho một vấn đề
thực tế.
 Vị trí của khái niệm tích phân trong giáo trình
Các chương trước đã hồn thiện khái niệm đạo hàm, khảo sát hàm số. Tích phân
xác định (integral) được trình bày ở chương 5, chương 6 là các ứng dụng của tích phân
(applications of integration), chương 7 (techniques of integration) phương pháp tính
tích phân, chương 8 (further applications of integration) các ứng dụng xa hơn của tích
phân, chương 9 (differential equations) phương trình vi phân.
Chương 5 Tích phân (integral) bao gồm các mục sau:
- 5.1 Diện tích và khoảng cách (Areas anh Distances)


11

- 5.2 Định nghĩa Tích phân xác định The Definite Integral)
- 5.3 Định lý cơ bản của giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus)
𝑏

- 5.4 Tích phân khơng xác định và định lý thay đổi lưới (∫𝑎 𝐹 ′ (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎))
(Indefinite Integral and the Net Change Theorem)
- 5.5 Quy tắc đổi biến (The Substitution Ruler)
Giáo trình đưa ra hai bài tốn cơ bản để dẫn tới khái niệm tích phân- bài tốn tính diện
tích và bài tốn tính qng đường đi được – mà chúng tơi sẽ tiến hành phân tích.

1.1.1. Tiếp cận khái tích phân bằng bài tốn tính diện tích
Tác giả bắt đầu bằng vấn đề tính diện
tích
Chúng ta bắt đầu bằng việc cố gắng
giải quyết vấn đề diện tích: Tìm diện
tích của miền phẳng S nằm dưới
đường cong y = f(x) từ a tới b. Miền S
này được minh họa ở hình 1 (hình
1.2), được giới hạn bởi đồ thị của một
hàm liên tục f [ nơi mà f(x)  0], hai
đường thẳng đứng x = a và x = b, trục Ox.
[20, tr. 360]

Hình 1.2. S = {(x ; y)  a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

Như vậy giáo trình xuất phát từ bài tốn tính diện tích hình thang cong một trong
những bài tốn của lịch sử khái niệm tích phân.
Đến tận thế kỷ 17 phép tính tích phân mới được xây dựng thành một lý thuyết
toán học độc lập, nhưng thực ra cuội nguồn của nó đã có từ thời Hy Lạp cổ đại.
Phép tính này được ra đời từ các bài toán cầu phương, cầu tích, cầu trường.
[2, tr. 14]

a. Tiếp cận diện tích từ phương diện số đo diện tích
Để giải quyết vấn đề diện tích hình thang cong, tác giả đã dẫn dắt người học tiếp
cận khái niệm diện tích từ phương diện số đo diện tích


12
Trong lúc tìm cách giải quyết vấn đề diện tích chúng ta thường tự đặt cho chính
mình câu hỏi. Từ diện tích có nghĩa là gì? Câu hỏi này thật là dễ cho những miền

có đường biên thẳng. Như hình chữ nhật, diện tích của nó được định nghĩa bằng
kết quả của tích chiều dài và chiều rộng. Diện tích của tam giác là nửa tích của
đáy và chiều cao tương ứng. Diện tích của một đa giác được tìm thấy bằng việc
chia nó thành những tam giác (như hình 1.3) và cộng diện tích của những tam
giác đó.

Hình 1.3 Diện tích A của các miền đa giác
[20, tr. 360]

Như vậy tác giả đã đồng nhất hồn tồn diện tích với số đo diện tích. Hơn nữa, để xác
định số đo diện tích của đa giác cuối cùng (hình 1.3) thì tư tưởng phân hoạch đã xuất
hiện. Tư tưởng phân hoạch thể hiện ở việc chia miền đa giác thành các tam giác để
tính diện tích.
Với vấn đề diện tích của hình thang cong, tác giả chỉ ra rằng cần phải đưa ra một
định nghĩa chính xác về nó.
Tuy nhiên, khơng dễ để tìm diện tích của miền phẳng có đường biên cong. Tất cả
chúng ta đều có một ý tưởng trực giác về diện tích của một miền là gì đó. Nhưng
một phần của vấn đề diện tích là làm rõ ý tưởng trực giác này bằng cách đưa ra
một định nghĩa chính xác về diện tích. [20, tr. 360]

Để tìm ra ý tưởng cho định nghĩa diện tích, tư tưởng xấp xỉ đã được giới thiệu:
Nhớ lại rằng trong định nghĩa một tiếp tuyến, đầu tiên chúng ta xấp xỉ hệ số góc
của tiếp tuyến bởi hệ số góc của những đường cát tuyến và sau đó chúng ta lập
nên giới hạn của những xấp xỉ đó. Chúng ta tiếp tục ý tưởng đó cho diện tích. Đầu
tiên ta xấp xỉ miền S bằng những hình chữ nhật và sau đó lập nên giới hạn của
tổng diện tích của những hình chữ nhật đó bằng việc dần tăng số các hình chữ
nhật. [20, tr. 360]


13

Trong ý tưởng tìm diện tích hình thang cong của tác giả việc “phân hoạch, tính tổng”
giống như tìm diện tích đa giác cịn có tư tưởng “xấp xỉ” và “chuyển qua giới hạn” thì
giống bài tốn tiếp tuyến. Để xấp xỉ hình thang cong tác giả dùng những hình chữ
nhật, tuy nhiên tác giả khơng đưa ra giải thích cho sự lựa chọn đó.
Bắt đầu bằng một ví dụ cụ thể, tác giả đã giúp người học tiếp cận tư tưởng xấp xỉ
trên cả ba phương diện hình học, số học và đại số.
- Phương diện xấp xỉ hình học
Giáo trình Mỹ bắt đầu bằng một ví dụ
cụ thể.
Ví dụ 1 dùng những hình chữ nhật
để xấp xỉ diện tích của miền S dưới
đồ thị y = x2 từ 0 đến 1, hình 1.4
[20, tr. 360]
Hình 1.4. S = {(x; y)  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}

Đầu tiên, tác giả chia miền S thành bốn hình thang cong (hình 1.5.1) và xấp xỉ các
hình thang cong này bằng các hình chữ nhật tương ứng. Mỗi hình thang cong được
xấp xỉ bằng hình chữ nhật trong (1.5.2) và hình chữ nhật ngồi (1.5.3).

Hình 1.5.1. Chia miền S

Hình 1.5.2. HCN chứa S

Hình 1.5.3. HCN trong S

Sau đó, tác giả đã tăng lên tám hình chữ nhật xấp xỉ

Hình 1.6. Xấp xỉ miền S với tám hình chữ nhật

14

Thực tế, việc tăng số hình chữ nhật xấp xỉ từ bốn lên tám như trên sẽ giúp người học
cảm nhận được sự xấp xỉ càng trở nên tốt hơn.
- Phương diện xấp xỉ số
Với A là diện tích hình thang cong và Rn, Ln là tổng diện tích các hình chữ nhật
phải (tương tự như hình chữ nhật trong hình 1.5.2.), trái tương ứng với phép phân
hoạch đều [0; 1] thành n đoạn. Từ xấp xỉ hình học, tác giả đã suy ra Ln < A < Rn với
n =4, 8, 10, 20, 30, 50, 100, 1000 với các số đo tác giả cho ở bảng 1.1.

Từ bảng 1.1, người học rất dễ nhận ra Rn, Ln càng xấp xỉ tốt với A khi n càng lớn.
Điều đó là cơ sở để người học dự đoán giới hạn của Rn, Ln là A, khi n .
- Phương diện đại số
Hoạt động tiếp theo của tác giả sau các hoạt động xấp xỉ hình học, số học là các
hoạt động đại số. Cụ thể là việc tính Rn phụ thuộc n và thiết lập công thức
1

𝐴 = lim 𝑅𝑛 = lim 𝐿𝑛 = .
𝑛→

𝑛→

3

𝑅𝑛 =

1 1 2 1 2 2 1 3 2
1 𝑛
( ) + ( ) + ( ) + ⋯ + ( )2

𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
=

1 1 2
. (1 + 22 + 3 2 + ⋯ + 𝑛 2 )
𝑛 𝑛2


15

=
=

1 2
(1 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛 2 )
𝑛3

1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
.
=
𝑛3
6
6𝑛2
(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 1
=
𝑛→∞
6𝑛2

3

 lim 𝑅𝑛 = lim
𝑛→∞

1

1

Tương tự lim 𝑅𝑛 = 3, suy ra 𝐴 = lim 𝑅𝑛 = lim 𝐿𝑛 = .
𝑛→

𝑛→∞

𝑛→

3

[20, tr. 362].

Như vậy việc dùng các yếu tố đại số để biểu diễn tổng diện tích các hình chữ nhật xấp
xỉ đã làm thuận lợi cho việc chuyển qua giới hạn, từ đó tác giả suy ra A bằng 1/3.
Sau đó tác giả tổng quát ý tưởng trong ví dụ 1 cho việc ước lượng diện tích miền
S nằm phía dưới đồ thị y =
f(x) từ x = a đến x = b và
trục hồnh Ox (hình 1.7).
Quy trình xấp xỉ diện tích A
của miền S đó được chúng
tơi tóm tắt như sau
- Phân hoạch [a; b] thành n

đoạn con là [x0; x1], [x1; x2],
…, [xn-1; xn] và độ dài mỗi khoảng x =

Hình 1.7. Xấp xỉ miền phẳng S
𝑏−𝑎
𝑛

.

- Xấp xỉ hình thang cong Si bằng hình chữ nhật thứ i có chiều rộng là x và chiều cao
là giá trị của f tại đầu mút phải đoạn thứ i và diện tích của nó là f(xi) x.
- Diện tích A của miền S được xấp xỉ bởi tổng diện tích các hình chữ nhật này, tức là
A  Rn = f(x1) x + f(x2) x + … + f(xn) x.
Sau đó, tác giả đã minh họa bằng hình học cho người đọc thấy việc xấp xỉ diện tích A
bởi Rn càng tốt khi n càng lớn, do đó tác giả suy ra A = limRn.
Mục đích của tác giả khi đưa ra quy trình tính diện tích hình thang cong là việc
cụ thể các hoạt động trong việc xác định diện tích miền S (hình 1.4) bằng một thuật
tốn cụ thể. Nó là bước tiến gần hơn đến định nghĩa diện tích hình thang cong.


16

b. Định ngĩa diện tích

 Định nghĩa
Từ các những hoạt động trên tác giả đưa ra định nghĩa diện tích của miền S có
đường biên cong
Diện tích A của miền S nằm dưới đồ thị hàm số liên tục y = f(x) là giới hạn của
tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ:
𝐴 = lim 𝑅𝑛 = lim [𝑓(𝑥1 )𝑥 + 𝑓(𝑥2 )𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 )𝑥.

𝑛→

𝑛→

(1.1.1.)

[20, tr. 365]

Trong định nghĩa trên tác giả ngầm định f là hàm không âm trên [a; b].
Sau khi đưa ra định nghĩa diện tích hình thang cong, tác giả đưa ra một số điểm nhằm
hồn thiện định nghĩa diện tích hình thang cong như sau
- Thứ nhất: giới hạn A luôn tồn tại với f là hàm liên tục trên [a; b].
- Thứ hai: thay vì chọn tính f(xi) với xi ở đầu mút phải của [xi-1; xi] ta có thể f(xi*) với
xi* tùy ý trên [xi-1; xi] thì giới hạn A vẫn khơng đổi trong cơng thức (1.1.1.). Từ đó tác
giả đã đưa ra công thức (1.1.2.) tổng quát hơn để tính diện tích A của miền phẳng S
𝐴 = lim 𝑅𝑛 = lim [𝑓(𝑥1∗ )𝑥 + 𝑓 (𝑥2∗ )𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )𝑥.
𝑛→

𝑛→

(1.1.2.)

- Thứ ba: từ bảng 1.1. và định nghĩa diện tích A của miền S, tác giả chỉ ra diện tích A
của miền S ln lớn hơn bất cứ tổng dưới (SL) nào và luôn nhỏ hơn bất cứ một tổng
trên (SU) nào với
𝑆𝐿 = ∑𝑛−1
𝑖=1

min

𝑓(𝑥 )∆𝑥,

(1.2.1.)

max

𝑓(𝑥)∆𝑥 .

(1.2.2.)

𝑥∈[𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ]

𝑆𝑈 = ∑𝑛−1
𝑖=1

𝑥∈[𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ]

Sau đó giáo trình Mỹ đưa ra một ví dụ minh họa
Ví dụ 3 Cho A là diện tích của miền phẳng nằm dưới đồ thị của hàm f(x) = e-x, từ
x = 0 đến x = 2.
a) Dùng các điểm cuối bên phải của các khoảng chia, tìm một mơ tả A như một
giới hạn, khơng tính giới hạn.
b) Xấp xỉ A bằng việc chọn các điểm chính giữa của các khoảng chia với số
khoảng là bốn và sau đó là mười khoảng chia. [20, Tr. 366]