Đề kiểm tra 1 tiết môn toán lớp 12 phần giải tích chương 3 THPT lê qúy đôn đề số 1

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 3
MÔN: TOÁN (GIẢI TÍCH) – LỚP 12

ĐỀ SỐ 1

Trường THPT Lê Quý Đôn
Thời gian:…

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu 1 (2 điểm). Chứng minh rằng hàm số F ( x) = ln( x 2 + 4) là nguyên hàm của hàm số
f ( x) =

2x
trên ¡ .
x2 + 4

Câu 2 (3 điểm). Cho hàm số f ( x) =

8x3
2x − 1

a. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) .
b. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) sao cho F (1) = 2011 .
Câu 3 (3 điểm). Tính các tích phân sau.
π
4

a.  e4 x + sin 2 x −
∫
0

1

b.



∫2
0

1 
÷dx
cos 2 x 

1
63x + 1 +

3

63 x + 1

dx

II. PHẦN RIÊNG CHO TỪNG BAN
A. Phần riêng cho ban KHTN
Câu 4A (2 điểm ). Tính tích phân sau.

π
4
0

B. Phần riêng cho ban cơ bản A + D

x

∫ cos

2

x

dx


π
2

Câu 4B (2 điểm ). Tính tích phân sau. x sin 2 xdx
∫
0

...........................HẾT.............................


ĐÁP ÁN
STT
Câu 1
(2.0đ)

Đáp án và biểu điểm
Do : x + 4 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số F ( x) = ln( x 2 + 4) X.Đ trên

(2.0đ)

( F ( x))' = (ln( x 2 + 4))' =

( x 2 + 4)'
x2 + 4

=

Vậy ( F ( x))' = f ( x), ∀x ∈ ¡

0.75

2x
= f ( x), ∀x ∈ ¡
x +4

⇒

2

F(x) là một nguyên hàm của

f(x) trên toàn bộ ¡ .
a
(2.0đ)

(3.0đ)

0.25

¡

Ta có

Câu 2

Đ

2

1
2x − 1
Họ các nguyên hàm của hàm f ( x) là:

0.5
0.5

2
Ta có f ( x) = 4 x + 2 x + 1 +

0.5

1 
1
 2
2
4
x

+
2
x
+
1
+
dx
=
4
x
+
2
x
+
1
dx
+
(
)

÷
∫
∫
∫ 2 x − 1dx
2x −1 

0.5

1.0
=

4 3
1
1
x + x 2 + x + ln 2 x − 1 + C , x ≠
3
2
2

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm
F ( x) =

b
(1.0đ)

f ( x)

thì theo câu a ta có:

4 3
1
1
x + x 2 + x + ln 2 x − 1 + C , x ≠
3
2
2

Theo giả thiết F (1) = 2011 ⇔ C +

10
6023
= 2011 ⇔ C =
3
3

0.25

0.5

Vậy nguyên hàm cần tìm là:
F ( x) =

4 3
1
6023
1
x + x 2 + x + ln 2 x − 1 +
,x≠
3
2
3
2

0.25


a
(2.0đ)

π
4



∫  e

4x

+ sin 2 x −

0

π
4

1 
 1 4x 1

÷dx =  e − cos 2 x − tan x ÷
2
cos x 
2
4
0

=

eπ − 3

4

1.0
1.0

Chú ý: Nếu tìm sai một nguyên hàm thì cho tối đa là 0.75
Đ (mỗi nguyên hàm tìm được cho 0.25) và phần tính kết
b

quả cho tích phân không tính điểm.
6
Đặt 63 x + 1 = u. x = 0 ⇒ u = 1, x = 1 ⇒ u = 2

(1.0đ)

63x + 1 = u 6 ⇒ dx =
1

Vậy

∫2
0

2

1
63 x + 1 +

2 5
u du

21

0.25

3

2
u3
dx = ∫
du
21
2
u
+
1
63x + 1
1

2

1 
1 
= ∫  4u 2 − 2u + 1 −
÷du
84 1 
2u + 1 

0.25

0.25

2

Câu
4A
(2.0đ)

A
(2.0đ)

1 4
1
1  22 1 5 

=  u 3 − u 2 + u − ln 2u + 1 ÷ =  − ln ÷
84  3
2
 1 84  3 2 3 

0.25

u = x
du = dx

⇒
Đặt 
1
dv = cos 2 x dx v = tan x

0.5

Suy ra

π
4

x
∫0 cos2 xdx = ( x tan x )
=

π
4
0

π
4

− ∫ tan xdx
0

π
4

π
sin x
−∫
dx
4 0 cos x
π
4

0.25

π
d (cos x)
= +∫
4 0 cos x

0.25
0.25


π
+ ln cos x
4
π 1
= − ln 2
4 2
=

π
2

2
∫ x sin xdx =
0

Câu 4
B
(2.0đ)

B
2.0đ)

=

π
4
0

0.5
0.25

π
2

1
x ( 1 − cos 2 x ) dx
2 ∫0

π
2

π
2

0.25
π
2

1
1
1
x ( 1 − cos 2 x ) dx = ∫ xdx − ∫ x cos 2 xdx
∫
20
20
20
π
2

π
2

π
2

1
1
π
1
= x 2 − ∫ x cos 2 xdx =
− ∫ x cos 2 xdx
4 0 20
16 2 0
2

0.25
0.25
0.25

π
2

* Tính I = x cos 2 xdx
∫
0

du = dx
u = x

⇒
Đặt 
1
dv = cos 2 xdx v = sin 2 x

2
π
2

I = ∫ x cos 2 xdx =
0

=

1
( x sin 2 x )
2

π

2
0

−

0.25

π
2

1
sin 2 xdx
2 ∫0

π
1
1
( cos 2 x ) 02 = −
4
2

0.25

π
2

2
2
2
Vậy x sin 2 xdx = π − 1 I = π + 1 . 1 = π + 4

∫
0

16

0.25

2

16

2 2

16

Chú ý. Học sinh có thể có nhiều cách làm khác, cách giải
trên theo lối tư duy của học sinh. Học sinh có thể tích phân
từng phần ngay khi hạ bậc mà không cần phải tách.
du = dx
u = x

⇒
Đặt 
...
1
dv
=
1
−
cos

2
x
dx
v
=
x
+
sin
2
x
(
)


2

0.25


Nếu làm đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.