TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Mỹ Dung

TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN
HÌNH P-ADIC

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh
Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và làm luận văn lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn các thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi
Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp cùng với tất cả các thầy cô khác đã
trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và
sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này.
TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008

Nguyễn Thị Mỹ Dung


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy
Khoái, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỷ cuối của thế kỷ
trước ( xem [2], [5] ) và ngay sau đó lý thuyết Nevanlinna p-adic đã được
mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều
và cho siêu mặt.
Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết
Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic.
Vì lý do đó, chúng tôi chọn đề tài: “ Tính duy nhất của hàm phân hình
p-adic ” nhằm mục đích tiếp cận một chuyên ngành toán học mới đang
phát triển.
2. Mục đích nghiên cứu
Ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng
minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời
giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna p-adic và ứng dụng để
nghiên cứu các hàm phân hình p-adic.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Luận văn đã trình bày được nội dung của lý thuyết Nevanlinna p-adic,
chứng minh được các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic;
đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình
p-adic.


5. Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các trường số p-adic
Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các
chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic

p

,

, xây dựng trường các số phức p-adic

p

.

vành các số nguyên p-adic

p

Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các
chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo.
Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic
Trong chương này trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý
cơ bản của Nevanlinna.
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna p-adic
Trong chương này chúng tôi đưa ra ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna
để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic;
đồng thời giới thiệu một số đa thức và các miền duy nhất của hàm phân
hình p-adic.

Chương 1: CÁC TRƯỜNG SỐ P-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho
các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic
p

, vành các số nguyên p-adic

p

. Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm

p

, xây dựng trường các số phức p-adic

các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo.
1.1. Chuẩn trên trường
1.1.1. Định nghĩa chuẩn trên trường
Cho F là một trường, ánh xạ

:F 

được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt

đối) trên trường F nếu thỏa các điều kiện sau:
i/ x  F : x  0 và x  0  x  0
ii/ x, y  F : xy  x . y
iii/ x, y  F : x  y  x  y
Nếu trường F là trường

,

,

thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường là

chuẩn trên F.
Ngoài ra nếu F là một trường bất kỳ thì
:F 

1 neáu x  0
0 neáu x= 0

x x  

là một chuẩn trên trường F, chuẩn này được gọi là chuẩn tầm thường.
Dễ thấy chuẩn

trên F có các tính chất cơ bản sau:

i/ x  F :  x  x
ii/ 1  1

( 1 là đơn vị của F)
1
1
iii/ x  F , x  0 : x 
x

Nhận xét
Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm thường.
Chứng minh:
Giả sử F có q phần tử ( q  , q  0 ) và có chuẩn là
Rõ ràng F* là nhóm Aben có cấp q-1
Gọi 1 là đơn vị của nhóm nhân F*. Khi đó với bất kỳ x thuộc F* ta có :

x q 1  1  x q 1  1  1
 x

q 1

1

 x  1 (do x  0)
Vậy

là chuẩn tầm thường.

■

1.1.2. Chuẩn tương đương
Cho F là trường và

là chuẩn trên F. Khi đó:

d: FxF 
(x,y) 
 d(x,y) = x  y

là một mêtric trên F, gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn
Khái niệm về chuẩn tương đương
Cho F là một trường và
Ta nói
2

1

,

1

tương đương với

2

2

(

là hai chuẩn trên F.
1

2

) nếu tôpô cảm sinh bởi

1

và

trùng nhau.

Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn
Cho F là một trường và
tương đương:
i/

1



2

ii/ x  F : x 1  1  x 2  1

1

,

2

là hai chuẩn trên F. Các phát biểu sau


iii/ x  F : x 1  1  x 2  1
c

iv/ Tồn tại c 

sao cho: x 2  x 1 x  F

v/  xn  là dãy Cauchy đối với

  xn  là dãy Cauchy đối với

1

2

1.1.3. Chuẩn phi Archimedean
1.1.3.1. Định nghĩa
Cho F là một trường và

là chuẩn trên F,

gọi là chuẩn phi

Acsimet nếu nó thỏa điều kiện (III’) sau đây:

x, y  F : x  y  max  x , y 
Một chuẩn không phải phi Acsimet gọi là chuẩn Acsimet.
1.1.3.2. Ví dụ

Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới

dạng: m  p m1 với (m 1 ,p)=1,  

*

. Khi đó:  được gọi là số mũ của p

trong m, ký hiệu ord p ( m)  
Với r 

*

:r 

m
, ta định nghĩa: ord p (r ) = ord p (m) - ord p (n)
n


Nếu biểu diễn r = p .

m1
với   ;(n1 , p )  1;(m1 , p )  1 thì
n1

ord p ( m)  

Quy ước: ord p (0)  
Dễ thấy:
i/ ord p (rs )  ord p (r )  ord p ( s )
ii/ ord p (r  s )  min ord p r ; ord p s ; r , s 


Ta định nghĩa chuẩn trên
p

:

như sau:



0 , x = 0
ord x
x  x p   ord p x
 p
, x0

Khi đó :

p

là chuẩn phi Acsimet trên

( với 0    1 ).

1.1.3.3. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet

là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là

Cho F là một trường và
tương đương:
i/

là chuẩn phi-Acsimet.

ii/ 2  1
iii/ n  1; n 
iv/ Tập các số tự nhiên bị chặn ( A  0 : n  ; n  A ) .
1.1.3.4. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Acsimet

i/ x  y p  max  x p , y p  nếu x p  y p
ii/ Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn.
iii/ B(a,r)- vừa đóng vừa mở.





B ( a, r )  x  F / x  a p  r - vừa đóng vừa mở.

Liên quan đến chuẩn trên

, ta có định lý quan trọng sau đây:

1.1.3.5. Định lý Ostrowsky

Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỷ
đương với chuẩn
thông thường
Chứng minh

p

hoặc tương

( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối

trên

.


Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1 : n 
Gọi n0  min n 

: n 1

/ n  1


Vì n0  1 nên n0  n0 ( =log n0 n0 >0)

Ta viết n trong hệ đếm n0 như sau:
n  a0  a1n0  a2 n02  ...  as n0s (a i  ,0  a i  n0 , as  0, s   log n0 n  )

Khi đó:

n  a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s
= a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s
Do ai  n0 i nên ai  1 ( theo cách chọn n0 ). Suy ra:


1

1
1 
n  1  n0  n02  ...  n0s  n0s 1    2  ...  s 
n0 
 n0 n0
Đặt c  1 

1
1
1
 2  ...  s  ... . Rõ ràng, c là cấp số nhân lùi vô

n0 n0
n0

hạn nên c là hằng số.
s

Vì thế: n  c.n0  c.n (do a s  0)
k
k 


k
Vậy với mọi k ta có : n  c.(n )  c.n  n  c .n


Cho k   thì n  n

 n  n (n)

Như vậy ta đã có: 

 n0  n0

 n0s 1  n  (n0s 1  n)

Suy ra  s 1
 ( s 1)
 n0  n0

(1)


Vậy :

n  n0s 1  n0s 1  n  n0 ( s 1)  (n0s 1  n)

 


1
 n0 ( s 1)  ( n0s 1  n0s )  n0 ( s 1) 1   1   
  n0  


 
1 
( s 1)
 c.n
Đặt c  1  1    thì n  c.n0

  n0  
k
k 


k
Vậy với mọi k ta có : n  c.( n )  c.n  n  c .n


Cho k   thì n  n

(2)


Từ (1) và (2) ta có n  n

Do đó:


m
 ,m ,n  :
n

 n  n  n
m
m
m






n
n
n
 m  m

Vậy:
Trường hợp 2: n  1, n 
Gọi n0 là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0  1
Giả sử n0 không là số nguyên tố. Khi đó:
n0  n1.n2 (n1 , n2  n0 )

Do cách chọn n0 nên n1  n2 =1 . Suy ra n0  1 (vô lý)
Vậy n0 = p là số nguyên tố.
Ta sẽ chỉ ra rằng q  1 với mỗi số nguyên tố q khác p.
Thật vậy :


Giả sử tồn tại q  : q  1 (q là số nguyên tố)
Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có :
qN  q
pM  p

N

1
2
1


2



M

Do  q N ; p M   1 nên có thể tìm được hai số m,n sao cho:

mp M  nq N  1
Suy ra :

1  1  mp M  nq N  mp M  nq N  m p M  n q N
 pM  qN 

1 1
  1 (vô lý)
2 2

Vậy q  1 với mỗi số nguyên tố q khác p.

Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng
x  p .

m
(m,p)=1;(n,p)=1
n

Đặt p    1 . Ta có:
x   .

m
n

Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác
p nên chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1. Vì thế:
m  n  1  x    

Vậy:

p

ord p x

■


1.2. Trường các số p-adic

p

và vành

Theo định lý Ostrowsky, trên

p

chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối

thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimede

. Mặt khác, ta biết rằng

theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số

làm đầy đủ
thực

p

. Vậy làm đầy đủ

trường các số p-adic

p

theo

p

ta được một trường mới mà ta gọi là

, là tương tự p-adic của trường số thực

mô tả chi tiết hơn về cách xây dựng

p

1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic

. Ta sẽ

dưới đây.
p

và vành

Ký hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỷ theo

p

p

Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:

xn  yn p  0
 xn   yn   lim
n 
Ta gọi

p

là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên:

p

S 

Trang bị cho

p

x  / x   S
n

n

hai phép toán cộng và nhân như sau:

x    y   x  y 
 x  . y    x . y 
n

n

n

Rõ ràng (
p-adic

p

n

p

n

n

n

n

, ,.) là một trường, trường này gọi là trường các số

.

Chuẩn

p

trong

Cho  xn  
Rõ ràng

p

p

được mở rộng trong

(  xn  là dãy Cauchy trong

p

như sau:
xn
): x =  xn  : x p  lim
n 

p

là chuẩn phi-Acsimet.

Ta chứng minh được biểu diễn p-adic của một phần tử x trong

p

là:


x  b m p  m  b m 1 p  m 1  ...  b0  b1 p  ...  bn p n  ... ( m  , bi  0, x p  p m )

Tập hợp
nhân trong

p

p



 x

p



/ x p  1 cùng với phép toán cộng và phép toán

lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic.

1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành

i/
ii/
iii/

p

p

là vành chính, mọi iđêan của

p

là tập compắc đối với chuẩn

p

p

p

,

p

có dạng là p m

p

(m  )

là tập compắc địa phương.

Chứng minh:
i/ Gọi I là một iđêan của

p

.

Nếu I  0 thì I là iđêan sinh bởi 0.
Nếu I  0 thì gọi a là phần tử thuộc I sao cho a  p  m ( m  ) lớn nhất.
Ta sẽ chứng minh : I  p m

p

Với bất kỳ x thuộc I, ta có:
x
x
1 m 
m
p
p

x  a  x  pm 

Vì thế I  p m

p

(1)

Với bất kỳ x thuộc p m
x  p mc  a(

p

pm
.c )
a

p

, ta có:

(c 

p

)

mà : a  I
pm
pm
pm


1

a
a
a

nên x  I
Vì thế p m

p

I

(2)

p



pm
.c 
a

p

 x  pm

p

Từ (1) và (2) ta có I  p m
Vậy idean I của

p

p

.

được sinh bởi phần tử p m và do đó

p

là vành

chính.
ii/ Giả sử  xn  là một dãy tùy ý trong

p

và:

x1  a01  a11 p  a21 p 2  ...
x2  a02  a12 p  a22 p 2  ...
..........................................
xn  a0 n  a1n p  a2 n p 2  ...
(0  ain  p  1; i  0,1, 2,...)

Xét các phần tử a0n (n= 1, 2,…) ta thấy các phần tử này nhận các giá
trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại b0  0;1; 2;...; p  1

được nhận giá trị vô hạn lần.
Lấy dãy con  x0n  của dãy  xn  sao cho số hạng đầu tiên của mỗi phần
tử bằng b0 .
Trong dãy  x0n  các số hạng thứ hai: a1n (n= 1, 2,…) nhận các giá trị
trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại b1  0;1; 2;...; p  1
được nhận giá trị vô hạn lần.
Lấy dãy con  x1n  của dãy  x0n  sao cho số hạng thứ hai của mỗi
phần tử bằng b1 .
Như vậy, với mọi m , tồn tại dãy con  xm,n  của dãy  xm 1,n  sao
cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm 0;1;2;...; p 1 .
Đặt b = b0  b1 p  ...  bm p m  ...


Xét dãy các đường chéo  xmm  với phần tử x0 n có số hạng thứ nhất là
b0 ; phần tử x1n có số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1 ;….; phần tử

xmm có số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1 ,…, số hạng thứ m + 1 là
bm .

Ta có:
m 
xmm  b p  p  m 1 
0

Vậy  xmm  là một dãy con lấy ra từ dãy  xn  mà  xmm  hội tụ về b. Đến

đây ta kết luận
iii/ Do

p

là tập compắc đối với chuẩn

p

là tập compắc nên với mọi a thuộc

compắc của a trong

p

. Vậy

p

1.3. Trường các số phức p-adic

Làm đầy đủ
thực

p

p

.

,a+

trường số phức

là tập compắc địa phương.

p

không đóng đại số, bao đóng đại số của

theo

ta được trường các số p-adic

p

nhưng không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của

Irr(  ,

p

thì  là phần tử đại số trên

,x)= x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 (a i 

nghiệm.
Ta định nghĩa
x 

là

p

p

p

là

;

p

p

đầy đủ

. Giá trị

được xây dựng như sau:

p

p

■

.

Làm đầy đủ

Với  

là lân cận

theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường số

; trường số thực

tuyệt đối trên

p

: x

p

p

trên


n

a0

p

p

như sau:

p

. Do đó tồn tại một đa thức

p

) bất khả quy nhận  làm


Ta chứng minh được
p



p

trên

Trường

p

p

p

là một giá trị tuyệt đối trên

và

.

đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo

Nếu tiếp tục làm đầy đủ

p

theo

adic, trường đó được ký hiệu là
Trường số phức p-adic

p

p

p



p

vừa xây dựng.

thì ta sẽ được trường các số phức pp



có hai tính chất cơ bản sau:

đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức
phức.

p

p

đóng đại số,

trong giải tích


Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai
định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic.
2.1. Các hàm đặc trưng
2.1.1. Các khái niệm cơ bản

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức có hệ số trong




z
f
(
z
)
an z n / an 





p  
n 1


p

:





p

Xét tập:


n
A r ( p ) =  f ( z )   an z / an 
n 1


Rõ ràng A r (

p

) là vành con của vành


n 
,
a
0


 ( r > 0)
p
n p

p

 z  . Chú ý rằng nếu



f ( z )   an z n  A r (

p

n 1

Dr 

p

0, r    z 

Với f  A r (

p

p

) thì f hội tụ và là hàm giải tích trên

/ z p r



n
) và f  0, ta định nghĩa:  (r,f) = max an r . Ta có thể
n

chứng minh được  (r,f) là chuẩn trên vành A r (

p

) , nghĩa là:

i/  (r, f) = 0  f = 0
ii/  (r, f + g)  max{  (r,f);  (r,g)}
iii/  (r, f.g) =  (r, f).  (r, g)
Giả sử D là tập mở trong

p

. Ký hiệu: Ή(D) là tập các hàm giải tích

trên D, M(D) là trường các thương của Ή(D)
Một phần tử f thuộc M(D) được gọi là hàm phân hình trên D.
Ta ký hiệu M  (

p

) là:


g
)   / g, h A  (
h

M(

p

Cho f  M  (

p

p


) ,h  0 


) ( 0     ). Khi đó có g, h  A  (

p

) sao cho f =

g
. Ta
h

định nghĩa:
( r , g )
(0  r  )
( r , h)

 (r,f) =

Đặc biệt:
1
( r , f )
Ta có thể chứng minh được với  > r > 0, hàm  (r,.): M  (
 (r,f) =

p

)



thỏa các tính chất sau:
i/  (r,f) = 0  f = 0
ii/  (r,f 1 + f 2 )  max{  (r, f 1 );  (r, f 2 )}

iii/  (r, f 1 .f 2 ) =  (r, f 1 ).  (r, f 2 )
2.1.2. Các hàm đặc trưng

Cho f(z) =



a z

nm

Ký hiệu n(r,
n (r,

n

n

A  (

p

) ( 0<  ; an 

p

; am  0;m  0) và a 

1
) là số các 0-điểm ( kể cả bội ) của f - a trên

f a

1
) là số các 0- điểm phân biệt của f - a trên
f a

nghĩa:
r

N (r ,

1
)
f  a 0
r

N (r ,

1
)
f  a 0

n(t ,

n(t ,

1
)
f a
dt

t

( 0  0  r )

1
)
f a
dt
t

N Ram (r; f) = 2N(r; f) – N(r; f’) + N(r;

1
)
f'

p

p

p

0, r  và

0, r  . Ta định


Cho f  M  (

p

) và a 

p

  . Khi đó, tồn tại f 0, f1  A r (

( 0
p

p

)

) sao cho f 

f1
f0

Định nghĩa:
1

 n( r , f )  n( r , f ) : a  

0
1
)= 
n(r,
f a

 n( r , 1 ) : a  

f1  af 0
1

 N (r , f )  N (r , f ) : a  

0
1
N (r ,
)= 
f a
 N (r , 1 ) : a  

f1  af 0
m(r,f) = log   (r,f) = max 0; log  (r,f)



T(r,f) = m(r,f) + N(r,f)
1
1
N (r ;
)
)
f a
f a
 f (a )  lim inf
 1  lim sup
r 

r 
T (r ; f )
T (r ; f )
1
)
N (r ;
f a
 f (a )  1  lim sup
r 
T (r ; f )
m( r ;

Nếu a   thì:
 f ()  lim inf
r 

m( r ; f )
N (r; f )
 1  lim sup
r 
T (r ; f )
T (r; f )

 f ()  1  lim sup
r 

N (r ; f )
T (r ; f )

Rõ ràng: 0   f (a )   f (a )  1

Cho f  M (

p

) khác hàm hằng và a 

  , ký hiệu  f ( z0 ) là số
a

p

bội của 0-điểm f – a tại z 0 . Nghĩa là,  af ( z0 ) = m khi và chỉ khi:


a  ( z  z0 )m h( z ) : a  

f ( z )   h( z )
:a  
 ( z  z )m
0


với h(z 0 )  0; 

Định nghĩa:



E f (a)  ( af ( z ); z ) / z 

p



và ký hiệu nghịch ảnh của a bởi f bởi:



E f ( a )  f 1 ( a )  z 

p



/  af ( z )  0

Nếu một cặp hai hàm phân hình f và g không là hàm hằng trên

p

thỏa:

+ E f (a) = Eg (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a tính cả số bội.
+ E f (a) = E g (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a không tính số bội.
Với k 

, định nghĩa:

a
f ,k

 af ( z ) :  af ( z )  k
( z)  
:  af ( z )  k
k

a
f ,k

1
( z)  
0









E f ( a, k )  z 

và 

: 0   af ( z )  k
:  af ( z )  k v  af ( z )  0
p

a

f (k

 af ( z ) :  af ( z )  k
( z)  
a
0 :  f ( z )  k

và 

a
f (k

1
( z)  
0

:  af ( z )  k
:  af ( z )  k



/  f a,k  1

Ký hiệu :
nk (r ;

r
1
1
1 dt

)    af ,k ( z ) và N k (r ;
)   nk (t ;
)
f a
f  a 0
f a t
z r

r
1
1
1 dt
a
n( k (r ;
)    f ( k ( z ) và N ( k (r ;
)   n( k (t ;
)
f  a 0
f a t
f a
z r
r
1
1
1 dt
a
)    f ,k ( z ) và N k (r ;
n k (r;
)   n k (t ;
)

f a
f  a 0
f a t
z r


n( k (r;

r
1
1
1 dt
)    f a( k ( z ) và N ( k (r ;
)   n( k (t ;
)


f
a
f
a
t
f a
z r
0

2.1.3. Công thức Jensen và các mệnh đề
2.1.3.1. Công thức Jensen

Cho f  A  (

p

) , 0  0  r <   ta có:

1
N (r , ) = log  (r,f) – log  ( 0 ,f)
f

Cho f  M  (

) , 0  0  r <   ta có:

p

1
N (r , ) - N (r , f ) = log  (r,f) – log  ( 0 ,f)
f

Công thức này còn được viết như sau:
1
T (r , )  T (r , f ) - log  ( 0 ,f)
f

2.1.3.2. Mệnh đề

Cho f i  M  (

p

) (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có:

 k  k
N  r ,  fi    N (r , f i )
 i 1  i 1
 k
 k
N  r ,  fi    N (r , fi )
 i 1  i 1

2.1.3.3. Mệnh đề

Cho f i  M  (

p

) (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có:

 k 
m  r ,  fi   max m(r , fi )
 i 1  1i  k
 k
 k
m  r ,  f i    m( r , f i )
 i 1  i 1

2.1.3.4. Mệnh đề

Cho f, f i  M  (

p

) (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có:


 k  k
T  r ,  fi    T (r , fi )
 i 1  i 1
 k
 k
T  r ,  fi    T (r , fi )
 i 1  i 1

T(r,f) là hàm tăng đối với r.
2.1.3.5. Bổ đề

Cho f , a j  M (

p

) , (j=0,1,...,k),a k  0 . Ta định nghĩa:
k

A  f ( z )  A( z , f ( z )) =  a j ( z ) f

j

j 0

Nếu f khác hàm hằng thì ta có:

 k 
1  
N (r , A  f )  kN (r , f )  O    N ( r , a j )  N ( r , )  
 j 0 
a j  
 

2.1.3.6. Bổ đề

Nếu f  M (

p

) khác hàm hằng thì

 k 
1 
m(r , A  f )  km(r , f )  O    m(r , a j )  m(r , )  
 j 0
ak  
 

2.1.3.7. Định lý

Nếu f  M (

p

) khác hàm hằng thì

 k

T (r , A  f )  kT (r , f )  O   T (r , a j ) 
 j 0



2.2. Hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic
2.2.1. Định lý (định lý cơ bản thứ nhất)

Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong
Khi đó với mọi a thuộc
m(r,

p

p

 0,  

(0<  ) .

ta có:

1
1
) + N(r,
) = T(r,f) + O(1) ( r   )
f a
f a

Chứng minh

Ta có:
m( r ,

1
1
1
) + N (r ,
) = T (r ,
) = T (r , f  a ) - log  ( 0 ,f - a) (1)
f a
f a
f a

Mặt khác :
T(r,f - a)  T(r,f) + T(r,a)
= T(r,f) + m(r,a) + N(r,a)
= T(r,f) + log   (r,a)
= T(r,f) + log  a

(2)

Chứng minh tương tự:
T(r,f)  T(r,f - a) + log  a

(3)

Do đó từ (1),(2),(3) ta có: m(r,

1
1
) + N(r,
) = T(r,f) + O(1)
f a
f a

( r )
Trước khi vào nội dung chính của định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết
Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :
2.2.2. Bổ đề


Cho chuỗi lũy thừa f(z) =

a z
n 0

và phần tử z 

p

n



p

 z  có bán kính hội tụ   0

. Nếu f(z) hội tụ thì f’(z) tồn tại và:


f’(z) =

n

 na z
n 1

n

n 1

(*)


Mặt khác bán kính hội tụ của (*) giống của f và thỏa:
 (r,f’) 

1
 (r,f)
r

(0 < r <  ).

Chứng minh


Giả sử g(z) =

 na z

n 1

n

n 1

.

Theo định lý Ostrowsky, định lý về các điều kiện tương đương của
chuẩn và định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phiArchimedean, ta có:
 



, n 

:

1
1

 n p 1
n n p
1
n

 lim n p  1
n 

 lim sup an
n 

p

1
n

 lim sup nan
n 

p

1
n 1

Do đó, chuỗi (*) có cùng bán kính hội tụ với f.
n 
n
0
Do f(z) hội tụ nên an z 

Nếu z = 0 thì hiển nhiên g(z) hội tụ.
n 1
n 1
Nếu z  0 thì nan z p  an z p 

hội tụ.
Trong trường hợp f(z) hội tụ trong
trường hợp f(z) hội tụ trong

p

1
n 
an z n 
 0 . Vì thế, g(z)
p
zp
p

0;  , ta chọn R=  ; trong

 0;   , ta chọn R sao cho

z p  R   ; nếu z

 0 thì ta chọn h sao cho h p  z p  R ; nếu z = 0 thì ta chọn h sao cho

h p  R . Do đó:





z  h p  max z p ; h p  R
f ( z  h)  f ( z )  n n

  ( )an z n  j h j 1
Đồng thời f(z+h) hội tụ ,
j
h
n 1 j 1


n

n  j j 1
 an p R n 1  0
Do R <  nên ( j )an z h
p

Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều đối với h. Hiển nhiên ta có
thể lấy giới hạn từng số hạng, cho ta:
f’(z) = lim
h0

f ( z  h)  f ( z ) 
  nan z n 1
h
n 1

Cuối cùng nếu 0< r <  thì:
1
1
( r , f ')  max nan p r n 1  max an p r n = (r , f )
n
r n

r

2.2.3. Định lý (định lý cơ bản thứ hai )

Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong
a1 ;...; aq là các số phân biệt trong

p

 0,  (0<  ) và

p

. Đặt:

 



  min 1; a  a 
j
i  j i

A=max 1; a
i

Khi đó với 0 < r <  ta có:
( q  1)T ( r ; f )  N ( r ; f ) +

q

1

 N (r ; f  a
j 1

 N (r; f ) +

q

)  N Ram ( r ; f )  log r  S f
j

1

 N (r; f  a
j 1

)  log r  S f
j

q

với S f   log (0 ; f  a j )  log (0 ; f ')  (q  1) log
j 1

A


Chứng minh

Lấy bất kỳ r’ 

p

với 0  r '   .

Do f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong

f 0 ; f1  A r ' (

p

) không có nhân tử chung sao cho f =

Đặt F o  f 0 , F i  f1  ai f 0 (i = 1; 2; …;q)

p

 0, 

f1
.
f0

nên tồn tại