Một số kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (331.15 KB, 35 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------
------
NGUYỄN THỊ THANH NGA
MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------
------
NGUYỄN THỊ THANH NGA
MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN.
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
Nghệ An - 2015
1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa . . . . . . . . . . 7
Chương 2. Một số kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic
nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian
2.1 Tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa
tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Các kết quả mới về chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến
tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong
lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào
đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài toán
này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm của bài toán không
phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. Trong thực hành, dữ kiện có được
dựa trên các đo đạc vật lý mà mọi phép đo đều không thể tránh khỏi các
sai số. Do tính đặt không chỉnh, một sai số nhỏ trong dữ kiện cũng có thể
gây ra một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán. Điều này gây ra một khó
khăn lớn trong việc giải số với dữ kiện bị nhiễu. Để vượt qua khó khăn
này, chúng ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán.
Cho tới nay đã có rất nhiều bài báo viết về phương trình parabolic
ngược thời gian. Tuy nhiên, hầu hết các bài báo đó dành cho phương
trình tuyến tính. Rất ít bài báo dành cho phương trình phi tuyến. Đặc
biệt, các bài báo dành cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời
gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu
về việc chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ
số phụ thuộc thời gian, trên cơ sở các bài báo [5], [3] và [4], chúng tôi lựa
chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Một số kết quả chỉnh hóa
cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian
với hệ số phụ thuộc thời gian".
3
Mục đích chính của luận văn là đề xuất phương pháp chỉnh hóa bao
gồm đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp trên cơ sở tìm hiểu các
phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời
gian với hệ số phụ thuộc thời gian đã được công bố. Với mục đích đó luận
văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,
lý thuyết chuỗi trong không gian Banach, khái niệm bài toán đặt không
chỉnh, phương pháp chỉnh hóa cùng một số ví dụ minh họa.
Chương 2: Trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương
trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời
gian. Trên cơ sở đó, đề xuất kết quả mới tốt hơn các kết quả đã có.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán
học và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư Phạm
Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập và hoàn thành đề cương, luận văn này. Cuối cùng, tác giả cảm ơn
gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21
Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An,tháng 8 năm 2015
Tác giả
4
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày
Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [1] và [2].
1.1
Không gian Banach, không gian Hilbert
Cho X là không gian tuyến tính thực.
1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn nếu
(i) u
0, ∀u ∈ X ;
(ii) u = 0 nếu và chỉ nếu u = 0;
(iii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R;
(iv) u + v
u + v , ∀u, v ∈ X . Không gian tuyến tính trang
bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian
Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.
1.1.2 Định lý. Ánh xạ chuẩn x → x là một hàm liên tục đều từ X
vào R.
1.1.3 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh
xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K × X vào X là
liên tục.
1.1.4 Định lý. Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó, với mọi
a ∈ X , ánh xạ x → a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo toàn
khoảng cách) từ X lên X .
5
1.1.5 Định nghĩa. Một tập con A của một không gian định chuẩn X
được gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A
trù mật trong X . Ta nói rằng dãy {an } ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cả
các phần tử của dãy là toàn vẹn.
1.1.6 Định nghĩa. 1. Cho H là không gian tuyến tính thực. Ánh xạ
·, · : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu
(i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H ;
(ii) Ánh xạ u → u, v là tuyến tính với mọi v ∈ H ;
(iii) u, u
0;
(iv) u, u = 0 nếu và chỉ nếu u = 0.
Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra
bởi một tích vô hướng.
2. Hai phần tử u, v ∈ H là trực giao nếu u, v = 0. Khi đó ta ký hiệu
u ⊥ v.
1.1.7 Định nghĩa. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert H là
một tập con A các vectơ khác 0 của H sao cho hai vectơ khác nhau bất
kì của A đều trực giao với nhau.
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert
H . Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M ,
trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M . Nếu N là tập con của E sao cho
x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M .
Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N .
Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } và gọi nó là phần bù trực giao
của M .
1.1.9 Bổ đề. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập
tuyến tính.
1.1.10 Bổ đề. Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H
thì M ⊥ là một không gian con đóng của E .
6
1.1.11 Định lý. Giả sử F là một không gian Hilbert con của không
gian Hilbert H . Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi
là hình chiếu trực giao của x trên F ) sao cho x − y = d(x, F ) =
inf x − y .
y∈F
Điểm y hình chiếu trực giao của x trên không gian con F thường được
kí hiệu là PF (x). Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F ,
ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F .
1.1.12 Định lý. Giả sử F là không gian con Hilbert của không gian
Hilbert H . Khi đó H = F ⊕ F ⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F
là ánh xạ tuyến tính, liên tục.
1.1.13 Định nghĩa. Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu
x = 1 với mọi x ∈ A.
1
x : x ∈ A là hệ trực chuẩn.
x
Hệ B gọi là trực chuẩn hóa của hệ A. Nếu hệ A toàn vẹn thì hệ B toàn
Nếu A là hệ trực giao thì hệ B =
vẹn.
Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert H được gọi là hệ
trực chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn của H .
1.1.14 Bổ đề. Giả sử {ei } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hilbert H . Khi đó
∞
a)
| x, ei |2 ≤ x
i=1
2
với mọi x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel); b)
∞
Với mọi (λi ) ∈ l2 chuỗi
λi ei hội tụ trong H .
i=1
1.1.15 Định lý. Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩn
đếm được {en }. Khi đó
∞
x, ei ei với mọi x ∈ H (chuỗi Fourier).
a) x =
i=1
∞
x, ei y, ei với mọi x ∈ H, y ∈ H (Đẳng thức Parse-
b) x, y =
i=1
nal).
7
1.1.16 Định lý. Nếu {en } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hlbert H thì các điều kiện sau đây là tương đương :
a) Dãy {en } đầy đủ;
∞
x, ei ei với mọi x ∈ H ;
b) x =
i=1
∞
x, ei y, ei với mọi x, y ∈ H ;
c) x, y =
d) x
2
i=1
∞
| x, ei |2 với mọi x ∈ H .
=
i=1
1.1.17 Định lý. Trong một không gian Hilbert H vô hạn chiều, các
điều kiện sau đây là tương đương
a) H là khả li;
b) H có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;
c) H có một cơ sở trực chuẩn đếm được;
d) H đẳng cấu với l2 .
1.2
Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh
hóa
1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ d : X ×X →
R thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y ,
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ,
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được gọi
là một không gian mêtric.
1.2.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh
xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử
x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0 ) = f .
Đặt
R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}.
8
Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =
x ∈ X, ∀f ∈ R(A). Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình
A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng
phương trình x = R(f ).
1.2.3 Định nghĩa. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) của phương trình A(x) = f được gọi là ổn định
trên cặp không gian (X, Y ) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài
toán) nếu ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) thì
dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε.
1.2.4 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X của phương trình A(x) =
f theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian
mêtric (X, Y ) nếu
i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X ;
ii) Nghiệm x đó là duy nhất;
iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.2.5 Ví dụ. 1) Xét chuỗi Fourier
∞
f1 (t) =
an cos(nt),
n=0
với hệ số (a0 , a1 , ......, an , ....) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + nε , n ≥ 1
và c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
∞
f2 (t) =
cn cos(nt),
n=0
cũng có hệ số (c0 , c1 , ......, cn , ....) ∈ l2 . Và khoảng cách giữa chúng là
1
2
∞
(cn − an )2
ε1 =
n=0
∞
=ε
n=1
1
n2
1
2
=ε
π2
.
6
9
Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có
thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó,
∞
f2 (t) − f1 (t) = ε
n=1
1
cos(nt)
n
có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên
nếu xét trong không gian L2 [0, π], thì
π
1 π
2
=
|
[f2 (t) − f1 (t)]2 dt
0
0
∞
=
n=0
= ε1
∞
n=0
1
2
(cn − an ) cos(nt)|2 dt
π
(cn − an )2
2
1
2
π
2
Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ
cn với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau
không nhiều trong L2 [0, π].
2) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = f (x),
∂u
∂y
= ϕ(x), −∞ < x < ∞,
y=0
ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và
ϕ(x) = ϕ1 (x) =
1
a
sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là
u1 (x, y) =
1
sin(ax)sh(ay),
a2
a > 0.
10
Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là
u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét
trong độ đo đều ta có
dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0
x
1
dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = .
a
x
Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup |
x,y
x,y
1
1
sin(ax)sh(ay)|
=
sh(ay),
a2
a2
Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.
1.2.6 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một toán tử từ
không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm trong một tập compăc
M của X và f0 ∈ Y . Gọi x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f0 . Toán
tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một
toán tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0 , nếu
i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y :
dY (f, f0 ) ≤ δ,
δ ∈ (0, δ1 );
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 :
∀f ∈ Y,
dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 ,
dX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).
Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi
là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta
gọi là cách chọn hậu nghiệm.
1.2.7 Nhận xét. Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của
toán tử R(f, α). Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) được gọi là nghiệm chỉnh
hóa của phương trình A(x) = f0 , ở đây α = α(fδ , δ) = α(δ) được gọi là
11
tham số chỉnh hóa. Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu
chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu. Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ
thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước
i) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α),
ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài
toán về phần tử fδ và sai số δ .
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương
pháp chỉnh hóa.
1.2.8 Ví dụ.
1) Tính giá trị z =
df (t)
dt
trong C, khi f (t) cho xấp xỉ.
Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân
f (t + α) − f (t)
.
R(f, α) =
α
Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t)
R(fδ , α) =
+
.
α
α
Cho α → 0,
f (t + α) − f (t)
→ z.
α
Số hạng thứ hai được đánh giá bởi
2δ
g(t + α) − g(t)
≤ .
α
α
Nếu chọn α sao cho α =
δ
,
η(δ)
với η(δ) → 0 khi δ → 0, thì
2δ
α
= 2η(δ) → 0.
Vì vậy, với
α = α1 (δ) =
δ
,
η(δ)
R(fδ , α1 (δ)) → z.
2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó. Giả sử
ϕk (t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup |ϕk (t)| ≤ C0 và hệ số Fourier
t∈[a,b]
a = (a1 , a2 , ....) của hàm
∞
f (t) =
ak ϕk (t)
k=1
12
được cho xấp xỉ bởi c = (c1 , c2 , ...) sao cho
∞
(ak − ck )2 ≤ δ 2 .
k=1
Khi đó không thể coi
∞
f˜(t) =
ck ϕk (t)
k=1
là xấp xỉ của f (t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại điểm t0 nào đó,
tức là tìm f (t0 ), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
R(c,
của
1
n)
n
=
η(δ)
δ2 ,
k=1
ck ϕk (t0 )(α = n1 ), trong đó n = n(δ) = [
η(δ)
δ2 ]
là phần nguyên
ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞. Thật vậy,
n(δ)
|f (t0 ) −
n(δ)
ck ϕk (t0 )| ≤ |
k=1
∞
(ak − ck )ϕk (t0 )| + |
k=1
n(δ)+1
∞
Vì chuỗi
ak ϕk (t0 )|.
∞
ak ϕk (t0 ) → 0, khi
ak ϕk (t0 ) hội tụ nên phần dư
k=1
k=n(δ)+1
n(δ) → ∞. Ngoài ra,
n(δ)
n(δ)
(ak − ck )ϕk (t0 ) ≤
k=1
|ak − ck ||ϕk (t0 )|
k=1
≤
n(δ)
|ak − ck |2
k=1
≤ C0
|ϕk (t0 )|2
|ak − ck |2
n(δ)
k=1
≤ C0
n(δ)δ 2
= C0
[
η(δ)
]→0
δ2
1
2
k=1
n(δ)
khi δ → 0.
n(δ)
1
2
13
1.2.9 Nhận xét. Trường hợp α = δ , định nghĩa về toán tử chỉnh hóa có
dạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một
toán tử chỉnh hóa, nếu:
i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY (f, f0 ) ≤ δ ;
ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ dY (fδ , f0 ) ≤
δ ≤ δ0 ta có dX (xδ , x0 ) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ , δ).
14
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Chương này trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương
trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời
gian. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả mới tốt hơn
một số kết quả đã được công bố.
2.1
Tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương
trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian
với hệ số phụ thuộc thời gian
Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho
ut + A(t)u = f (u),
u(T ) − f
ε,
0 < t < T,
(2.1)
với A(t) là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương
trên không gian Hilbert H và f thuộc H .
Mặc dù đã có rất nhiều kết quả đánh giá ổn định nghiệm, cũng như các
kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic tuyến tính hay parabolic phi
tuyến ngược thời gian với hệ số hằng, các kết quả chỉnh hóa cho phương
trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian vẫn còn
ít. Đặc biệt các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến
ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm.
15
Vào năm 2012, các tác giả P. H. Quan, L. M. Triet và D. D. Trong ([3])
đã đề xuất kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến ngược
thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. Họ đã xét bài toán
ut − a(t)uxx = f (x, t, u), x ∈ [o, π] 0 < t ≤ T,
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u(x, T ) = g(x),
x ∈ [0, π],
(2.2)
với a(t) là hệ số truyền nhiệt sao cho tồn tại các hằng số p, q > 0 thỏa
mãn
0 < p ≤ a(t) ≤ q,
với mọi t ∈ [0, T ] và f là hàm thỏa mãn điều kiện
f (x, t, w1 ) − f (x, t, w2 ) ≤ L|w1 − w2 |.
Các tác giả trên đã chỉnh hóa bài toán (2.2) bằng bài toán
∞
2
e−k λ(T )
f (u )(t) sin(kx),
u
−
a(t)u
=
δt
δxx
α (δ)+e−k2 λ(T ) k δ
k=1 k
uδ (0, t) = uδ (π, t) = 0,
∞
2
e−k λ(T )
u
(x,
T
)
=
g sin(kx),
δ
αk (δ)+e−k2 λ(T ) k
(2.3)
k=1
trong đó
π
2
fk (u)(s) =
π
2
gk =
π
f (x, s, u(x, s)) sin(kx)dx,
0
π
g(x) sin(kx)dx,
0
t
λ(t) =
a(s)ds,
0
αk (δ) = δk 2 .
Đầu tiên các tác giả đã chứng minh bài toán (2.3) có duy nhất nghiệm
uδ (x, t)
∞
=
k=1
2
e−k λ(T )
gk −
2
αk (δ) + e−k λ(T )
T
t
2
ek (λ(s)−λ(t)−λ(T ))
fk (uδ )(s)ds sin(kx)
2
αk (δ) + e−k λ(T )
(2.4)
16
Sau đó họ chứng minh được rằng, nếu uδ và vδ là 2 nghiệm của (2.4) với
các giá trị cuối tương ứng là g và gδ thì
uδ (·, t) − vδ (·, t) ≤
√
2 2
λ1 T (T −t)
2λ1 eL
δ λ(t)/λ(T ) ln
λ(T )
δ
λ(t)−λ(T )
λ(T )
trong đó
λ1 = max{1, λ(T )}.
Do vậy bài toán (2.3) đặt chỉnh. Sau đó họ chỉ ra tốc độ chỉnh hóa bằng
định lý sau
2.1.1 Định lý. ([3]) Cho u là một nghiệm chính xác của bài toán (2.2)
thỏa mãn
2 2
λ1 T (T −t)
Q(t) = 3λ21 e3L
2 2
λ1 T (T −t)
M (t) = 6λ21 e3L
π ∞
T
|k 2 ek
×
0
0
2
uxx (·, 0) < ∞,
×
λ(s)
(us (x, s) − a(s)uxx (x, s))|2 dxds < ∞, ∀t ∈ [0, T ).
k=1
Nếu uδ là nghiệm cho bởi (2.4) với dữ liệu nhiễu gδ thì
u(·, t) − uδ (·, t) ≤ C(t)δ λ(t)/λ(T ) ln
trong đó C(t) =
√
2 2
λ1 T (T −t)
2λ1 eL
+
λ(T )
δ
λ(t)−λ(T )
λ(T )
Q(t) + M (t).
Các tác giả trong [3] đặt điều kiện rất mạnh lên nghiệm, điều kiện đặt
ra ở đây phụ thuộc vào đạo hàm của nghiệm theo cả biến không gian và
thời gian. Hơn nữa các tác giả không so sánh tốc độ với trường hợp a(t)
là hàm hằng.
Vào năm 2013, các tác giả P. H. Quan, D. D. Trong va L. M. Triet ([4])
cũng đưa ra một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán phi tuyến ngược
thời gian với hệ số phụ thuộc cả thời gian và không gian. Cụ thể trong [4],
17
các tác giả đã chỉnh hóa bài toán
ut (x, t) + a(x, t)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), (x, t) ∈ R × [0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
(2.5)
trong đó 0 < p ≤ a(x, t) ≤ q và
|f (x, t, u1 , v1 , w1 ) − f (x, t, u2 , v2 , w2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 | + |w1 − w2 |)
bởi bài toán
uε (x, t) = Pε (x, t) − Kε (x, t, uε )
(2.6)
trong đó
∞
1
Pε (x, t) = √
2π
1
Kε (x, t, uε ) = √
2π
eξ
2
−∞
∞
(η(T )−η(t))
T
eξ
−∞
2
F (g)(ξ)χ[−aε , aε ](ξ)eiξx dξ,
(η(T )−η(t))
F (ϕ(uε , uεx , uεxx ))(ξ, s)ds×
t
× χ[−aε , aε ](ξ)eiξx dξ
với b(x, t) = a(x, t) − k(t), k(t) = lim a(x, t),
x→∞
ϕ(u, ux , uxx )(x, t) = b(x, t)uxx + f (x, t, u, ux , uxx )
và η(t) =
t
0 k(s)ds.
Còn F : L2 (R) → L2 (R) là biến đổi Fourier
∞
1
F (f )(ξ) = √
2π
f (x)e−ixξ dξ.
−∞
Các tác giả trong [4] chứng minh được rằng bài toán (2.6) có nghiệm duy
nhất. Hơn nữa, nếu g − gε
L2 (R)
≤ ε và uε , vε là hai nghiệm của bài toán
(2.6) tương ứng với dữ kiện cuối g, gε thì
√ 2
uε (·, t) − vε (·, t) H 2 (R) ≤ 2eaε (η(T )−η(t))
R(aε )eK
Sau đó họ đã chỉ ra tốc độ chỉnh hóa bằng định lí sau
2
T 2 R(aε )
ε.
18
2.1.2 Định lý. ([4]) Đặt uε là nghiệm của bài toán (2.6) tương ứng
với dữ kiện cuối là g trên L2 (R) và u là nghiệm chính xác của bài toán
(2.5) thỏa mãn
4+α
e2m |ξ|
Cα,m = sup
|F (u)(ξ, t)|2 dξ, t ∈ [0, T ]
<∞
R
trong đó m = η(T ) + m + 3/2 > 0, với m là hằng số dương.
2 2
(i) Nếu 0 < ε <
3K T
min{e−( m )
4+α
α
u(·, t) − uε (·, t)
, e−1}, thì chúng ta đạt được
H 2 ( R)
≤
m
Cα,m ε 2
với mọi t ∈ [0, T ).
(ii) Nếu 0 < ε < min{e−(
u(·, t) − uε (·, t)
3K 2 T 2 4+α
) α
m
H 2 (R)
≤
−1
, ee }, thì chúng ta đạt được
Cα,m
1
ln( 1ε )
η(t)+ m
2
với mọi t ∈ [0, T ).
Các tác giả trong [4] đã chỉnh hóa được cho bài toán (2.5) với hệ số phụ
thuộc cả không gian, thời gian và đưa ra đánh giá trong chuẩn ·
H 2 ( R) .
Tuy nhiên điều kiện áp đặt lên nghiệm khá mạnh. Hơn nữa tốc độ được
chỉ ra trong phần (ii) của Định lí 2.1.2 có dạng Logarithm chứ không phải
dạng H¨older.
2.2
Các kết quả mới về chỉnh hóa cho phương trình
parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ
số phụ thuộc thời gian
Giả sử ϕ ∈ L2 (0, π) và ε > 0. Xét bài toán
ut = a(x, t)uxx + f (x, t, u), (x, t) ∈ R × [0, T ),
u(·, T ) − φ(·) L2 (0,π) ε
(2.7)
với a(x, t) là hàm thỏa mãn
0 < p ≤ a(x, t) ≤ q, ∀(x, t) ∈ R × [0, T ]
(2.8)
19
và f là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz
|f (x, t, w1 ) − f (x, t, w2 )| ≤ L1 |w1 − w2 | + L2 (|w1x − w2x | + |w1xx − w2xx |).
Định nghĩa phép biến đổi Fourier F : L2 (R) → L2 (R) là
1
F (υ)(ξ) := υ(ξ) = √
2π
e−iξx υ(x)dx
R
và phép biến đổi Fourier ngược F −1 : L2 (R) → L2 (R) là
1
F −1 (υ)(ξ) := υˇ(ξ) = √
2π
eiξx υ(x)dx.
R
Chúng tôi giả sử rằng limx→∞ a(x, t) = k(t) và đặt b(x, t) = a(x, t) − k(t).
Khi đó |b(x, t)| ≤ 2q .
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier và Fourier ngược ta thấy
nghiệm của bài toán (2.7) có dạng
u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u)
(2.9)
∞
1
P (x, t) = √
2π
eξ
(η(T )−η(t))
F (u(·, T ))(ξ)eiξx dξ
−∞
∞
1
K(x, t, u) = √
2π
2
T
eξ
2
(η(s)−η(t))
F (ϕ(u))(ξ, s)dseiξx dξ
t
−∞
với
t
ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u), η(t) =
k(s)ds.
0
2.2.1 Định nghĩa. Hàm Dν (x) =
sinνx
được gọi là nhân Dirichlet.
x
Nhân Dirichlet có tính chất
2
Dν =
π
1
0
trên [−ν, ν],
ngoài đoạn [−ν, ν].
20
2.2.2 Định nghĩa. Nếu υ ∈ H s (R), s ≥ 0, chuẩn của υ được định
nghĩa bởi
υ
H s ( R)
|υ(ξ)|2 (1 + ξ 2 )s dξ
:=
1
2
< +∞.
R
Trong phần này chúng tôi sẽ chỉnh hóa bài toán (2.7) bằng bài toán
đặt chỉnh
uν (x, t) = Pν (x, t) − Kν (x, t, u)
(2.10)
trong đó
∞
1
Pν (x, t) = √
2π
eξ
2
(η(T )−η(t))
F (Sν (φ)(ξ)eiξx dξ,
−∞
∞
1
Kν (x, t, u) = √
2π
T
eξ
−∞
2
(η(s)−η(t))
F (Sν (ϕ(uν )))(ξ, s)dseiξx dξ
t
với
Sν (f )(x) =
1
1
Dν ∗ f =
π
π
Dν (y)f (x − y)dy.
R
2.2.3 Bổ đề. Bài toán (2.10) có duy nhất nghiệm uν ∈ C([0, T ]; H 2 (R)).
Chứng minh. Đặt G(w)(x, t) = Pν (x, t) − Kν (x, t, w). Với mọi u, v ∈
C([0, T ]; H 2 (R)) và k ≥ 1 ta có
Gk (u) − Gk (v)
2
H 2 (R) ≤
(8C)k (1 + ν 2 )2k T k (T
− t)k e2kν
k!
2
qT
| u − v |2
trong đó C = max{8q 2 ; 6L2 } và | · | là chuẩn trong không gian
C([0, T ]; H 2 (R)).
(2.11)
21
Chúng ta sẽ chứng minh (2.11) bằng quy nạp. Với k = 1, ta có
G(u) − G(v)
H 2 (R)
2
T
(1 + ξ 2 )2
=
eξ
2
(η(s)−η(t))
(F (Sν (ϕ(u))) − F (Sν (ϕ(v)))) ds dξ.
t
R
Chú ý rằng
trên [−ν, ν]
ngoài đoạn [−ν, ν].
f
0
F (Sν (f )) =
(2.12)
Ta đạt được
G(u) − G(v)
2
H 2 (R)
2
T
2 2
e
(1 + ξ )
=
|ξ|≤ν
ξ 2 (η(s)−η(t))
2
T
2 2
≤
ν 2 η(s)
e
(1 + ν )
|ξ|≤ν
(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ
t
(1 + ν 2 )s eν
≤
(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ
t
2
2
T
η(T )
(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ
|ξ|≤ν
t
T
2 2 2ν 2 qT
≤ (1 + ν ) e
(T − t)
|ξ|≤ν
2 2 2ν 2 qT
≤ (1 + ν ) e
|(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v)))|2 dsdξ
t
T
(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v)))
(Tt )
t
2 2 2ν 2 qT
= (1 + ν ) e
T
(T − t)
(ϕ(u) − ϕ(v))
t
2
L2 (R) ds
2
L2 (R) ds.
Từ ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u) và áp dụng các bất đẳng thức (a + b)2 ≤
22
2a2 + 2b2 và (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ), ta có
2
H 2 (R)
2 2 2ν 2 qT
G(u) − G(v)
= (1 + ν ) e
(T − t)
T
| (b(x, s)(uxx − vxx ) + (f (x, s, u) − f (x, s, v)) |2 dxds
×
t
R
2 2 2ν 2 qT
≤ 2(1 + ν ) e
T
|b(x, s)(uxx − vxx )|2 dxds
(T − t)
t
+ 2(1 + ν 2 )2 e2ν
2
R
T
qT
|(f (x, s, u) − f (x, s, v))|2 dxds
(T − t)
t
R
23
T
2 2 2ν 2 qT 2
≤ 8(1 + ν ) e
|(uxx − vxx )|2 dxds
q (T − t)
t
+ 2L2 (1 + ν 2 )2 e2ν
2
qT
R
(T − t)×
T
(|u − v| + |ux − vx | + |uxx − vxx |)2 dxds
×
t
R
T
2 2 2ν 2 qT 2
≤ 8(1 + ν ) e
|(uxx − vxx )|2 dxds
q (T − t)
t
2 2 2ν 2 qT
2
+ 6L (1 + ν ) e
R
(T − t)×
T
(|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds
×
t
R
≤ 2C(1 + ν 2 )2 e2ν
2
qT
(T − t)×
T
(|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds
×
t
R
= 2C(1 + ν 2 )2 e2ν
2
qT
(T − t)
T
×
u−v
t
= 2C(1 + ν 2 )2 e2ν
2
L2 (R)
2
qT
+ ux − vx
2
L2 (R)
+ uxx − vxx
2
L2 (R)
ds
(T − t)
T
×
F (u − v)
t
2
L2 (R)
2 2 2ν 2 qT
= 2C(1 + ν ) e
+ F (ux − vx )
2
(1 + ξ + ξ 2 )|u − v|
(T − t)
2
qT
ds
dξds
R
(1 + ξ 2 )2 |u − v|2 dξds
(T − t)
R
T
qT
(T − t)
u−v
t
2 2 2ν 2 qT
≤ 8C(1 + ν ) e
2
2
L2 (R)
T
t
≤ 8C(1 + ν 2 )2 e2ν
+ F (uxx − vxx )
T
t
≤ 8C(1 + ν 2 )2 e2ν
2
L2 (R)
2
H 2 (R) ds
(T − t)T | u − v |2 .
Vậy với k = 1 thì (2.11) đúng. Giả sử (2.11) đúng với k = m, ta sẽ chứng
minh (2.11) đúng với k = m + 1. Ta có
Gm+1 (u) − Gm+1 (v)
H 2 ( R)
= G(Gm (u)) − G(Gm (v))
2
H 2 (R)
