Giải PT bậc 4 bằng CASIO đơn giản tập 2

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Giải PT bậc 4 đơn giản - Tập 2
Dành cho Newbie không biết gì! 

A. Solve và chia đa thức
Nhắc lại 2 PT trong bài tập tự luyện ở Tập 1:
1

 X1  A  2


3
4
3
2
+ PT 4 x  8 x  33x  20 x  3  0 có 4 nghiệm  X 2  B 

2
 X  C  0,2360679775
 3
 X 4  D  4,236067977

 X 1  A  2

 X  B  1
4
3
2
+ PT 15 x  53 x  50 x  4 x  8  0 cũng có 4 nghiệm  2
 X 3  C  0,3145198591

 X 4  D  0,847853192

Bạn có hiểu mục đích của việc lưu 4 nghiệm vào 4 biến A, B, C, D không?
Vì chúng ta sử dụng “Thuật toán tối ưu hóa Solve”, nên phải lưu 4 nghiệm vào 4 biến
như vậy để tối ưu hóa PT thành

f (X )
 0 nhằm mục đích
( X  A)( X  B)( X  C )( X  D)

Solve nghiệm được tốt hơn. Tuy nhiên, mục đích thực sự lại không phải thế.
Nếu chịu khó suy nghĩ bạn sẽ phát hiện ra, khi tối ưu hóa PT thứ nhất ở trên, ta có thể
4 X 4  8 X 3  33 X 2  20 X  3
4 X 4  8 X 3  33 X 2  20 X  3
nhập là
thay vì
,

1 
3
( X  A)( X  B)( X  C )( X  D )

 X   X   ( X  C )( X  D)
2 
2


nguyên do là vì X 1 , X 2 đều là 2 phân số đẹp, có thể ghi trực tiếp vào mà không cần
vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

phải lưu vào A, B làm gì, nhưng X 3 , X 4 là 2 số vô tỉ (chứa căn) mà ta chưa biết được
dạng đúng của nó, không thể nhập bằng tay ra được, cho nên cần phải lưu vào C, D
để tối ưu hóa.
Như vậy, mục đích thực sự của việc lưu nghiệm từ X vào biến khác chỉ là để chống
số xấu mà thôi, số đẹp như X 1 , X 2 ở trên không cần lưu làm gì cho phí biến.

1

3
Ta nhận thấy X 1  ; X 2  chính là 2 nghiệm của phương trình
2
2
1 
3

2
 X   X    0 , hay (2 X  1)(2 X  3)  0  4 X  8 X  3  0 , như vậy
2 
2


(4 x 2  8 x  3) chính là 1 nhân tử của PT ban đầu, suy ra nhân tử còn lại g(x) chính là

4 X 4  8 X 3  33 X 2  20 X  3
kết quả của phép chia: g ( X ) 
4X 2  8X  3

Như vậy nếu Solve mà bắt được 2 nghiệm đẹp của PT rồi thì ta sẽ chia luôn, không
cần quan tâm đến 2 nghiệm xấu hay Viet làm gì nữa.

1
3
Cụ thể, trong PT thứ nhất ở trên, sau khi bắt được 2 nghiệm đẹp là X 1  ; X 2  , ta

2
2
lập tức quay lại PT, sửa PT thành thế này:

4 X 4  8 X 3  33 X 2  20 X  3
Hết sức lưu ý: không được để phân số như
mà phải
1 
3

 X   X  
2 

2


nhân lên, vì các hệ số đều nguyên hết.
Tiếp theo ta CALC gán X  1000 , rồi bấm  , sẽ được một kết quả:

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Đến đây, ta dùng phương pháp xấp xỉ như khai triển đa thức để tìm g(X):
1 003 999  1 000 000  X 2

3 999  4 000  4 X

(nhớ kiểm tra lại!).
Vậy

4 X 4  8 X 3  33 X 2  20 X  3
 X 2  4 X  1 , nhân lên ta được kết quả:
(2 X  1)(2 X  3)

4 x 4  8 x 3  33 x 2  20 x  3  ( x 2  4 x  1)(4 x 2  8 x  3)

Vâng, cách làm như vừa rồi đã không hề đả động đến 2 nghiệm xấu X 3 , X 4 , và làm
như vậy được gọi là "phương thức Solve - Chia đa thức", một phương thức trong kỹ
thuật CASIO giải PT bậc 4 có nghiệm.
Vậy ta có thể tóm tắt phương thức này như sau:
+ Bước 1. Dùng tối ưu hóa để Solve các nghiệm của PT (nếu bị quên, quay lại Tập
1 để xem).

vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

+ Bước 2. Nếu bắt gặp 2 nghiệm hữu tỉ phân biệt (là dạng số nguyên hoặc phân số),
b
n
chẳng hạn X 1  ; X 2  , nó là 2 nghiệm PT
a
m

b 
n

 X   X    0
a 
m


 (aX  b)(mX  n)  0 nên ta được nhân tử thứ nhất là ( ax  b)(mx  n)

+ Bước 3. Chia đa thức tìm nhân tử còn lại g ( x) 
PT thành

f ( x)
. Ta quay lại sửa
(ax  b)(mx  n)

f (X )
rồi cho X  1000 để sử dụng phương pháp xấp xỉ. Từ
(aX  b)( mX  n)

kết quả thu được dễ dàng truy ngược lại nhân tử g(X) như khai triển đa thức.
Sau đây, ta làm 1 lần nữa với PT còn lại là 15 x 4  53 x3  50 x 2  4 x  8  0 để hiểu rõ
hơn.

+ Bước 1. Solve các nghiệm giống như đã làm ở Tập 1, ra được các nghiệm của nó.
Có tất cả 4 nghiệm, nhưng ta đã bắt gặp 2 nghiệm hữu tỉ là X 1  2; X 2  1 rồi thì sẽ
chia đa thức để tìm nhân tử.
+ Bước 2. ta thấy 2 nghiệm trên là của PT ( X  2)( X  1)  X 2  3 X  2 , do đó ta
được nhân tử thứ nhất ( x 2  3x  2)
+ Bước 3. Quay lại sửa PT trên màn hình:

Gán X  1000 , rồi sử dụng phương pháp xấp xỉ để truy nhân tử còn lại:

vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Xấp xỉ: 15 007 996  15 000 000  15X 2

7 996  8 000  8X

Vậy

15 X 4  53 X 3  50 X 2  4 X  8
 15 X 2  8 X  4 , nhân lên ta được kết quả phân

( X  2)( X  1)

tích là: 15 x 4  53x3  50 x 2  4 x  8  (15 x 2  8 x  4)( x 2  3x  2)
Bài tự luyện còn lại trong số 3 bài ở Tập 1 là 6 x 4  32 x3  43 x 2  4 x  10  0 , sau
khi phát hành Tập 1 tôi thấy vẫn có bạn chưa thực hành thạo, làm sai cả 3 câu trong
nháy mắt (!), nên tôi phải giải lại câu này theo thuật toán "Solve - Viet đảo" ở Tập
1. Nói thực là khá ngại vì viết rất dài, nhưng không sao...
+ Bước 1. Nhập PT.

+ Bước 2. Solve ra nghiệm. SHIFT CALC 0  :

vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

 X 1  0,3874258867

+ Bước 3. Lưu PT:   .

+ Bước 4. Lưu nghiệm vào A: Nhập X, SHIFT RCL () ( () là phím của A).

+ Bước 5. Tối ưu hóa PT: quay lại sửa.

+ Bước 6. Chưa bị báo "Can’t Solve", nên lặp lại các bước từ 2 đến 5 cho PT đã tối
ưu hóa.
Cứ lặp lại thêm 4 lần nữa như vậy (bạn tự làm nốt nhé), ta tìm được thêm 3 nghiệm,
 X 2  0,775255128  B
lưu vào 3 biến:  X 3  1,72075922  C

 X 4  3,224744871  D

Bây giờ sử dụng Viet đảo, trước hết ta tính tổng 2 nghiệm bất kì, nếu tổng mà đẹp (số
hữu tỉ) thì chuyển sang tính tích của chúng luôn.

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Sau khi thử, ta thấy tổng A  C  S  

Research by Admin

4
đẹp, như vậy tính tích của chúng luôn:

3

2
AC  P   . Do đó theo Viet đảo, A, C là 2 nghiệm phương trình x 2  Sx  P  0
3

hay x 2 

4
2
x   0  3 x 2  4 x  2  0 , vậy (3 x 2  4 x  2) là một nhân tử.
3

3

Theo như phương thức Solve - Chia đa thức vừa học ở trên, một khi đã có 1 nhân tử
thì luôn chia được PT ban đầu cho nhân tử đó để ra cái còn lại, nhưng ở đây tôi đang
giảng lại theo phương thức Solve - Viet đảo ở Tập 1, nên sẽ dùng 2 nghiệm còn lại
B và D để suy nốt nhân tử kia chứ không chia.
 B  D  4
5

2
Ta thấy ngay 
5  B và D là 2 nghiệm PT x  4 x   0

2
 BD  2
 2 x 2  8 x  5  0  (2 x 2  8 x  5) chính là nhân tử còn lại.

Vậy: 6 x 4  32 x3  43x 2  4 x  10  0  (3x 2  4 x  2)(2 x 2  8 x  5)  0
Cũng sau khi phát hành Tập 1, có bạn đã hỏi tôi là biết được kết quả này rồi thì sẽ
trình bày trong bài thi như thế nào?
Tôi lấy luôn PT vừa rồi để trả lời: chúng ta từ kết quả khai triển ngược lại, rồi lại lật
ngược các bước khai triển, thì đấy chính là cách trình bày đơn giản nhất.
(3 x 2  4 x  2)(2 x 2  8 x  5)  0
 3 x 2 (2 x 2  8 x  5)  4 x(2 x 2  8 x  5)  2(2 x 2  8 x  5)  0
 (6 x 4  24 x3  15 x 2 )  (8 x3  24 x 2  20 x)  (4 x 2  16 x  10)  0

Lật ngược lại chính là cách trình bày trong bài:

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

6 x 4  32 x3  43x 2  4 x  10  0
 (6 x 4  24 x3  15 x 2 )  (8 x3  24 x 2  20 x)  (4 x 2  16 x  10)  0

 3 x 2 (2 x 2  8 x  5)  4 x(2 x 2  8 x  5)  2(2 x 2  8 x  5)  0
 (3x 2  4 x  2)(2 x 2  8 x  5)  0

Nói chung loại PTB4 có nghiệm thì có 2 phương thức áp dụng là "Solve - Viet đảo"
hoặc "Solve - Chia đa thức" vừa được học xong. Bây giờ sẽ là bài luyện tập.
Câu 1. Dùng phương thức Solve - Viet đảo để phân tích.
1) 3x 4  21x 3  31x 2  4 x  2  0
2) 8 x 4  12 x3  14 x 2  15 x  5  0
3) 20 x 4  8 x 3  31x 2  6 x  12  0
Câu 2. Dùng phương thức Solve - Chia đa thức để phân tích.
1) 3x 4  4 x 3  10 x 2  x  2  0
2) 2 x 4  7 x3  31x 2  28 x  6  0

3) 663 x 4  727 x 3  2780 x 2  2073 x  1863  0
Câu 3. Thích dùng phương thức nào thì dùng.
1) 12 x 4  23 x3  124 x 2  123 x  36  0
2) 15 x 4  32 x3  18 x 2  32 x  15  0
3) 12 x 4  40 x 3  56 x 2  316 x  280  0
4) 24 x 4  14 x 3  111x 2  26 x  120  0
Nộp lại các đáp án cho Admin qua message Facebook.
vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

B. Dạng PTB4 chỉ có 2 hoặc 3 nghiệm
Trước hết ta xem xem khi nào PTB4 f ( x)  0 chỉ có 2 hoặc 3 nghiệm.
Vì bất kì một PTB4 nào cũng phân tích được thành 2 nhân tử bậc 2, cho nên để xem
PTB4 có mấy nghiệm, ta phải xem mỗi nhân tử bậc 2 có mấy nghiệm.
I. Khi PTB4 chỉ có 2 nghiệm
Nếu PTB4 chỉ có 2 nghiệm, thì nó nhận 1 trong 2 dạng sau:
b

x



1

a b n 
+ Dạng 1: ( ax  b) 2 (mx  n) 2  0 . 2 nghiệm là 
   . Vì PT có hệ số
n
x    a m 
 2
m

hữu tỉ (nguyên hoặc phân số), nên cả a, b, m, n cũng phải hữu tỉ, dẫn đến 2 nghiệm

trên đều là nghiệm hữu tỉ, đồng nghĩa với việc PT này không thể có nghiệm vô tỉ
được. Hơn nữa, ta lại thấy ( ax  b) 2 ( mx  n) 2  (a 2 x 2  2abx  b 2 )(m 2 x 2  2mnx  n 2 )
nên hệ số bậc 4 là a 2 m 2 phải cùng dấu với hệ số tự do là b2 n 2 , bạn nên nhớ điều này
vì đôi lúc khá hữu ích.
+ Dạng 2:  a1 x 2  b1 x  c1  a2 x 2  b2 x  c2   0 trong đó a1 x 2  b1 x  c1  0 có 2
nghiệm phân biệt còn a2 x 2  b2 x  c2  0 vô nghiệm (hoặc ngược lại). Khác với Dạng
1, PT có thể có cả nghiệm hữu tỉ lẫn vô tỉ, nằm chung trong 1 nhân tử.
Như vậy nếu ta Solve ra 2 nghiệm vô tỉ thì chắc chắn nó là Dạng 2 rồi, nhưng 2
nghiệm hữu tỉ thì chưa chắc, vì cả 2 dạng đều có thể có, lúc đấy ta sẽ xem xét dấu
hiệu của PT xem hệ số bậc 4 có cùng dấu với hệ số tự do hay không. Nếu chúng khác
dấu, thì như đã nói, không thể là Dạng 1 được, còn nếu chúng cùng dấu, thì ta sẽ tiến
hành các phép thử để xác định xem dạng nào (vì cùng dấu thì 2 dạng đều có thể có).

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

b

 x1   a
Nếu xác định được nó thuộc Dạng 1 thì quá dễ rồi phải không, từ 

suy luôn
n
x  
 2
m

ra ( ax  b) 2 (mx  n) 2  0 và chấm hết. Nhưng nếu nó thuộc Dạng 2 thì chúng ta sẽ áp
dụng một phương thức mới , gọi là “Solve - Viet đảo - Chia đa thức”, một sự kết
hợp độc đáo của 2 phương thức ở phần A.
3 bước để áp dụng phương thức này nằm ngay ở trên gọi của nó:
+ Bước 1 là Solve. Sử dụng tối ưu hóa PT để dò ra 2 nghiệm, và nhận dạng được nó
là Dạng 2 nói trên.

+ Bước 2 là Viet đảo. Từ 2 nghiệm, tính tổng và tích ta tìm được 1 nhân tử chứa
chúng là  a1 x 2  b1 x  c1 
+ Bước 3 là Chia đa thức. Vì nhân tử còn lại vô nghiệm nên không còn cách nào khác
là phải chia

f ( x)
để tìm ra. Việc này giống hệt như khai triển đa thức, gán
a1 x  b1 x  c1
2

X  1000 rồi dùng phương pháp xấp xỉ.

Okay! 3 VD mẫu dưới đây sẽ cho bạn thấy rõ trực quan cách làm.
VD1. 2 x 4  6 x3  3x 2  x  3  0
Đầu tiên ta Solve, bước này đã được học ở Tập 1 và nhắc lại ở phần A nên tôi
không làm lại trong phần này nữa. Ta được 2 nghiệm vô tỉ:

( X 1  A  0,5811388301 )

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

( X 2  B  2,58113883 )
Lưu ý chút: bạn có thể gặp phải thông báo "Continue: [=]" trong quá trình dò nghiệm
X 2 , ý nghĩa của nó là bị thất bại trong việc dò nghiệm vì giá trị ban đầu của X chưa

hợp lí, và máy hỏi vậy xem bạn có tiếp tục giải lại lần nữa không (nếu tiếp tục thì ấn
 . Tuy nhiên bạn không nên ấn  mà hãy quay lại PT rồi SHIFT CALC cho
X  5 (A để nguyên), khi đó máy sẽ dò ra nghiệm như trên. Để hiểu sâu hơn về

việc dò nghiệm này bạn có thể đọc trong phần đầu sách CASIO công phá Toán hoặc
theo dõi file Những nguyên lí cơ bản của CASIO được Team phát hành trong tháng

1-2016.
Rõ ràng đây là 2 nghiệm vô tỉ nên PT đã cho thuộc Dạng 2 rồi (Dạng 1 chỉ có hữu tỉ
thôi), do đó ta đi tiếp phương thức Solve - Viet đảo - Chia đa thức.
 S  A  B  2
3

2
Bước 2 là Viet đảo, ta có 
3  A, B là 2 nghiệm PT x  2 x   0 ,
2
 P  AB   2

hay 2 x 2  4 x  3  0 , đó là 1 nhân tử.
2 X 4  6 X 3  3X 2  X  3
Nhân tử còn lại buộc phải chia
vì ta không còn nghiệm
2X 2  4X  3

nào khác để dùng.
Chia đa thức thực ra là phương pháp xấp xỉ vốn hay dùng để khai triển, gán

X  1000 rồi cứ thế thao tác:

vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Dùng xấp xỉ: 1001001  X 2  X  1

2 X 4  6 X 3  3X 2  X  3
Vậy
 X 2  X 1
2

2X  4X  3

Kết luận: 2 x 4  6 x3  3 x 2  x  3  (2 x 2  4 x  3)( x 2  x  1)
VD2. 4 x 4  4 x3  x 2  29 x  15  0
1

 X1  2
Solve ta được 2 nghiệm hữu tỉ: 
X   5
 2
2

Nghiệm hữu tỉ thì cả Dạng 1 lẫn Dạng 2 đều có thể mắc nên ta không thể kết luận
ngay cái này là Dạng 2 như VD1 được.
Ta cần thêm thông tin từ hệ số bậc 4 và hệ số tự do của PT. Chúng lần lượt là 4 và
15 , trái dấu, trong khi đó ở Dạng 1 đã nói rằng 2 hệ số này phải dùng dấu, như vậy

nó không thuộc Dạng 1. Ok phải là Dạng 2 thôi.
Đến đây thì bạn áp dụng phương thức Solve - Viet đảo - Chia đa thức giống hệt như
VD1, tự thao tác tiếp nhé.
VD3. 36 x 4  84 x3  11x 2  70 x  25  0
1

X


1

2
Dễ dàng Solve ra 
, cho nên cũng chưa thể kết luận là Dạng 1 hay 2, cần
X   5
 2
3

moi thêm thông tin từ PT.
vietnamcasioerteam.blogspot.com

Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Nhưng nhìn vào PT, rất tiếc là hệ số bậc 4 (36) và hệ số tự do (25) lại cùng dấu. Mà
cùng dấu thì cả 2 dạng đó đều có thể có, nên vẫn chưa kết luận được rút cục là dạng
nào cả.
Okei! Đây là lúc để áp dụng phép thử của chúng ta.
Phép thử hết sức đơn giản, đó là: loại trừ. Ta sẽ giả sử một trong 2 dạng là đúng, rồi
kiểm tra xem nó thỏa mãn hay không. Nếu có, thì đó là đáp án, còn nếu không thỏa,

thì dạng ta giả sử là sai, do đó nó bắt buộc phải thuộc dạng còn lại, không thể chạy
đâu cho thoát được.
Vì Dạng 1 trông đơn giản hơn Dạng 2, dễ dàng có được, nên ta sẽ giả sử là Dạng 1
đúng trước, khi đó 2 nghiệm trên lần lượt thuộc 2 nhân tử (2 x  1) 2 và (3 x  5) 2
Vấn đề còn lại là kiểm tra xem 36 x 4  84 x3  11x 2  70 x  25  (2 x  1) 2 (3 x  5)2 có
đúng hay không, nếu đúng thì đó chính là kết quả luôn, còn không thì nó sẽ là Dạng 2
như 2 VD trước ta đã làm.
Việc kiểm tra này rất đơn giản, ta phải chứng minh rằng với mọi x thì

36 x 4  84 x3  11x 2  70 x  25  (2 x  1)2 (3x  5)2  0 , muốn vậy, chỉ cần thay nhiều
giá trị X vào biểu thức hiệu này và thử, nếu tất cả kết quả bằng 0 thì là đúng.
Để chỉ cần thay 1 lần mà kết luận được ngay, tôi khuyên bạn nên thay X   , vì nó là

số siêu việt, không là nghiệm của bất kì PT nào. Lí do này tôi viết rất rõ trong phần
đầu cuốn sách CASIO công phá Toán nên nếu chưa hiểu bạn có thể đọc lại nó.

Rất tốt! Ta đã giả sử đúng: 36 x 4  84 x 3  11x 2  70 x  25  (2 x  1) 2 (3 x  5) 2
Để trình bày vào bài làm, thì ta khai triển cái kết quả này ra:
vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

(2 x  1) 2 (3x  5) 2  0
 (4 x 2  4 x  1)(9 x 2  30 x  25)  0
 4 x 2 (9 x 2  30 x  25)  4 x(9 x 2  30 x  25)  (9 x 2  30 x  25)  0
 (36 x 4  120 x3  100 x 2 )  (36 x3  120 x 2  100 x)  (9 x 2  30 x  25)  0

Lật ngược tiến trình là xong:
36 x 4  84 x3  11x 2  70 x  25  0
 (36 x 4  120 x 3  100 x 2 )  (36 x3  120 x 2  100 x)  (9 x 2  30 x  25)  0
 4 x 2 (9 x 2  30 x  25)  4 x(9 x 2  30 x  25)  (9 x 2  30 x  25)  0
 (4 x 2  4 x  1)(9 x 2  30 x  25)  0
 (2 x  1) 2 (3x  5) 2  0

II. Còn khi PTB4 có 3 nghiệm?
Nếu PTB4 cho ta 3 nghiệm, thì khác với 2 nghiệm, nó chỉ có 1 dạng duy nhất thôi:

a x
1

2

 b1 x  c1  (mx  n) 2  0

Cụ thể, nhân tử thứ nhất a1 x 2  b1 x  c1  0 sẽ cho ta 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 , cộng
thêm với x3  

n
nữa là đủ 3 nghiệm (tất nhiên chúng phải khác nhau, nếu không thì
m

2 nghiệm trùng nhau chỉ xem là 1).
Như vậy, khi Solve PTB4 mà ta thu được 1 nghiệm hữu tỉ với 2 nghiệm vô tỉ, thì cái
nghiệm hữu tỉ đó chỉ có thể là x  

n
và ta có được nhân tử bình phương ( mx  n)2 ,
m

còn 2 nghiệm vô tỉ kia là của nhân tử  a1 x 2  b1 x  c1  và đem nhấn cái Viet đảo vào
là lòi ra ngay!
Nhưng, nếu Solve ra 3 nghiệm đều hữu tỉ cả thì sao? Lúc đấy làm sao biết chính xác
được nghiệm hữu tỉ nào mới là của nhân tử ( mx  n) 2 ?
vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Đơn giản, ta sẽ chia đa thức!
Cụ thể, ta có f ( x)   a1 x 2  b1 x  c1  ( mx  n) 2  mx  n 

f ( x)
 a1x2  b1x  c1  (mx  n)

trong đó  a1 x 2  b1 x  c1  ( mx  n) chính là biểu thức được tạo thành từ 3 nghiệm hữu
tỉ ta đã dò được. Bạn đã hiểu rồi chứ?
VD1. 2 x 4  12 x3  21x 2  4 x  12  0
Solve PT ta được 3 nghiệm:

( X 1  A  0,5811388301 ).

( X 2  2 ).

( X 3  B  2,58113883 ).
Lưu ý: dù đã tối ưu hóa nhưng khi tìm nghiệm X 3 bạn vẫn có thể gặp “Can’t Solve”
khiến nhầm tưởng là hết nghiệm rồi, thực ra là do máy không dò được. Lúc đó, ta
quay lại SHIFT CALC rồi cho X  5 giải lại (các giá trị khác giữ nguyên), sẽ dò
được nghiệm mới. Thực tế, việc tối ưu hóa luôn được kết hợp với việc thay giá trị ban
đầu của X phù hợp, nhưng để bạn đỡ rắc rối (dù nó thực chất chẳng rắc rối), tôi đã
không nói đến trong 3 tập về PT bậc 4 này, bạn có thể đọc ở phần đầu sách CASIO
công phá Toán.

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

Quay lại vấn đề, PT có 2 nghiệm vô tỉ và 1 nghiệm hữu tỉ, không bàn cãi gì nữa, chỉ
có nghiệm hữu tỉ X 2  2 kia là thuộc nhân tử bình phương ( mx  n)2 mà thôi. Cụ
thể, nó thuộc nhân tử ( x  2) 2
2 nghiệm vô tỉ tất nhiên thuộc nhân tử còn lại nên ta Viet đảo phát là xong:
 A  B  2

3

2
2

3  A, B thuộc PT x  2 x   0  2 x  4 x  3  0
2
 AB   2

Vậy: 2 x 4  12 x 3  21x 2  4 x  12  ( x  2) 2 (2 x 2  4 x  3)
VD2. 18 x 4  75 x 3  113 x 2  72 x  16  0
1


 X1  2

3 nghiệm đều hữu tỉ cả:  X 2  1

4
X3 
3


Có một sự đặc biệt mà bạn có thể gặp phải khi máy hiển thị nghiệm thứ 3, nó có thể
hiện là X 3  1,333332204 , và ta dễ dàng lầm tưởng là nghiệm vô tỉ. Thực tế, gần như

không có số vô tỉ nào chúng ta gặp trong đề thi mà lại có dạng thập phân kì cục đến
mức có tới 5 số 3 cạnh nhau như vậy cả. Đây chỉ là sự sai số thôi, hãy tỉnh táo nhận ra
điều đó, nghiệm chính xác chính là 1,(3) 

Vậy ta sẽ chia đa thức, rất nhẹ nhàng:

4
3

18 X 4  75 X 3  113 X 2  72 X  16
(2 X  1)( X  1)(3 X  4)

Nhẹ nhàng vì kết quả phép chia chỉ là 1 nhị thức bậc nhất thôi, gán X  1000 rồi chơi
xấp xỉ là ra:

vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

2 996  3 000  3X

18 X 4  75 X 3  113 X 2  72 X  16
4
Vậy:
 3 X  4 do đó nghiệm kép chính là X 3 
(2 X  1)( X  1)(3 X  4)
3

(xấp xỉ ra đến cái 3X đã biết ngay nó trùng với (3 X  4) dưới mẫu rồi chứ không cần
làm hẳn ra làm gì!)
Kết luận: 18 x 4  75 x3  113x 2  72 x  16  (3x  4)2 (2 x 2  3x  1)
Tập 2 chúng ta chỉ học chừng ấy thôi, nhưng đối với Newbie chưa biết tí gì thì cũng
khá là nhiều đấy! Sang Tập 3 chúng ta sẽ kết thúc kỹ thuật giải PTB4 bằng 2 loại

cuối cùng là loại chỉ có 1 nghiệm và loại vô nghiệm, đồng thời học cách chứng minh
PTB4 vô nghiệm.
III. Bài tập tự luyện phần B
Câu 1. Các PTB4 sau đều có 2 nghiệm, hãy phân tích.
1) 36 x 4  204 x 3  433 x 2  408 x  144  0
2) 4 x 4  7 x3  12 x 2  8 x  8  0
3) 2 x 4  7 x3  10 x 2  5 x  6  0
vietnamcasioerteam.blogspot.com


Viet Nam CASIOer Team

Research by Admin

4) 4 x 4  16 x3  25 x 2  33x  20  0
Câu 2. Các PTB4 sau đều có 3 nghiệm, hãy phân tích chúng.
1) 8 x 4  4 x 3  62 x 2  51x  9  0
2) 9 x 4  24 x 3  14 x 2  16 x  3  0
3) 3x 4  26 x 3  36 x 2  90 x  25  0
4) 20 x 4  36 x 3  9 x 2  8 x  3  0
Câu 3. Giải các PTB4 sau.
1) 64 x 4  160 x3  148 x 2  60 x  9  0
2) 4 x 4  8 x3  x 2  10 x  5  0
3) 18 x 4  15 x3  31x 2  40 x  12  0

4) 6 x 4  21x3  17 x 2  6 x  12  0
Nộp lại các đáp án cho Admin qua message Facebook.

vietnamcasioerteam.blogspot.com