giáo án Hàm Số Liên Tục

1

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà

Chương IV GIỚI HẠN
§8 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Người soạn: Phạm Thị Ngọc Hà
Người dạy: Phạm Thị Ngọc Hà
Nơi dạy:
Lớp 11A2 – Trường THPT Lấp Vò 2
Số tiết :
1 Tiết (Tiết 72 phân phối theo chương trình)
GVHD:
Cô Nguyễn Thị Thúy Kiều

Ngày soạn: 18/02/2016
Ngày dạy: 04/03/2016

*****
A. MỤC TIÊU.
1. Về kiến thức :
•

Học sinh nắm được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm ;trên một

khoảng và trên một đoạn
• Biết tính liên tục của các hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ ;hàm lượng
giác trên tập xác định của chúng.
• Biết sử dụng định lí giá trị trung gian của hàm số liện tục và ý nghĩa hình

học của định lí.
2. Về kỹ năng :
•

Học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm ;trên một

khoảng và trên một đoạn.
• Áp dụng định lí giá trị trung gian của hàm số liện tục để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của một phương trình.
3. Về tư duy thái độ :
•

Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.

B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ
1. Chuẩn bị của GV : Chuẩn bị giáo án và một số phương tiện dạy học.


2

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà

2. Chuẩn bị của HS : Đã biết một số kiến thức về giới hạn và cách tính giới hạn.
Có đầy đủ sách giáo khoa và đọc bài trước ở nhà
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Về cơ bản sử dụng PPDH gợi mở vấn đáp đan xen hoạt động nhóm.
Thuyết trình và vấn đáp.
Tổ chức dạy học theo nhóm.

•
•
•

D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC .
Hoạt động của giáo
viên

Hoạt động của
học sinh

Hoạt động 1: Kiểm tra
bài cũ.(5p)
Tính
lim ( x + 2 x + 1)
3

1.

x →0

lim

x →+∞

2.

2

x
x2 + x

- HS làm bài,
nhận xét.

Nội dung

1.ĐS:1
lim f ( x) = lim( x 3 + 2 x 2 + 1) = 1
x →0

2.ĐS: 1
lim

x →+∞

= lim

x →+∞

Hoạt động 2:Đưa ra
định nghĩa hàm số liên
tục tại một điểm.(15 p)
- GV đặt vấn đề: Trong
định nghĩa giới hạn của
hàm số tại một điểm, ta
không giả thiết hàm số
xác định tại điểm đó .

x→0

x
x2 + x
1
1
1+
x

= lim

x →+∞

x
x 1+

1
x

=1

1. Hàm số liên tục tại một điểm


3

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà

Nếu hàm số xác định tại
điểm được xét thì giới
hạn và giá trị của hàm số
tại điểm đó không nhất
thiết bằng nhau .
Trong bài này ta xét
trường hợp giới hạn và
giá trị của hàm số tại mỗi
điểm mà nó xác định là
bằng nhau,các hàm số có
tính chất như thế gọi là
hàm số liên tục .
-GV đưa ra VD1( lấy
trong kiểm tra bài cũ) ,
H: có nhận xét gì về
lim f ( x), f (0)
x →0

VD1: Cho hàm số
- HS làm bài và
trả lời câu hỏi của
giáo viên.
TL: Nhân thấy
lim f ( x ) = f (0)
x →0

f ( x) = x3 + 2 x 2 + 1

lim f ( x), f (0)

Tính

x →0

Giải:
lim f ( x) = lim( x 3 + 2 x 2 + 1) = 1
x →0

x→0

f (0) = 1

-Từ đó GV đưa ra định
nghĩa hàm số liên tục

lim f ( x) = f (0)

- HS đọc định
nghĩa

Nhân thấy

x →0

Định nghĩa:

TL: Hàm số
H: Khi nào hàm số
gián đoạn tại

x0

f ( x)

f ( x)
x0

gián đoạn tại
Khi không tồn tại
lim f ( x )
x → x0

Cho hàm số

( a; b )

khoảng
Hàm
x0

f ( x)

và

xác định trên

x ∈ ( a; b )

f ( x)

nếu

số được gọi là liên tục tại
lim f ( x ) = f ( x0 )

x → x0

hoặc
Hàm số

f ( x)

không liên tục tại

x0


4

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO
lim f ( x ) ≠ f ( x0 )

x → x0

Phạm Thị Ngọc Hà
x0

được gọi là gián đoạn tại

Nhận xét:

-GV gợi mở giúp Hs
- HS suy nghĩ, trả
nêu ra được các bước xét lời:
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
tính liên tục của hàm số
⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( x0 )
tại một điểm
x→x
x→x
0

0

- Học sinh lắng
nghe và ghi nhận. *Các bước xét tính liên tục của hàm
số tại một điểm:
B1: Tìm tập xác định của hàm số ,
x0

xét có thuộc tập xác định hay
không
f ( x0 )
B2:Tính
lim f ( x )
B3:Tìm

x → x0

lim f ( x )

x → x0

So sánh
với
B4:
KL:
lim f ( x ) = f ( x0 )

-GV yêu cầu học sinh về
đọc ví dụ 1 và ví dụ 2
sách giáo khoa

o Nếu

-GV cho HS làm VD2
-GV hướng dẫn VD2
+B1 :Phải tìm tập xác
định của hàm số, kểm tra
x0

có thuộc tập xác định
hay không

- HS suy nghĩ và
lên bảng giải

thì liên tục
x0

tại điểm
lim f ( x ) ≠ f ( x0 )
o Nếu

- HS lên bảng
làm bài theo yêu
cầu của giáo viên.

x → x0

f ( x0 )

x → x0

đoạn tại điểm

thì gián
x0


5

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO
+ B2: GV gợi mở cho
HS muôn tính được

Phạm Thị Ngọc Hà

Các HS còn lại
làm bài vào tập

lim f ( x)
x →1

- HS Nhận xét
cần phải tính
được giới hạn trái và giới - HS Ghi chép
hạn phải tại 1 ( áp dụng
nhận xét để tính )

VD2: Xét tính liên tục của hàm số
x =1

sau tại điểm
 x 2 − 2; x ≤ 1
f ( x) = 
 x + 1; x > 1
* TXĐ:

D = R, x = 1 ∈ D

lim f ( x) = lim(
x 2 − 2) = −1
−

*
*

x →1−

x →1

lim f ( x) = lim(
x + 1) = 2
+

x →1+

x →1

→ lim+ f ( x ) ≠ lim f ( x )
x →1

Hoạt động 3: Đưa ra
định nghĩa hàm số liên
tục trên một khoảng
(15p)
-GV đưa ra định nghĩa
hàm số trên đoạn (a;b),
trên khoảng [a;b]

x →1+

, vậy không tồn

lim f ( x)

tại

x →1

Vậy hàm số trên gián đoạn tại
-HS ghi định
nghĩa.

x =1

Nhận xét :
lim+ f ( x )
•

x → x0

Nếu
tồn tại , và
lim f ( x ) = f ( x0 )
x→x

0+

thì hàm số

được gọi là liên tục trái tại
lim− f ( x )
•

f ( x)

x0

x → x0

Nếu
tồn tại , và
lim f ( x ) = f ( x0 )
x→x

0−

thì hàm số

f ( x)


6

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà
được gọi là liên tục trái tại

-GV đưa ra cách xét tính - Học sinh lắng
f ( x)
nghe.
liên tục hàm số
trên
khoảng [a;b] cho học
sinh ( Bảng phụ)
- Học sinh ghi
bài.

-GV đưa ra VD3
-GV hướng dẫn học sinh
làm bài
+ Tìm tập xác định của
hàm số.

x →a

x →b

+
trái tại b)

+
. Tính
lim f ( x ) f ( x )
x → x0
0
,
lim+ f ( x ); f (0)
+

(hàm số liên tục

* Khái niệm hàm số liên tục trên

[ a, +∞ )

x →0

nửa khoảng như (a;b],
…
được định nghĩa một cách tương tự.

lim f ( x ); f (1)

+Tính
+KL:

2. Hàm số liên tục trên một
khoảng, trên một đoạn.
Định nghĩa:
*Cho tập J ( (a;b) hoặc hợp của các
f ( x)
khoảng)
liên tục trên J nếu
∀x ∈ x0
f ( x)
xác định trên J, và
,
x0
f (x)
liên tục tại
f ( x)
f ( x)
*
xác định trân [a,;b] ,
liên
tục trên [a;b] nếu:

f ( x)
+
liên tục trên (a;b)
lim+ f ( x ) = f (a)
+
(hàm số liên tục
phải tại a)
lim− f ( x ) = f (b)

∀x0 ∈ (0;1)

Tính

x0

x →1−

-HS ghi nhận xét
vào tập.

* Cách xát tính liên tục hàm số
f ( x)
trên khoảng [a;b]
B1: Tìm tập xác định của hàm số ,
xét [a;b] có thuộc tập xác định hay
không
B2: Xét tính liên tục trên (a;b) ;


7

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà
∀x0 ∈ ( a; b)

-GV đưa ra nhận xét

lim f ( x ) f ( x )
0
. Tính
,
lim+ f ( x ); f (a)
x → x0

B3: + Tại a: tính

x →a

lim f ( x ); f (b)

+Tại b: tính
KL:

x → b−

VD3: Xét tính liên tục của hàm số
f ( x) = x 2 + 1

Giải:

*TXĐ: D=R,
*
-HS ghi định lý
và hệ quả vào tập
Hoạt động 4: Tính chất
của hàm liên tục

∀x0 ∈ ( 0;1)

trên [0;1]

[ 0;1] ∈ R
ta có :

lim f ( x ) = lim x 2 + 1

x → x0

x → x0

= x0 2 + 1 = f ( x 0 )
Suy ra hàm số liên tục trên (0,1)

lim+ f ( x ) = lim+ x 2 + 1 = 1 = f (0)

- Giáo viên nêu định lí 2.
*

x →0

x→0

lim f ( x ) = lim− x 2 + 1 = 2 = f (1)

*

x →1−

Vậy hàm số

x →1

f ( x)

liên tục trên [0;1]

-GV nêu hệ quả
- Giáo viên nhấn mạnh
tính quan trọng của định
lí.
- Nêu VD4, gợi ý hướng
giải.

Nhận xét :
-HS lên bảng giải
theo hướng dẫn
của giáo viên

1. Nếu f(x), g(x) liên tục tại
 f ( x ) ± g ( x )  ; f ( x ) .g ( x ) ;

x0

thì


8

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO
+Ta có TXĐ của
R

f ( x)

Phạm Thị Ngọc Hà
f ( x)
, ( g ( x ) ≠ 0)
g ( x)

là

+Áp dụng hệ quả để
f ( x)

chứng minh
nhất một nghiệm

có ít

+f(x) liên tục trên [0;2].

f (0); f (2)

+ tính

f ( 0) . f ( 2)

+ So sánh
với 0
- GV nhận xét, chỉnh sửa
hoàn thiện

liên tục tại

, là những hàm

x0

2.
• Hàm đa thức
f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ........ + a1 x + a0
•

Hàm lượng giác :

•

Hàm phân thức hữu tỷ:

f ( x) = sin x; f ( x) = cos x
f ( x) = tan x; f ( x) = cot x

f ( x) =

g ( x)
h( x )

( trong đó h(x), g(x) là
các đa thức )
Đều là những hàm liên tục trên tập
xác định của chúng .
3. Tính chất của hàm liên tục
Định lí 2:( Định lý về giá trị trung
gian của hàm số liên tục)
Giả sữ f liên tục trên đoạn [a;b].Nếu
f ( a ) ≠ f (b )

giửa

f (a)

một điểm

thì với mõi số thực M

và

f (b)

tồn tại duy nhất

c ∈ (a; b)

sao cho

f (c ) = M

*Hệ quả:
Nếu hàm số

[ a; b] và

f ( x)

liên tục trên đoạn

f (a ). f (b) < 0

thì tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f (c ) = 0.


9

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO

Phạm Thị Ngọc Hà

VD4: Chứng minh phương trình
x3 + 2 x − 5 = 0

Xét hàm số
có:

có ít nhất một nghiệm.
Giải
f ( x) = x 3 + 2 x − 5 = 0

. Ta

f (0) = −5; f (2) = 7

Vì

f (0). f (2) < 0

nên theo hệ quả ,

tồn tại ít nhất một điểm
sao cho
x=c

trình

c ∈ (0; 2)

f (c) = 0.

,

chính là nghiệm của phương
f ( x) = 0.

IV- CỦNG CỐ,DẶN DÒ (5p):
-

Như vậy để chứng minh hàm số liên tục tại điểm

x0

ta làm như sau (Bảng

phụ):
 p( x)
; x ≠ x0

f ( x) =  q( x)
 R( x); x = x
0


lim f ( x ) = lim g( x )

thì tìm

x → x0

x → x0

+ Nếu hàm số có dạng

+ Nếu hàm số có dạng

 p ( x)
; x ≥ x0

f ( x ) =  q ( x)
 R ( x); x < x
0


thì tìm

 lim+ f ( x ) = lim+ g( x )
x → x0
 x → x0

f ( x ) = lim− h( x )
 xlim
x → x0
 → x0−


10

GIÁO ÁN 11 NÂNG CAO
-

Phạm Thị Ngọc Hà

Chứng minh hàm số liên tục trên một đoạn cũng tương tự như chứng minh

hàm số liên tục tại điểm

x0

( trong đó

p ( x)
; R ( x)
q( x)

liên tục trên tập xác định của

nó)
-

Nhắc lại cách tìm nghiệm của phương trình dựa vào định lý giá trị trung gian ,
và hệ quả của nó.

-

Yêu cầu học sinh làm bài tập 46,47,48 SGK

-

Xem trước bài học tiếp theo.