15 câu hỏi bài TÍCH vô HƯỚNG của HAI VÉCTƠ

Trường THPT Lê Hoàng Chiếu
Tổ Toán

15 CÂU HỎI BÀI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
 5 câu ở mức độ nhận biết
Câu 1: Chọn câu đúng trong bốn câu sau:
rr
a.b =
rr
b. a.b =
rr
c. a.b =
rr
d. a.b =
a.

r r
r r
a . b .sin a , b
r r
r r
a + b .cos a , b
r r
r r
a . b .cos a , b
r r
r r
a . b .cot a , b

(

)

(

( )
( )

)

HD Giải : Chọn câu c

r
r
Câu 2: Nêu các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ a và b ?
r
r
Câu 3: Viết biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ a và b ?
r
r
Câu 4: Viết công thức tính góc giữa hai vectơ a và b ?
Câu 5: Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB )
HD Giải : Công thức trong sgk
 6 câu ở mức độ thông hiểu
r

r r

r

Câu 1: Cho a = 5, b = 6, ( a , b ) = 30 . Tính tích vô hướng ar.b ?

rr
1
a
HD Giải : .b = 5.6. = 15
2
uuu
r uuu
r
Câu 2: Cho ∆ABC vuông cân tại đỉnh A, AB = AC = 5. Tính tích vô hướng CA.CB ?
uuu
r uuu
r
2
HD Giải : CA.CB = CA.CB.cos 450 = 5.5 2.
= 25
2
uuur uuur
Câu 3: Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. AC ?
uuu
r uuur
a2
0
HD Giải : AB. AC = a.a.cos60 =
2
r
r
Câu 4: Cho a = ( 3; 2 ) và b = ( 6;1)
rr
a) Tính a.b
r

r
b) Tính số đo góc giữa a và b
HDurGiải
:
ur
a) a.b = 3.6 + 2.1 = 20
r

ur ur

ur ur

b) cos ( a.b ) = ur ur =
ur ur

a.b
a.b

0
Suy ra ( a.b ) ≈ 24

0

20
3 +2
2

2

6 +1

2

2

=

20
481


Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2; 6), C(9;8).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tính số đo góc B của tam giác ABC.
HDuuGiải
:
ur
uuuu
r
AB
=
−
3;
4
AC
= ( 8;6 )
(
)
a)
;
uuur uuuu

r
⇒ AB. AC = −3.8 + 4.6 = 0

Suy ra tam giác ABC vuông tại
Ar
uuur uuuu
uuur uuuu
r

b) Ta có: cosB=cos ( BA.BC ) =
uuur

BA.BC
BA.B C

BA = ( 3; −4 ) ⇒ BA = 32 + (−4) 2 = 5

uuuu
r

BC = ( 11; 2 ) ⇒ BC = 112 + 22 = 5 5

Do đó: cosB =

3.11 − 4.2
5
=
5
5.5 5

Suy ra B ≈ 630
Câu 6 : Cho tam giác ABC với A(4;2), B(-2;0), C(3;-5)
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
b) Tính chu vi tam giác ABC
HD Giải
uuur
a) AB = ( −6; −2 ) ⇒ AB = (−6) 2 + (−2) 2 = 2 10
uuuu
r

AC = ( −1; −7 ) ⇒ AC = (−1) 2 + (−7) 2 = 5 2

uuuu
r

BC = ( 5; −5 ) ⇒ BC = 52 + (−5) 2 = 5 2

Suy ra AC = BC. Vậy tam giác ABC cân tại C
b) Chu vi tam giác ABC
CV∆ABC = AB + AC + BC = 2 10 + 10 2

 3 câu ở mức độ vận dụng thấp
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
Câu 1. Cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D. Chứng minh rằng DA.BC + DB.CA + DC. AB = 0
HD Giải :
Ta có :

uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu

r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
VT = DA.BC + DB.CA + DC. AB = DA. BA + AC + DB.CA + DC .AB = AB DC − DA + AC DA − DB
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
= AB. AC + AC.BA = AC AB + BA = AC.0 = 0 = VP .

(

)

(

)

(

)

(

Câu 2. Trong mp Oxy, cho A ( 2; −3) , B ( 4;1) . Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho
∆ABC cân tại C.
HD Giải :
Gọi C ( xC ; yC ) , do C trên trục Oy nên xC = 0 .

)

∆ABC cân tại C nên ta có CA=CB
⇒ CA2 = CB 2 ⇒ 4 + ( 3 + yC ) = 16 + ( 1 − yC ) ⇒ 8 yC = 4 ⇒ yC =
2

2

1
 1
⇒ C  0; ÷
2
 2



Ta thấy C không là trung điểm AB, Vậy C  0; ÷thỏa đề bài.
 2
Câu 3. Trong mpOxy, cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( 0; 2 ) , C ( −2; −4 ) . Chứng minh tam
giác vuông và tính các góc còn lại trong tam giác.
HD Giải
:
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB = ( −3;1) , AC = ( −5; −5 ) , BC = ( −2; −6 ) .
uuur uuur
Ta thấy AB.BC = −3. ( −2 ) + 1. ( −6 ) = 0 suy ra tam giác ABC vuông tại B.
1

uuur uuur

Mặt khác : cos ( AB, AC ) =

−3(−5) + 1.(−5)
1
µ = 27 0
=
⇒ µA ≈ 630 ⇒ C
10. 50
5

 1 câu ở mức độ vận dụng cao
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; AD = a 2 . Gọi M là trung điểm AD. CMR: BM ⊥ AC .

HD Giải :

uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuu
r uuur
uuu
r 2 uuuu
r uuur
BM . AC = BA + AM . AB + BC = − BA + AM .BC = 0 ⇒ BM ⊥ AC

(

)(

)


KIỂM TRA 45 PHÚT
CHƯƠNG II – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I-Ma trận mục tiêu giáo dục và mức độ nhận thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng
Chủ đề hoặc mạch kiến thức kỹ năng

PPCT

1.Giá trị lượng giác 1 góc từ 00 → 1800
2.Tích vô hướng của hai vectơ
3.Hệ thức lượng trong tam giác
4.Ôn tập
Cộng

3
3
3
3
12

Tầm
QT
25
25
25
25

Trọng
số
3
3
3
2

Điểm
MT
75
75
75
50
275

Điểm 10
2.7
2,7
2,7
1,9
10

II-Ma trận cho đề kiểm tra
Chủ đề
mạch kiến
thức
1
2
3
4

Cộng

Mức độ nhận thức và hình thức tự luận
Tổng điểm
Mức 1
Mức 2
Mức 3
Mức 4
(Nhận biết)
(Thông hiểu) (Vận dụng thấp) (Vận dụng cao)
Câu 1a (1đ)
Câu 1b (1đ)
Câu 1c (0,5đ)
2,5
Câu 2a (1đ)
Câu 2b (1đ)
3
Câu 2c (1đ)
Câu 3a (1đ)
2,5
Câu 3b (1,5đ)
Câu 4a (1,0đ)
Câu 4b (1đ)
2
1

2

6

1

10

III-Mô tả chi tiết
Câu 1
a) Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tính chất hình cho trước
b) Cho giá trị lượng giác của một góc. Tính các giá trị lượng giác còn lại
c) CM một đẳng thức dựa vào tính chất Giá trị lượng giác của một góc
Câu 2 :Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng đã biết tọa độ.
a) Tính tích vô hướng của hai vec tơ
b)Tìm góc giữa hai vectơ
c)Vận dụng tìm một điểm thỏa yêu cầu đề bài
Câu 3 :Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng đã biết tọa độ.
a) Vận dụng tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh tam giác vuông
b) Vận dụng độ dài của vectơ để tính chu vi, diện tích tam giác
Câu 4 :
a) Cho tam giác ABC, biết 1 góc nào đó và 2 cạnh tạo thành góc đó. Vận dụng
nhiều công thức để tìm một số yếu tố trong tam giác


b) Cho tam giác biết độ dài 3 cạnh. Chứng minh 1 hệ thức liên quan giữa góc và
cạnh.
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
MÔN : HÌNH HỌC 10 CƠ BẢN
CHƯƠNG II : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNH
Câu 1: (2.5đ)
uuur uuu
r
uuur uuur

AC
,
BA
;
AC , BD
a) Cho hình vuông ABCD. Tính

(

)

(

)

2
3

b) Cho biết cos α = − . Tính sin α , tan α ?
c) CMR trong tam giác ABC ta có tan (A+B ) = - tanC
Câu 2: (3đ )Cho tam giác ABC
có rA(5;3), B(2;1), C(-1;5).
uuur uuuu
a) Tính tích vô hướng AB. AC
b) Tìm số đo góc A của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
 3
Câu 3 (2,5đ): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A ( 4;6 ) , B ( 1; 4 ) , C  7; ÷


a ) Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

2

Câu 4 (2đ)
a) Cho ∆ABC biết µA = 600 , b = 8cm, c = 5cm . Tính đường cao ha và bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
b) Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng:

Câu
Câu 1
(2,5đ)

cos A + cos B ( c − a − b ) (c + a + b)
=
a+b
2abc

ĐÁP ÁN
Nội Dung
uur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uur
0
a) Vẽ AI = BA ⇒ AC , BA = AC , AI = 135
uuur uuur

0
Vì AC ⊥ BD ⇒ AC , BD = 90

(

(

)

) (

)

b) Vì cos α < 0 nên 900 < α < 1800 . Suy ra sin α > 0, tan α < 0
4
5
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔ sin 2 α + = 1 ⇔ sin 2 α =
9
9
5
Vậy sin α =
3
5
sin α
5
tan α =
= 3 =−
cos α − 2
2
3

c)Trong tam giác ABC ta có A+B+C = 1800

Điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25


⇒ tan ( A + B ) = tan ( 180 − C )

0,25

0

⇒ tan ( A + B ) = − tan C
uuur

uuuu
r

a) AB = ( −3; −2 ) ; AC = ( −6; 2 )
uuur uuuu
r

⇒ AB. AC = −3.(−6) + (−2).2 = 14

uuur uuuu
r

b) Ta có: cosA=cos ( AB. AC ) =

0,5
0,5

uuur uuuu
r

AB. AC
AB. AC

+ AB = (−3)2 + (−2) 2 = 13
+ AC = (−6)2 + 22 = 2 10
Do đó: cosA =

0,25

14
13.2 10

0,25
0,25
0,25

Suy ra A ≈ 520
0,25

Câu 2
(3đ)
c) Gọi H(x;y)

uuur uuu
r
CH . AB = 0
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên  uuur uuur
 BH . AC = 0
( x + 1)(−3) + ( y − 5)(−2) = 0
⇒
( x − 2)(−6) + ( x − 1)2 = 0
 −3 x − 2 y = − 7
⇔
−6 x + 2 y = −10
17

 x = 9
⇔
y = 2

3
 17 2 
Vậy H  ; ÷
 9 3

0,25

0,25

0,25
0,25

a)

Câu 3
(2.5đ)

uuur
uuur 
9
AB = ( −3; −2 ) , AC =  3; − ÷
2

uuur uuur
AB. AC = 0

Kết luận tam giác ABC vuông tại A
b)

0,5
0,25
0.25

0,25


AB = 13

0,25

117
2
uuur 
5
25 13
BC =  6; − ÷, BC = 36 +
=
2
4
2

AC =

0,25

Vậy chu vi tam giác ABC là C = AB +AC + BC = 13 +
13
2

0,25
0,5

Diện tích tam giác ABC là S =

1
39
AB. AC =
2
2

a) a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 82 + 52 − 2.8.5.cos 600 = 49
1
S = a.ha = 10 3
2
2S
20 3
ha =
=
a
7
abc
abc 7 3
S=
⇒R=
=
4R
4S
3

Câu 4
(2đ)

117
+
2

 b2 + c2 − a2 a 2 + c2 − b2 
2
abc

(cos
A
+
cos
B
)
=
2
abc
.
+
b)Ta có:

÷
2bc
2ac


= a ( b2 + c 2 − a 2 ) + b ( a 2 + c 2 − b2 )
= ab 2 + ac 2 − a 3 + ba 2 + bc 2 − b 3
= (a + b)ab + (a + b)c 2 − (a + b) ( a 2 − ab + b 2 )

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

= (a + b) ( c 2 − a 2 + 2ab − b 2 )

(

= ( a + b) c 2 − ( a 2 + b )

2

)

0,25

= ( a + b) ( c − a − b ) ( c + a + b )

Vậy

cos A + cos B ( c − a − b ) (c + a + b)
=
a+b
2abc

0,25