Rèn lyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức và bất phương trình cho học sinh thpt bằng phương pháp hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ
MÔNG THÙY LINH
ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

 
 
 

Thái Nguyên – 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ
MÔNG THÙY LINH
ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Ngành: Toán

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cao Thị Hà
 
 
 

Thái Nguyên – 2015

i 


LỜI CẢM ƠN
Trước  hết,  chúng  em  xin  bày  tỏ  lòng  kính  trọng  và  biết  ơn  sâu  sắc  tới 
PGS.TS Cao Thị Hà - cô là người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp 
đỡ chúng em hoàn thành đề tài. 
Bên cạnh đó, chúng em gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo 
trong tổ bộ môn lý luận và phương pháp giảng dạy môn toán, Trường Đại học 
Sư  phạm  Thái  Nguyên  đã  tạo  điều  kiện  thuận  lợi  cho  chúng  em  trong  quá 
trình học tập, nghiên cứu. 
Cuối  cùng,  chúng  em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  những  người 
thân  trong  gia  đình  và  bạn  bè  đã  luôn  bên  chúng  em,  động  viên  và  giúp  đỡ 
chúng em hoàn thành đề tài. 
Dù  đã  có  nhiều  cố  gắng,  tuy  nhiên  đề  tài  không  thể  tránh  khỏi  những 
thiếu sót  cần được  góp  ý, sữa chữa.Chúng em  rất  mong  nhận được những  ý 
kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc. 
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thu Hà 

Mông Thùy Linh 
Đỗ Thị Huyền Trang 

ii 


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ .......................................................................................................... i 
Lời cảm ơn ............................................................................................................. ii 
Mục lục ................................................................................................................. iii 
Danh mục chữ viết tắt .............................................................................................. v 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3
5. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu ................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3
7. Dự kiến cấu trúc của đề tài .................................................................................. 4
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT .................................................. 6
1.1.1. Kỹ năng ......................................................................................................... 6
1.1.2. Kỹ năng giải toán ........................................................................................... 9
1.2. Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT ................ 14
1.2.1. Khái niệm hàm số ........................................................................................ 14
1.2.2. Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông .......................... 15
1.3.  Thực  tiễn  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bài  toán  BĐT  và  BPT  cho  HS  THPT 
theo quan điểm hàm số. ......................................................................................... 16
1.3.1.  Thực  trạng  việc  dạy  học  giải  BPT  và  BĐT  theo  quan  điểm  hàm  số  ở 

trường phổ thông. .................................................................................................. 16
1.3.2. Những khó khăn sai lầm thường gặp của HS trong khi giải BPT và BĐT 
theo quan điểm hàm số .......................................................................................... 17
1.4. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 20

iii 


Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI
TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH
THÔNG THEO QUAN ĐIỂM HÀM SỐ ........................................................... 21
2.1. Tổng quan về bất đẳng thức và bất phương trình trong chương trình Toán 
THPT .................................................................................................................... 21
2.1.1. Định nghĩa bất đẳng thức và bất phương trình .............................................. 21
2.1.2. Các phương pháp thông thường để giải bất phương trình và chứng minh 
bất đẳng thức ......................................................................................................... 23
2.1.3. Các kỹ năng cần rèn luyện cho HS khi học nội dung này. ............................ 27
2.2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức theo quan 
điểm hàm số. ......................................................................................................... 29
2.2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ............ 29
2.2.2. Rèn luyện kỹ năng sử dụng hàm số đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức. ......... 44 
2.2.3. Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN-GTNN của 
biểu thức bằng phương pháp hàm số ...................................................................... 48
2.3. Rèn luyện một số kỹ năng giải bất phương trình  theo quan điểm hàm. ........... 50
2.3.1.  Rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  bằng  phương  pháp  vận  dụng 
khái niệm TXĐ và tập giá trị. ................................................................................ 50
2.3.2. Rèn kỹ năng giải bất phương trình thông qua sử dụng tính đơn điệu của 
hàm số ................................................................................................................... 52
2.3.3. Rèn kỹ năng giải bất phương trình bằng phương pháp sử dụng đạo hàm 
và xét sự biến thiên ................................................................................................ 56

2.4. Kết luận chương 2. ......................................................................................... 59
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 61

iv 


CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
STT

Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

1 

BĐT 

 bất đẳng thức. 

2 

BPT  

bất phương trình. 

3 

GTLN  

giá trị lớn nhất. 

4 

GTNN  

giá trị nhỏ nhất. 

5 

CMR  

chứng minh rằng 

6 

Đpcm  

điều phải chứng minh 

7 

SGK  

sách giáo khoa 

8 

THPT  

trung học phổ thông 

9 

HS  

học sinh 

10 

TXĐ  

tập xác định 

v 


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, nước ta đang trên đà thực hiện công nghiệp hóa hiện đại hóa đất 
nước.  Trải  qua  hơn  20  năm  đổi  mới,  nền  giáo  dục  nước  ta  đã  có  những  thay  đổi 
đáng kể. Tuy nhiên, công cuộc đổi mới giáo dục vẫn luôn là một nhiệm vụ cấp bách 
và được đặt lên trên hết. Nghị quyết 29.NQ/TW  về đổi  mới căn bản và toàn diện 
giáo dục đã chỉ ra cần: “tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của
giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người
học”.

Chính  vì  vậy,  giáo dục  và  đào tạo luôn được Đảng  và Chính  phủ ta coi là 

quốc sách hàng đầu,  là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho 

giáo dục là đầu tư cho phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế 
hoạch phát triển kinh tế-xã hội. 
Trong  những  năm  gần  đây,  việc  nâng  cao  chất  lượng  dạy  học  đang  là  một 
yêu cầu cấp bách đối với nghành giáo dục nước ta.Một trong những khâu then chốt 
để  thực  hiện  yêu  cầu  này  là  đổi  mới  nội  dung  và  phương  pháp  dạy  học.  Điều 28
khoản 2 Luật Giáo Dục có nêu: ”phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy
tính tích cực chủ động, sáng tạo của HS phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho HS.”
Môn Toán là một môn học có vị trí đặc biệt quan trọng so với các môn học 
khác  ở  trường  Phổ  thông.  Bởi  một  mặt  Toán  học  có  nguồn  gốc  từ  thực  tiễn.  Mặt 
khác môn Toán được coi như môn học cơ sở, là công cụ cho nhiều môn học khác. 
Trong  thực  tế  rất  nhiều  vấn  đề  của  các  nghành  khoa  học  kĩ  thuật  được  giải  quyết 
nhờ sự giúp đỡ đắc lực của toán học. 
Trong các nội dung dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chủ đề BPT và 
BĐT là một nội dung quan trọng. Kiến thức và kĩ năng trong chủ đề này sẽ là chiếc 
chìa khóa tốt nhất để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức vể 
đại số, giải tích và hình học. Chính vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lí 
thuyết về chủ đề BPT và BĐT một cách đầy đủ theo quy định của chương trình dạy 
1 


học thì việc rèn luyện kĩ năng giải BPT và BĐT cho HS có ý nghĩa quan trọng trong 
việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT. 
Bên cạnh đó, kiến thức hàm số cũng chiếm một vị trí rất quan trọng. Hàm số 
giữ vai trò trung tâm, việc bảo đảm vị trí trung tâm của hàm số sẽ tăng cường tính 
thống nhất của  giáo trình Toán phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới  giả tạo  giữa 
các phần khác nhau của chương trình. 
Theo  Nguyễn  Bá  Kim  ([9]),  quan  điểm  hàm  được  thể  hiện  trong  chương 

trình Toán ở trường trung học phổ thông như sau: 
-

Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc

phổ thông ;
-

Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích giành cho việc trực tiếp

nghiên cứu hàm số ;
-

Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số của đối

số tự nhiên;
-

Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác, còn phần công

thức biến đổi được giảm nhẹ ;
-

Bất đẳng thức và bất phương trình đươc trình bày liên hệ chặt chẽ với

hàm số ;
Vì vậy việc phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học môn 
Toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao 
chất lượng dạy học môn toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán trình bày theo 
tư tưởng hàm số có tác dụng tốt cho việc phát triển tư duy hàm cho HS. Đồng thời 

có thể rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho HS trong sự 
kết hợp phát triển tư duy hàm. 
Tuy nhiên, có thể nói rằng thực tế dạy học ở trường THPT hiện nay, chủ đề 
BPT và BĐT vẫn là một chủ đề khó đối với HS. Các em vẫn thường mắc phải một 
số sai lầm trong quá trình giải BPT hay BĐT . Đa số các em chưa có kĩ năng thành 
thạo  để  giải  BPT  và  BĐT  theo  quan  điểm  hàm.  Đồng  thời  phương  pháp  hàm  số 
được thể hiện thế nào cho hợp lí vẫn luôn gây khó khăn cho các em. 

2 


Để góp phần tăng cường  khả năng  giải các bài toán liên quan đến BĐT  và 
BPT, chúng em chọn đề tài: 
“Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình và bất đẳng thức cho HS
trung học phổ thông theo quan điểm hàm số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận và thực tiễn về kỹ năng  toán học, kỹ năng giải toán về BĐT 
và BPT theo quan điểm hàm số  từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện 
kỹ năng giải bài toán BĐT và BPT cho HS THPT theo quan điểm hàm số. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hóa một số vấn đề lí luận về kĩ năng và quan điểm rèn luyện kĩ 
năng giải toán và các kĩ năng giải toán BPT và BĐT cho HS THPT.
Tổng  kết  kiến thức  về tư duy hàm  và quan điểm phát triển tư duy hàm cho 
HS trong dạy học toán. 
3.2. Đề  xuất  một  số  biện  pháp  sư phạm  nhằm  giúp  HS  phát  triển  năng  lực 
giải BĐT  và BPT theo quan điểm hàm số thông qua  việc phân loại bài tập  và quá 
trình dạy học giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số. 
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của 
các nội dung đã đề xuất. 
4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các đề tài  về dạy 
học theo quan điểm hàm, phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu khác liên 
quan đến đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra và khảo sát thực trạng 
dạy học Toán chủ đề BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở THPT hiện nay.
5. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu


Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học toán ở trường THPT hiện nay.



Đối tượng nghiên cứu: Quá  trình  dạy  học  bất  phương  trình  và  bất  đẳng 

thức và phương pháp giải toán bất phương trình và bất đẳng thức bằng phương pháp 
hàm số ở trường trung học phổ thông hiện nay.
6. Giả thuyết khoa học

3 


Nếu  xây  dựng  được  các  biện  pháp  sư  phạm  và  sử  dụng  các  biện  pháp  đó 
nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức và bất phương trình  theo quan 
điểm  hàm  số  cho  HS  THPT  trong  quá  trình  dạy  học  sẽ  góp  phần  nâng  cao  chất 
lượng dạy học môn toán và đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay. 
7. Dự kiến cấu trúc của đề tài
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung của đề tài gồm 3 chương: 
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT
1.1.1. Kỹ năng 

1.1.2. Kỹ năng giải toán 
1.2. Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT
1.2.1. Khái niệm hàm số 
1.2.2. Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông 
1.3. Thực tiễn rèn luyện kỹ năng giải bài toán BĐT và BPT cho HS THPT
theo quan điểm hàm số.
1.3.1. Thực trạng  việc dạy học  giải BPT  và BĐT theo quan điểm hàm số ở 
trường phổ thông. 
1.3.2.  Những  khó  khăn  sai  lầm  thường  gặp  của  HS  trong  khi  giải  BPT  và 
BĐT theo quan điểm hàm số 
1.4. Kết luận chương 1
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI
TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH
THÔNG THEO QUAN ĐIỂM HÀM SỐ
2.1. Tổng quan về bất đẳng thức và bất phương trình trong chương trình
Toán THPT
2.1.1. Định nghĩa bất đẳng thức và bất phương trình 
2.1.2.  Các  phương  pháp  thông  thường  để  giải  bất  phương  trình  và  chứng 
minh bất đẳng thức 
2.1.3. Các kỹ năng cần rèn luyện cho HS khi học nội dung này. 

4 


2.2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức theo
quan điểm hàm số.
2.2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức 
2.2.3. Rèn luyện kỹ năng sử dụng hàm số đơn điệu để chứng minh bất đẳng 
thức. 
2.2.3.  Rèn  luyện  kỹ  năng  chứng  minh  bất  đẳng  thức  và  tìm  GTLN-GTNN 

của biểu thức bằng phương pháp hàm số 
2.3. Rèn luyện một số kỹ năng giải bất phương trình theo quan điểm hàm.
2.3.1. Rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình bằng phương pháp vận dụng 
khái niệm TXĐ và tập giá trị. 
2.3.1.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  thông  qua  sử  dụng  tính  đơn  điệu 
của hàm số 
2.3.3.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  bằng  phương  pháp  sử  dụng  đạo 
hàm và xét sự biến thiên 
2.4. Kết luận chương 2.

5 


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT
1.1.1. Kỹ năng
1.1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau. Những định nghĩa này thường bắt 
nguồn từ quan niệm chuyên môn và góc nhìn cá nhân của mỗi người viêt. Tuy 
nhiên tất cả chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng 
ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp 
lại  một  hoặc  một  nhóm  hành  động  nhất  định  nào  đó.  Kỹ  năng  luôn  có  chủ 
đích và định hướng rõ ràng. 
Theo Tâm lý học đại cương: ”Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, 
các tri thức hay khả năng sẵn có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những 
thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận 
hay thực hành xác định” (xem [  8 ]). 
Theo  Tâm  lý  học  lứa  tuổi  và  Tâm  lý  học  sư  phạm:  ”Kỹ  năng  là  khả 
năng  vận  dụng  kiến    thức  (khái  niệm,  cách  thức,  phương  pháp…)  để  giải 

quyết một nhiệm vụ mới. 
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những 
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” (xem [6  ]). 
Trong  Toán  học  thì  kỹ  năng  được  hiểu  là  khả  năng  giải  các  bài  toán, 
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích, có phê phán các lời giải cũng 
như chứng minh nhận được. 
Như vậy, dù phát triển dưới góc độ nào thì kỹ năng vẫn là khả năng của 
chủ  thể  thực  hiện  thuần  thục  một  hay  một  chuỗi  hành  động  trên  cơ  sở  hiểu 
biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm)  nhằm tạo ra kết quả mong đợi.  Nói đến kỹ 
năng  là  nói  đến  cách  thức,  trình  tự  thực  hiện  các  thao  tác  hành  động  để  đạt 
được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động. 
6 


Tuy  nhiên,  trong  thực  tế  dạy  học,  HS  thường  gặp  khó  khăn  trong  việc 
vận dung kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết các 
bài tập cụ thể. HS thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra 
khỏi đối tượng nhận thức,  không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn 
có  giữa  kiến  thức  và  đối  tượng.    Sở  dĩ  như  vậy  là  do  kiến  thức  không  chắc 
chắn,  khái niệm cũng trở nên khó hiểu, không gắn liền với cơ sở của kỹ năng. 
1.1.1.2. Sự hình thành và các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
a) Sự hình thành kỹ năng
 Bất  cứ  một  kỹ  năng  nào  cũng  được  hình  thành  trên  cơ  sở  của  các 
kiến thức đã biết. Chính vì vậy, để có kỹ năng, trước hết HS cần có các kiến 
thức cơ sở.  Kỹ  năng được  hình thành  nhanh  hay chậm  là do  khả  năng  nhận 
thức và vốn kiến thức của người học. Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua 
quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đã đặt ra.
 Một kỹ năng sẽ được hình thành trong quá trình thực hiện nhiều lần, 
lặp đi lặp lại một khái niệm, cách thức hay phương pháp nào đó. Nên để hình
thành kĩ năng cho HS cần cho HS luyện tập nhiều lần để hình thành kỹ năng. 

b) Các đặc điểm cơ bản của kỹ năng:
Theo [7], kỹ năng có các đặc điểm cơ bản sau: 
 Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi 
vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả, hiểu 
những điều kiện để triển khai các cách thức đó. 
 Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ 
các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thực nghiệm trong thực tiễn và tồn tại 
trong ý thức với tư cách của hành động. 
 Kỹ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời mà 
phụ thuộc  vào người học thông qua hoạt động  của họ trong  mối  quan  hệ của họ  với 
cộng đồng. 
Giải một bài toán cần tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích. Do 
đó chủ thể giải toán cần phải nắm vững tri thức về hành động thực hiện hành động 

7 


theo các yêu cầu cụ thể  của tri thức đó biết hành động có kết quả trong những điều 
kiện khác nhau. Có thể hiểu “ kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích 
những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết 
quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải một cách khoa học.” 
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc 
hiểu  biết,  luyện  tập  từng  thao  tác  riêng  rẽ  cho  đến  khi  thực  hiện  được  hành  động 
theo đúng  mục đích yêu cầu. Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư 
duy để  giải quyết những nhiệm  vụ đặt ra.  Sự dễ dàng hay  khó  khăn  khi  vận dụng 
kiến thức (hình thành kỹ năng ) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu toán, phát 
hiện  nhìn  thấy  trong  các  dữ  liệu  đã  cho  của  bài  toán,  có  những  thuộc  tính  những 
quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình.

x 1  + 2x  3 + 50  3x ≤   12  (1) 
Nếu  giải  bài  toán  bằng  các  phương  pháp  thông  thường  tức  là  dùng 
phương pháp biến đổi tương đương thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn. 
Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một số không 
đổi ( x 1 )2 + ( 2x  3 )2 + ( 50  3x )2  = 48 
Vế trái của (1) có dạng a1b1 + a2b2 + a3b3  Trong BĐT bunhiacopxki. Từ 
đó, ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT bunhiacopxki để giải quyết bài toán. 
Nếu ta xem a1=  x 1  , a2 =  2x  3  , a3 =  50  3x  và b1=b2=b3=1 thì ta 
có: 
(1. x 1   + 1. 2x  3 +1. 50  3x ) ≤  12 12 12  .48  

 x 1   +  2x  3 + 50  3x ≤   12 luôn đúng. 
Vậy tập nghiệm của BPT chính là điều kiện cho các biểu thức trong căn 
xác định. 
c) Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 
Trong  DH  Toán,  các  nhà  nghiên  cứu  đã  chỉ  ra  các  yếu  tố  ảnh  hưởng 
đến sự hình thành kỹ năng là (xem [ 8 ]): 
8 


  Nội dung bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che 
phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình 
thành kỹ năng. 
  Tâm  thế  và  thói  quen  cũng  ảnh  hưởng  đến  sự  hình  thành  kỹ  năng. 
Việc  tạo  ra  tâm  thế  thuận  lợi  cho  HS  sẽ  giúp  HS  dễ  dàng  trong  việc  hình 
thành kỹ năng. 
  Khả năng khái quát nhìn đối tượng ở mức độ cao hay thấp. 
1.1.2. Kỹ năng giải toán
1.1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán

 Giải  một bài toán là tiến hành hành động có mục đích, vì thế chủ thể 
bài toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo 
yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có hiệu quả trong những điều 
kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi kỹ năng giải toán của HS đó là khả 
năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào những 
bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi 
đến lời giải bài toán một cách khoa học. 
 Để thực hiện tốt môn Toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu 
được đặt ra là: “Về tri thức, kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp, 
đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng 
hạn: tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ 
năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm.” . 
 Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải 
các bài tập toán bằng suy luận hay chứng minh. 
 Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu 
cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau. 
1.1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT

Theo Nguyễn  Bá  Kim ([   9 ])  một trong các  mục tiêu  quan trọng của 
việc DH Toán ở trường phổ thông là “Trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng, đặc 

9 


biệt  là  kĩ  năng  tư  duy  cho  HS”.  Như  vậy,  việc  truyền  đạt  kiến  thức  và  rèn 
luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT được coi là nhiệm vụ quan trọng. Rèn 
luyện kỹ năng nói chung và kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan 
trọng, nó đảm bảo mối liên hệ giữa học và hành. Thực tiễn cho thấy, việc dạy 
học sẽ không đạt kết quả cao  nếu HS chỉ biết học thuộc lòng các khái niệm, 
định nghĩa, định lý mà không biết áp dung để giải các bài toán khác nhau.

Tuy  nhiên, để rèn  luyện tốt kỹ  năng  giải toán cho  HS THPT chúng ta 
cần trang bị cho HS một khối lượng kiến thức nhất định, gọi là kiến thức cơ 
sở.  Bởi lẽ, bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở của lý thuyết, đó là 
kiến thức tối thiểu mà người học cần có khi học các nội dung đó. Kiến thức là 
cơ sở của kỹ năng là những kiến thức phản đúng và đầy đủ các thuộc tính bản 
chất,  đồng  thời  được  thử  nghiệm  và  áp  dụng  thường  xuyên,  từ  đó  sẽ  hình 
thành lên kỹ năng. 
 Dạy  toán  là  dạy  kiến  thức,  kỹ  năng,  tính  cách  cho  HS.  Việc  hình 
thành  và rèn  luyện cho  HS các kỹ  năng  giải toán  nhằm đạt được  những  yêu 
cầu sau : 
 Giúp  HS  hình  thành  và  nắm  vững  những  mạch  kiến  thức  cơ  bản 
xuyên suốt chương trình. 
 Giúp HS phát triển năng lực trí tuệ 
 Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học. Đó là sự 
phát triển trí tuệ cho HS qua môn toán gắn liền với việc rèn luyện các kỹ năng 
thực hành. 
 Giúp HS rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, 
cẩn thận, chính xác, và các thói quen tự kiểm tra đánh giá để có tự mình hạn 
chế các sai lầm. 
 Trong dạy  học  Toán cần  rèn  luyện  cho  HS các  nhóm  kiến  thức cơ 
bản sau: 
 Nhóm kỹ năng chung 

10 


 Nhóm kỹ năng thực hành 
 Nhóm kỹ năng tư duy 
 Kỹ năng suy luận, dự đoán 
 Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội 

dung bài toán, đề xuất định hướng giải quyết bài toán. 
 Kỹ năng phân tích 
 Kỹ năng sử dụng thông tin 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
7x  3
x 1

   6 x  4    (1) 
x 1

HS thực hiện lời giải này như sau: 
Điều kiện: x ≠ 1 
(1)      7 x  3 (x-1)   6 x  4  (x-1) 
x 1

x 1

 7x-3     6x -4 
 x   -1 
Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình là: 
x    (-1; 1)    (1;   ) 
Thực tế  HS đã  mất cảnh  giác  khi  nhân 2  vế của phương trình (1)  với 
f(x) = x – 1 mà không quan tâm tới dấu của f(x) điều này ảnh hưởng trực tiếp 
đến chiều của BPT dẫn tới kết quả bài toán sai. 
Như vậy việc nắm vững các định lý về biến đổi BPT là quan trọng và 
cần thiết . Cần đưa ra những bài tập để HS có thể vận dụng các phép biến đổi 
tương đương này thành thạo. 
Làm  rõ  sự  giống  nhau  và  khác  nhau  giữa  phép  biến  đổi  tương  đương 
BPT bới phép biến đổi tương đương trong phương trình và tránh sai lầm khi 
áp dụng. 

Thật vô nghĩa nếu yêu cầu HS học thuộc lòng các định lý về các phép 
biến đổi tương đương hoặc cách áp dụng nó.   

11 


 Có  thể  rèn  luyện kỹ  năng  giải toán cho  HS theo các con đường khác 
nhau 
 Con đường thứ nhất:  Sau  khi  cung  cấp  và  truyền  thụ  cho  HS  vốn 
kiến thức cần thiết thì yêu cầu HS áp dụng để gải các bài toán khác nhau theo 
mức độ tăng dần. 
 Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó đưa ra các 
dạng toán và định hướng các tao tác cần thiết để giải dạng toán đó. 
 Con đường thứ ba: Dạy  học các  hoạt động tâm  lý cần thiết đối  với 
việc vận dụng tri thức. 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
x2    2x  3      - x2  6x   11  >  3  x  -  x 1    (1) 

Với bài toán này, HS có thể dễ dàng tìm được điều kiện của BPT  
(1  x   3) 
Và viết lại BPT dưới dạng :  
x2    2x  3     +  x 1  > x2  6x   11  +  3  x  

Đến đây, HS có hai hướng giải quyết,  
Hướng 1 : Nhận thấy đây là phương trình vô tỉ có hai vế không âm nên 
để khử dấu căn ta bình phương hai vế, hướng làm này có thể ra đáp số nhưng 
chắc chắn khá phức tạp và dễ nhầm lẫn trong tính toán. 
Hướng 2  : Nhận  xét các số hạng ở từng  vế của  BPT. Từ  đó, đặt BPT 
dưới góc nhìn theo quan điểm hàm. Tức là, có thể sử dụng công cụ hàm số dể 
giải quyết BPT này không ?. 

(1)   

 x 1

2

 2  +  x 1  > 

 3  x

2

 2  +  3  x    (2) 

Xét hàm số: y= f(t) =  t 2  2  +  t  trên đoạn [0 ; 2 ] ( VÌ x    [1; 3 ] ) 
f’(t) = 

t
t2  2

+ 

1
 > 0 với mọi t    [0 ; 2 ] 
2 t

=> f đồng biến trên [0 ; 2 ]. Do đó từ (2) ta có: 

12 

f(x-1) >f(3-x)   x-1 > 3-x  x>2 
Kết hợp với điều kiện 1    x   3 bất phương trình có nghiệm 2 Việc  hình  thành  và  rèn  luyện  cho  HS  cần  được  hình  thành  trên 
những bình diện khác nhau 
 Kỹ  năng  vận dụng tri thức trong  nội bộ  môn  Toán thể  hiện rõ dưới 
dạng giải bài tập toán. 
 Kỹ năng vận dụng Toán học vào nội dung các môn học khác  : sinh 
học, vật lỹ, hóa học… 
 Kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống. 
Có thể nói, bài tập toán chính là  mảnh đất để rèn luyện kỹ năng toán. 
Chính vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là rất cần thiết,  một 
trong các chiến lược hiệu quả để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là cho họ 
giải  nhiều  các  bài  tập  toán  học  được  thể  hiện  một  tri  thức  toán  học  nhưng 
trong các tình  huống khác  nhau. Vì  vậy,  trong quá trình DH,   giáo  viên cần 
tăng cường hoạt động giải toán cho HS. 
Rèn luyện kỹ năng toán học cho HS cần quan tâm chú trọng đến những 
vấn đề sau:   
 Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra những yếu tố đã 
cho và yếu tố phải tìm và các mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng 
cho HS biết 
cách phân tích đặc điểm bài toán. 
 Hướng  cho  HS  hình  thành  mô  hình  khái  quát  để  giải  quyết  các  bài 
toán và các đối tượng cùng loại. 
 Xác  lập  mối  quan  hệ  giữa  nội  dung  kiến  thức  lý  thuyết  với  cách  vận 
dụng để giải bài tập. 
Ngoài  ra,  cần  tạo  nhu  cầu  hứng  thú  học  tập  cho  HS,  khắc  phục  ảnh 
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau : 

13 

+  Nhìn  nhận  bài  toán  dưới  nhiều  khía  cạnh  khác  nhau,  từ  đó  so  sánh 
các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc và vận dụng hợp lý kiến thức. 
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm bài toán. 
+  Tích  cực  suy  nghĩ,  tìm  tòi  cách  giải  ngắn  gọn  trong  khi  giải  toán. 
Thực tế, trong học tập HS không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo 
phương pháp  và các bước  làm rõ  ràng  mà còn  gặp khá  nhiều bài  toán phức 
tạp,  không có phương pháp sẵn.  Đòi  hỏi  HS phải suy  nghĩ tìm  ra cách  giải 
ngắn gọn, chặt chẽ và độc đáo. 
Vì  vậy,  song  song  với  việc  truyền  thụ  tri  thức  toán  học  thì  việc  rèn 
luyện các kỹ năng cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng, nó góp phàn bồi 
dưỡng tư duy Toán học cho HS. 
1.2. Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT
1.2.1. Khái niệm hàm số
 Khái niệm hàm số đã được nhắc đến ở chương trình môn Toán cấp 
THCS,  và  đến  chương  trình  cấp  THPT  thì  vấn  đề  này  vẫn  tiếp  tục  được 
nghiên  cứu.  Ở  lớp  10  HS  vẫn  tiếp  tục  được  nghiên  cứu  về  hàm  số.  Ở  đây 
SGK giới thiệu lại khái niệm hàm số 1 cách chính xác hơn, có đề cập đến tập 
xác  định  của  hàm  số,  đồng  thời  đưa  ra  các  khái  niệm  hàm  số  đồng  biến, 
nghịch biến, hàm số chẵn,  lẻ, và giới thiệu thêm 1 phương pháp nghiên cứu 
hàm số là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của chúng. SGK trình bày đầy 
đủ về 2 hàm số y =ax + b và y = ax2+bx+c, ngoài ra SGK còn giới thiệu thêm 
về hàm số y =  ax + b| . 
Khái niệm hàm số đã được giới thiệu ở chương trình toán lớp 7, vì vậy 
ở đây  
SGK lớp 10 không xuât phát từ ví dụ mà giới thiệu ngay định nghĩa và 
cho ví dụ minh họa. 
 Định  nghĩa  trang  32-  SGK  Đại  số  10  “Giả  sử  có  2  đại  lượng  biến 
thiên  x  và  y,  trong đó  x  nhận  giá trị thuộc tập D. Nếu  với  mỗi  giá trị của  x 

14 


thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì 
ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số, y là hàm số của x. Tập D được gọi là 
tập xác định của hàm số. 
 Định nghĩa  trang 35- SGK Đại số 10 nâng cao : “Cho tập hợp khác 
rỗng là tập con của R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi số 
x thuộc D với  1 và chỉ 1 số, kí hiệu là f(x), số f(x) được gọi là giá trị của hàm số 
f tại x. Tập hợp D gọi là tập xác định, x là biến số hay đối số của hàm số. 
 Sau khi trình bày định nghĩa, SGK  đưa ra các ví dụ về hàm số trong 
thực tế đó là các hàm số cho bằng bảng. Về cách cho hàm số, SGK Đại số 10 
trình bày 3 cách cho hàm số : hàm số cho bằng bảng,  hàm số cho bằng biểu 
đồ, hàm số cho bằng công thức. 
Ví dụ 4 :Khi học về phần hàm số ở lớp 10, giáo viên có thể trình bày 1 
trong số những cách cho hàm số là hàm số cho bằng công thức, ví dụ như cho 
hàm số s = 50t, trong đó vận tốc trung bình của xe máy là 50 km /h, t là thời 
gian xe đi được trong quãng đường s. Từ hàm số trên ta thấy được mối quan 
hệ giữa các đại lượng s và t. 
1.2.2. Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông
Do  đặc  tính  biểu  thị  quan  hệ  phụ  thuộc  lẫn  nhau  giữa  các  đại  lượng, 
một quan  hệ phổ biến  phản ánh bản chất  của  hầu  như  mọi  hiện tượng trong 
khoa  học cũng  như  trong cuộc sống,  hàm  số không chỉ  xuất  hiện trong toán 
học  mà  còn  dung  để  giải  quyết  các  vấn  đề  thực  tiễn.  Trong  các  giáo  trình, 
sách  giáo  khoa  toán,  hàm  số  xuất  hiện  trước  hết  với  tư  cách  là  đối  tượng 
nghiên cứu, sau đó  là công cụ để  giải quyết nhiều  bài toán thuộc  những  nội 
dung toán học khác  như:  BĐT và BPT… Cũng vì vai trò quan trọng của nó 
mà hàm số là một chủ đề xuyên suốt các chương trình toán bậc trung học của 
nhiều thập kỉ qua. Chúng ta biết, trong môn Toán ở THPT,  một hàm số có thể 
được  biểu  thị  bằng  những  hệ  thống  biểu  đạt  khác  nhau.  Tuy  nhiên  sử  dụng 

một  biểu  thức  Toán  học  (hàm  số  cho  bởi  công  thức)  và  đồ  thị  là  hai  trong 
những hệ thống biểu đạt phổ biến nhất. Khi đã biết biểu thức xác định hàm số, 
ta có thể dùng công cụ của giải tích đại số để nghiên cứu các tính chất và phác 
15 


thảo đồ thị của nó. Ngược lại, nhìn vào đồ thị ta có thể đọc được các tính chất 
của  đồ  thị  như  :  chiều  biến  thiên  trong  từng  khoảng,  tính  chẵn  lẻ,  tính  tuần 
hoàn, tính bị chặn, giá trị cực đại, cực tiểu… 
1.3. Thực tiễn rèn luyện kỹ năng giải bài toán BĐT và BPT cho HS
THPT theo quan điểm hàm số. 
1.3.1. Thực trạng việc dạy học giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở
trường phổ thông.


Do  số  tiết  học  chủ  đề  BĐT  và  BPT  ở  trên  lớp  còn  ít  nhưng  khối 

lượng  tri  thức  cần  truyền  đạt  nhiều  đồng  thời  phải  đúng  lịch  phân  phối 
chương trình theo quy định  nên  việc  mở rộng, khai thác,  ứng dụng sáng  tạo 
các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc 
huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, 
sáng tạo, của HS trong học tập, cũng như giáo viên không có nhiều thời gian 
để giúp đỡ HS. 
 Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách là 
người ngồi điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa 
ra một số bài tập ứng dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng.  
 Chất lượng đại trà của HS còn yếu. Nhiều HS bị mất căn bản từ cấp 
THCS dẫn đến tình trạng các em nhận thấy chủ đề này là một chủ đề rất khó 
hiểu, trừu tượng nên không có hứng thú trong việc học và không có phương 
pháp học phù hợp cho bản thân. Các em hầu như không làm bài tập về nhà, 

lười suy  nghĩ,  lười tính toán,  chưa  tích cực tư duy  hoạt động trí  não  tìm  tòi 
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. 
 Trong giờ học, HS chưa chú ý nghe giảng,  không tích cực phát biểu, 
xây dựng bài, chủ yếu nghe giảng, tiếp thu kiến thức một cách thụ động nên 
dễ quên, không hiểu được bản chất vấn đề. 

16 


 Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường phổ thông. Việc phát triển tư 
duy hàm cho HS không có nghĩa là thầy giáo lên lớp và giảng 1 bài giảng về 
tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm không tồn tại độc lập so với các nhiệm vụ 
truyền  thụ  kiến  thức  khác.  Muốn  phát  triển  khả  năng  tư  duy  hàm  cho  HS 
thầy giáo phải thông qua nội dung kiến thức đã quy định. Trên cơ sở đó tìm 
ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho HS. Có thể nói, phát triển tư duy hàm 
là mục đích kép. 
 Thực tiễn  giáo dục tư duy  hàm cho  HS phổ thông  hiện  nay còn  gặp 
khá nhiều những khó khăn như : trình độ HS còn hạn chế và không đồng đều, 
khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết học dành cho môn toán lại không 
nhiều. Hơn thế, những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được quy định 
rõ ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. 
Mà trong toán học, việc xem xét các đối tượng toán học một cách cô lập trong 
trạng  thái  rời  rạc  sẽ  không  thấy  hết  được  những  mối  liên  hệ  phụ  thuộc  hay 
mối quan hệ nhân quả làm cho HS còn lúng túng trong việc giải quyết các bài 
toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế,  khó 
tiếp cận. Vì vậy còn gây ra không ít những khó khăn cho cả giáo viên và HS. 
1.3.2. Những khó khăn sai lầm thường gặp của HS trong khi giải BPT và
BĐT theo quan điểm hàm số
1.3.2.1. Khó khăn

 Trong  chương  trình  toán  trung  học  phổ  thông,  các  bài  toán  về  phần 
BĐT  và BPT là một chủ đề khó, nó gây ra nhiều trở ngại đối với các em HS 
trong việc chiếm lĩnh tri thức. Điều này cũng dẫn đến việc giải các bài tập của 
HS rất khó khăn, các em còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng 
giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của HS.  
 Từ đó HS tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt quá trình 
bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề BĐT và BPT 

17 


cho HS chưa được liền mạch và chưa có hệ thống. Chính điều đó làm cho HS 
dễ hụt hỏng về kiến thức, việc khai thác một bài toán còn gặp nhiều khó khăn, 
việc dạy học của giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm của bản thân. 
 Một số khó khăn chủ yếu là : 
 HS không biết cách phân chia các trường hợp để giải quyết bài toán. 
 HS không biết phải xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường 
hợp riêng thích hợp cho việc giải quyết bài toán. 
 HS  không  biết  nhìn  nhận  các  bài  toán  bất  phương  trình,  bất  đẳng 
thức trong mối liên hệ với các bài toán hàm số. 
1.3.2.2. Một số sai lầm của học sinh trong giải toán BĐT và BPT theo quan điểm hàm

Nội dung BĐT và BPT là một nội dung quan trọng trong chương trình 
THPT. Tuy nhiên, cả GV và HS đều chưa thật sự chú trọng đến vấn đề này. 
Vì vậy, đa số HS chỉ làm các bài tập một cách máy móc mà chưa hiểu được 
bản chất của vấn đề dẫn đến mắc phải một số sai lầm đáng tiếc trong khi giải 
các bài toán bất phương trình cũng như chứng minh BĐT. 
Sau đây là một vài ví dụ điển hình. 
Ví dụ 5 : Giải BPT sau: x2 – x – 4 +  4  –  x2 

x2
2  4  x2

 (1) 

 

Sai lầm thường gặp : BPT ( 1)   x2 – x – 4 +  4  –  x2 
 x  0

  

2

2

 x  x  4  4  x  2  4  x

2

x 2 (2  4  –  x 2 )
 
x2

x0

x  0
 

 2  x  3

x  x  6  0



2

Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi  x2  x 4  4  x2  2  4  x2 thành 
x 2  x  6  0  là không tương đương. 

Lời giải đúng : Điều kiện xác định ( x   0, -2< x < 2). 
x 2 (2  4  –  x 2 )
Bpt (1)   x  – x – 4 +  4  –  x 
 
x2
2

2

18 


x  0
x  0
 x  0


2
 2
4  x  0 2  x  2
2

2
 x  x  4  4  x  2  4  x
2  x  3
x2  x  6  0

 

x  0
 
 2  x  2


 

Kết luận : f(x) g(x)   f(x) + h(x)   g(x) + h(x) (1) 
h(x)    D với D là tập xác định của f(x)   g(x). 
f(x) + h(x)   g(x) + h(x)  f(x) g(x), với x thuộc tập xác định của (1). 
Ví dụ 6: CMR: a 2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e) với mọi số 
thực a,b,c,d,e .
Lời giải: Theo Cô-si ta có: 
2

a
 b 2  ab ,
4

2

a
 c 2  ac ,

4

2

a
 d 2  ad ,
4

2

a
 e 2  ae  
4

Cộng các BĐT trên ta đượcđiều phải chứng minh. 
 
Đánh giá:  
Ở đây HS đã vận dụng bất đẳng thức Cô-si là sai, vì các số có thể âm. 
Tuy  nhiên,  mỗi  BĐT  trên  đều  đúng  nhưng  không  phải  theo  Cô-si,  mà  do 

a
(  b)2  0,...  
2
Ví dụ 7:  Tìm  GTLN  của  biểu  thức M  x(2a  x)(2b  x)   với  a, b 
dương, phân biệt và0 < x < 2a, 0 < x < 2b 
Lời giải:  

1
Vì M  .2 x(2a  x)(2b  x)  
2

Áp dụng BĐT Côsi cho các số2x, 2a-x, 2b-x nên M lớn nhất khi chúng 
bằng nhau, nhưng điều đó không xảy ra nên M không có GTLN . 

19