skkn ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải một số câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO T.T.HUẾ
TRƯỜNG THCS & THPT HÀ TRUNG
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG
BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Lĩnh vực/Môn:

TOÁN

Người thực hiện : TÔN THẤT ĐÔN
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn tổ Toán-Tin

Vinh Hà, tháng 03 năm 2015

1
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


MỤC LỤC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI……………………………………………… Trang 1
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………… Trang 2
1.
Những
vấn

đề
lý
luận
chung………………………………………… Trang 2
2.
Thực
trạng
của
vấn
đề……………………………………………… Trang 2
3.
Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn
đề…………………… Trang 3
III. KẾT LUẬN………………………………………………………… Trang 11
Tài liệu tham khảo……………………………………………………… Trang 12

2
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý do chọn đề tài:
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở
ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và
điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. nếu
học tốt môn toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong
Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Tuy nhiên, hầu hết các em

học sinh khi học môn Toán lại học theo dạng bài, thiếu sự vận dụng linh hoạt giữa các
phần: Đại số, Hình học, Giải tích…Do đó, các em thường hay lúng túng khi gặp các
bài toán mà trong đó cần có sự vận dụng kiến thức tổng hợp.
Trong chương trình giải tích 12- Ban cơ bản, các câu hỏi sau phần khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (thường được gọi là các câu hỏi phụ trong bài toán
khảo sát hàm số) là một câu hỏi bắt buột trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển
sinh ĐH-CĐ hàng năm. Để giải các bài toán dạng này, ngoài phần kiến thức thuần túy
về giải tích còn có các kiến thức về Hình học giải tích phẳng Oxy ( phần này học sinh
được học ở lớp 10). Vì vậy khi làm bài tập dạng này học sinh thường hay lúng túng và
đôi khi vận dụng nhầm công thức. Do đó để giúp học sinh học tốt phần này, tôi đã
mạnh dạn chọn đề tài:” Ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải một số câu hỏi
phụ trong bài toán khảo sát hàm số ”.
2. Nhiệm vụ của đề tài:
Nghiên cứu phương pháp giảng dạy để giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả năng giải
toán, nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
3. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài sáng kiến kinh nghiệm là các
câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số thuộc chương trình giải tích 12 mà có sử
dụng đến kiến thức hình học giải tích phẳng Oxy .

3
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Những vấn đề lý luận chung:
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. việc giúp học sinh học tập môn Toán một cách khoa học, hiệu

quả sẽ góp phần rèn luyện cho các em đức tính, phẩm chất của người lao động mới:
tính kỉ luật, tính kế thừa, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức một cách có hệ
thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc
học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và kết hợp giữa các phân
môn: Đại số, Giải tích, Hình học…giáo viên cần định hướng cho học sinh học môn
Toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, phân dạng các bài tập
rồi tổng hợp các cách giải.
Trong chương trình toán THPT, đường thẳng ( ∆ ) trong mặt phẳng thường cho
dưới các dạng :
•

y = ax + b ( a, b ∈ ¡ ; a : hệ số góc ) :dạng này hay sử dụng ở phần mang nhiều
“màu sắc” Đại số, giải tích.

•

r
ax + by + c = 0 ( a, b, c ∈ ¡ ; a 2 + b 2 ≠ 0 ; n(a; b) là một vectơ pháp tuyến của
∆ ) : dạng này hay sử dụng ở phần Hình học giải tích.

Tuy nhiên, hệ trục tọa độ sử dụng trong phần giải tích, đại số hay hình học giải tích
phẳng đều ngầm quy ước là hệ trục tọa độ Oxy . Do đó có thể sử dụng kiến thức về
hình học giải tích phẳng để giải quyết các bài toán về Đại số, Giải tích ( chỉ cần viết

∆ : y = ax + b ⇔ ∆ : ax − y + b = 0 ). Ví dụ các bài toán lên quan đến góc giữa hai
đường thẳng , khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng… Trong đề tài sáng kiến
kinh nghiệm này, chúng ta sẽ phân tích một số bài toán để làm rõ ý tưởng đó.
2. Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm giảng dạy ở các lớp 12 ( Ban Cơ bản), tôi nhận thấy rằng trong

các câu hỏi phụ phần khảo sát hàm số, nếu giáo viên chỉ trình bày lời giải từng bài
toán cụ thể mà không nêu ra được bản chất tổng quát thì khi gặp một bài toán mới học
4
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


sinh sẽ rất lúng túng. Đặc biệt, trong những năm gần đây các dạng bài tập liên quan
đến phương trình đường thẳng trong các bài khảo sát hàm số thường xuyên xuất hiện
trong đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng . Đa phần các em khi làm loại toán này
thường gặp khá nhiều khó khăn. Nguyên nhân là do các em quên kiến thức hoặc chưa
biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về hình học giải tích phẳng đã học ở lớp 10 để
giải các bài toán giải tích lớp 11, 12.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
Với những nguyên nhân trên, qua nghiên cứu, trao đổi và đúc rút kinh nghiệm, tôi
mạnh dạn đưa ra và phân tích một số bài toán trong chương khảo sát hàm số thuộc
chương trình Giải tích 12 mà khi giải cần phài sử dụng đến kiến thức hình học phẳng
trong hệ trục tọa độ Oxy .
3.1) Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học giải tích phẳng cần nắm vững:
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến

r
n(a; b) là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 .
• Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là:

d (M ; ∆) =

ax0 + by0 + c
2

a +b

2

1
d ( A; BC ).BC .
2
ur
• d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1 ) .
uu
r
d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến n2 = (a2 ; b2 )
ur uu
r
• Diện tích tam giác ABC : S ABC =

Lúc đó

n1.n2
r .
cos( d1 ; d 2 ) = ur uu
n1 n2

3.2) Phân tích một số ví dụ:
5
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung

Nếu cho đường thẳng dưới dạng ∆ : y = kx + b thì ta viết lại ∆ : kx − y + 1 = 0 . Lúc đó
u
r

∆ có vectơ pháp tuyến n = (k ; −1) và có thể áp dụng công thức tính khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng…
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

2x −1
(C )
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết khoảng cách từ điểm I (1; 2) đến tiếp tuyến
bằng 2 .
Phân tích: Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình:
y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ f '( x0 )( x − x0 ) − y + f ( x0 ) = 0 (*). Từ đây có thể áp dụng

công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải bài toán.
Giải: Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình:
y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ x + ( x0 − 1) 2 y − 2 x02 + 2 x0 − 1 = 0 (*)

Khoảng cách từ điểm I (1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng
⇔

2

 x0 = 0
= 2⇔
1 + ( xo − 1) 4

 x0 = 2
2 − 2 x0

Suy ra các tiếp tuyến cần tìm: x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0 .
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

x+2
(C )
x −1

Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x
bằng 2 .
Giải: Ta có M ∈ (C ) ⇒ M (a;

a+2
), a ≠ 1.
a −1

(∆) : y = − x ⇔ (∆) : x + y = 0. Suy ra

a+
d ( M ; ∆) =

a−2
a −1
2

 a 2 − 2a + 4 = 0
2
d

=
2
⇔
a
+
2
=
2
a
−
1
⇔
Do đó
 2
 a + 2a = 0
•

a 2 − 2a + 4 = 0 : phương trình vô nghiệm

6
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


a = 0
a 2 + 2a = 0 ⇔ 
. Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M (0; −2) hoặc M (−2;0) .
 a = −2

Ví dụ 3 : Cho hàm số y =

2x +1
(C ) .
x +1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết rằng hai điểm A(2; 4), B(−4; −2) cách
đều tiếp tuyến.
Phân tích: Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình:
y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ f '( x0 )( x − x0 ) − y + f ( x0 ) = 0 (*). Từ đây có thể áp dụng

công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Giải: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 ≠ −1) . Khi đó phương trình tiếp tuyến (d ) của
(C) tại
M ( x0 ;

2 x0 + 1
2x +1
1
) là: y =
( x − x0 ) + 0
⇔ x − ( x0 + 1) 2 y + 2 x0 2 + 2 x0 + 1 = 0 .
2
x0 + 1
( x0 + 1)
x0 + 1

2
2
2

2
Ta có: d (A;d) = d(B;d) ⇔ 2 − 4( x0 + 1) + 2 x 0 + 2 x0 + 1 = −4 + 2( x0 + 1) + 2 x 0 + 2 x0 + 1

⇔ x0 = 1; x0 = −2; x0 = 0.
1
4

5
4

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + 5 .
Ví dụ 4 (B-2010): Cho hàm số y =

2x + 1
(C ) .
x +1

Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm A, B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng

3 ( O là gốc tọa độ).

Phân tích : Viết đường thẳng AB : y = −2 x + m thành AB : −2 x − y + m = 0 . Lúc đó có
thể áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm :

2x + 1
= −2 x + m
x +1

⇔ 2 x + 1 = ( x + 1)(−2 x + m) ( do x = −1 không là nghiệm của phương trình )
⇔ 2 x 2 + (4 − m) x + 1 − m = 0 (1)
∆ = m 2 + 8 > 0 với mọi m , suy ra đường thẳng y = −2 x + m luôn cắt đồ thị (C ) tại
hai điểm phân biệt A, B với mọi m .
7
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


Gọi A(x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) trong đó x1 và x2 là các nghiệm của (1) ; y = −2 x1 + m và

y2 = −2 x2 + m . Ta có AB : y = −2 x + m ⇔ 2 x + y − m = 0 .
Suy ra d (O; AB ) =

m

và AB = ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 =
1
2
1
2
5

2

5( m + 8)
2

.

2
m m +8
Do đó SOAB = 1 AB.d(O; AB) =
= 3 ⇔ m = ±2.

2

4

Ví dụ 5 (B-2012): Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m3 (1) .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
Giải: Ta có y ' = 3 x 2 − 6mx ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2m .
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 . Các điểm cực trị của đồ thị là

A(0;3m3 ), B(2m; −m3 ) .
3
Phương trình đường thẳng OA : x = 0 , suy ra d ( B; OA) = 2 m và OA = 3 m .

Do đó SOAB = 48 ⇔ 3m 4 = 48 ⇔ m = ±2 .
Ví dụ 6 (B-2013): Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx (1), với m là tham số
thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB
vuông góc với đường thẳng y = x + 2 .
Phân tích: Chuyển cả hai đường thẳng AB và d : y = x + 2 về dạng phương trình tổng
quát của đường thẳng rồi áp dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng.
Giải: Ta có y ' = 6 x 2 − 6(m + 1) x + 6m ; y ' = 0 ⇔ x = 1; x = m
Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là m ≠ 1 .

uuu

r

Ta có : A(1;3m − 1), B (m; −m3 + 3m 2 ) ⇒ AB = (m − 1; −(m − 1)3 )

ur

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là n1 = ((m − 1) 2 ;1) (vì m ≠ 1 ).

uu
r

Đường thẳng d : y = x + 2 có vectơ pháp tuyến là n2 = (1; −1) .

ur uu
r

Do đó AB ⊥ d ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ (m − 1) 2 = 1 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 .

8
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


Ví dụ 8 (A-2008): Cho hàm số y =

mx 2 + (3m 2 − 2) x − 2
(1) , với m là tham số thực.
x + 3m

Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1)
bằng 450
Phân tích: Chuyển phương trình của hai đường tiệm cận về dạng phương trình tổng
quát của đường thẳng rồi áp dụng công thức tính góc của hai đường thẳng.
Giải: Ta có y =

mx 2 + (3m 2 − 2) x − 2
6m − 2
= mx − 2 +
x + 3m
x + 3m

•

m=

1
: đồ thị hàm số không có tiệm cận.
3

•

m≠

1
: đồ thị hàm số có hai tiệm cận:
3

d1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0, d 2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0
ur

uu
r
Vec tơ pháp tuyến của d1 , d 2 lần lượt là n1 = (1;0), n2 = (m; −1). Góc giữa d1 , d 2 bằng 450
ur uu
r
m
n
.
n
0
1 2
⇔
khi và chỉ khi: cos 45 = ur uur =
n1 . n2
m2 + 1

m
m2 + 1

=

2
⇔ m = ±1.
2

4
2
2
Ví dụ 9 : Cho hàm số y = x + 2mx + m + m(Cm ) .Với những giá trị nào của m thì đồ

thị (Cm ) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc
bằng 1200 .
x = 0

2
Giải : Ta có y ' = 4 x 3 + 4mx ; y ' = 0 ⇔ 4 x( x + m) = 0 ⇔ 

x = ± m

(m < 0)

(1)

Khi đó các điểm cực trị là : A(0; m 2 + m), B( −m ; m), C (− −m ; m) .
uuur
uuur
∧
AB = ( −m ; −m 2 ); AC = ( − − m ; − m 2 ). Do ∆ABC cân tại A nên góc BAC = 1200 .
uuur uuur
∧
1
AB. AC
1
− −m . −m + m 4
1
0
BAC = 120 ⇔ cosA = − ⇔
=− ⇔
=−
4

2
AB. AC
2
m −m
2
m = 0
m + m4
1
4
4
4
⇔ 4
= − ⇒ 2m + 2m = m − m ⇔ 3m + m = 0 ⇔ 
1 (2)
m=− 3
m −m
2

3

Từ (1), (2) suy ra m = −

1
.
3

3

9
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


3
2
2
3
Ví dụ 10:Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m (Cm )

.

Chứng minh rằng (Cm ) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên hai
đường thẳng cố định song song nhau.
Phân tích: Sau khi tính được tọa độ cụ thể của các điểm cực trị M, N. Ta tìm phương
trình mỗi đường thẳng đi qua M, N. sau đó chứng minh hai đường thẳng này song
song nhau.
Giải: Ta có y ' = 3x 2 − 6mx + 3( m 2 − 1) với ∆ = 9 > 0 .
 x = m + 1 ⇒ M (m + 1; −2 − 3m)
y'= 0 ⇔ 
 x = m − 1 ⇒ N (m − 1; 2 − 3m)

Suy ra (Cm ) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu N,M.
 x = −1 + t
 y = 2 − 3t

Điểm cực đại M (m + 1; −2 − 3m) chạy trên đường thẳng cố định (d1 ) : 

x = 1+ t
 y = −2 − 3t

Điểm cực đại N (m − 1; 2 − 3m) chạy trên đường thẳng cố định d 2 : 
→

Rõ ràng (d1 ), (d 2 ) có cùng VTCP u = (1; −3) và (d1 ) không trùng với (d 2 ) nên
(d1 ) P(d 2 ) .

Ví dụ 11: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 ( Cm ), với m là tham số thực.
Tìm m để ( Cm ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị
tạo với đường thẳng d : x + 4 y − 5 = 0 một góc α = 450 .
Giải: Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x − m . Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y ' = 0
có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3(*) .
Lúc đó, gọi 2 điểm cực trị là A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ). Thực hiện phép chia y cho y ' ta

1
3

1
3

được y = ( x − ) y '− (

2m
m
+ 2) x + (2 − ) .
3
3

Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆ : y = −(

∆ : kx − y + (2 −

2m
m
+ 2) x + (2 − ) hay
3
3

m
2m
) = 0 với k = −(
+ 2).
3
3
10

Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


ur
d
:
x
+
4
y
−
5

=
0
•
có vec tơ pháp tuyến n1 = (1;4)
•

∆ : kx − y + (2 −

uu
r
m
) = 0 có vec tơ pháp tuyến n2 = (k ; −1)
3

ur uu
r
k −4
|
n
.
n
0
1 2 |
r =
⇔ 2(k − 4) 2 = 17(k 2 + 1)
Ta có: cos 45 = ur uu
2
n1 . n2
k + 1. 17
3

39


k
=
m
=
−


5
10
2
⇔
⇔


⇔ 15k + 16k − 15 = 0
k = − 5
m = − 1


3
2
Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là m = −

1
.
2

Nhận xét: Từ (1) có thể giải như sau:
Đặt k = −(

2m
1
+ 2) . Đường thẳng d : x + 4 y − 5 = 0 có hệ số góc bằng − .
3
4

3
39


1
k
=
m
=
−


5
10
0
4 ⇔
⇔
Ta có: tan 45 =
1
k = − 5
m = − 1

1− k
4
3

2

k+

1
2

Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là m = − .
Nhận xét: Trong các dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, việc chuyển phương
trình đường thẳng ∆ : y = kx + b (1)( sử dụng hệ số góc) về dạng ∆ : kx − y + b = 0 (2)
(sử dụng vec tơ pháp tuyến, kiến thức về hình học giải tích) có nhiều ưu điểm. Bởi vì
dạng (2) thì không cần chia ra các trường hợp: đường thẳng song song (không có hệ số
góc k ) hay không song song với trục tung Oy ( có hệ số góc k ) mà có thể áp dụng
trực tiếp ngay các công thức trong hình học giải tích để giải.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 12 mà tôi đã trực tiếp giảng dạy trong các năm
2013-2014, 2014-2015 . Kết quả là các em học sinh khi gặp dạng toán này đã biết định
hướng tìm ra lời giải một cách chính xác. Điều này được minh chứng trong bảng số
liệu mà tôi đã thống kê qua các năm khi cho các em làm các đề kiểm tra:
11
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


Năm học

2012-2013
2013-2014
2014-2015

Lớp

Tổng số Số lượng học sinh làm được câu Ghi chú

12/3
12/5

34
36

hỏi dạng này
10
8

12/3
12/5

31
32

20
19

12/1
12/6

31
27

26
20

Chưa triển khai
đề tài SKKN
Đã triển khai
đề tài SKKN
Đã triển khai
đề tài SKKN

Với kết quả như trên, tôi thấy đề tài SKKN đã mang lại hiệu quả đáng khích lệ khi
giảng dạy về phần khảo sát hàm số trong chương trình Giải tích 12.

12
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


PHẦN III: KẾT LUẬN
Trong quá trình giảng dạy môn toán, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán là
một việc làm cần thiết. Tuy nhiên, bên cạnh đó phải giúp các em rèn luyện được tính
sáng tạo, thấy được mối liên hệ giữa các phần: Đại số, giải tích, hình học… Có thể
đem kiến thức phần hình học để giải các bài toán Đại số, giải tích và ngược lại. Từ đó
giúp các em rèn luyện được tính linh hoạt, tránh cứng nhắc khi suy nghĩ.
Các câu hỏi trong chương khảo sát hàm số là một trong những nội dung quan
trọng mà các em học sinh lớp 12 cần nắm vững. Đề tài SKKN của tôi được viết dựa

trên kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 các năm vừa qua, đã được các học sinh đồng tình
và mang lại hiệu quả đáng khích lệ. Ngoài ra đây còn là một tư liệu nhằm giúp các em
ôn tập khi thi tốt nghiệp THPT cuối năm .
Rất mong được quý đồng nghiệp, các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài
SKKN được hoàn thiện hơn, qua đó nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán trong nhà
trường phổ thông.

13
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo Dục- 2007
2. Các đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng môn Toán các năm 2007 đến 2014.
3. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn, Đặng Quan
Viễn(1996), Toán BDHS phổ thông trung học- Khảo sát hàm số, NXB Hà Nội.
4. Các bài báo, tài liệu trên Internet, tạp chí Toán học tuổi trẻ.

14
Tôn Thất Đôn

Trường THCS&THPT Hà Trung