phương trình mặt phẳngBG(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng
n = ( A; B; C ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
(P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình được viết dạng
(P) có véc tơ pháp tuyến

( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
n = ( A; B; C ) thì có phương trình tổng quát ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0.

(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP =  AB; AC 
(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho nP = nQ

nP ⊥ nα
(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì 

→ nP =  nα ; nβ 
n
⊥
n
 P
β
n ⊥ a
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ a; b thì  P

→ nP =  a; b 

nP ⊥ b
nP ⊥ AB
(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì 

→ nP =  AB; nα 
nP ⊥ nα
Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) .
b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z − 1 = 0.
c) qua M(3; −1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0;

(R): 2x + 3y − z − 5 = 0.

Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) nên có phương trình

( P) :

1. ( x − 1) − 2.( y − 1) + 1.( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + z − 1 = 0

b) (P) // (Q) nên nP // nQ , chọn nP = nQ = (1; 2;5 ) 
→ ( P ) :1. ( x − 2 ) + 2. ( y − 0 ) + 5. ( z − 1) = 0

→ ( P ) : x + 2 y + 5 z − 7 = 0.

c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến
4 0 1
nP ⊥ nQ

→ nP =  nQ ; nR  = 

= ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 )

2 3 − 1
nP ⊥ nR

Khi đó (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − 4 z = 0 ⇔ x − 2 y − 4 z − 5 = 0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là

a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3)
c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB.
d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
e) Viết phương trình (ABC).
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC).

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước,
với:

 A(3;1; −1), B(2; −1; 4)
a) 
( β ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0

 A(−2; −1; 3), B(4; −2;1)
b) 
( β ) : 2 x + 3y − 2 z + 5 = 0

 A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9)
c) 
( β ) : 3 x + 4 y − 8z − 5 = 0

 A(3; −1; −2), B(−3;1; 2)
d) 
( β ) : 2 x − 2 y − 2 z + 5 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước,
với:

a) M (1; 2; −3) , ( P ) : 2 x − 3y + z − 5 = 0, ( Q ) : 3x − 2 y + 5z − 1 = 0
b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − 4 = 0, ( Q ) : 3 x − y + z − 1 = 0
c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − 6 y − 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x − 8y + 3z + 11 = 0
d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : 5 x − 3y + 2 z − 5 = 0, ( Q ) : 2 x − y − z − 1 = 0
Ví dụ 6: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song
với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z − 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0
b) ( P ) : x − 4 y + 2 z − 5 = 0, (Q ) : y + 4 z − 5 = 0, ( R ) : 2 x − y + 19 = 0
c) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0
Ví dụ 7: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc

với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( P ) : 2 x + 3 y − 4 = 0, (Q ) : 2 y − 3z − 5 = 0, ( R ) : 2 x + y − 3z − 2 = 0
b) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z + 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0
c) ( P ) : x + 2 y − z − 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R ) : x − 2 y − 3z + 6 = 0
d) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0
2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình
là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình
là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình
là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực:
Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp
tuyến.

Phương trình mặt chắn:
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các
điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) thì (P) có phương
x y z
+ + = 1.
a b c
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+ Độ dài OA = a ; OB = b ; OC = c

trình đoạn chắn: ( P ) :

1
1
+ Thế tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC = abc
6
6
+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực
tâm H của tam giác ABC.

Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên
Ta có a, b, c > 0
x y z
Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = 1.
a b c
2 2 2
1 1 1 1
→ + + =1⇔ + + =

• Do M ∈ ( P ) 
a b c
a b c 2
1
Ta có OA = a; OB = b; OC = c 
→VOABC = abc
6
1 1 1
3
1
3
• Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có + + ≥ 3
⇔ ≥3
⇔ 3 abc ≥ 6 ⇔ abc ≥ 216
a b c
2
abc
abc
1

→VOABC ≥ .216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = 6 , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
6

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc
với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
y z
± =1
2 2
Bài 2: [ĐVH]. Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt

các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 2 , với O là gốc tọa độ.

Đ/s: ( ABC ) : x ±

x y z
x y z
+ − = 1;
− + =1
2 3 2
2 3 2
Bài 3: [ĐVH]. Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông
góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 4
x y z
Đ/s: ( ABC ) : − + + = 1
2 3 4
Bài 4: [ĐVH]. Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt
7
các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho S ABC = , với O là gốc tọa độ.
2
y z
Đ/s: ( α ) : x + + = 1
3 2

Đ/s: ( ABC ) :

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 5: [ĐVH]. Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.
Bài 6: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 7: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao
cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!